순서(링 이론)

수학에서 링 이론의 의미에서의 순서는 다음과 같은 링 $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle {\mathcal{O}$의 $하위$ 링 O ${\$$displaystyle A}$이다$.$

1. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A$$}$은(는) 합리적인$숫자$의 필드 Q {\displaystyle$\mathb$ {$Q}$에 대한 유한 차원 대수다.
2. ${\displaystyle \mathcal{O}}$ ${\$은(는) $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 걸쳐$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$을(를) 확장하고$,$
3. ${\displaystyle \mathcal{O}}$ ${\$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ -lattice이다$.$

마지막 두 가지 조건은 덜 형식적인 용어로 표시할 수 있다.더욱이 $O{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 $걸쳐{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$에 대한 기준으로 생성되는 자유 아벨리아 그룹이다$.$

More generally for ${\displaystyle R}$ an integral domain contained in a field ${\displaystyle K}$, we define ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ to be an ${\displaystyle R}$-order in a ${\displaystyle K}$-algebra ${\displaystyle A}$ if it is a subring of ${\displaystyle A}$ which is a full $$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ -attice$$.^[1]

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 정류 링이 아닐$$ 때, 질서에 대한 생각은 여전히 중요하지만, 그 현상은 다르다.예를 들어, Hurwitz 쿼터니온은 합리적인 좌표를 가진 쿼터니온에서 최대 질서를 형성한다; 그것들은 가장 명백한 의미에서 정수 좌표를 가진 쿼터니온이 아니다.최대 주문은 일반적으로 존재하지만 고유할 필요는 없다. 일반적으로 가장 큰 순서가 아니라 여러 개의 최대 주문이 있다.예를 들어, 중요한 종류는 집단의 링이다.

예

주문의 예는 다음과 같다.^[2]

• If ${\displaystyle A}$ is the matrix ring ${\displaystyle M_{n}(K)}$ over ${\displaystyle K}$, then the matrix ring ${\displaystyle M_{n}(R)}$ over ${\displaystyle R}$ is an ${\displaystyle R}$-order in ${\displaystyle A}$
• $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) $통합{\displaystyle }$ 도메인이고$$ $L{\displaystyle }$${\displaystyle K}$의 유한 분리 가능 확장인 경우$,$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L$$}$에서 $R{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $R$$}$의 통합 폐쇄 $S{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle S$$}$은 L$$$}$의 $R{\displaystyle }$ ${\\$der이다$.$
• $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle a}$이(가$)$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 대한 필수 요소인 경우 다항 링 ${\displaystyle R}$ [${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ $R[a]}$은 $대수{\displaystyle }$ $K{\displaystyle }$[$$에서 R ${\$$displaystystyle$ $R$$}$ 순서인$$$$ 경우
• ${\displaystyle A}$이(가) 유한 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 $그룹{\displaystyle }$ 링 K${\displaystyle }$[${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ $K$$[G$$]}$인 경우$,$ $R{\displaystyle }$[${\displaystyle G]}$ ${\$$displaystystyle$ R$]$ -order$$ on$$ $[\displaystystyle$ K[$G]}$에 대한 R$}$ $순서$인 경우

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}-$순서의$$ 기본 속성은 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}-$순서의$$ 모든 요소가 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ 위에 통합되어 있다는 것이다$.$^[3]

A{A\displaystyle}에 만약 R의 정수 폐쇄 S{S\displaystyle}{R\displaystyle}은 R자가 들어{R\displaystyle}-order 다음 이 결과를 나타내는{A\displaystyle}에서 S{S\displaystyle}해야 할 the[해명 필요한]최대 R{R\displaystyle}-order. 하지만 이 가설 아니기 때문이다. 항상:만족하 inde$ed{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$은(는) 링이 될 필요도$$ 없으며$,$ $S{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ S$}$이(가) $링$이더라도$($$예$: A {\displaystyle $A$$}$이$($$가$) R ${\displaysty R}$ - lattice가$$ 될 $필요$는 없다.^[3]

대수적 수 이론

대표적인 예가 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 숫자 $필드{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$이고 $O{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 정수 링인 경우다.대수적 숫자 이론에는 또한 순서인 정수 링의 적절한 서브링의 합리적인 필드 이외의$$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 대한 예가 있다.For example, in the field extension ${\displaystyle A=\mathbb {Q} (i)}$ of Gaussian rationals over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, the integral closure of ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ is the ring of Gaussian integers ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ and so this is the unique maximal ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$- 순서$$: $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 다른 모든 순서가 여기에 포함되어$$ 있다.$예$를 들어${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle a}$ 및 $b$ ${\displaystyle b}$ 정수인$$ + ${\displaystyle 2}$ b ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a+2bi$ 형식의 복잡한 숫자의 하위 문자열을 사용할 수 있다.^[4]

최대 주문 질문은 현지 현장 수준에서 검토할 수 있다.이 기법은 대수적 숫자 이론과 모듈형 표현 이론에 적용된다.

참고 항목

• Hurwitz Quaternion 순서 – 링 순서의 예

메모들

참조

• Pohst, M.; Zassenhaus, H. (1989). Algorithmic Algebraic Number Theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 30. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33060-2. Zbl 0685.12001.
• Reiner, I. (2003). Maximal Orders. London Mathematical Society Monographs. New Series. Vol. 28. Oxford University Press. ISBN 0-19-852673-3. Zbl 1024.16008.