초실수

초실수 직선의 무한소수(영역) 및 무한소수(영역)(1/영역 = //1)

수학에서, 초실수 체계는 무한하고 극소량(무한히 작지만 0이 아닌)을 처리하는 방법이다.하이퍼리얼 또는 비표준 실(*R)은 형식보다 큰 숫자를 포함하는 실수 R의 확장입니다.

1+1+\cdots +1

+

1+1+\cdots +1

+

1+1+\cdots +1

+

1+1+\cdots +1

{

style

1 +

1

+ \

cdots + 1

}

1+1+\cdots +1

(유한 수의 용어의 경우)

이러한 숫자는 무한하며, 그 역수는 무한소수이다."^[1]하이퍼 리얼"이라는 용어는 1948년 에드윈 휴이트에 의해 도입되었습니다.

초실수는 라이프니츠의 발견적 연속성의 법칙의 엄격한 버전인 전달 원리를 만족시킵니다.전송 원칙은 R에 대한 진정한 1차 문장이 *R에서도 유효하다는 것을 나타냅니다.예를 들어, 덧셈의 교환 법칙인 x + y = y + x는 실수와 마찬가지로 초실수에 대해서도 유효합니다. R은 실제 닫힌 필드이므로 *R도 마찬가지입니다.모든 정수 n에 대해 sin $\sin({\pi n})=0$ δ ( $\sin({\pi n})=0$ n ) $\sin({\pi n})=0$ ( $\sin({\pi H})=0$ $\sin({\pi n})=0$ H ) $\sin({\pi H})=0$ $0$ ( δ H ) = $\sin({\pi H})=0$ ( \ $displaystyle$ \ $sin \$ \ $pi$ H ) = $0$ } 이므로 $\sin({\pi n})=0$ 하이퍼 정수 H에 대해서도 sin $\sin({\pi H})=0$ δ ( δ $\sin({\pi H})=0$ H ) = 0 을 $\sin({\pi H})=0$ .울트라파워의 전달 원리는 1955년의 łł의 정리의 결과이다.

무한소수를 포함하는 주장의 건전성에 대한 우려는 고대 그리스 수학으로 거슬러 올라가며,^[2] 아르키메데스는 그러한 증거를 지치는 방법과 같은 다른 기술을 사용하는 것으로 대체했다.1960년대에 에이브러햄 로빈슨은 하이퍼리얼이 논리적으로 일치한다는 것을 증명했다.이것은 로빈슨이 묘사한 논리적인 규칙에 따라 조작된다면, 무한소수와 관련된 어떤 증거도 건전하지 않을 수 있다는 두려움을 잠재웠다.

초실수, 특히 분석 문제에 대한 전달 원리를 적용하는 것을 비표준 분석이라고 합니다.한 가지 즉각적인 적용은 여러 개의 수량화자의 논리적 복잡성을 통과하지 않고 직접적 방식으로 미분 및 적분과 같은 분석의 기본 개념을 정의하는 것이다.따라서 f(x)의 도함수는 f $f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ ( $f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ ) $=$ $f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ $f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ ( $f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ ( $f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ + $f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ x $f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ ) - $f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ ( $f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ ) $f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ ){ $displaystyle$ f' ( x )=\ $operatorname {st}$ \ $left$ \ $frac { f$ ( $x$ + \ $Delta$ x $){ delta$ \ } $infinfinites$ }가 $f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ $f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ .o 가장 가까운 실수마찬가지로 적분은 적절한 무한합계의 표준 부분으로 정의됩니다.

전송 원리

초실수계의 개념은 실수 R을 확장하여 미량 및 무한수를 포함하는 시스템 *R을 형성하는 것이지만, 대수학의 기본 공리를 변경하지 않습니다."임의의 숫자 x에 대해..."라는 형식의 문장"이것은, 리얼에도 해당됩니다.하이퍼 리얼에도 해당됩니다.예를 들어, "임의의 숫자 x, x + 0 = x"를 나타내는 공리가 여전히 적용됩니다.예를 들어, "xy와 y에 대해 xy = yx"와 같은 여러 숫자에 대한 정량화에 대해서도 마찬가지입니다.이러한 스테이트먼트를 리얼에서 하이퍼리얼로 이관하는 능력을 전송 원리라고 부릅니다.단, "S..." 형식의 문장은 이월할 수 없습니다.실물과 하이퍼리얼 사이에 차이가 있는 유일한 속성은 집합에 대한 정량화 또는 함수 및 관계와 같은 기타 상위 수준의 구조에 의존하는 속성입니다. 이러한 구조는 일반적으로 집합으로 구성됩니다.각 실집합, 함수 및 관계는 동일한 1차 특성을 만족시키는 고유한 초실수 확장을 가집니다.수량화 제한을 따르는 논리 문장의 종류를 1차 논리에서는 문장으로 부릅니다.

