스토크스파

유체역학에서 스토크스파는 일정한 평균 깊이의 비점상 유체층 위에 있는 비선형적이고 주기적인 표면파이다.이러한 유형의 모델링은 19세기 중반에 조지 스톡스 경이 현재 스톡스 팽창으로 알려진 섭동 연속 접근법을 사용하여 비선형 파동 운동에 대한 근사 솔루션을 얻으면서 비롯되었다.

스토크스의 파동 이론은 중간 및 심층수에서의 파동에 직접적으로 응용된다.이것은 파동 운동학(자유 표면 고도 및 유속)을 결정하기 위해 연안 및 연안 구조물의 설계에 사용된다.구조물에 ^[2]대한 파동 하중을 결정하기 위해 설계 과정에서 파동 운동학이 이후 필요하다.(깊이에 비해) Stokes 확장에 몇 가지 용어만 사용하는 긴 파형의 경우, 그 적용은 작은 진폭의 파동으로 제한됩니다.이러한 얕은 물에서는 종종 중앙파 이론이 더 나은 주기파 근사치를 제공합니다.

스토크스파는 엄밀한 의미에서 영구적인 형태의 점진적인 주기파를 의미하지만, 이 용어는 정재파^[3],^[4][5] 심지어 랜덤파에도 사용된다.

예

아래 예에서는 순수 파동 시 중력 작용(표면 장력 효과 없음)에 따른 스토크스 파동을 설명합니다. 따라서 주변 평균 전류가 없습니다.

깊은 물에서 3차 스토크스 파동

Stokes의 3차 이론에 따르면, 자유 표면 고도 θ, 속도 전위 δ, 위상 속도(또는 순도) c 및 파상 θ는 심층수 표면 중력파의 경우, 즉 유체층의 ^[6]깊이가 무한하다.

서 ''는

• x는 수평 좌표이다.
• z는 수직 좌표이며, 지구 중력 방향과 반대인 양의 z 방향이 위쪽이고 z = 0은 평균 표면 고도에 해당합니다.
• t는 시간입니다.
• a는 1차 파동 진폭이다.
• k는 각파수이고 k = 2µ / µ이며 θ는 파장이다.
• θ는 각 주파수, θ = 2 θ / θ (여기서 θ는 주기)
• g는 지구 중력의 강도로, 이 근사치의 상수이다.

팽창 파라미터 ka는 파도의 급경사로 알려져 있습니다.파동의 비선형성 ka가 증가함에 따라 위상 속도가 증가합니다.파고와 기압골의 표면 고도 θ의 차이인 파고 H는 다음과 같다.^[7]

속도 전위 δ의 2차 항과 3차 항은 0입니다.4차만 1차 이론에서 벗어나는 기여(즉, 1차 이론에서 벗어나는 기여)를 할 수 있습니다.공기 파동 이론 – 등장.^[6]3차까지 궤도 속도장 u = δ는 각 위치(x,z)에서 속도 벡터의 원형 운동으로 구성된다.그 결과, Stokes(1847)[8]가 이미 지적한 바와 같이, 심해파의 표면 표고는 양호한 근사 트로코이덜이 된다.

Stokes는 (이 오일러식 설명에서) 3차 궤도 속도장이 각 지점에서 원형 운동으로 구성되지만, 유체 구획의 라그랑지안 경로는 닫힌 원이 아니라는 것을 추가로 관찰했다.이는 표면 아래의 깊이가 증가할 때 속도 진폭이 감소하기 때문입니다.이 유체 구획의 라그랑지안 드리프트를 스토크스 ^[8]드리프트라고 합니다.

의

평균 깊이 ^[6][9]h의 유체층 표면 중력파에 대한 Stokes의 2차 이론에 따르면 표면 고도 δ와 속도 전위 δ는 다음과 같다.

유한한 깊이의 경우 속도 전위 δ가 위치(x 및 z)에 관계없이 시간의 선형 드리프트를 포함하는지 관찰한다.이 시간 드리프트와 δ의 이중 주파수 항(sin 2' 포함)은 모두 심해파에 대해 사라진다.

Stokes 및 Ursell 매개 변수

스톡스의 2차 이론에 따르면 2차 및 1차 자유 표면 진폭의 비율 S는 다음과 같습니다.^[6]

깊은 물에서, 큰 kh의 비율 S는 점근선을 가진다.

장파(예: 작은 kh)의 경우 비율 S는 다음과 같이 동작한다.

