H-공간

H-space

수학에서, H-공간은[1] 연관성과 반대편에 대한 공리가 제거되는 위상학군 개념의 일반화의 호모토피-이론적 버전이다.

정의

H 공간은 위상학적 공간 X와 X의 요소 e와 연속 지도 μ : X × X → X와 함께 구성되며, 이러한 μ(e, e) = e와 지도 x μ(x, e) 및 x μ μ μ(e, x)는 모두 e로 보내는 지도를 통해 ID 맵에 동일시된다.[2]이것은 연속적인 곱셈과 함께 뾰족한 위상학적 공간으로 생각될 수 있는데, 이 경우 기준점은 기준점 보존 호모토피까지의 식별 요소다.

위상학적 공간 X는 위의 정의와 같이 3중(X, e, μ)이 H 공간일 정도로 e와 μ가 존재한다면 H 공간이라고 한다.[3]대안적으로 H-공간은 기준점 e를 고정하기 위해 호모토피(homotopies)를 요구하지 않거나, 호모토피를 고려하지 않고 e를 정확한 아이덴티티(identity)[4]로 규정할 수 있다.CW 단지의 경우, 이 세 가지 정의 모두 사실상 동등하다.[5]

예제 및 속성

기본집단의 표준적 정의는 그것이 집단이라는 사실과 함께, 뾰족한 위상학적 공간의 루프스페이스가 H집단의 구조를 가지고 있으며, 연결과 역전의 표준연산을 갖추고 있다고 말하는 것으로 다시 해석할 수 있다.[6]또한, 뾰족한 위상학적 공간의 지도를 보존하는 연속적인 기준점은 해당 루프 공간의 H-호모형성을 유도한다. 이는 연속적인 지도에 의해 유도된 기본 그룹에 대한 집단 동형성을 반영한다.[7]

H-공간에서 뾰족한 위상학적 공간에 이르는 뾰족한 호모토피 균등성을 감안할 때 후자의 공간에 자연적인 H-공간 구조가 존재한다는 것을 확인하는 것은 간단하다.[8]이와 같이, 주어진 공간에 H-공간 구조의 존재는 오직 뾰족한 호모토피 타입에만 의존한다.

H-공간의 승법 구조는 H-공간의 호몰로지 및 코호몰로지 그룹에 구조를 추가한다.예를 들어, 정밀하게 생성되고 자유로운 코호몰로지 그룹이 있는 경로로 연결된 H-공간의 코호몰로지 링은 호프 대수학이다.[9]또한 H-공간에서 호몰로지 그룹에 폰트랴긴 제품을 정의할 수 있다.[10]

H공간의 기본 집단은 아벨리안이다.이를 보려면 X를 ID e를 가진 H-공간으로 하고 f와 g를 e에서 루프하도록 한다.지도 F: [0,1] × [0,1] → X by F(a,b) = f(a)g(b)를 정의한다.그러면 F(a,0) = F(a,1) = f(a)e는 f와 동일시되고, F(0,b) = F(1,b) = eg(b)는 g와 동일시된다.[f][g]에서 [g][f]까지 호모토피를 정의하는 방법은 명확하다.

프랭크 아담스의 이름을 딴 아담스의 호프 불변한 하나의 정리는 S0, S1, S3, S, S가7 H-space인 유일한 구체라고 명시하고 있다.이들 각 공간은 각각 실재, 콤플렉스, 쿼터니언, 옥토니언의 노르말 원소의 하위 집합으로 보고 이들 알헤브라의 곱셈 연산을 사용하여 H-공간을 형성한다.사실 S0, S1, S는3 이러한 승수를 가진 그룹(Lie groups)이다.그러나 옥토니언 곱셈은 연관성이 없고, 또한 그것이 집단인 다른 어떤 연속 곱셈도 주어질 수 없기 때문에 S는7 이런 식으로 집단이 아니다.

참고 항목.

메모들

  1. ^ H공간의 H는 하인츠 홉프가 주제에 미치는 영향을 인정하여 장피에르 세레가 제안한 것이다(J. R. Hubbuck 참조)."H-spaces의 짧은 역사", 위상의 역사, 1999, 747-755페이지).
  2. ^ 스패니어 페이지 34; 스위처 페이지 14
  3. ^ 해처 p.281
  4. ^ Stasheff (1970), 페이지 1
  5. ^ 해처 p.291
  6. ^ 스패니어 페이지 37-39
  7. ^ 스패니어 페이지 37-39
  8. ^ 스패니어 페이지 35-36
  9. ^ 해처 p.283
  10. ^ 해처 p.287

참조

  • Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.. 제3절.c
  • Spanier, Edwin H. (1981). Algebraic topology (Corrected reprint of the 1966 original ed.). New York-Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90646-0.
  • Stasheff, James Dillon (1963), "Homotopy associativity of H-spaces. I, II", Transactions of the American Mathematical Society, 108: 275–292, 293–312, doi:10.2307/1993609, MR 0158400.
  • Stasheff, James (1970), H-spaces from a homotopy point of view, Lecture Notes in Mathematics, vol. 161, Berlin-New York: Springer-Verlag.
  • Switzer, Robert M. (1975). Algebraic topology—homotopy and homology. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 212. New York-Heidelberg: Springer-Verlag.