단, 전송원리가 R과 *R의 동작이 동일한 것은 아닙니다.예를 들어 *R에는 다음과 같은 요소 θ가 존재합니다.

1 <\obe,\obe 1+1 <\obe,\obe 1+1+1 <\obe,\ldots

하지만 R에는 그런 숫자가 없다.(즉, *R은 아르키메데스가 아니다.)이것은 cannot의 부재를 1차 문장으로 표현할 수 없기 때문에 가능합니다.

분석에 사용

대수함수가 있는 미적분

비실수량에 대한 비공식 표기법은 역사적으로 미적분학에서 두 가지 맥락에서 나타났다: dx와 같은 무한소수와 부적절한 적분들의 통합의 한계에서 사용되는 기호 ,.

전달원칙의 예로서 0이 아닌 임의의 수 x, 2x θ x에 대해 실수에 대해 참이며, 전달원칙에 의해 요구되는 형태이므로 초실수에 대해서도 참이다.이는 초현실계의 모든 무한량에 대해 θ와 같은 일반 기호를 사용할 수 없음을 나타냅니다. 무한량은 다른 무한량과 크기가 다르며 다른 무한소수와 크기가 다릅니다.

마찬가지로, 0으로 나눗셈을 정의하지 않은 문장에 전달 원리가 적용되기 때문에 1/0 = is의 일상적인 사용은 유효하지 않다.이러한 계산의 엄밀한 대응은 θ가 0이 아닌 극소수일 경우 1/θ가 무한하다는 것입니다.

임의의 유한 초실수 x에 대하여, 그 표준 부분 st(x)는 그것과는 무한히 다른 유일한 실수로 정의된다.함수 y(x)의 도함수는 dy/dx가 아니라 해당 차이 지수의 표준 부분으로 정의됩니다.

예를 들어 함수 f(x) = x의² 도함수 fθ(x)를 구하려면 dx를 0이 아닌 극소수라고 가정합니다.그리고나서,

$f'(x)$	$=\operatorname {st} \left\frac {f(x+flac)-f(x)}{flash}\right$
	${{displaystyle =\operatorname {st} \left\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(x)^{2}-x^{2}}\right}$
	${{displaystyle =\operatorname {st} \left\frac {2x\cdot dx+(param)^{2}} {param}\right}$
	$=\operatorname {st} \left\frac {2x\cdot dx} {flac} + {\frac {(flac)^2}} {flac} \right$
	$=\operatorname {st} \left(2x+param\right)$
	$= 2x$

도함수의 정의에 표준 부분을 사용하는 것은 극소량의 제곱을^{[citation needed]} 무시하는 전통적인 관행에 대한 엄격한 대안이다.이중번호는 이 생각에 기초한 숫자 체계이다.위의 미분 3행 이후 뉴턴에서 19세기까지의 전형적인 방법은 단순히² dx 항을 버리는 것이었다.하이퍼리얼 시스템에서 dx는 0이 아니기 때문에 dx 0 0이며², 0이 아닌 임의의 수의 제곱이 0이 아니라는 문장에 전달 원리를 적용할 수 있다.그러나 dx의 양은² dx에 비해 매우 작습니다. 즉, 하이퍼리얼 시스템은 극소량의 계층을 포함합니다.

통합

하이퍼리얼 시스템에서 확실한 적분을 정의하는 한 가지 방법은 a, a +dx, a +2θ, ..., a +ndx로 정의된 초유한 격자상의 무한합계의 표준 부분으로서, 여기서 dx는 극소수이고, n은 무한 초자연이며, 적분의 하한과 상한은 a 및 b = a +ndx이다.^[3]

특성.

하이퍼리얼 *R은 Reals R을 서브필드로 포함하는 순서필드를 형성합니다.실제와 달리 하이퍼리얼은 표준 메트릭 공간을 형성하지 않지만 순서에 따라 순서 토폴로지를 전송합니다.

