파생대수 기하학

파생 대수 기하학은 국부 차트를 제공하는 정류 링이 차등 그라데이션 알헤브라스( $\mathbb {Q}$ ${\$ 이상), $\mathbb {Q}$ 단순 정류 링 또는 $E_{\infty }$ $E_{\infty }$ ${\$ 링 $E_{\infty }$ 스펙트럼 fr로 대체되는 상황에 대수 기하학을 일반화하는 수학의 한 분야다.om 대수적 위상, 상위 호모토피 그룹이 구조물의 비분산성(예: Tor)을 설명함.그로텐디크의 계획 이론은 그 구조 덮개가 영점 원소를 운반할 수 있게 한다.파생 대수기하학은 이 사상의 연장선으로 생각할 수 있으며, 변형 이론(cf)에서 단수 대수기하품종과 동격 복합체의 교차 이론(또는 동기 호모토피 이론^[1])에 대한 자연적인 설정을 제공한다.J. 프랜시스), 다른 신청서들 중에서.

소개

이 분야의 기초 연구 대상은 파생 체계와 파생 스택이다.세레의 교차로 공식은 세레의 교차로 공식이다.^[2]일반적인 공식에서 이 공식은 Tor functor를 포함하며, 따라서 더 높은 Tor가 사라지지 않는 한, 계획-이론적 교차점(즉, 몰입의 섬유 제품)은 정확한 교차점 번호를 산출하지 않는다.파생된 컨텍스트에서 높은 호모토피가 더 높은 Tor(구획이 아니라 파생된 계략)인 파생 텐서 제품 $A\otimes ^{L}B$ $A\otimes ^{L}B$ $A\otimes ^{L}B$ B ${\displaystyle A\otimes ^{L}B$ 를 취한다.따라서, "원래" 섬유 제품은 정확한 교차로 번호를 산출한다. (현재 이것은 가설이다. 파생 교차로 이론은 아직 개발되지 않았다.)

"원형"이라는 용어는 공통 링의 범주가 "원형 링"이라는 ∞ 범주로 대체되고 있다는 의미에서 파생 펑터 또는 파생 범주와 같은 방식으로 사용된다.고전적 대수 기하학에서 준조립형 피복의 파생된 범주는 삼각형 범주로 보이나, 안정된 ∞-범주로 자연적으로 강화되어 아벨형 범주의 analogue-범주형 아날로그라고 생각할 수 있다.

정의들

파생 대수 기하학은 근본적으로 호몰로지 대수학과 호모토피를 이용한 기하학적 객체를 연구하는 학문이다.이 분야의 물체는 호몰로틱과 호모토피 정보를 인코딩해야 하기 때문에, 파생된 공간들이 캡슐화하는 것에 대한 다양한 개념들이 있다.파생 대수 기하학에서 연구의 기본 대상은 파생 체계, 더 일반적으로 파생 스택이다.경험적으로, 파생된 계획은 파생된 링의 일부 범주에서 집합 범주로의 functor여야 한다.

F:{\text{DerRing}\to {\text}세트}

더 높은 그룹의 표적을 갖도록 일반화할 수 있다(호모토피 타입으로 모델링될 것으로 예상됨).이러한 파생된 스택은 폼의 적절한 펑커다.

F:{\text{DerRing}\to {\text}HoT}

많은 저자들이 호모토피 타입을 모델링하고 학습이 잘 되어 있기 때문에 단순 집합에서 가치를 지닌 펑커로서 그러한 펑커를 모델링한다.이러한 파생된 공간에 대한 서로 다른 정의는 파생된 링이 무엇이고 호모토피 유형은 어떻게 생겼어야 하는지에 따라 결정된다.파생 링의 일부 예로는 역분해 등급 알헤브라스, 단순 링, $E_{\infty }$ $E_{\infty }$ ${\$ 링 $E_{\infty }$ 등이 있다.

특성 0에 대한 파생 형상

특성 0을 넘어서면 파생된 링이 같기 때문에 파생된 기하학적 형상 중 많은 것이 일치한다. $∞{\$ 알제브라는 $E_{\infty }$ 특성 0보다 상등 차등화된 알제브라일 뿐이다.그리고 나서 우리는 대수 기하학의 체계와 유사하게 파생된 체계를 정의할 수 있다.대수 기하학과 유사하게, 우리는 이들 물체를 쌍 $(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\bullet })$ , O $(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\bullet })$ $(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\bullet })$ $){\displaystyle (X,{\mathcal{O}_{X}^{\\bullet }}}}$ 로 ${\displaystyle(X, {\mathcal {O}_{X}^{\bullet }})}$ 볼 수도 있는데, 위상학적 공간 $X$ ${\\\displaysty X}$ 과 $x$ 역상 차등 단계별 알헤브라가 있다. ${\mathcal {O}}_{X}^{n}=0$ 저자들은 이것들이 부정적으로 등급이 매겨진다는 관례를 받아들이기 때문에, $n>0$ ${\mathcal {O}}_{X}^{n}=0$ $n>0$ ${\mathcal {O}}_{X}^{n}=0$ = 0 ${\displaystyle {\displaystyle$ { $O}_{X}^{n}=0}$ 을(를) 0 > 0 ${\displaystyle n>0$ 에 ${\mathcal{O}_{X}^{n}=0$ 대해.The sheaf condition could also be weakened so that for a cover $U_{i}$ of $X$ , the sheaves ${\mathcal {O}}_{U_{i}}^{\bullet }$ would glue on overlaps $U_{ij}$ only by quasi-isomorphism.

