최대 소형 부분군

수학에서 위상군 G의 최대 콤팩트 부분군 K는 부분군 K로서, 아공간 위상에서는 콤팩트한 공간이며, 그러한 부분군들 사이의 최대 공간이다.

최대 소형 하위 그룹은 Lie 그룹과 특히 반 단순 Lie 그룹의 분류에 중요한 역할을 한다.리 그룹의 최대 소형 하위 그룹은 일반적으로 고유하지 않지만, 조합에 따라 고유하다. 기본적으로 고유하다.

예

예를 들면 일반 선형 그룹 GL(2, R) 내부의 직교 그룹인 부분군 O(2)가 있다.관련된 예는 SL(2, R) 내부의 원 그룹 SO(2)이다.명백히 GL(2, R) 내부의 SO(2)는 소형이며 최대치가 아니다.이러한 예시의 비특성은 어떤 내적인 제품이든 연관된 직교 그룹을 가지고 있으며, 본질적인 고유성은 내적인 제품의 본질적인 고유성에 해당한다고 볼 수 있다.

정의

최대 콤팩트 부분군(maximal compact subgroup)은 (대체 가능한 판독값)이 아니라 콤팩트 부분군(maximal subgroup) 사이의 최대 부분군(maximal subgroup)이다. 이것은 아마도 콤팩트(maximal subgroup)라고 불릴 수 있지만, 어떤 경우에도 의도된 의미는 아니다(사실상 적절한 부분군은 n).일반적으로 콤팩트하다.

존재와 고유성

카르탄-이와사와-말체프 정리는 연결된 모든 리 그룹(그리고 실제로 연결된 모든 지역 콤팩트 그룹)은 최대 콤팩트 서브그룹을 인정하고 그들 모두가 서로 결합한다고 주장한다.반실행형 Lie 그룹의 고유성은 카탄 고정점 정리의 결과인데, 이 정리는 단순히 부정적으로 곡선된 리만 다지관에서 콤팩트 그룹이 이소미터에 의해 작용하면 고정점이 있다고 주장한다.

연결된 Lie 그룹의 최대 콤팩트 부분군은 대개 고유하지는 않지만, 결합에 따라 고유하며, 이는 두 개의 최대 콤팩트 부분군 K와 L에 주어진 경우 gkg⁻¹ = L과 같은^[1] 원소 g g G가 존재한다는 것을 의미한다.따라서 최대 콤팩트 부분군은 본질적으로 독특하며, 사람들은 종종 "최대 콤팩트 부분군"을 말한다.

일반 선형 그룹 GL(n, R)의 예에 대해, 이는ⁿ R의 어떤 내적 생산물이 (compact) 직교 그룹(its isometry group)을 정의하고, 직교 기준을 인정한다는 사실에 해당한다: 근거의 변경은 고전적인 직교 그룹 O(n, R)에 등교 그룹을 결합하는 결합 요소를 정의한다.

교정쇄

실제 반실현 Lie 그룹의 경우, 최대 콤팩트 서브그룹의 존재와 고유성에 대한 카르탄의 증거는 보렐(1950)과 헬가손(1978)에서 찾을 수 있다.까르띠에(1955)와 헉샤일드(1965)는 연결된 리 그룹과 로컬로 연결된 콤팩트 그룹으로의 확장을 논한다.

반실행 그룹의 경우, 존재는 비실행 반실행 리 그룹의 컴팩트한 실제 형태의 존재와 그에 상응하는 카르탄 분해의 결과물이다.고유성의 증명은 해당 리만 대칭 공간 G/K가 음의 곡률성을 가지고 있다는 사실과 카르탄의 고정점 정리에 달려 있다.모스토우(1955)는 G/K의 어느 지점에서든 지수 지도의 파생물이 d exp X ≥ X를 만족한다는 것을 보여주었다. 이는 G/K가 Hadamard 공간, 즉 유클리드 공간에서 약화된 형태의 평행사변형 규칙의 형태를 만족하는 완전한 미터 공간임을 암시한다.그런 다음 Bruhat-Tits 고정점 정리에서 고유성을 추론할 수 있다.실제로, 하다마드 공간에 있는 모든 경계 폐쇄 세트는 독특한 가장 작은 닫힌 공에 포함되어 있는데, 그 중심은 그것의 중심이라고 불린다.특히 등각도에 의해 작용하는 콤팩트한 그룹은 각각의 궤도의 원곡선을 고정해야 한다.