대부분의 처리에서 참조되는 고유한 순서 필드가 없다는 점에서 초실수라는 문구에 한정 기사를 사용하는 것은 다소 오해의 소지가 있습니다.그러나 Vladimir Kanovei와 Saharon^[4] Shelah의 2003년 논문에 따르면 실수의 정의 가능한 포화(γ-포화를 의미하지만 물론, 셀 수 없다는 의미) 기본 확장이 존재하며, 따라서 초실수의 명칭에 대한 좋은 주장이 있다.게다가 초단파 구조에 의해서, 모든 실계열의 공간으로부터 얻을 수 있는 장은, 연속체 가설을 가정하면, 동형사상까지 유일하다.

초실제장이라는 조건은 R을 엄밀하게 포함하는 진짜 닫힌 장이라는 조건보다 강하다.데일스나 ^[5]우딘의 의미에서 초현실적인 분야라는 의미보다 더 강하다.

발전

하이퍼리얼은 공리적으로 개발되거나 보다 건설적인 방법으로 개발될 수 있습니다.공리적인 접근법의 본질은 (1) 적어도 하나의 극소수의 존재와 (2) 전달 원리의 타당성을 주장하는 것이다.다음 서브섹션에서는 보다 건설적인 접근법에 대한 자세한 개요를 제공합니다.이 방법은 울트라필터라는 집합이론적인 객체가 주어진 경우 하이퍼리얼을 구성할 수 있지만 울트라필터 자체는 명시적으로 구성할 수 없습니다.

라이프니츠에서 로빈슨으로

뉴턴과 라이프니츠가 미분을 도입했을 때, 그들은 무한소수를 사용했고 오일러와 코치와 같은 이후의 수학자들에 의해 여전히 유용하게 여겨졌습니다.그럼에도 불구하고, 이러한 개념은 처음부터 의심스럽다고 여겨졌고, 특히 조지 버클리에게는 그러했다.버클리 대학의 비판은 무한소수(또는 플럭스)의 관점에서 도함수의 정의에서 가설의 지각된 변화에 초점을 맞췄다. 여기서 dx는 계산의 시작 부분에서 0이 아닌 것으로 가정되며, 그 결론에서 사라진다(자세한 내용은 이탈 수량의 유령 참조).1800년대에 볼자노 , 코치, 바이얼스트라스 등의 한계 정의를 개발함으로써 미적분이 확고한 기초 위에 놓였을 때, 비록 비아키메데스 분야에서의 연구는 계속되었지만, 무한소수는 대부분 포기되었다(Ehrlich 2006).

하지만, 1960년대에 아브라함 로빈슨은 무한히 크고 극소수들이 어떻게 엄격하게 정의되고 비표준 ^[6]분석의 분야를 발전시키는데 사용될 수 있는지를 보여주었다.로빈슨은 모형 이론을 사용하여 비건설적으로 이론을 발전시켰다; 그러나 대수학과 위상만을 사용하여 진행하는 것은 가능하며, 정의의 결과로서 전달 원리를 증명하는 것은 가능하다.즉, 초실수 그 자체는 비표준 해석에서의 사용과는 별개로 모델 이론이나 1차 논리와는 관계가 없지만, 논리로부터 모델 이론 기법을 적용함으로써 발견됩니다.하이퍼 실장은 사실 Hewitt(1948년)에 의해 초단파 구조를 사용하여 순수하게 대수적 기술에 의해 도입되었습니다.

울트라파워 구조

우리는 ^[7]실수의 시퀀스를 통해 초현실장을 구성할 것이다.실제로 다음과 같이 컴포넌트별로 시퀀스를 추가 및 증식할 수 있습니다.

\displaystyle (a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots )+(b_{0}+b_{0}, a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2},\ldots}}