또는 파장 높이 H = 2a 및 파장 θ = 2µ / k의 관점에서:

여기서 U는 Ursell 파라미터(또는 Stokes 파라미터)입니다.높이 H가 작은 장파(λ h h)의 경우.U 32 32² / 3 100 100, 2차 스토크스 이론이 적용된다.그렇지 않으면 상당히 긴 파장(θ > 7h)의 가시높이 H에 대해서는 노이드파 기술이 더 ^[6]적합하다.헤지스에 따르면 U < 40에는 5차 스토크스 이론이 적용 가능하며, 그렇지 않으면 5차 노이드파 이론이 바람직하다.^[10][11]

3차 분산 관계

중력의 작용에 따른 스토크스 파형의 경우, 3차 분산 관계는 스토크스의 [9]순도에 대한 첫 번째 정의에 따르면 다음과 같습니다.

이 3차 분산 관계는 2차 스토크스 솔루션을 3차 방정식(주기적 파동 문제에 대한 섭동 급수의)에 삽입할 때 세속적인 항을 피하는 직접적인 결과이다.

(이러한 경우) :

(이것 때문에) :

위와 같이 분산 관계의 장파 스토크스 확장은 Ursell 파라미터의 값이 충분히 작을 경우에만 유효합니다.U 100 100 。

★★★

파동 Stokes의

표면 중력파에 대한 해법을 찾는 데 있어 근본적인 문제는 자유 표면의 위치에 경계 조건을 적용해야 한다는 것인데, 이는 사전에 알려지지 않았기 때문에 찾아야 할 해법의 일부이다.조지 스톡스 경은 1847년 평균(또는 여전히) 표면 ^[12]고도를 중심으로 테일러 계열의 관련 잠재적 흐름량을 확장함으로써 이 비선형 파동 문제를 해결했다.그 결과, 경계 조건은 평균(또는 아직) 표면 표고(고정되고 알려진)에서의 양으로 표현될 수 있다.

다음으로, 비선형 파동 문제(평균 또는 정지 표면 표고 주변의 테일러 계열 확장을 포함)에 대한 해답은 작은 매개변수(대부분 파도의 가파름)의 관점에서 스토크스 팽창으로 알려진 섭동 시리즈를 통해 모색된다.확장의 알 수 없는 용어는 ^[6][8]순차적으로 해결할 수 있습니다.엔지니어링 ^[11]목적으로 충분한 정확성을 갖춘 솔루션을 제공하기 위해 필요한 용어가 적은 경우가 많습니다.일반적인 적용은 연안 및 연안 구조물 및 선박의 설계에 있다.

비선형파의 또 다른 특성은 비선형파의 위상 속도가 파고에 따라 달라진다는 것입니다.섭동 계열 접근법에서 이것은 파동의 주기적인 거동과 모순되는 용액의 거짓된 영속적 변동을 쉽게 일으킨다.Stokes는 분산 관계를 섭동 계열로 확장하여 이 문제를 해결하였다. 이 방법은 현재 린드슈테트-팽카레 ^[6]방법이라고 알려져 있다.

★★★★★★

스토크스의 파동 이론은 섭동 팽창의 낮은 차수(예: 2차, 3차 또는 5차)를 사용할 때 중간 및 심층수의 비선형 파동, 즉 평균 깊이(h)에 비해 크지 않은 파장(θ)에 유효하다.얕은 물에서는 낮은 순위의 스토크스 확장이 (깊이에 비해) 현저한 파진폭에 대해 분해(비현실적인 결과 제공)됩니다.그런 다음 Bousinesq 근사치가 더 적절합니다.Bousinesq-type (다방향) 파동 방정식에 대한 추가 근사치는 단방향 파동 전파를 위해 Korteweg-de Vries 방정식 또는 Benjamin-Bona-Mahony 방정식으로 이어진다.정확한 스토크스파 ^[14]해와 마찬가지로, 이 두 방정식은 중성파라고 알려진 주기파 해 외에 단독파(^[11]솔리톤) 해를 가지고 있습니다.

Modern ( 확장자)

1914년 이미 윌튼은 8차수에서 ^[15]오류를 발생시켰지만 심층수 표면 중력파를 위한 스톡스 확장을 10차까지 확장했다.유한 깊이에 대한 5차 이론은 1955년 ^[16]De에 의해 도출되었다.엔지니어링 용도로 Fenton의 5차 공식이 편리하여 Stokes의 첫 번째 및 두 번째 위상 속도(순차)^[17] 정의에 모두 적용할 수 있습니다.5차 스토크스 이론이 5차 뇌파 이론보다 더 나은 때 사이의 경계는 약 ^[10][11]40 미만의 Ursell 매개변수에 대한 것이다.