Semisimple 그룹에 대한 고유성 증명

모스토우(1955)는 또한 반이행 집단의 일반적인 문제를 GL(n, R)의 경우와 연관시켰다.해당 대칭 공간은 양의 대칭 행렬의 공간이다.힐거트 앤 넵(2012년)에서는 이 공간의 기본적인 특성에 의존하는 고유성의 직접적인 증거가 제시되어 있다.

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 카르탄 비자발성 σ과 함께 실제 반이행 리 대수학으로 삼는다$$.따라서 σ의 고정점 부분군은 최대 콤팩트 부분군 K이며 Eigenspace 분해가 있다.

${\displaystyle \mathfrak {{g}={\mathfrak{k}}\oplus {\mathfrak{p},}}$

$여기$서 K의 Lie 대수인$$k ${\$는 +1 eigenspace이다.카르탄의 분해는

${\displaystyle \displaystyle {G=K\cdot \exp {\mathfrak{p}=K\cdot P=P\cdot K.}}$

B가 B(X,Y) = Tr(ad X)(ad X)(add Y)가 제공한$$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 Killing 양식인 경우

${\displaystyle \displaystyle {(X,Y)_{\sigma }=-B(X,\sigma (Y))}}}}}}$

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 있는 실제 내측 제품이며$,$ 부선 표현에서 K는 이 내측 제품을 보존하는 G의 부분군이다.

H가 G의 또 다른 콤팩트 부분군인 경우, Har 측정과 관련하여 H에 대한 내측 제품의 평균값은 H에 따른 내측 제품의 불변성을 제공한다.연산자 Ad p(P in P)는 양의 대칭 연산자다.이 새로운 내면의 produst는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle(S\cdot X,Y)_{\sigma }}$

여기서 S는 $Ad{\displaystyle \mathfrak{}}$(h)^tS Ad h = H에 대한 S(내부 제품에 대해 계산된 트랜스포즈 포함)와 같이$$ g ${\$에 대한 양의 대칭 연산자다.게다가, G의 x는

${\displaystyle \displaystyle {Ad} \,\sigma(x)=(\mathrm {Ad} \,(x)^{-1}^{t}.}}$

그러니까 H in H에 대해서는

${\displaystyle \S\circle \mathrm {Ad}(\sigma(h)=\mathrm {Ad}(h)\circle S.}}$

$p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 X에 대해 정의하십시오$$.

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{X})=\mathrm {Tr}\,\mathrm {Ad}(e^{X}S).}}$

e가_iii S_i = ve e인 S에 대한 고유 벡터의 직교 기준인 경우

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{X})=\sum \lambda _{i}(\mathrm {Ad} (e^{X})e_{i},e_{i})_{\sigma }\geq (\min \lambda _{i})\cdot \mathrm {Tr} \,e^{\mathrm {ad} \,X},}}$

그래서 f는 엄격히 긍정적이고 X가 ∞하는 경향이 있다.실제로 이 표준은 대칭 연산자 ad X의 연산자 표준과 동일하며, 각각의 0이 아닌 고유값은 음수로 발생한다. 왜냐하면 i ad X는 콤팩트한 실제 $형태{\displaystyle \mathfrak{}}$ k${\displaystyle i\mathfrak{}}$ i p ${\mathfrak$ {\$displaystyle {\k}\oplus i{\mathfrak {p}$에 대한 스큐-어-어-어드포인트 연산자이기 때문이다$.$

그래서 F는 Y의 말에 글로벌 최소치를 가지고 있다.이 최소값은 독특하다. 왜냐하면 Z가 다른 것이었다면

${\displaystyle \e^{Z}=e^{Y/2}e^{X}e^{Y/2}}$

$여기$서 p ${\$의 X는 카르탄 분해에 의해 정의된다$$.