곱셈도 마찬가지입니다.이것은 이러한 시퀀스의 집합을 교환환으로 변환하는데, 이것은 사실 실제 대수 A이다.우리는 수열(r, r, r, …)로 실수 r을 식별함으로써 A에 R을 자연스럽게 포함시키고, 이 식별은 해당 실수의 대수 연산을 보존한다.예를 들어, 직관적인 동기는 0에 가까운 수열을 사용하여 극소수를 나타내는 것입니다.그러한 수열의 역수는 무한수를 나타낼 것이다.아래에서 볼 수 있듯이, 이러한 시퀀스를 비교하기 위한 규칙을 정의할 필요가 있기 때문에 어려움은 발생하는데, 이는 필연적으로 다소 자의적이기는 하지만 자기 정합성이 있고 잘 정의되어야 한다.예를 들어 첫 번째 n개의 멤버는 다르지만 그 이후에는 같은 두 개의 시퀀스를 가질 수 있습니다. 이러한 시퀀스는 동일한 초실수를 나타내는 것으로 명확하게 간주되어야 합니다.마찬가지로 대부분의 시퀀스는 영원히 랜덤하게 진동하기 때문에 이러한 시퀀스를 $7+\epsilon$ 7 + ${\(\displaystyle$ 7+\ $epsilon$ 로 해석할 수 있는 방법을 찾아야 합니다. $\epsilon$ 서 ${\$ { $displaystyle$ \ $epsilon$ }은 $\epsilon$ 특정 극소수입니다.

따라서 시퀀스를 비교하는 것은 민감한 문제입니다.예를 들어 컴포넌트별로 시퀀스 간의 관계를 정의할 수 있습니다.

(\displaystyle (a_{0}, a_{1}, \ldots )\leq (b_{1}, b_{2},\ldots )\iff (a_{0}\leq b_{0}\leq b_{1}\dots (a_{2}\ledots)\leq (a_{2})

첫 번째 시퀀스의 엔트리가 두 번째 시퀀스의 엔트리에 대응하는 엔트리보다 클 수도 있고 더 작은 엔트리가 있을 수도 있기 때문에 문제가 발생합니다.따라서 이러한 방식으로 정의된 관계는 부분 순서일 뿐입니다.이를 피하기 위해서는 어떤 포지션이 중요한지 특정해야 합니다.지수가 무한히 많기 때문에 한정된 지수의 집합이 문제가 되는 것은 원치 않습니다.자연수에서 자유 울트라필터 U에 의해 주어지는 지수 집합의 일관된 선택은 유한 집합을 포함하지 않는 울트라필터로 특징지을 수 있다(좋은 소식은 존의 보조항목이 그러한 많은 U의 존재를 보장한다는 것이다; 나쁜 소식은 그것들이 명시적으로 구성될 수 없다는 것이다).우리는 U를 "중요한" 일련의 지수를 선별하는 것으로 생각한다.(a, a, a₁₂, ...) } (b₀₀, b₁, b₂, ...)는 자연수 집합 {n_n : a_n b b }가 U에 있는 경우에만 씁니다.

이것은 토탈 프리오더이며, 2개의 시퀀스a와 b를 구별하지 않는 것에 동의하면 토탈 오더로 바뀝니다.이 식별을 통해 하이퍼리얼의 순서 필드 *R이 구성됩니다.대수적 관점에서 U는 교환환 A(즉, U의 일부 요소에서 사라지는 시퀀스의 집합)에서 대응하는 최대 이상 I를 정의한 다음 *R을 A/I로 정의할 수 있습니다. 최대 이상에 의한 교환환의 몫으로서 *R은 필드입니다.이것은 프리 울트라 필터 U의 관점에서 직접 A/U로 표기되어 있습니다.이 두 가지는 동등합니다.I의 최대성은 시퀀스 a가 주어졌을 때 a의 비늘 요소를 반전시키고 null 엔트리를 변경하지 않는 시퀀스 b의 가능성에서 비롯된다.a가 소실된 세트가 U에 없는 경우, ab는 1로 식별되며, 1을 포함하는 모든 이상은 A여야 한다.결과 필드에서는 이러한 a와 b가 반전입니다.

필드 A/U는 R의 초소형 전력입니다.이 필드에는 R이 포함되어 있기 때문에 적어도 연속체의 카디널리티가 있습니다.A는 카디널리티가 있기 때문에

{{displaystyle (2^{\alph _{0}})^{\alph _{0}=2^{2}=2^{\alph _{0}}}

또한 $(\$ 2 $^{\alph$ _ ${0$ $2^{\aleph _{0}}$ 이므로 R과 같은 카디널리티를 가집니다.