비선형 파동 문제에 대한 스토크스식 접근법에서는 기준 프레임 및 확장 매개변수에 대한 다른 선택이 가능하다.1880년 스톡스는 속도 퍼텐셜과 스트림 함수를 독립 변수로, 좌표(x,z)를 ^[18]종속 변수로 각각 x와 z를 수평과 수직 좌표로 하여 종속 변수를 반전시켰다.이는 파동이 일정(즉 위상 속도에 따라 이동하는) 기준 프레임에서 자유 표면이 흐름 함수가 일정한 선에 해당한다는 장점이 있다.그러면 솔루션의 알려지지 않은 부분이 아니라 자유로운 표면 위치를 미리 알 수 있습니다.단점은 다시 배치된 직렬 확장의 컨버전스 ^[19]반경이 감소한다는 것입니다.

또 다른 접근법은 유체 구획을 따라 라그랑지안 기준 프레임을 사용하는 것입니다.라그랑지안 공식은 오일러 프레임과 프레임에서의 공식과 비교하여 향상된 수렴을 보여준다.^[20][21]

영구적인 형태의 비선형 순수 모세관파 및 무한 유체 깊이에 대한 정확한 해법은 Crapper에 의해 1957년에 획득되었습니다.중력 효과가 무시할 수 있는 경우 표면 장력에 의해 강제되는 단파인 이러한 모세관 파동은 날카로운 홈과 평평한 볏을 가지고 있다는 점에 유의하십시오.이는 날카로운 볏과 평평한 ^[22]기압골이 있는 비선형 표면 중력파와 대조된다.

컴퓨터 모델을 사용하여 Schwartz(1974년)에 의해 최고(117위)까지 표면 중력파에 대한 Stokes 확장이 지속되어 왔다.슈워츠는 1차 기본값의 진폭 a(또는₁ a)가 최대 파고 H에 도달하기 전에 최대치에 도달한다는 것을 발견했다.따라서 파진폭에 관한 파급도 ka는 최고파까지의 단조함수가 아니며, 대신 kH를 팽창 파라미터로 이용한다.깊은 물에서 가장 높은 파장을 추정하기 위해 Schwartz는 스톡스 팽창의 수렴을 개선하기 위해 Padé 근사치와 돔브-사이크스 그림을 사용했다.윌리엄스(1981, 1985년)에는 다양한 깊이의 스토크스 파동의 확장 표가 제공되며, 다른 방법에 따라 계산된다.

Longuet-Higgins(1975)에 의해 발견된 것과 같이 운동성과 퍼텐셜 에너지, 수평파 운동량 및 방사선 응력과 같은 몇 가지 정확한 관계가 적분 특성 사이에 존재한다.그는 심해파의 경우, 이러한 적분 특성 중 많은 부분이 최대 파고에 도달하기 전에 최대치를 갖는다는 것을 보여준다(슈워츠의 발견을 뒷받침한다).코크렛(1978) 하비스타 오류: 대상 없음: CITREFCokelet1978(도움말)은 Schwartz의 방법과 유사한 방법을 사용하여 광범위한 유한 수심(모두 최대 파고 이하에 도달)에 대한 적분 특성을 계산하고 표로 작성했다.또한 이러한 적분 성질은 노에터의 정리를 ^[25]통해 물파의 보존 법칙에 중요한 역할을 한다.

2005년, Hammack, Henderson, Segur는 깊은 물속에 영구적인 형태의 3차원 진행파가 존재한다는 최초의 실험 증거를 제공했다. 즉, 2주기적이고 ^[26]2차원적인 진행파 패턴이다.이러한 3차원 안정 심수파의 존재는 2002년 크레이그와 니콜스가 수치적 ^[27]방법을 사용하여 2차원 스토크스파의 분기 연구를 통해 밝혀졌다.

Stokes 팽창의 수렴은 Levi-Civita(1925)에 의해 무한 깊이의 유체의 자유 표면에서 작은 진폭파의 경우에 대해 처음으로 증명되었습니다.이것은 곧 Struik(1926)에 의해 유한한 깊이와 작은 진폭의 ^[28]파장의 경우에 확장되었다.

20세기 말경, 유한진폭파의 경우 스토크스 팽창의 수렴은 주기파 문제의 공식화에 크게 좌우된다는 것이 밝혀졌다.예를 들어, Stokes가 사용한 주기파 문제의 역 공식은 속도 전위와 스트림 함수의 함수로써 공간 좌표를 사용하여 고진폭파에 수렴하지 않는다.다른 공식은 예를 들어 오일러 기준 프레임에서 훨씬 더 빠르게 수렴하는 반면 (속도 전위 또는 흐름 함수가 공간 ^[19]좌표의 함수로서)

파동 ★★★★

주기적 및 전파적 심해파의 최대 파도의 경사는 H / θ 0 0.1412이므로 파고는 약 7분의 1이다.파장 ^[24]θ의 1/7)입니다.그리고 이 최대 높이의 표면 중력파는 120°(유체 영역 내)의 각도로 날카로운 파장을 가지고 있으며,^[18] 1880년 Stokes에 의해 나타난 바와 같이 유한한 깊이에 대해서도 마찬가지이다.

