동형성군

수학, 특히 위상학 공간의 동형성 집단은 그룹 운영으로 기능 구성을 가진 공간부터 자기 자신까지 모든 동형성으로 구성된 집단이 된다.동형사상 집단은 위상학적 공간 이론에서 매우 중요하며 일반적으로 자동형 집단의 예들이다.동형성 집단은 동형성 위상학적 공간의 동형성 집단이 집단으로서 이형성이라는 점에서 위상학적 불변성이다.

속성 및 예제

그 공간에 있는 공간의 동형질성 집단의 자연적인 집단 작용이 있다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 위상학적 공간으로 $하고$ G ${\displaystyle G}$에 의한 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 동형상주의 그룹을 나타냄$.$ 작용은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\reasoned}G\time X&\longrightarrow X\\(\varphi ,x)&\longmapsto \varphi (x)\ended}}}$

모든 $\phi {\displaystyle }$ ,${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi ,\psi \in G}$에 대한 그룹 작업$.$

${\displaystyle \varphi \cdot x)=\varphi(\cdot x)=(\varphi \varpi \cdot )(x)}$

$여기$서 $\cdot {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$은(는) 그룹 작업을 나타내며, G ${\$$displaystyle G}($X {\$$$displaystyle{\displaystyle }$ X}의$ID$함수$)$의 ID 요소는 자신에게 점을 전송한다.이 작용이 전이적이라면 공간은 동질적이라고 한다.

위상

이 구간은 확장이 필요하다.덧셈으로 도와줘도 된다.(2009년 3월)

위상학적 공간 사이의 다른 지도 집합과 마찬가지로, 동형상 그룹에도 콤팩트 오픈 위상과 같은 위상이 주어질 수 있다.규칙적이고 국소적으로 컴팩트한 공간의 경우 그룹 곱셈은 연속된다.

공간이 콤팩트하고 하우스도르프인 경우 반전도 지속되며 ${\displaystyle \mathrm{Homeo}(X}$) ${\displaystyle \operatorname {Homeo}(X)}$은(는) 쉽게 보여줄 수 있는 위상학적 집단이 된다$$.^[1]$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Hausdorff인 경우 로컬로 압축되고 로컬로 연결된 경우에도 이 기능이 유지된다.^[2]그러나 반전 맵이 연속되지 않고 ${\displaystyle \mathrm{Homeo}}$ ${\displaystyle (X}$) ${\displaystyle \operatorname {Homeo}(X)}$에 로컬로 압축된 분리 가능한 메트릭 공간이 있으므로 위상학적 그룹이 아니다.^[2]

동형성이 있는 위상학적 공간의 범주에서 그룹 개체는 정확히 동형성 집단이다.

클래스 그룹 매핑 중

특히 기하학적 위상에서는 매핑 클래스 그룹이라고 하는 동위원소별로 인수를 하여 얻은 인지도 그룹을 고려한다.

${\displaystyle {\rm {MCG}(X)={\rm {Homeo}(X)/{\rm {Homeo}_{0}(X)}$

MCG는 0호모도피 그룹 $M{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{C}}$ ${\displaystyle \mathrm{G}}$ (${\displaystyle }$X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle H\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle \mathrm{m}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle X}$ $){\displaystyle {\rm {MCG}}=\pi _{\rm {Homeo}(X)}$로 해석할 수 있다$.$이렇게 하면 정확한 순서가 짧다.

${\displaystyle 1\rm {Homeo}_{0}(X)\오른쪽 화살표 {\rm {Homeo}(X)\오른쪽 화살표 {\rm {MCG}(X)\오른쪽 화살표 1.}$

일부 애플리케이션, 특히 표면에서, 동위원소학적으로 사소한 동위원소학들의 매핑 클래스 그룹과 그룹을 먼저 연구하여, 그리고 (때로는) 확장을 연구한다.

참고 항목

• 클래스 그룹 매핑 중

참조

• "homeomorphism group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]