우리가 다른 자유 Ultrafilter V를 선택했다면, 몫 필드 A/U가 A/V에 대한 순서 필드와 동형인지 여부입니다.이 질문은 연속체 가설과 동등한 것으로 판명되었습니다.연속체 가설과 함께 ZFC에서는 이 필드가 순서 동형이라는 것을 증명할 수 있습니다.연속체 가설의 부정과 함께 ZFC에서는 둘 다 계수적으로 지수화된 울트라파워의 비순서 동형 필드 쌍이 있음을 증명할 수 있습니다.

이 구성 방법에 대한 자세한 내용은 울트라프로덕트를 참조하십시오.

초단파 구조에 대한 직관적인 접근법

다음은 초실수를 이해하기 위한 직관적인 방법입니다.여기서 취하는 접근법은 Goldblatt의 ^[8]책에 나오는 접근법과 매우 유사하다.0으로 수렴하는 시퀀스는 무한히 작다고 할 수 있습니다.이것들은 어떤 의미에서 거의 무한소수입니다; 진정한 무한소수에는 0으로 수렴하는 시퀀스를 포함하는 특정 클래스의 시퀀스가 포함됩니다.

이 수업들이 어디서 왔는지 봅시다.먼저 실수의 순서를 생각해 봅시다.이들은 링을 형성합니다.즉, 곱셈, 덧셈, 뺄셈이 가능하지만 반드시 0이 아닌 원소로 나눌 필요는 없습니다.실수는 상수 시퀀스로 간주되며, 동일한 0이면 시퀀스는 0, 즉 모든_n n에 대해 a = 0입니다.

시퀀스의 고리에서는 a = 0 또는 b = 0 모두일 때 ab = 0을 얻을 수 있습니다.따라서 $a,b$ 의 시퀀스 $,$ b(\ $displaystyle$ a, $b)$ 중 $a,b$ 하나가 ab = 0일 경우 적어도 1개는 0으로 선언해야 합니다.놀랍게도 일관된 방법이 있습니다.그 결과, 0으로 선언된 시퀀스만큼 다른 시퀀스의 동등성 클래스는 초현실 필드라고 불리는 필드를 형성합니다.그것은 일반 실수뿐만 아니라 무한히 큰 수(무한으로 분기하는 수열로 표현되는 것을 포함한 무한소수의 역수)를 포함할 것이다.또한 무한히 크지 않은 모든 초실수는 보통의 실수에 무한히 가까울 것이다. 다시 말해, 그것은 보통의 실수와 극소수의 합이 될 것이다.

이 구문은 칸토어가 제시한 유리로부터 실수의 구성과 평행하다.그는 코시 수열의 유리환에서 시작해 0으로 수렴하는 모든 수열을 0으로 선언했습니다.결과는 리얼입니다.하이퍼리얼 구성을 계속하려면 z ( $z(a)=\{i:a_{i}=0\}$ $z(a)=\{i:a_{i}=0\}$ { $z(a)=\{i:a_{i}=0\}$ : $z(a)=\{i:a_{i}=0\}$ $z(a)=\{i:a_{i}=0\}$ $z(a)=\{i:a_{i}=0\}$ $}$ { $displaystyle$ z (a) $a_{i}=0$ \ { $i$ : $_$ $a_{i}=0$ { i } = $z(a)=\{i:a_{i}=0\}$ 0 \ $z(a)=\{i:a_{i}=0\}$ }, 즉 $z(a)$ ( $a)$ { $display$ $style$ z $(a$ $i$ $)$ $=$ $0$ $\}$ 의 $인덱스$ 집합을 $a_{i}=0$ 해야 합니다. $ab=0$ $ab=0$ $ab=0$ { $displaystyle$ ab $=0$ 인 $ab=0$ $z(a)$ z ( $)$ { $displaystyle$ z( $a)}$ 와 $z(a)$ $z(b)$ z ( $)$ { $displaystyle$ z $(b)}$ 의 $z(b)$ 합계는 N(모든 자연수의 집합)이므로 다음과 같습니다.

두 개의 보완 집합에서 사라지는 시퀀스 중 하나는 0으로 선언되어야 합니다.
$디스플레이 스타일$ a가 $a$ 0으로 선언되면 b $(디스플레이 스타일$ b $)$ 가 $b$ $b$ 이든 간에 b $(디스플레이$ 스타일 $ab)$ 도 $ab$ 0으로 선언되어야 합니다.
$\$ $displaystyle$ a $\$ 와 $a$ b\ $displaystyle$ b $\$ 가 $b$ $모두$ 0으로 선언되면 $a^{2}+b^{2}$ + $(\$ a $^{2}+b^{2$ })}}도 $a^{2}+b^{2}$ 0으로 선언해야 합니다 $.$

이제 다수의 서브셋 X(N)를 선택하고 z $)$ { $displaystyle$ z $(a)}$ 가 $z(a)$ U에 속하는 $z(a)$ 에만 a $a=0$ { $displaystyle$ a $=0}$ 이라고 $a=0$ 선언합니다. 위의 조건에서 다음을 알 수 있습니다.