깊은 물에서 가장 높은 파도의 경사도(H / θ θ 0.142)의 정확한 추정은 이미 1893년 John Henry Michell에 의해 수치적 ^[29]방법을 사용하여 이루어졌다.말콤 A는 뾰족한 모서리 꼭대기 근처에서 가장 높은 파도의 거동에 대한 더 자세한 연구를 발표했다.1973년에 그랜트.^[30]깊은 물에서 120°의 날카로운 각을 가진 가장 높은 파도의 존재는 1978년 ^[31]존 톨랜드에 의해 증명되었다.120°의 날카로운 각이 있는 연속 최대치 사이의 δ(x)의 볼록성은 C.J에 의해 독립적으로 증명되었다.아믹 외 연구원과 파벨 1세1982년 ^[32][33]플로트니코프.

중력의 작용 하에서 가장 높은 스토크스파는 다음과 같은 단순하고 정확한 자유 표면 고도 δ(x,t)^[34]로 근사할 수 있다.

★★★★★★에

파장의 정수에 걸쳐 수평으로 이동해 일반 파열의 다른 파장을 나타냅니다.이 근사치는 파장이 ^[34]가장 높은 "정확한" 솔루션과 비교하여 어디에서나 0.7% 이내로 정확합니다.

가장 가파른 파도의 표면에서 유체 운동의 또 다른 정확한 근사치는 이전 것보다 정확하지 않지만, 대부시계의 ^[35]진자 흔들림과 유사합니다.

깊은 물속에서는 스토크스파가 ^[36]불안정하다.이것은 T에 의해 나타났다. 브룩 벤자민과 짐 E.1967년에 ^[37][38]Feir.벤자민-Feir 불안정성은 측대역 또는 변조 불안정성으로, 측대역 변조는 반송파와 같은 방향으로 전파됩니다.파도는 깊이가 kh > 1.363일 때(파수 k는 파수,^[39] h는 평균 수심) 깊은 물에서 불안정해집니다.벤자민-Feir 불안정성은 사이드 ^[36]밴드가 있는 스토크스 파형을 삽입함으로써 비선형 슈뢰딩거 방정식으로 설명할 수 있습니다.그 후 좀 더 정교한 분석을 통해 스토크스파와 그 사이드밴드가 페르미-파스타-울람-칭구 반복을 보인다는 것이 이론적으로나 실험적으로 증명되었다. 즉,^[40] 변조와 복조 사이의 주기적인 교대이다.

1978년 Longuet-Higgins는 완전 비선형 파동 및 변조($반송파$ 방향으로 전파)의 수치 모델링을 통해 ($파장{\displaystyle \mathrm{}}$ $/$$k보다$작은 공간적 스케일의 섭동에 대해) 깊은 물에서 불안정 영역에 대한 상세 분석을 제시했다.$$(${\displaystyle \mathrm{2\mu }}$/$$(\$displaystyle$ 2$\pi / k$)$$^[42]보다 큰 공간 스케일에서의 섭동의 경우) 및 하위 고조파.Longuet-Higgins의 2차원 파동 연구뿐만 아니라 McLean 등의 3차원 변조 연구에서도 새로운 유형의 불안정성이 발견되었는데, 이는 5개 이상의 파동 ^[43][44][45]성분 간의 공명파 상호작용과 관련이 있다.

스토크스 확장

대부분의 경우, 표면파의 유체 내부 진동 흐름은 자유 표면과 바닥 근처의 경계층을 제외하고 전위 흐름 이론을 사용하여 정확하게 설명할 수 있다(비스코스 효과로 인해 소용돌이성이 중요한 경우, 스토크스 경계층 ^[46]참조).유속 u는 속도 전위$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle \Phi$의 구배라고 할 수 있다.

$$displaystyle \mathbf {u} = \bold 기호 \phi }$$

(A)

따라서 압축할 수 없는 흐름을 가정할 때 속도장 u는 발산이 없고 속도전위$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$display\Phi)$는 라플라스 방정식을^[46] 만족한다.

$$\ 0}\displaystyle ^{2}\Phi = 0}$$

(B)

동적유

유체 영역은 3차원 데카르트 좌표(x,y,z)를 사용하여 설명되며, x와 y는 수평 좌표, z는 수직 좌표이며, 양의 z 방향은 중력 가속도 방향과 반대입니다.시간은 t로 표시됩니다.자유 표면은 z = µ(x,y,t)에 위치하며 유체 영역의 하단은 z = -h(x,y)에 있습니다.