불행히도 특성 p보다 차등 등급이 높은 알헤브라는 $d[x^{p}]=p[x^{p-1}]$ d $d[x^{p}]=p[x^{p-1}]$ [ x $d[x^{p}]=p[x^{p-1}]$ $d[x^{p}]=p[x^{p-1}]$ = $d[x^{p}]=p[x^{p-1}]$ [ $d[x^{p}]=p[x^{p-1}]$ p $d[x^{p}]=p[x^{p-1}]$ - $d[x^{p}]=p[x^{p-1}]$ ] ${\displaystyle d[x^{p}]=p[x^{p-1}]}[$ 1] 때문에 호모토피 이론에 적합하지 않다 $d[x^{p}]=p[x^{p-1}]$ 이것은 단순한 알제브라를 사용함으로써 극복할 수 있다.

임의 특성에 대한 파생 형상

임의의 특성보다 파생된 링은 단순한 조합 링으로 간주된다. 왜냐하면 그것들은 훌륭한 범주적 특성을 가지고 있기 때문이다.특히 단순 링의 범주는 단순하게 농축되어 있어 홈셋 자체가 단순화된 세트라는 뜻이다.또한 단순한 조합에서 나오는 단순한 조합형 링에 대한 표준 모델 구조가 있다.^[3]사실, 단순한 조합의 모델 구조가 단순한 조합 링으로 넘어갈 수 있다는 것은 퀼렌의 정리다.

상위 스택

호모토피 타입을 모델링하는 더 높은 스택의 최종 이론이 있을 것으로 추측된다.그로텐디크는 이러한 것들이 입상형 그룹오이드, 즉 그 정의의 약한 형태에 의해 모델링될 것이라고 추측했다.심슨은^[4] 그로텐디크 사상의 정신에 유용한 정의를 내린다.대수적 스택(여기서 1-스택)은 어떤 두 가지 체계의 섬유 생산물이 어떤 체계에 이형성인 경우 표현 가능한 것으로 불린다는 것을 상기하라.^[5]0-스택은 대수적 공간일 뿐이고 1-스택은 스택일 뿐이라는 안사츠를 취한다면, 우리는 n-스택을 어떤 두 가지 체계를 따르는 섬유제품이 (n-1)스택일 정도로 재귀적으로 정의할 수 있다.만약 우리가 대수적 스택의 정의로 돌아간다면, 이 새로운 정의는 동의한다.

스펙트럼 계통

파생 대수 기하학의 또 다른 이론은 스펙트럼 체계 이론에 의해 캡슐화된다.그들의 정의는 정확하게 기술하기 위해 상당한 양의 기술을 필요로 한다.^[6]But, in short, spectral schemes $X=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})$ are given by a spectrally ringed $\infty$ -topos ${\mathfrak {X}}$ together with a sheaf of $\mathbb {E} _{\infty }$ -rings ${\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}$ ${\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}$ ${\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}$ ${\$ 에 ${\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}$ 대한 내용은 부속 계획의 정의와 유사한 일부 지역적 조건에 따라 결정된다.특히