두 개의 보완 집합에서 하나는 U에 속합니다.
U에 속하는 서브셋을 가진 모든 집합도 U에 속합니다.
U에 속하는 두 집합의 교차는 U에 속합니다.
마지막으로 빈 세트가 U에 속하지 않는 것이 좋습니다.모든 것이 U에 속하기 때문입니다.모든 세트가 빈 세트를 서브셋으로 가지고 있기 때문입니다.

(2~4)를 만족하는 집합군을 필터라고 합니다(예: 유한 집합에 대한 보완, 프레셰 필터라고 하며 일반적인 한계 이론에서 사용됩니다).(1)도 유지되는 경우 U는 Ultrafilter(Ultrafilter)라고 불립니다(Ultrafilter는 UtraFilter에 추가되지 않고 UtraFilter를 추가할 수 없기 때문입니다).명시적으로 알려진 울트라 필터의 예는 특정 요소를 포함하는 세트 패밀리뿐입니다(이 경우 숫자 10).이러한 초필터를 하찮은 필터라고 하는데, 이것을 건설에 사용하면, 통상적인 실수로 돌아옵니다.유한 집합을 포함하는 모든 울트라 필터는 사소한 것입니다.어떤 필터도 울트라 필터까지 확장할 수 있다고 알려져 있지만, 증명은 선택 공리를 사용합니다.선택 공리보다 약하기 때문에 중요하지 않은 울트라 필터(Ultrafilter lema)의 존재는 추가 공리로 추가될 수 있습니다.

자, 우리가 중요하지 않은 울트라 필터(Fréchet 필터의 연장선)를 가져와서 구축하면, 그 결과 초실수를 얻을 수 있습니다.

f{\ $displaystyle$ f $}$ 가 $f$ 실제 변수x {\ $displaystyle$ x $}$ 의 $x$ 실제 함수인 $경우$ f{\ $displaystyle$ f $}$ 는 $f$ 구성에 의해 자연스럽게 하이퍼리얼 변수의 하이퍼리얼 함수로 확장됩니다.

\displaystyle f(\{x_{n}\})=\{f(x_{n})\}}

여기서 $\{\dots \}$ $}$ {\ $displaystyle \{\$ $displaystyle$ \}}은 $\{\dots \}$ $\dots$ "Ultrafilter에 대한 $\dots$ 시퀀스의 동등성 $클래스$ "를 의미합니다. 두 시퀀스는 차이의 영점 세트가 Ultrafilter에 속하는 경우에만 동일한 클래스에 속합니다.

모든 산술식 및 공식은 하이퍼리얼에 대해 이치에 맞고 일반 리얼에 대해 참일 경우 해당됩니다.어떤 유한( 이러한)< 그,;{)\displaystyle<>;}일부 평범한 진짜가{\displaystyle을 위한}은)hyperreal){\displaystyle)}형태의 y+어디 y{이\displaystyle}는 평범한(표준이라고 불리는)와 d실제{\displaystyle d}은 d{\displaystyle y+d} 것을 목격하게 되었습니다 에서극소수의이는 볼자노-바이어스트라스 정리를 증명하기 위해 사용된 이등분법에 의해 입증될 수 있으며, 울트라필터의 특성 (1)이 중요한 것으로 판명되었다.