표면 중력파에 대한 자유 표면 경계 조건은 잠재적 흐름 설명을 사용하여 운동학적 및 동적 경계 ^[47]조건으로 구성된다.운동학적 경계 조건은 유체 유속의 정상 $성분$인 u ${\displaystyle =}$ [ ${\displaystyle \mathrm{\partial }\mathrm{\phi }}$ /${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{x}}$ x ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$/ / /${\displaystyle \mathrm{}y}$ y ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$∂ / ${\displaystyle z}$ z${\displaystyle {}^{}}$] ${\displaystyle {T\mathrm{}}^{}}$ \$displaystyle$\$mathbf {u}$= [ \ $display$\$Phi$/ \ $phi$ ~ ~$]$를 보장합니다$.$자유 표면 운동 z = δ(x,y,t):

$$(\displaystyle {\frac \eta} + {\frac x}, {\frac y}, {\frac \eta}, {\frac \eta}, {\frac = frac }}}$$

(C)

동적 경계 조건은 표면 장력 효과가 없는 한 자유 표면 바로 위의 대기압이 표면 바로 아래의 유체 압력과 동일함을 나타냅니다.비정상 전위 흐름의 경우 이는 베르누이 방정식이 자유 표면에 적용됨을 의미합니다.대기압이 일정할 경우 동적 경계 조건은 다음과 같이 됩니다.

$$^{ (,tdisplaystyle {\frac {\f} {\frac} {\frcr} f}$$

(D)

일반성의 손실 없이 일정한 대기압을 0으로 간주한다.

둘 다 경계 조건.:잠재적인 Φ{\displaystyle \Phi}뿐만 아니라 표면 고도 η만 잠재적인 Φ{\displaystyle \Phi}, 그리고 운동학적 경계 조건을 사용하여 역학적 경계 조건의 소재가 파생 상품으로 건설해야 할 수 있는 면에서 한(동적)경계 조건을 포함하고 있다.[46][47][48]

$${displaystyle {\frac}{\frac ^{2}{\frac t^{2}}+g, {\frac {\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{\mathbfu }{\t}}}}}}$$

(E)

유체층의 바닥에서 투과성을 확보하려면 유속의 정상 성분이 ^[46]사라져야 합니다.

$$디스플레이 스타일Phi {\frac {1+\frac} {\frac x} {\frac} {{2} +\frac {\frac} {\frac} {\frac} {\frac} {\frac} {\frac} {\frac} {\frac} {\fac} {\frac} {\frac}$$

(F)

여기서 h(x,y)는 기준 z = 0 아래의 바닥 깊이이고 n은 침상에 수직인 방향의 좌표 성분이다.

수평 침대 위의 영구 파동의 경우 평균 깊이 h는 상수이며 침대 경계 조건은 다음과 같다.

경계

자유 표면 경계 조건(D) 및 (E)은 아직 알려지지 않은 자유 표면 고도 z = µ(x,y,t)에 적용됩니다.이러한 ^[46]값은 해당 표고 주변의 흐름 필드의 테일러 직렬 확장을 사용하여 고정 표고 z = 상수의 경계 조건으로 변환할 수 있습니다.일반성의 손실 없이 평균 표면 표고(Taylor 시리즈가 개발된 주변)는 z = 0에서 측정할 수 있다.이렇게 하면 확장이 실제 자유 표면 고도에 근접한 표고 주변이 됩니다.소진폭 정상파 운동을 위한 테일러 시리즈의 수렴은 Levi-Civita(1925)에 의해 증명되었다.

다음 표기법이 사용된다. z = 0 주위에 있는 일부 필드 f(x,y,z,t)의 테일러 급수는 다음과 같다.^[49]

z = 0에서 평가를 의미하는 첨자 0이 있는 예:[f]₀ = f(x,y,0,t).