${\displaystyle {\mathfak$ $Shv}(X_{top})$ 은(는) 일부 위상학적 공간의 $\infty$ $\infit$ -topos와 $\infty$ 동일해야 ${\mathfrak {X}}\cong {\text{Shv}}(X_{top})$ 함
$X_{top}$ $X_{top}$ $X_{top}$ $X_{top}$ ${\$ 의 $U_{i}$ $U_{i}$ U i $U_{i}$ {\ $displaystyle U_{i}$ 가 $X_{top}$ 있어야 유도 토포 $({\mathfrak {X}}_{U_{i}},{\mathcal {O}}_{{\mathfrak {X}}_{U_{i}}})$ $({\mathfrak {X}}_{U_{i}},{\mathcal {O}}_{{\mathfrak {X}}_{U_{i}}})$ $({\mathfrak {X}}_{U_{i}},{\mathcal {O}}_{{\mathfrak {X}}_{U_{i}}})$ , O $({\mathfrak {X}}_{U_{i}},{\mathcal {O}}_{{\mathfrak {X}}_{U_{i}}})$ $({\mathfrak {X}}_{U_{i}},{\mathcal {O}}_{{\mathfrak {X}}_{U_{i}}})$ $({\mathfrak {X}}_{U_{i}},{\mathcal {O}}_{{\mathfrak {X}}_{U_{i}}})$ ) ${\displaystyle({\mathfak{X}}})_{{\$ displaystystyp}가 있어야 한다. $U_{i}},{\mathcal{O}}_{\mathfrak{X}}_{{\mathfrak{X}}}}{{}}}}}}$ $U_{i}}}}$ 은 $({\mathfrak {X}}_{U_{i}},{\mathcal {O}}_{{\mathfrak {X}}_{U_{i}}})$ (는) 일부 $\mathbb {E} _{\infty }$ $\mathbb {E} _{\infty }$ ${\$ ${\$ displaystyle ${\text$ ${Spec$ $}($ $A_{$ $i})$ 에 $\mathbb {E} _{\infty }$ 대해 ${\text{Spec}}(A_{i})$ 스펙터클 $A_{i}$ 이 있는 topos ${\text{Spec}}(A_{i})$ $A ){\$ }}에 해당한다 $.$

$\pi _{i}({\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})=0$ $i<0$ 체계 $i<0$ ${\displaystyle X$ $\pi _{i}({\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})=0$ 는 $i<0$ i $\pi _{i}({\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})=0$ < 0 {\ $displaystyle$ 이면 $\pi _{i}({\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})=0$ connective라고 한다 $X$ $i<0$

예

점 ${\text{Sh}}(*)$ ( ${\text{Sh}}(*)$ ) ${\displaystyle {\text{Sh}(*)$ 의 topos가 집합 ${\text{Sh}}(*)$ 범주와 동일하다는 점을 상기하십시오.그런 다음 $\infty$ $\infit$ -topos $\infty$ 설정에서 $\infty$ $\infit$ -groupoids의 $\infty$ $\infty$ $\infty$ $\inft$ - 단일 객체가 있는 범주 $\infty$ )를 나타내는 Shv $(∗$ ) {\ $displaystytyle$ {\tyle {\type $}$ 을 대신 ${\data$ . $Shv}(*)}},$ $\infty$ ${\displaystyle \infit$ } -topos $\infty$ 설정에서 포인트 토포스의 아날로그 제공.Then, the structure of a spectrally ringed space can be given by attaching an $\mathbb {E} _{\infty }$ -ring $A$ . Notice this implies spectrally ringed spaces generalize $\mathbb {E} _{\infty }$ -rings since every ${\displaystyle \mathbb {E} _{\inf$ $ty }}-$ 링 $\mathbb {E} _{\infty }$ (ring)은 광경 링 사이트와 연관될 수 있다.

이 분광 링 토포는 이 링의 스펙트럼이 동등한 $∞[\displaystyle \infit$ \infort $}$ -topos를 $\infty$ 제공하므로 그 기본 공간이 포인트인 경우 스펙트럼 구성표가 될 수 있다.예를 들어, 이것은 Eilenberg-MacLane $K(\mathbb {Q} ,n)$ K $K(\mathbb {Q} ,n)$ , $K(\mathbb {Q} ,n)$ ) ${\displaystyle$ K $(\mathb {Q} ,n$ 에서 생성된 Eilenberg-Maclane 스펙트럼이라고 불리는 $H\mathbb {Q}$ 링 스펙트럼 $H\mathbb {Q}$ Q ${\$ {Q} { $Q} }$ 에 의해 주어질 수 있다.

적용들

파생 대수 기하학은 K-이론의 소멸에 대한 웨이벨의 추측을 입증하기 위해 Kerz, Strunk & Tamme(2018)가 사용하였다.
아린킨과 가이츠고리에 의한 기하학적 랭글랜드 추측의 공식은 파생 대수 기하학을 사용한다.^[7]

참고 항목

메모들

^ Khan, Adeel A. (2019). "Brave new motivic homotopy theory I". Geom. Topol. 23: 3647–3685. arXiv:1610.06871. doi:10.2140/gt.2019.23.3647. S2CID 119661301.
^ 세레 교차로 공식과 파생 대수 기하학?
^ Mathew, Akhil. "Simplicial Commutative Rings, I" (PDF). Archived (PDF) from the original on 16 June 2019.
^ Simpson, Carlos (1996-09-17). "Algebraic (geometric) $n$-stacks". arXiv:alg-geom/9609014.
^ 대각선 형태론을 보고 그 자체가 표현 가능한지 확인함으로써 확인할 수 있다.자세한 내용은 https://math.dartmouth.edu/~jvoight/notes/moduli-red-red-red.pdf를 참조하십시오.
^ Rezk, Charles. "Spectral Algebraic Geometry" (PDF). p. 23 (section 10.6). Archived (PDF) from the original on 2020-04-25.
^ Arinkin, Dima; Gaitsgory, Dennis (2015). "Singular support of coherent sheaves and the geometric Langlands conjecture". Selecta Math. 21 (1): 1–199. doi:10.1007/s00029-014-0167-5. S2CID 119136874.

