여과(수학)

In mathematics, a filtration ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is an indexed family ${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$ of subobjects of a given algebraic structure ${\displaystyle S}$, with the index ${\displaystyle i}$ running over some totally ordered index set ${\displaystyle I}$, s라는 조건에 굴하지 않고

$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$에서 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ j ${\displaystyle i\leq$ j$}$이$($가) 있는 경우 S ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$

지수 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$이(가) 일부 확률적 프로세스의 시간 매개 변수라면$$, 여과가 시간적으로 복잡해지는 대수 구조 S i {\$displaystyle S_{i}$와 함께 확률적 프로세스에 대해 사용할 수 있는 모든 과거 정보를 나타내는 것으로 해석할 수 있다. 따라서 여과 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 적응하는 공정을 "미래를 볼 수 없다"^[1]는 이유로 비예상이라고도 한다$$.

Sometimes, as in a filtered algebra, there is instead the requirement that the ${\displaystyle S_{i}}$ be subalgebras with respect to some operations (say, vector addition), but not with respect to other operations (say, multiplication) that satisfy only ${\displaystyle S_{i}\cdot S_{j}\subseteq S_$${i+j$ 여기서 지수 집합은 자연수이며, 이는 등급화된 대수학과의 유추에 의한 것이다.

간혹 오행렬은 ${\displaystyle {Si}_{}}$ ${\$의 조합이 $전체{\displaystyle }$ S$${\$displaystyle S}$이거나$,$ (더 일반적인 경우, 조합의 개념이 타당하지 않은 경우) ${\displaystyle {Si}_{}}$ ${\$에 대한$$ 정합적 동형성이라는 추가적인 요건을 충족해야 한다. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$는 이형성이다. 이 요구사항의 가정 여부는 대개 본문의 작성자에 따라 결정되며 종종 명시적으로 언급된다. 이 조항은 이 요건을 부과하지 않는다.

There is also the notion of a descending filtration, which is required to satisfy ${\displaystyle S_{i}\supseteq S_{j}}$ in lieu of ${\displaystyle S_{i}\subseteq S_{j}}$ (and, occasionally, ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}S_{i}=0}$ instead of ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}{S}_i=S}$$\displaystyle \bigcup _{i\in I}S_{i}=S}.$ 다시 말하지만, 그것은 "filtation"이라는 단어를 정확히 어떻게 이해하느냐에 달려 있다. 내림차순 오차는(하위 객체가 아닌 지수 객체로 구성된)공차변수의 이중 개념과 혼동해서는 안 된다.

필트레이팅은 추상대수학, 호몰로지 대수학(그들이 스펙트럼 시퀀스에 중요한 방식으로 연관되어 있는 경우), σ알게브라의 내포된 시퀀스에 대한 측정 이론과 확률 이론에서 널리 사용된다. 기능분석과 수치해석에서는 보통 공간의 척도나 내포된 공간의 등 다른 용어를 사용한다.

예

대수학

알헤브라스

참고 항목: 필터링된 대수

무리

대수학에서 filtration은 일반적으로 자연수$$집합인$$$N{\displaystyle \mathbb{}}$ {\$displaystyle \mathb {N}$에 의해 색인화된다. $그룹{\displaystyle }$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$의 여과가 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 정규 부분군 G n ${\displaystyle G_$${n$$}$의 중첩 시퀀스 $displaystyle G_{n+1}subseteq G_{n}}}$이 있다.$$$$ "필터링"이라는 단어는 우리의 "descenting filteration"에 해당한다는 점에 유의하십시오.

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$과(와) ${\displaystyle {여과}_{}}$ G$$n {\$displaystyle$ G_${n}$을(를) 고려할 때$,$ 여과와 연관된 것으로 $알려진{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle G}$에 위상을 정의하는 자연스러운 방법이 있다$.$ 이 위상의 근거는 여과물에 나타나는 모든 부분군 코세트의 집합이다. 즉, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 하위 집합이 ${\displaystyle {}_{}}$ $n{\displaystyle }$ ${\$ 형식 집합의 조합인 경우 개방되도록 정의된다$.$ ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 ${\displaystyle \in }$ G ${\$$displaystyle$ $a\in$ $G$$}$ 및 n$$$}$은 자연수이다$$.

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 여과와 관련된 위상은 G ${\displaystyle G}$을(를) 위상학적 그룹으로 만든다$$$$.