전위 δ의 관점에서 자유 표면 경계 조건 Eq. (E)에 테일러 확장을 적용하면 다음을 ^[46][49]얻을 수 있다.

$${\displaystyle{\begin{정렬}&, \left[{\frac{\partial ^{2}\Phi}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac{\partial \Phi}{\partial z}}\right]_{0}+\eta \left[{\frac{}\partial{\partial z}}\left({\frac{\partial ^{2}\Phi}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac{\partial \Phi}{\partial z}}\right)\right]_{0}+\left는 경우에는{\frac{\partial}{\partial지}}\left(\mathbf{u}^{2}.\rig{\displaystyle{\begin{\partial ^{2}\Phi}{\partial t^{2}}+g, {\frac{\partial z}}\right]_{0}+eta \left[\frac{\partial z}\frac{\partial t^{2}}+g}\frac{\flefartial z}{\flight}\frac}{\flight}\flefartial z}\f}\right)\right]_{0}\\&, \quad +{\tfrac{1}{2}}\,\eta ^ᆭ\left[{\frac{\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac{\partial ^{2}\Phi}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac{\partial \Phi}{\partial z}}\right)\right]_{0}+\eta \left[{\frac{\partial ^{2}}{\partialt\,\partial z}}\left(\mathbf{너}^{2}\right)\right]_{0}+\left는 경우에는{\tfrac{1}{2}}\,\mathbf{u}\c.점 bo }\right]_{0}\&, \quad +{\tfrac{1}{2},\eta ^\left[{\frac{\partial ^{2}}\left({\frac{\partial ^{2}}\frac{\partial ^{2}},\frac{\frac}) {\ {left}\right{0}\&\ +{alignedldsymbol(\mathbf {u}{2}\right)_{0}\&\cdots + 0,\ended}}}\right]$$

(G)

3차 O(ka)³까지 스토크스 확장을 시공하는 데 필요한 products, ,, u의 최대 3배 곱을 나타낸다.여기서 ka는 연구 중인 문제에 대한 특징적인 파장 수와 특징적인 파장 진폭을 갖는 파장 경사도이다.필드 ,, are 및 u는 O(ka)로 간주됩니다.

동적 자유 표면 경계 조건 Eq. (D)는 다음과 같이 ^[46][49]z = 0에서 수량 측면에서 평가할 수 있다.

$${\displaystyle{\begin{정렬}&, \left[{\frac{\partial \Phi}{\partial t}}+g\,\eta\right]_{0}+\eta \left[{\frac{\partial ^{2}\Phi}{\partialt\,\partial z}}\right]_{0}+{\biggl[}{\tfrac{1}{2}}\,\left \mathbf{너}\right{2}{^\biggr]}_{0}\\&, \quad +{\tfrac{1}{2}}\,\eta ^{2}\left[{\frac{\partial ^{3}\Phi}{\partialt\,\partial z^{2}}}\rig.ht]_{0}+\displaystyle{\begin{렬}&, \left[\frac{\partial \Phi}{\partial t}}+{0}+\eta \left[{\frac{\partial ^2}\Phi}{\partial z}\,\frac{\fright}{\frac}}_{0}\&, \tfrac {1}{2},\eta ^{2},\left [{\fracc}\partialt,\partial z^{2}}\rig.ht]_{left\eta \left [{\frac {\frac z}\left\tfrac {1}{2},\left \mathbf {u}\right ^{2}\right]_{0}+\ = end {aligned}\end {aligned}}}\end {aligned}}$$

(H)

이러한 테일러 직렬 확장의 장점은 약한 비선형 파동(ka , 1)에 대한 섭동 직렬 접근법과 함께 완전히 나타난다.

계열

섭동 계열은 작은 순서 매개 변수 δ δ 1의 관점에서 볼 수 있으며, 이는 파동 기울기 ka에 비례하는(및 순서의) 것으로 판명되었다. 이 ^[50]섹션의 직렬 솔루션을 참조하십시오.ε = ka:

플로우 방정식에 적용할 경우 θ의 특정 값과는 무관하게 유효해야 합니다.,의 거듭제곱을 ,로 함으로써 to에 비례하는 각 항은 0이 되어야 한다.섭동 계열 접근법이 작동하는 방법의 예로서 비선형 경계 조건(G)을 고려하면 다음과 같이 된다.^[6]

처음 세 차수에 대해 z = 0에서 발생하는 경계 조건은 다음과 같습니다.

