선형연속체

Linear continuum

수학적 질서 이론 분야에서 연속체나 선형 연속체는 실선의 일반화다.

형식적으로, 선형 연속체는 둘 이상의 요소, 즉 다른 두 개별 요소 사이에 다른 요소(그리고 따라서 무한히 많은 다른 요소)가 있고 완전하며, 상한을 가진 모든 비빈 부분 집합이 최소 상한을 갖는다는 의미에서 "격차"가 있는 둘 이상의 원소의 선형 순서 집합 S이다.더 상징적으로:

  1. S는 최소 상한 속성을 가지고 있으며
  2. S의 각 x와 X < y의 각 y에 대해, S에는 x < z < y와 같은 z가 존재한다.

위에서 경계된 집합의 모든 비빈 부분 집합이 최소 상한 값을 갖는 경우 집합은 최소 상한 속성을 가진다.선형 연속체는 주어진 순서 세트가 연결되었는지 여부를 확인하는 데 사용할 수 있는 위상 분야에서 특히 중요하다.[1]

표준 실선과 달리, 선형 연속체는 어느 한 쪽에 경계를 둘 수 있다. 예를 들어, 어떤 (실제) 닫힌 간격은 선형 연속체다.

예

  • 순서가 정해진 실수 집합 R은 통상적인 순서가 있는 선형 연속체로, 원형의 예다.속성 b)는 사소한 것이고, 속성 a)는 단순히 완전 공리의 재구성일 뿐이다.

실제 숫자 외에 다음과 같은 예:

  • 실제 숫자의 집합에 대해 순서가 이형인 집합(예: 실제 열린 간격) 및 반쯤 열린 간격(상기된 의미에서의 공백이 아니라는 점에 유의)
  • 예시적으로 확장된 실수 시스템과 순서 이형성 집합(예: 단위 간격)
  • +210 또는 -210만 추가된 실수 집합과 반개방 간격의 순서 이형성 집합(예:
  • 긴 줄
  • 사전순으로 배열된 I × I(여기서 ×는 데카르트 제품을 나타내고 I = [0, 1])는 선형 연속체다.속성 b)는 사소한 것이다.속성 a)을 확인하기 위해 define1 : I × I → I by
π1 (x, y) = x
이 지도는 투영 지도라고 알려져 있다.투영 지도는 연속적이며(I × I의 제품 토폴로지에 관한 것) 굴절적이다.A를 위에 경계한 I × I의 비어 있지 않은 부분집합이 되게 하라.π1(A)을 고려한다.A는 위에서 경계하므로 π1(A)도 위에서 경계해야 한다.π1(A)는 I의 부분집합이므로 (내가 가장 상한이 적은 속성을 가지고 있기 때문에) 상한이 가장 적어야 한다.따라서 우리는 b를 π1(A)의 최소 상한이 되게 할 수도 있다.b가 π1(A)에 속하면 b × I가 어떤 c × I에 대해 say b × c에서 A를 교차한다. b × I가 동일한 주문 유형을 가지고 있기 때문에, 집합(b × I) ∩ A는 실제로 최소 상한 b × c'를 가질 것이며, 이는 A에 대해 원하는 최소 상한 b × c'를 가질 것이다.
b가 π1(A)에 속하지 않는 경우 b × 0은 A의 최소 상한이고, d < b, d × e가 A의 상한이라면 d는 b의 고유한 속성과 모순되는 ,(A1)의 작은 상한이 될 것이다.