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 여과 ${\displaystyle G_{}}$ $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 연결된 위상은${\displaystyle }$topology ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 1}$} ${\displaystyle \bigcap G_{n}=\{1\}}$인 경우에만 Hausdorff이다$.$

If two filtrations ${\displaystyle G_{n}}$ and ${\displaystyle G'_{n}}$ are defined on a group ${\displaystyle G}$, then the identity map from ${\displaystyle G}$ to ${\displaystyle G}$, where the first copy of ${\displaystyle G}$ is given the ${\displaystyle G_{n}}$-topology와 두 번째 ${\displaystyle {Gn}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ -topology는$$ $어떤{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n$$}$에 대해$$ ${\displaystyle {Gm}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Gn}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 즉 ID 지도가 연속적인 경우에만 $연속$된다$.$ 특히, 두 개의 오차는 한 부분군에 대해 다른 부분군에 더 작거나 같은 부분군이 나타나는 경우에만 동일한 위상을 정의한다.

링 및 모듈: 내림차순 필터링

링 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ $및$ R ${\displaystyle$ $R{\displaystyle }$$}$ -module$$ M ${\displaystyle M}$이(가) 주어진 경우$,$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 내림 여과는 하위종 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 감소 순서다$.$ 따라서 이것은 하위그룹이 하위집단들이 하위집단들이 하위집단들이라는 추가적인 조건과 함께 집단에 대한 개념의 특별한 경우다. 관련 위상은 그룹에 대해 정의된다.

중요한 특수한 경우를 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$ -adic$$ 토폴로지($또는{\displaystyle }$ J ${\displaystyle J}$ -adic$$ 등)라고 한다. $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 정류 링으로 하고$$ $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$을(를) $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 이상형으로 한다$.$

Given an ${\displaystyle R}$-module ${\displaystyle M}$, the sequence ${\displaystyle I^{n}M}$ of submodules of ${\displaystyle M}$ forms a filtration of ${\displaystyle M}$. The ${\displaystyle I}$-adic topology on ${\displaystyle M}$ is then the topology associated to this filtration. $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) $링{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$ 그 자체일$$ 경우, $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 I ${\displaystyle I}$ -adic$$ 토폴로지를 정의했다$.$

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$ -adic$$ 토폴로지가 주어지면$$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은 위상학적 링이 된다$$. $그런{\displaystyle }$ $다음{\displaystyle }$ R ${\displaystyle$ R$}$ $-module$ M {\$displaystyle M}$에 I$${\$displaystyle$I} -adic$$ 토폴로지를 지정하면 R$$ ${\displaystyle R}$에 $지정$된$$토폴로지에 상대적인 위상 $R{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ R$}$ -module이 된다.

링 및 모듈: 오름차순 필터링

Given a ring ${\displaystyle R}$ and an ${\displaystyle R}$-module ${\displaystyle M}$, an ascending filtration of ${\displaystyle M}$ is an increasing sequence of submodules ${\displaystyle M_{n}}$. In particular, if ${\displaystyle R}$ is a field, then an ascending filtration of the ${\$디스플레이 $스타일 R}$ - 벡터$$ $공간{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$은(는) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 벡터 서브스페이스의 증가하는 시퀀스로서$$ 플래그는 이러한 필트레이션의 중요한 클래스 중 하나이다$.$

놓다

세트의 최대 여과(maximum filteration)는 세트의 순서(순열)에 해당한다. For instance, the filtration ${\displaystyle \{0\}\subseteq \{0,1\}\subseteq \{0,1,2\}}$ corresponds to the ordering ${\displaystyle (0,1,2)}$. From the point of view of the field with one element, an ordering on a set corresponds to a maximal flag (a filtration on a vector space), consid하나의 요소로 필드 위의 벡터 공간이 되도록 세트를 설정한다.

측량 이론

측정 이론에서, 특히 마팅게일 이론과 확률 과정 이론에서, 여과란 $meas{\displaystyle }$ {\$displaystyle \sigma }$ -algebras의 측정 가능한 공간에서의 증가하는 순서다$.$ That is, given a measurable space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$, a filtration is a sequence of ${\displaystyle \sigma }$-algebras ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}}$ with ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}$ where 각 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$은(는) 음수가 아닌 실수이며

${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}\implies {\mathcal {F}_{1}\subseteq {\mathcal {F}_{t_{2}}.}$

"시간" $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ t$}$의 정확한 범위는 대개 상황에 따라 달라진다$$. $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$의 값 집합은 이산형 또는 연속형, 경계형 또는 무한형일 수 있다$$. 예를 들어,

${\displaystyle t\in \{0,1,\dots,N\}\mathb {N} _{0},[0,T]{\mbox{또는 }}}[0,+\flatty]}$