극소수 및 무한수의 특성

*R의 유한 요소 F는 국소환, 사실상 평가환을 형성하며, 고유한 최대 이상 S는 무한소수이며, 몫 F/S는 실수와 동형이다.따라서 우리는 F에서 R로의 동형 매핑인 st(x)를 가지고 있는데, 그 커널은 무한대로 구성되어 있고, F의 모든 요소 x를 x와의 차이가 S인 고유한 실수에 보낸다. 즉, 무한소수이다.바꿔 말하면, 모든 유한 비표준 실수는 고유한 실수에 "매우 근접"합니다. 즉, x가 유한 비표준 실수일 경우, x – st(x)가 극소수인 하나의 실수 st(x)가 존재합니다.이 숫자 st(x)는 x의 표준 부분이라고 불리며, 개념적으로는 x에서 가장 가까운 실수의 부분과 같습니다.이 연산은 질서를 유지하는 동형사상이며, 따라서 대수적으로나 이론적으로나 잘 동작한다.지만 등장 아니라, 즉)≤ y{\displaystyle x\leq y}}st ⁡())≤ st ⁡(y){\displaystyle \operatorname{스톤}())\leq\operatorname{스톤}(y), 그러나)<> 베{\displaystyle x<, y} 하지 않나 함축한 st⁡())<>st⁡(y){\displaystyle \operatorname{스톤}())<,\operatorname{스톤}(y)}order-preserving 있다..

x와 y가 모두 유한하다면 $\operatorname {st}(x+y)=\operatorname {st}(x)+\operatorname {st}(y)$ $\operatorname {st}(xy)=\operatorname {st}(x)\operatorname {st}(y)$
만약 x가 유한하고 무한하지 않다면. $\operatorname {st} (1/x)=1/\operatorname {st} (x)$
x가 실재하는 것은 다음과 같은 경우뿐입니다. $\displaystyle \operatorname {st}(x)=x}$

맵 st는 유한 하이퍼리얼의 순서 토폴로지에 관해 연속적입니다.실제로 로컬로 일정합니다.

하이퍼리얼 필드

X를 T 공간이라고도_3.5 하는 Tychonoff 공간이고 C(X)를 X에 대한 연속 실수값 함수의 대수라고 가정합니다.M이 C(X)에서 최대 이상이라고 가정합니다.그러면 인자 대수 A = C(X)/M은 실수를 포함하는 완전 순서 필드 F입니다.F가 엄밀하게 R을 포함하는 경우 M은 하이퍼리얼 아이디얼(Hewitt(1948)에 의한 용어)이라고 하며 F는 하이퍼리얼 필드라고 합니다.F의 카디널리티가 R보다 크다고 가정하는 것은 아닙니다.실제로 같은 카디널리티를 가질 수 있습니다.

중요한 특수한 경우는 X 상의 토폴로지가 이산 토폴로지인 경우입니다.이 경우 X는 기수 θ와 C(X)로 식별되며, 함수 θ에서 R까지의 실대수^κ R로 식별됩니다.이 경우 얻을 수 있는 초현실장은 R의 울트라파워라고 불리며 모델 이론에서 자유 울트라필터를 통해 구성된 울트라파워와 동일합니다.

「」를 참조해 주세요.

건설적인 비표준 분석
하이퍼 정수 – 자체 정수 부분과 동일한 하이퍼 실수
비표준 분석의 영향
비표준 미적분 – 무한소수의 현대적 응용
실제 닫힌 필드 – sqrt(–1)의 확장이 대수적으로 닫힌 비대수 닫힌 필드
실선
초현실적인 숫자 – 실수의 일반화 - 초현실적인 숫자는 비실수뿐만 아니라 초현실적인 수를 포함하는 훨씬 더 큰 종류의 숫자입니다.

레퍼런스

^ Hewitt(1948), 74페이지, Keisler(1994)에 보고된 바와 같이
^ 무도회, 페이지 31
^ 키슬러
^ Kanovei, Vladimir; Shelah, Saharon (2004), "A definable nonstandard model of the reals" (PDF), Journal of Symbolic Logic, 69: 159–164, arXiv:math/0311165, doi:10.2178/jsl/1080938834, archived from the original (PDF) on 2004-08-05, retrieved 2004-10-13
^ Woodin, W. H.; Dales, H. G. (1996), Super-real fields: totally ordered fields with additional structure, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853991-9
^ 비표준 분석에 대한 고전적인 입문입니다Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3.
^ Loeb, Peter A. (2000), "An introduction to nonstandard analysis", Nonstandard analysis for the working mathematician, Math. Appl., vol. 510, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., pp. 1–95
^ Goldblatt, Robert (1998), Lectures on the hyperreals: an introduction to nonstandard analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98464-3