비예시

  • 합리적 숫자의 순서 집합 Q는 선형 연속체가 아니다.재산 b)은 만족해도 재산 a)는 만족하지 않는다.부분 집합 고려
A = {x ∈ Q x < √2}
이성적인 숫자의 집합의이 집합은 above2(예를 들어 3)보다 큰 합리적 숫자에 의해 위에 경계되지만, 합리적 수에서 최소한 상한이 없다.[2] (특히, 합리적 상한 r > √2에 대해서는 r/2 + 1/r이 더 가까운 합리적 상한이다. § 바빌로니아식 방법의 세부사항)
  • 통상적인 순서와 함께 순서가 음이 아닌 정수의 집합은 선형 연속체가 아니다.속성 a)가 충족된다(A는 위에서 경계한 비 음의 정수 집합의 하위 집합이 되도록 한다.그러면 A는 유한하므로 최대값을 가지며, 이 최대치는 A의 원하는 최소 상한이다.)반면에 재산 b)은 그렇지 않다.실제로 5는 음이 아닌 정수이고 6도 마찬가지지만 그들 사이에 엄밀하게 놓여 있는 음이 아닌 정수는 존재하지 않는다.
  • 0이 아닌 실제 번호의 순서 집합 A
A = (-115, 0) ∪ (0, +12)
선형 연속체가 아니다.속성 b)는 사소한 것으로 만족한다.그러나 B가 음의 실수의 집합인 경우:
B = (-115, 0)
그 다음 B는 A의 하위 집합으로, (예를 들어 A의 어떤 요소에 의해 0보다 큰) A의 하위 집합이지만, B에 최소한 상한이 없다.0은 A의 요소가 아니기 때문에 0은 B에 대한 바운드가 아니라는 점에 유의하십시오.
  • Z는− 음의 정수의 집합을 나타내며 A = (0, 5) ( (5, +3)로 한다.내버려두다
S = Z− ∪ A.
그러면 S는 속성 a)와 속성 b)를 만족시키지 않는다.그 증거는 앞의 예시와 비슷하다.

위상학적 특성

선형 연속체는 순서 집합의 연구에서 중요하지만, 수학적 위상 영역에 적용이 있다.사실, 우리는 순서 위상에서의 순서 집합이 선형 연속체일 경우에만 연결되어 있다는 것을 증명할 것이다.우리는 하나의 암시를 증명하고, 다른 암시를 연습으로 남겨둘 것이다.(Munkres는 에 있는 증거의 두 번째 부분을 설명한다.)

정리

X를 순서 토폴로지에서 순서 집합으로 한다.X가 연결되어 있다면 X는 선형 연속체다.

증명:

x와 y가 x < y를 가진 X의 요소라고 가정하자.X에 x < z < y와 같은 z가 없는 경우, 다음 세트를 고려하십시오.

A = (-118, y)
B = (x, +vmx)

이들 집합은 분리(a가 A에 있는 경우, a가 B에 있는 경우, a가 가설에 의해 불가능한 a와 y에 해당), 비빈(x가 A에 있고 y가 B에 있음) 및 개방(순서 위상)이며, 이들의 결합은 X이다.이것은 X의 연결성과 모순된다.

이제 우리는 최소 상한 재산을 증명한다.C가 X의 부분집합이고 최소 상한은 없는 경우, D를 C의 상한인 형태(b, + rays)의 모든 열린 광선의 조합으로 한다.그런 다음 D가 개방되고(개방형 집합의 결합이기 때문에) 닫힌다(a가 D에 있지 않으면, c의 모든 상한 B에 대해 < b>를 선택하여 q를 선택할 수 있다(그런 q가 존재하지 않는 경우, a는 C의 최소 상한이다) D를 교차하지 않는 개방된 간격을 선택할 수도 있다.D는 비어 있지 않기 때문에(정확히 하나의 상한 s가 있는 경우 D의 상한 값이 둘 이상 있으므로 s는 최소 상한일 것이다.그 다음1 b와2 b가 d의 두 상한이고1 b < b2, b는2 D에 속할 것이다), D와 그 보어들이 함께 X에 분리를 형성한다.이것은 X의 연결성과 모순된다.

정리 적용

  1. 순서 집합 A = (-162, 0) U (0,+)는 선형 연속체가 아니기 때문에 연결이 끊긴다.
  2. 방금 증명된 정리를 적용함으로써 R이 연결되어 있다는 사실이 뒤따른다.사실 R의 어떤 간격(또는 광선)도 연결되어 있다.
  3. 정수의 집합은 선형 연속체가 아니므로 연결할 수 없다.
  4. 실제로 순서상 위상에서의 순서 집합이 선형 연속체라면 반드시 연결되어야 한다.이 집합의 어떤 간격도 선형 연속체이기 때문에 이 공간은 전적으로 연결된 집합으로 구성된 기초를 가지고 있기 때문에 로컬로 연결된다.
  5. 선형 연속체인 위상학적 공간의 예는 긴 선을 참조하십시오.

참고 항목

참조

  1. ^ Munkres, James (2000). Topology, 2nd ed. Pearson Education. pp. 31, 153. ISBN 0-13-181629-2.
  2. ^ Hardy, G.H. (1952). A Course of Pure Mathematics, 10th ed. Cambridge University Press. pp. 11–15, 24–31. ISBN 0-521-09227-2.
  3. ^ Munkres, James (2000). Topology, 2nd ed. Pearson Education. pp. 153–154. ISBN 0-13-181629-2.