Similarly, a filtered probability space (also known as a stochastic basis) ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$, is a probability space equipped with the filtration ${\displaystyle \l$$eft\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0}}$ of its ${\displaystyle \sigma }$-algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. A filtered probability space is said to satisfy the usual conditions if it is complete (i.e., ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ contains all ${\displaystyle \mathbb {P} }$-null sets) 및 우측 $연속{\displaystyle }$(:$$ t= F + = s> F s ${\displaystyle {F}_{t}={\mathcal {F}_{t+}=\bigcap _{s}{s}{\mathcal$ {$F$$}_$${\$$displaystystyt}).$^[2][3][4]

It is also useful (in the case of an unbounded index set) to define ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$ as the ${\displaystyle \sigma }$-algebra generated by the infinite union of the ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$'s, which is contained in ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$:

${\displaystyle {\mathcal {F}_{\infit }=\sigma \left(\빅컵 _{t\geq 0}{\mathcal {F}_{t}\right)\subsetecq {\mathcal {F}.}$

σ-algebra는 측정할 수 있는 일련의 사건들을 정의하는데, 이것은 확률적인 맥락에서 차별될 수 있는 사건들과 동일하며, 또는 "시점 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에 대답할 수 있는 질문"이다.$$ 따라서 여과물은 종종 정보의 손익을 통해 측정될 수 있는 일련의 사건들의 변화를 나타내기 위해 사용된다. $대표적$인 예로 수학 금융에서 여과가 매번 t ${\displaystyle t$까지 이용할 수 있는 정보를 나타내며, 주가 진화에 따른 정보가 많아짐에 따라 점점 더 정밀해지고(측정 가능한 사건의 집합은 동일하거나 증가) 있다.

정지 시간 관련: 정지 시간 시그마-알게브라

$($, ${\displaystyle F}$,${\displaystyle {}_{}}${ ${\displaystyle {{\mathcal{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {t_{}}_{}}$ ${\displaystyle {\}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ , 0${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle P\mathbb{}}$) {\$displaystyle$ \$left(\Oomega$,{\$mathcal$ {$F},\left\},{\mathcal {F}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathb$ {P}$\right)}}}}}}}}}}}}}}$을 필터링된 확률 공간으로 두십시오. A random variable ${\displaystyle \tau :\Omega \rightarrow [0,\infty ]}$ is a stopping time with respect to the filtration ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0}}$, if ${\displaystyle \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}}$ for all ${\displaystyle t\ge }$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t\geq$ 0$\}.$ 정지 시간 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ -algebra는$$ 이제 다음과 같이 정의된다.

$}$$A\in {\mathcal{F}:$$A\cap \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}_{t}\ \all t\geq$ 0$\right$

$F{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$이(가) 실제로 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma}$ -algebra임을 보여주는 것은 어렵지 않다. 설정된 $F{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$은 필터링된$$ 확률공간을 무작위 실험으로 해석할 경우, 종종 무작위 실험으로 해석될 때 까지 임의로 반복하여 그에 대해 알 수 있는 최대 정보가 무작위 시간 ${\displaystystyle \tau}$까지 정보를 인코딩한다$$.특히τ{\displaystyle \tau}은 F({\displaystyle{{F\mathcal}}_{\tau}돔 시간}.[5]내부 확률 공간은 유한(포지티브 F{\displaystyle{\mathcal{F}}}에는 한도가 있다.), F({\displaystyle{{F\mathcal}}_{\tau}의 최소 집합}(존경과 포함을 설정하려면)관계 있다.nb${\displaystyle y}$ {${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle t}$}$${\$displaystyle {\mathcal{F}_{t}}$에 있는$$ 최소 ${\displaystyle F_{}}$ t 집합의$$ $모든{\displaystyle }$ t${\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 0}$ ${\$$displaystyle$ $t$$\{\tau =t\}$에 대한 결합$.$^[5]

${\displaystyle \tau }$이(가) ${\displaystyle F_{}}$ {$${\$displaystyle${\$mathcal {F}_{\tau }}-$측정가능하다는$$ 것을 알 수 있다. 그러나 간단한 examples[5]쇼 일반에 그,σ(τ)≠ F({\displaystyle \sigma(\tau)\neq{{F\mathcal}}_{\tau}}. 만약τ 1{\displaystyle \tau_{1}}과τ 2{\displaystyle \tau_{2}}(Ω, F,{Ft}t≥ 0, P)에 멈추는 거{\displaystyle \left(\Omega,{\mathca.l${F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$, and ${\displaystyle \tau _{1}\leq \tau _{2}}$ almost surely, then ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau _{1}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\tau _{2}}.$$}$

참고 항목

• 자연여과
• 여과(확률 이론)
• 필터(수학)

참조

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2.