퍼스트 오더:

$${\displaystyle {\frac ^{2}\Phi _{1}{\frac \Phi _{1}{\frac z}=0,}$$

(J1)

2차 주문:

$${\displaystyle {\frac ^{2}\Phi _{2}}+g, {\frac \Phi _{2}{\frac z}=-\eta _{1}, {\frac {\frac z}}\left\frac {\phi ^{2} {\phi} {{1}$$

(J2)

제3순서드 오더:

$${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac{\partial \Phi_{3}}{z\partial}}=&, -\eta _{1}\,{\frac{\partial}{z\partial}}\left({\frac{\partial ^{2}\Phi_{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac{\partial \Phi_{2}}{\partial z}}\right)-\eta _{2}\,{\frac{\partial}{z\partial}}\left({\frac{\partial ^{2}\Ph.나는_{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac{\partial \Phi_{1}}{z\partial}}\right)\\&, -2\,{\frac{\partial}{\partial지}}\left(\mathbf{너}_{1}\cdot{너}_{2}\right\mathbf)-{\tfrac{1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac{\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac{\partial ^{2}\Phi_{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac{\partial \Phi_{1}}{\partial z}}\right)\\&, -\.에타 _{1}\frac {\frac {\symbol {2}} {\frac z}}\left(\mathbf {u} _{1} ^{2}\right)-{\tfrac {u} _{1} \cdot {\symbol {\symbla} } } } \ lef {\left(\fright)\end { aligned}}$$

(J3)

마찬가지로 동적 경계 조건(H)에서 z = 0의 조건은 1, 2, 3의 순서로 다음과 같습니다.

퍼스트 오더:

$$(\displaystyle\frac\Phi_{1}{\display t}}+g,\eta_{1}=0,}$$

(K1)

2차 주문:

$${\displaystyle {\frac \Phi _{2}}+g,\eta _{2}=-\eta _{1},{\frac {1},\frac z}-{\tfrac {1},{\frac {2},{\fright}, {\mathbfu},{1}, {\frac {1}, {1}, {\f}, {\f}, {\f}, {\f}, {\f}, {\f}$$

(K2)

제3순서드 오더:

$${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\partial \Phi_{3}}{\partial지}}+g\,\eta _{3}=&,-\eta _{1}\,{\frac{\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partialt\,\partial z}}-\eta _{2}\,{\frac{\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partialt\,\partial z}}-\mathbf{u}_{1}\cdot\mathbf{u}_{2}\\&, -{\tfrac{1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac{\partial ^{3}\Phi _{1}}{\partial t\,\.부분z^{2}}-\eta _{1},{\frac {\frac z}},\left\tfrac {1}{2}},\left \mathbf {u}_{1}\right ^{2}\fright.\end { aligned}}$$

(K3)

선형 방정식 (A), (B) 및 (F)의 경우, 섭동 기법은 다른 순서로 섭동 해와 독립적인 일련의 방정식을 생성한다.

$$(\displaystyle\왼쪽).{\carray {rcl}\mathbf {u}_{j}&{\boldsymbol {j}}\Phi ^{j},\[1ex]\display style {frac \ phi _0j}\cla ^{j},\[1ex]\displaystyle = n}}$$

(L)

위의 섭동 방정식은 순차적으로 풀 수 있다. 즉, 첫 번째 순서부터 시작해서 두 번째 순서, 세 번째 순서 등으로 계속된다.

영구적인 형태의 진행성 주기파에 적용

영구적인 형태의 파동은 c로 표시된 일정한 위상 속도(또는 순도)로 전파됩니다.정상파 운동이 수평 x-방향일 경우 흐름량 θ와 u는 x와 시간 t에 별도로 의존하지 않고 x - ^[52]ct의 함수입니다.

또한 파장은 각각 파장 θ와 주기 θ를 갖는 수평 공간 x와 시간 t에서 주기적이며 영구적이기 때문에 주기적이다.δ(x,^[53]z,t) 자체는 x 및/또는 t에서 일정한(선형) 드리프트의 가능성이 있기 때문에 주기적으로 필요하지 않습니다.

δ(x,z,t) 및 δ/δt 및 δ/δx 도함수가 주기적이다.여기서 β는 트로프 레벨 아래의 평균 유속이며, β는 파동의 위상 속도 c와 함께 이동하는 기준 프레임에서 관찰된 바와 같이 유압 헤드와 관련된다(따라서 이 기준 프레임에서 흐름이 안정된다).

스토크스 팽창을 진행 주기파에 적용하기 위해서는 파상 δ(x,^[45][53]t)의 함수로 푸리에 급수를 통해 설명하는 것이 유리합니다.

x방향으로 전파되는 파동을 가정합니다.여기서 k = 2θ / θ는 파수, θ = 2θ / θ는 각 주파수, c = θ / k(= θ / θ)는 위상 속도입니다.

이제 주기파의 자유 표면 표고θ(x,t)는 푸리에 ^[11][53]급수로 설명할 수 있습니다.

마찬가지로, 속도 전위 δ(x,z,t)에 대응하는 식은 다음과 같다.^[53]

유체 내부에서의 라플라스 방정식 ²δ = 0과 바닥 z = -h에서의 경계 조건 δ δ/δz = 0을 모두 만족한다.