참조

단순 DAG

Toën, Bertrand (2014-01-06). "Derived Algebraic Geometry". arXiv:1401.1044 [math.AG].
Toën, Bertrand; Vezzosi, Gabriele (2004). "From HAG to DAG: derived moduli stacks". In Greenlees, J. P. C. (ed.). Axiomatic, enriched and motivic homotopy theory. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute, Cambridge, UK, September 9–20, 2002. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. Vol. 131. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. pp. 173–216. ISBN 1-4020-1833-9. Zbl 1076.14002.
Vezzosi, Gabriele (2011). "What is ...a derived stack?" (PDF). Notices Am. Math. Soc. 58 (7): 955–958. Zbl 1228.14004.

E_n 및 E -링_∞

스펙트럼 대수 기하학 - 레즈크
피연산자 및 쉐이프 코호몰로지 - JP May - $E_{\infty }$ { $E_{\infty }$ {\ $displaystyle E_{\ft}$ - 특성 0 $E_{\infty }$ E $∞{\$ - 피연산자 코호몰로지 구조 $E_{\infty }$ $E_{\infty }$
E-링_n 탄젠트 콤플렉스와 홉스차일드 코호몰로지 https://arxiv.org/abs/1104.0181
Francis, John; ${\mathcal {E}}_{n}$ n ${\$ -링에 ${\mathcal {E}}_{n}$ 대한 파생 대수 기하학

적용들

로레이, 파커; 쉬르크, 티모(2018).Grotendieck-Remann-Roch for 파생된 계획
시오칸-퐁타닌, I, 카프라노프, M. (2007)dg-manifold를 통한 가상 기본 클래스
Mann, E, Robalo M. (2018).유도 대수기하를 갖는 그로모프-위튼 이론
벤츠비, D, 프란시스, J, 그리고 D.네이들러적분 변환 및 Drinfeld Centers in 파생 대수 기하학.
Kerz, Moritz; Strunk, Florian; Tamme, Georg (2018), "Algebraic K-theory and descent for blow-ups", Invent. Math., 211 (2): 523–577, arXiv:1611.08466, Bibcode:2018InMat.211..523K, doi:10.1007/s00222-017-0752-2, MR 3748313, S2CID 119165673

양자장 이론

2차원과 4차원의 초대칭 및 홀모픽장 이론에 대한 참고사항

외부 링크

제이콥 루리의 홈 페이지
스펙트럼 대수 기하학 개요
하버드에서 DAG 읽기 그룹(2011년 가을)
http://ncatlab.org/nlab/show/derived+algebraic+geometry
Michigan 파생 대수 기하학 RTG 학습 워크샵,
파생 대수 기하학: 연구 수준 수학에 도달하는 방법?
파생 대수 기하학적 기하학적 구조와 차우 링/초 동기
Gabriele Vezosi, 파생 대수 기하학의 개요, 2013년 10월

[1] Khan, Adeel A. (2019). "Brave new motivic homotopy theory I". Geom. Topol. 23: 3647–3685. arXiv:1610.06871. doi:10.2140/gt.2019.23.3647. S2CID 119661301.

[2] 세레 교차로 공식과 파생 대수 기하학?

[3] Mathew, Akhil. "Simplicial Commutative Rings, I" (PDF). Archived (PDF) from the original on 16 June 2019.

[4] Simpson, Carlos (1996-09-17). "Algebraic (geometric) $n$-stacks". arXiv:alg-geom/9609014.

[5] 대각선 형태론을 보고 그 자체가 표현 가능한지 확인함으로써 확인할 수 있다.자세한 내용은 https://math.dartmouth.edu/~jvoight/notes/moduli-red-red-red.pdf를 참조하십시오.

[6] Rezk, Charles. "Spectral Algebraic Geometry" (PDF). p. 23 (section 10.6). Archived (PDF) from the original on 2020-04-25.

[7] Arinkin, Dima; Gaitsgory, Dennis (2015). "Singular support of coherent sheaves and the geometric Langlands conjecture". Selecta Math. 21 (1): 1–199. doi:10.1007/s00029-014-0167-5. S2CID 119136874.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Search

파생대수 기하학

네임스페이스

더

목차

소개