추가 정보

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Hatcher, William S. (1982) "Calculus is Algebra", 미국 수학 월간 89: 362–370.
Hewitt, Edwin(1948) 실수치 연속함수 링.I. 트랜스아머. 수학.Soc. 64, 45-99
Jerison, Meyer; Gillman, Leonard (1976), Rings of continuous functions, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90198-5
키슬러, H. 제롬(1994)하이퍼리얼 라인실수, 실수의 일반화 및 연속 이론, 207-237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad.푸블, 도르트레흐트
Kleinberg, Eugene M.; Henle, James M. (2003), Infinitesimal Calculus, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-42886-4

외부 링크

크로웰, 미적분학무한소수를 사용하는 텍스트입니다.
Hermoso, Nonstandard Analysis 및 Hyperreals.부드러운 소개
키슬러, 초등 미적분: 무한소수를 이용한 접근법.하이퍼리얼의 자명한 처리가 포함되어 있으며 Creative Commons 라이선스로 자유롭게 이용 가능
Stroyan, 미적분 개요 강의 1 강의 2 강의^{[permanent dead link]} 3

[1] Hewitt(1948), 74페이지, Keisler(1994)에 보고된 바와 같이

[2] 무도회, 페이지 31

[3] 키슬러

[kanovei2003-4] Kanovei, Vladimir; Shelah, Saharon (2004), "A definable nonstandard model of the reals" (PDF), Journal of Symbolic Logic, 69: 159–164, arXiv:math/0311165, doi:10.2178/jsl/1080938834, archived from the original (PDF) on 2004-08-05, retrieved 2004-10-13

[5] Woodin, W. H.; Dales, H. G. (1996), Super-real fields: totally ordered fields with additional structure, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853991-9

[robinson-6] 비표준 분석에 대한 고전적인 입문입니다Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3.

[7] Loeb, Peter A. (2000), "An introduction to nonstandard analysis", Nonstandard analysis for the working mathematician, Math. Appl., vol. 510, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., pp. 1–95

[8] Goldblatt, Robert (1998), Lectures on the hyperreals: an introduction to nonstandard analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98464-3

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v t 번호 체계
카운트 가능 세트	자연수( $\mathbb {N}$ \ $displaystyle \mathbb {N$ ) $\mathbb {Z}$ ( $\mathbb {Z}$ Z \ $displaystyle \mathbb {Z$ ) 유리수( $\$ 구성 가능한 수 $\mathbb {A}$ 숫자( A $\$ ) 기간 계산 가능한 수 산술적 수 이론적으로 정의할 수 있는 수 가우스 정수
합성 대수	나눗셈 대수:실수( $\$ 복소수( $\mathbb {C}$ $\$ ) 4분위 ( $\mathbb {H}$ $\$ ) 옥토니언( $\$
분열되다 종류들	$(\$ 이상 $):$ 분할복소수 스플릿 쿼터 분할 옥토네이션 $(\$ 이상 $):$ 바이콤플렉스 번호 비쿼터니온 바이오크토니온
기타 하이퍼컴플렉스	이중 번호 이중 사분위수 이중 복소수 쌍곡선 사분위수 Sedenions ( $\mathbb {S}$ { \ $displaystyle$ \ $mathbb$ { S $}$ ) 스플릿 바이쿼터니온 멀티플렉스 번호 기하학 대수 물리 공간의 대수 시공간 대수
기타 타입	기수 확장 자연수 무리수 퍼지 수 초실수 리바이 시비타 필드 초현실적 수 초월수 서수 p-adic 번호(p-adic 솔레노이드) 초자연수 초실수
분류 목록.

v t 무한소수
역사	적절성 라이프니츠 표기법 적분 기호 비표준 분석에 대한 비판 분석가 역학적 이론의 방법 카발리에리의 원리
관련 지점	비표준 분석 비표준 미적분 내부 집합론 합성 미분 기하학 부드러운 극소량 분석 건설적인 비표준 분석 무한소변형 이론(물리학)
형식화	차분 초실수 이중 번호 초현실적 수
개개의 개념	표준 부품 기능 이전원칙 하이퍼인테거 증분 정리 모나드 내부 세트 리바이 시비타 필드 초확정 집합 연속성의 법칙 오버스필 마이크로콘티뉴이티 초월적 균질성의 법칙
수학자	고트프리트 빌헬름 라이프니츠 에이브러햄 로빈슨 피에르 드 페르마 오귀스틴 루이 코시 레온하르트 오일러
교재	des Infinition Petit 분석 초등 미적분 Cours d'Analyse

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