파수 k의 소정치에 대해서는 파라미터 A_n, B(n = 1, 2, 3, ...), c, β 및 β는_n 아직 결정되지 않았다.그것들은 모두 ε에서 섭동 계열로 확장될 수 있다.Fenton(1990)은 5차 스톡스 파동 이론에 대해 이러한 값을 제공한다.

진행성 주기파의 경우, θ(x,t)의 함수 f(θ,z)의 x 및 t에 대한 미분은 θ에 대한 미분으로 표시할 수 있다.

비선형파의 중요한 포인트는 선형 에어리파 이론과 대조적으로 위상 속도 c는 파장 = 2µ / k 및 평균 깊이 h에 대한 의존성 외에도 파장 진폭 a에 의존한다는 것이다. 파장 진폭에 대한 c의 의존성의 소홀은 고차 기여에 대한 영속적인 항의 출현을 초래한다.섭동 급수 해법.Stokes(1847)는 영속적인 동작을 방지하기 위해 위상 속도 c에 필요한 비선형 보정을 이미 적용했다.이를 위한 일반적인 접근법은 현재 린드슈테트-팽카레 방법으로 알려져 있다.파수 k가 주어지고 고정되므로 각 주파수 θ를 섭동 계열로 ^[9]확장하여 위상 속도 c = θ / k의 비선형 거동을 고려한다.

여기서 θ는₀ 선형분산관계에 의해 파수 k와 관련지어집니다.그러나, 시간 도함수는 "f/도함수 = -f/도함수₂"를 통해 섭동 급수의 높은 차수로 지배₁ 방정식에 기여한다.,, , 등을₁₂ 튜닝함으로써 영속적인 동작을 방지할 수 있다.표면 중력파의 경우, θ₁ = 0이며, 분산 관계에 대한 첫 번째 비제로 기여는 θ에서₂ 나온다(예: ^[9]위의 하위 섹션 "3차 분산 관계" 참조).

Stokes의 파동 순도에 대한 두 가지 정의

비선형 표면파의 경우 일반적으로 전체 운동을 파형 부분과 평균 부분으로 분할할 때 모호성이 있습니다.그 결과 파형의 위상 속도(순도)를 선택할 수 있는 자유가 있습니다.Stokes(1847)는 Stokes의 첫 번째 및 두 번째 파동 ^[6][11][54]순도의 정의로 알려진 위상 속도의 두 가지 논리적 정의를 식별했다.

1. Stokes의 파동 순도에 대한 첫 번째 정의는 순수 파동 움직임의 경우, 0에 해당하는 트로프 레벨 아래의 위치에서 수평 오일러 흐름 속도 UU의_E 평균 값을 가진다.수평 해저와 주기성 평균 수평 속도와 함께 잠재적 흐름의 비회전성으로 인해 평균 수평 속도는 바닥과 트로프 레벨 사이에 일정하다.따라서 Stokes의 첫 번째 정의에서는 파동이 평균 수평_E 속도 UU와 함께 이동하는 기준 프레임에서 고려된다.이는 예를 들어 측정에서 평균 오일러 유속 UU가_E 알려진 경우 유리한 접근법이다.
2. 스톡스의 파동 순도에 대한 두 번째 정의는 파동 운동의 평균 수평 질량 전달이 0인 기준 프레임에 대한 것입니다.이는 스플래시 존의 질량 운송, 즉 파동 전파 방향의 기압골과 파고 수위 사이의 질량 운송으로 인한 첫 번째 정의와 다르다.이러한 파동에 의한 질량 수송은 표면 표고와 수평 속도 사이의 양의 상관관계에 의해 발생합니다.Stokes의 두 번째 정의에 대한 기준 프레임에서 파동에 의한 질량 수송은 반대되는 언더워에 의해 보상된다(따라서 양의 x 방향으로 전파되는 파동의 경우 UU_E < 0).이것은 실험실의 웨이브 플룸에서 발생하는 파동 또는 해변을 향해 수직으로 이동하는 파동에 대한 논리적인 정의입니다.

Michael E. McIntyre가 지적한 바와 같이, 평균 수평 질량 수송은 정지된 물에 접근하는 파도 그룹에 대해 0에 가까울 것이며, 깊은 물속에서는 되돌아오는 흐름의 반대쪽 질량 수송에 의해 균형 잡힌 파도에 의한 질량 수송이 될 것이다(아래).^[55]이는 그렇지 않으면 파동 그룹이 전파하는 수역을 가속하기 위해 큰 평균 힘이 필요하기 때문이다.

메모들

References

External links

• Jun Zhang, Stokes waves applet, Texas A&M University, retrieved 2012-08-09