${\displaystyle \displaystyle {e^{Z/2}e^{-Y/2}=k\cdot e^{X/2}.}}$

f가_i 해당 실제 고유값 μ를_i 가진 ad X의 고유 벡터의 직교 기준이라면,

${\displaystyle \displaystyle {g(t)=f(e^{Y/2}e^{tX}e^{Y/2}=\sum e^{\mu _{i}t}\ Ad(e^{Y/2})_{\sigma }{}}}.}}$

오른손은 지수들의 양적인 조합이므로, 실제값 함수 g는 X ≠ 0이면 엄격히 볼록하므로, 고유한 최소값을 가진다.반면, t = 0, t = 1에 국소 최소값을 가지므로 X = 0, p = exp Y는 고유한 전역 최소값이다.시공 f(x) = h in H의 경우 f(f(h)xh⁻¹)로, p = h의 경우 h(h)ph로⁻¹ 한다.그러므로 php⁻¹.따라서 g = exp Y/2인 경우 gHg는⁻¹ σ에 의해 고정되므로 K에 위치한다.

적용들

표현 이론

G가 압축되지 않을 때 표현 이론에서 최대 콤팩트 부분군은 기본적인 역할을 한다.이 경우 최대 콤팩트 서브그룹 K는 콤팩트한 Lie 그룹(Lie 그룹의 닫힌 서브그룹이 거짓말 그룹이기 때문에)이며, 이론이 더 쉽다.

G와 K의 표현 이론과 관련된 연산은 G에서 K로 표현을 제한하고, K에서 G로 표현을 유도하고 있으며, 이것들은 상당히 잘 이해되고 있다. 그들의 이론은 구형 함수의 표현을 포함한다.

위상

Lie 그룹의 대수적 위상은 또한 최대 콤팩트 서브그룹 K에 의해 주로 전달된다.정확히 말하면, 커넥티드 리 그룹은 최대 콤팩트 K와 유클리드 공간인 G = K × R의^d 위상학적 제품(집단 이론적 제품은 아님)이므로, 특히 K는 G의 변형 수축이며, 호모토피에 상당하므로 동일한 호모토피 그룹을 가진다.실제로 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle \hookrightarrow }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K\hookrightarrow$ G$}$과 변형수축$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$ K ${\displaystyle G\twoheadrightarrow K}$은 균등도피 동등하다.

일반 선형 그룹의 경우 이 분해는 QR 분해, 변형 수축은 그람-슈미트 공정이다.일반적인 반실행 Lie 그룹의 경우, 분해는 G = KAN으로서 G의 이와사와 분해로서, K는 계약 가능한 서브그룹 A가 있는 제품에서 발생한다.

참고 항목

• 초특수 부분군
• 콤플렉스 리 그룹

메모들

참조

• Borel, Armand (1950), Sous-groupes compacts maximaux des groupes de Lie (Exposé No. 33), Séminaire Bourbaki, vol. 1
• Cartier, P. (1955), Structure topologique des groupes de Lie généraux (Exposé No. 22), Séminaire "Sophus Lie", vol. 1
• Dieudonné, J. (1977), Compact Lie groups and semisimple Lie groups, Chapter XXI, Treatise on analysis, vol. 5, Academic Press, ISBN 012215505X
• Helgason, Sigurdur (1978), Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces, Academic Press, ISBN 978-0-12-338460-7
• Hilgert, Joachim; Neeb, Karl-Hermann (2012), Structure and geometry of Lie groups, Springer monographs in mathematics, Springer, ISBN 0387847944
• Hochschild, G. (1965), The structure of Lie groups, Holden-Day
• Mostow, G. D. (1955), Some new decomposition theorems for semi-simple groups, Mem. Amer. Math. Soc., vol. 14, pp. 31–54
• Onishchik, A.L.; Vinberg, E.B. (1994), Lie Groups and Lie Algebras III: Structure of Lie Groups and Lie Algebras, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 41, Springer, ISBN 9783540546832
• Malcev, A. (1945), "On the theory of Lie groups in the large", Mat. Sbornik, 16: 163–189
• Iwasawa, K. (1949), "On some types of topological groups", Ann. of Math., 50: 507–558, doi:10.2307/1969548