제네릭 매트릭스 링

대수학에서 일반 행렬 링은 범용 행렬 링의 일종이다.

정의

We denote by ${\displaystyle F_{n}}$ a generic matrix ring of size n with variables ${\displaystyle X_{1},\dots X_{m}}$. It is characterized by the universal property: given a commutative ring R and n-by-n matrices ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{m}}$ over R, any mapping ${\displaystyle X_i}$${\displaystyle {}_{}\mapsto }$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\$은(는) 링 동형상(평가라고 함) $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$→ M ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle R}$) ${\displaystyle F_{n}\n}(R)}$까지 확장된다$.$

Explicitly, given a field k, it is the subalgebra ${\displaystyle F_{n}}$ of the matrix ring ${\displaystyle M_{n}(k[(X_{l})_{ij}\mid 1\leq l\leq m,\ 1\leq i,j\leq n])}$ generated by n-by-n matrices ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$$$, 여기서${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle l_{}{}_{}}$) i ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 매트릭스 항목이며$$ 정의에 따라 출퇴근한다.예를 들어 m = 1이면 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}는 한 변수의 다항식 링이다.

예를 들어 중심 다항식은 평가 시 중심 요소에 매핑될$$ 링 ${\displaystyle F_{}}$ n ${\$의 요소다.(사실 불변환 $k{\displaystyle }$[${\displaystyle }$( ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) i ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{GL}}^{}}$ ${\displaystyle {n_{}}^{}}$⁡${\displaystyle {}^{}}$( k${\displaystyle {}^{}}$) ${\$에 있는데, 중심적이고 불변성이므로$$.^[1]

By definition, ${\displaystyle F_{n}}$ is a quotient of the free ring ${\displaystyle k\langle t_{1},\dots ,t_{m}\rangle }$ with ${\displaystyle t_{i}\mapsto X_{i}}$ by the ideal consisting of all p that vanish identically on all n-by-n matrices over k.

기하학적 원근법

범용 속성은 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⟨}$ t ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ t ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k\langle t_{1},\dots,t_{m}\rangele }}}$에서 F ${\displaystyle n_{}}$ ${\$을 통해 매트릭스 링 계수에 이르는$$ 모든 링 동형성을 의미한다$.$이것은 다음과 같은 기하학적 의미를 가지고 있다.In algebraic geometry, the polynomial ring ${\displaystyle k[t,\dots ,t_{m}]}$ is the coordinate ring of the affine space ${\displaystyle k^{m}}$, and to give a point of ${\displaystyle k^{m}}$ is to give a ring homomorphism (evaluation) ${\displaystyle k[t,\dot$$s ,t_{m}]\to k}($Hilbert nullstellensatz 또는 scheme 이론에 의해).The free ring ${\displaystyle k\langle t_{1},\dots ,t_{m}\rangle }$ plays the role of the coordinate ring of the affine space in the noncommutative algebraic geometry (i.e., we don't demand free variables to commute) and thus a generic matrix ring of size n is the coordinate ring of a noncommutative affine varietyn 크기의 매트릭스 링의 명세서는 누구의 것이다(자세한 내용은 아래 참조).

일반 매트릭스 링의 최대 스펙트럼

이 구간은 확장이 필요하다.덧셈으로 도와줘도 된다. (2014년 6월)

단순성을 위해 k가 대수적으로 닫힌다고 가정한다.Let A be an algebra over k and let ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{n}(A)}$ denote the set of all maximal ideals ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ in A such that ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}\approx M_{n}(k)}$. If A is commutative, then ${\disp$$laystyle \operatorname$ {$Spec} _{1}($A$$)}은(는) A의 최대 스펙트럼이며, ${\displaystyle {\mathrm{Spec}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}A)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{n}(A)}$은(는$)$ ${\displaystystystyle$ n>에$대해$ 비어 있다$$

참조

• Artin, Michael (1999). "Noncommutative Rings" (PDF).
• Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications (Revised ed. of Algebra, 2nd ed.). London: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001.