케이리 변환

수학에서 아서 케이리의 이름을 딴 케이리 변환은 관련 사물의 어떤 군집이다.케이리(1846년)가 원래 설명한 대로 케이리 변환은 스큐 대칭 행렬과 특수 직교 행렬 사이의 매핑이다.변환은 실제 분석, 복합 분석, 쿼터니온 분석에 사용되는 동음이의어다.힐베르트 공간 이론에서 케이리 변환은 선형 연산자 사이의 매핑이다(Nikol'ski 2001).

리얼 호모그래피

케이리 변환은 {1, 0, -1, ∞}의 원소를 순차적으로 허용하는 실제 투사선의 자동형성이다.예를 들어, 양수 실수를 구간[-1, 1]에 매핑한다.따라서 Cayley 변환은 Legendre의 합리적 함수가 있는 양의 실수에서 함수와 함께 사용할 수 있도록 Legendre 다항식들을 적응시키는 데 사용된다.

실제 호모그래피로서 점들은 투영 좌표로 설명되며, 매핑은 다음과 같다.

${\displaystyle [y,\\1]=\왼쪽[{\frac {x-1}{x+1},\1\오른쪽]\sim[x-1,\x+1]=[x,\1]{\pmatrix}1&1\-1\end{pmatrix}}.}$

콤플렉스 호모그래피

복잡한 투영 평면에서 Cayley 변환은 다음과 같다.^[1][2]

${\displaystyle f(z)={\frac {z-i}{z+i}}.}$

{∞, 1, –1 }은(는) {1, –i, i }에 매핑되고 뫼비우스 변환은 복잡한 평면에서 일반화된 원을 허용하므로, f는 실제 선을 단위 원에 매핑한다.더욱이 f는 연속적이고 i는 0 x f로 찍히기 때문에 상부 하프 평면은 장치 디스크에 매핑된다.

쌍곡 기하학 모델의 관점에서, 이 Cayley 변환은 Poincaré 반 면 모델을 Poincaré 디스크 모델과 연관시킨다.전기 공학에서 Cayley 변환은 송신선의 임피던스 매칭에 사용되는 Smith 차트에 리액턴스 하프 평면을 매핑하기 위해 사용되어 왔다.

쿼터니온 동음이의어

쿼터니온의 4차원 공간 q = a + b i + c j + d k, 버시버들

${\displaystyle u}$ (${\displaystyle \theta }$ , r${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle r}$ + r ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ {\$displaystyle u(\theta$ ,r$)=\$cos $\theta +$r\sin $\theta }$ = 3-sphere $유닛$을 형성한다.

쿼터니온은 비확장성이므로, 그 투사선의 요소들은 균질 인자가 왼쪽에 곱한다는 것을 나타내기 위해 U(a,b)라고 쓰여진 균일한 좌표를 가진다.쿼터니온 변환은

${\displaystyle f(u,q)=U[q,1]{\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}=U[q-u,\q+u]\심 U[(q+u)^{-1}(q-u),\ 1].}$

위에서 설명한 실제적이고 복잡한 동음이의어는 θ이 각각 0이거나 π/2인 쿼터니언 동음이의 예다.분명히 변환은 u → 0 → –1을 가져가고 –u → → → 1을 가져간다.

이 호모그래피를 q = 1에서 평가하면 versor u가 해당 축에 매핑된다.

${\displaystyle f(u,1)=(1+u)^{-1}(1-u)=(1+u)^{*}(1-u)/1+u ^{2}.}$

But ${\displaystyle 1+u ^{2}=(1+u)(1+u^{*})=2+2\cos \theta ,\quad {\text{and}}\quad (1+u^{*})(1-u)=-2r\sin \theta .}$

따라서 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle u}$ , ${\displaystyle 1}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- r ${\displaystyle \frac{\sin }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 1 +${\displaystyle \frac{\cos }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}\frac{\theta }{}}$ =${\displaystyle }$- r ${\displaystyle \tan }$ tan${\displaystyle \theta \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ .${\displaystyle f(u,1)=-r{\frac$ {\$sin \cos \1+\cos }}}}}=-r\tan {\frac {\$ta $}{2}.$$}$

이러한 형태에서 Cayley 변환은 회전의 합리적인 파라메트리제이션으로 설명되었다.Let t = 복합 숫자 ID에서^[3] 황갈색 φ/2

${\displaystyle e^{-i\varphi }={\frac {1-ti}{1+ti}}}$

여기서 오른손은 t i의 변형이고 왼손은 음의 φ 라디안에 의한 평면의 회전을 나타낸다.

반비례

Let $u{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \theta }$ - r ${\displaystyle \sin \theta }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$.${\displaystyle u^{*}=\cos \theta -r\sin \theta =u^{-1}$ 이후$$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}\ \sim \ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\ ,}$

등가성이 분수에 대한 투영 선형 그룹에서 f(u, 1)의 역은 다음과 같다.

${\displaystyle U[p,1]{\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\\1&u^{*}\end{pmatrix}\\\ U[p+1,\1-p)u^{*}]\sim U[u-1-p]^{-1}(p+1, p+1),\1),\1]\\1]}$

동음이의어는 반대이므로 $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}u}$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle f^{-1}(u,1)$은 벡터 쿼터를 버시어의 3-sphere에 매핑한다$$.버너는 3공간의 회전을 나타내기 때문에, 동음이의 f는 ℝ의³ 공에서 회전을 생성한다.

매트릭스

실제에 걸친 n×n 제곱 행렬 중에서 I ID 행렬로 A를 어떤 스큐 대칭 행렬(A^T = -A)이 되게 한다.

그러면 I + A는 되돌릴 수 없고, Cayley 변환

${\displaystyle Q=(I-A)(I+A)^{-1}\,\!}$

직교 행렬 Q(QQ^T = I)를 생성한다.위의 Q의 정의에 있는 행렬 곱셈은 역행적이므로 Q는 $Q{\displaystyle }$= (${\displaystyle I}$+ ${\displaystyle A{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle I}$- ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle$ Q$=(I+A)^{-1(I-A)}}$로 대안으로 정의될 수 있다$.$ 실제로 Q는 결정인자 +1이 있어야 하므로 특별한 직교도인 것이다.

반대로 Q는 고유값으로 -1이 없는 직교 행렬이 되도록 한다.

${\displaystyle A=(I-Q)(I+Q)^{-1}\,\!}$

꼬치꼬치 매트릭스야

Q의 조건에서는 결정인자 -1이 있는 행렬은 자동으로 제외되지만, 특정 특수 직교 행렬도 제외된다.

약간 다른 형태도 보여,^[4][5] 각 방향의 다른 매핑을 필요로 한다.

${\displaystyle {\reasoned}Q&{}=(I-A)^{-1}(I+A)\\A&{}=(Q-I)(Q+I)^{-1}\end{arged}}.}$

또한 매핑은 역인자의 순서에 따라 작성될 수 있지만, A는 항상 (μI ± A)⁻¹와 통근하므로 재순서가 정의에 영향을 미치지 않는다.^[6][7]

예

2×2 사건에서, 우리는

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\tan {\frac {\theta }{2}}\\-\tan {\frac {\theta }{2}}&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

180° 회전 매트릭스 -I는 제외되지만, 탄 ½⁄₂이 무한대로 가므로 한계다.

3×3의 경우, 우리는

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\frac {1}{K}}{\begin{bmatrix}w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}&2(xy-wz)&2(wy+xz)\\2(xy+wz)&w^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2}&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(wx+yz)&w^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}},}$

여기서 K = w² + x² + y + z²², 여기서 w = 1.이것을 쿼터니온에 해당하는 회전 행렬로 인식한다.

${\displaystyle w+\mathbf {i}x+\mathbf {j}y+\mathbf {k}z\,\!}$

(Cayley가 전에 발표한 공식에 의해), 일반적인 스케일링 대신 w = 1로 스케일링하여 w² + x² + y²² + z = 1로 스케일링한 것을 제외한다.따라서 벡터(x,y,z)는 탄 ½로 축척된 회전 단위 축이다.₂이^T 경우 대칭(Q = Q)인 180° 회전은 다시 제외된다.

기타 행렬

"직교"는 "단일"로, "skew-hermitian"은 "skew-symmetric"으로 대체하면 복잡한 행렬에 대한 매핑을 확장할 수 있는데, 이는 전치(··)^T가 결합 전치(··)로 대체되는 차이점이다.^H이는 표준 실제 내측 제품을 표준 복합 내측 제품으로 대체하는 것과 일치한다.실제로 전치 또는 결합 전치 이외의 다른 조정 선택으로 정의를 더 확장할 수 있다.

형식적으로, 이 정의는 일부 불변성만을 요구하므로 고유값이 -1을 포함하지 않는 매트릭스 M을 Q로 대체할 수 있다.예를 들어,

${\displaystyle {\bmatrix}0&-a&ab-c\\0&0&b\\nd{bmatrix}\좌우타로우 {\bmatrix}1&2a&2c\0&1&#0&0&#end{bmatrix}}.}$

Q가 고유값 -1이 없는 직교(존중, 단일)인 경우에만 A가 스큐 대칭(존중, 스큐-헤르미티아어)이라는 점에 유의하십시오.

연산자 지도

내부 제품 공간의 무한 차원 버전은 힐버트 공간이며, 더 이상 매트릭스를 말할 수 없다.그러나 행렬은 선형 연산자의 표현일 뿐이며, 이를 사용할 수 있다.따라서 매트릭스 매핑과 복잡한 평면 매핑을 모두 일반화하면 연산자의 케이리 변환을 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}U&{}=(A-\mathbf {i}I)(A+\mathbf {i}I)^{-1}\\A&{}=\mathbf {I}(I+U)(I-U)^{-1}\end{aigned}}}$

여기서 U, 돔 U의 도메인은 (A+I) 돔 A이다.자세한 내용은 자가 승인 연산자를 참조하십시오.

참고 항목

• 이린형 변환
• 대칭 연산자의 확장

참조

• 스털링 K.베르베리안(1974) 기능분석 및 운영자 이론 강의, 수학 대학원 본문 #15, 페이지 278, 281, 스프링거-버락 ISBN 978-0-387-90081-0
• 케일리, 아서(1846년),"수르 quelques des déterminants propriétés gauches", 저널, 제52조(를 대신하여 서명함. 332–336)로 케일리, 아서(1889년), 아서 케일리의 수집된 수학적 논문, vol.으로 발간된 순수 운트angewandte Mathematik, 32:119–123, doi:10.1515/crll.1846.32.119, ISSN 0075-4102 für나는,. 332–336한 캠브리지 대학을 대신하여 서명함(1841–1853).
• 로케나스 데브나스 & 피오트르 미쿠시우스키(1990) 응용이 있는 힐버트 공간 소개, 213페이지, 학술지 ISBN 0-12-208435-7

• Gilbert Helmberg (1969) 힐버트 공간의 스펙트럼 이론 소개, 288페이지, § 38: Cayley Transform, 응용수학과 역학 #6, North Holland
• Henry Ricardo (2010) A Modern Introfer to Linear 대수학, 504페이지, CRC Press ISBN 978-1-4398-0040-9.

외부 링크

• PlanetMath에서 직교 행렬에 대한 Cayley의 매개변수화.

• Nikol’skii, N. K. (2001), "Cayley transform", Encyclopaedia of Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-0609-8; 러시아어에서 번역된