트로코이드파

유체 역학에서 트로코이드파 또는 거스트너파는 주기적인 표면 중력파에 대한 오일러 방정식의 정확한 용액이다. 무한 깊이의 불압축 유체의 표면에 영구적인 형태의 진행파를 묘사한다. 이 파동 용액의 자유 표면은 반전된(상향-하향) 트로코이드로, 더 날카로운 볏과 평평한 수조를 가지고 있다. 이 파동 용액은 1802년 게르스트너에 의해 발견되었고, 1863년 랭킨에 의해 독자적으로 재발견되었다.

Trochoidal 파동과 관련된 유동장은 비회전적이지 않다. 그것은 vorticity를 가지고 있다. vorticity는 매우 특정한 강도와 수직 분포로 유체 소포의 궤적이 폐쇄 원이다. 이는 파동 운동과 관련된 스톡스 드리프트의 일반적인 실험 관측과는 대조적이다. 또한 위상 속도는 다른 비선형 파동 이론(Stokes 파동 및 Cnoidal 파동의 그것과 같은) 및 관측과는 달리 트로코이드 파형의 진폭과 무관하다. 유한한 유체 깊이에 대한 솔루션이 부족하다는 사실뿐만 아니라 이러한 이유로 트로코이드 파형은 엔지니어링 애플리케이션에 제한적으로 사용된다.

컴퓨터 그래픽에서, 사실적으로 보이는 바다의 파형의 렌더링은 이른바 거스트너 파동을 사용함으로써 이루어질 수 있다. 이것은 전통적인 게르스트너 파동의 다요소 및 다방향 확장으로, 빠른 푸리에 변환을 사용하여 애니메이션을 실현(실시간)할 수 있도록 하는 경우가 많다.^[1]

고전 트로코이드 파동 설명

흐름장의 라그랑지안 규격을 사용하여 유체 구획의 움직임은 무한 깊이의 유체 층 표면에서 주기적인 파동을 위해 다음과 같다.^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}X(a,b,t)&=a+{\frac {\mathrm {e} ^{kb}}{k}}\sin \left(k(a+ct)\right),\\Y(a,b,t)&=b-{\frac {\mathrm {e} ^{kb}}{k}}\cos \left(k(a+ct)\right),\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle x=X(a,b,t)}$ and ${\displaystyle y=Y(a,b,t)}$ are the positions of the fluid parcels in the ${\displaystyle (x,y)}$ plane at time ${\displaystyle t}$, with ${\displaystyle x}$ the horizontal coordinate and ${\displaystyle y}$ the vertical 좌표(긍정적인 위쪽으로 중력 반대 방향으로) The Lagrangian coordinates ${\displaystyle (a,b)}$ label the fluid parcels, with ${\displaystyle (x,y)=(a,b)}$ the centres of the circular orbits – around which the corresponding fluid parcel moves with constant speed ${\displaystyle c\,\exp(kb).}$ Further ${\d$$isplaystyle k=2\pi /\displayda }$은 wavenumber(및 $\lambda {\displaystyle }$ λ ${\displaystyle \lambda }$ 파장은 x ${\displaystyle$ x}$-방향$으로 $전파$되는 위상 속도다$.$ 위상 속도는 산포 관계를 만족한다.

${\displaystyle c^{2}={\frac {g}{k}},}$

이는 파형 비선형성과 무관하며(즉, 파형 $높이{\displaystyle }$ H ${\displaystyle H}$에 의존하지 않음),$$ 이 위상 속도 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$은 깊은 물 속 에어리의 선형 파형에 대해 동일하다$$.

자유 표면은 일정한 압력의 $선이며{\displaystyle }$,${\displaystyle }$b = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$와 일치하는 것으로 확인되며$,$ 여기서 ${\displaystyle b_{}}$ s ${\$는 (비양) 상수다$$. $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle b_{s}=0}$의 경우 가장 높은$$ 파동이 발생하며, 쐐기 모양의 볏이 있다. 가장 높은 (비회전) 스톡스 파형은 회전 트로코이드 파형의 경우 0° 대신 파고 각도가 120°인 점에 유의하십시오.^[3]

트로코이드파의 파고는 $H{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$/ ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle \exp }$exp${\displaystyle }$( ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle H=(2/k)\exp(kb_{s})$이다.$}$ 파장은$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ -방향으로$$ 주기적이며, 파장은 $\lambda {\displaystyle }$; ${\displaystyle \lambda ;}$이며, 주기 $T{\displaystyle }$= ${\displaystyle \lambda }$ /${\displaystyle }$c${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sqrt{2}}$ ${\displaystyle \sqrt{/}}$ / ${\displaystyle \sqrt{g}}$. ${\displaystyty$ T$=\lambda$ /c$={\sqrt {2\pi \lambda /g}.$$}$

트로코이드 파동 아래의$$ vorticity $\varpi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varpi$}은(는) 다음과 같다.^[2]

${\displaystyle \varpi(a,b,t)=-{\frac {2\,k\,c\\\mathrm {e}^{2kb}}}}},$

Lagrangian 표고 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$과(와) 변화하고$$ 자유 표면 아래의 깊이와 함께 빠르게 감소한다.

컴퓨터 그래픽에서

게르스트너의 트로코이드 파동에 사용된 자유 표면 운동에 대한 라그랑지안 설명의 다요소 및 다방향 확장은 컴퓨터 그래픽으로 해양 파동의 시뮬레이션을 위해 사용된다.^[1] 고전적인 거스트너 파동의 경우 유체 운동은 자유 표면 아래의 비선형, 압축 불가능한, 비결정적인 유동 방정식을 정확하게 만족시킨다. 단, 확장된 게르스트너 파형은 일반적으로 이러한 흐름 방정식을 정확히 만족시키지 못한다(약간 만족하기는 하지만, 즉 전위 흐름에 의한 선형화된 라그랑지안 설명). 바다에 대한 이러한 설명은 빠른 푸리에 변환(FFT)을 사용하여 매우 효율적으로 프로그래밍할 수 있다. 더욱이 이 과정에서 발생하는 해양 파동은 자유 표면의 비선형 변형(운동의 라그랑지안 사양으로 인한)의 결과로서 현실적으로 보인다.

이 거스트너 파동에서의 자유 표면의 수학적 설명은 다음과 같을 수 있다:^[1] 수평 좌표는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$및 $z$ ${\displaystyle$ z$}$로 표시되며$,$ 수직 좌표는 y ${\displaystyle y}$이다$.$ 자유 표면의 평균 수준은 ${\displaystyle \mathrm{y}}$= 0 ${\displaystyle y=0}$이고 양의 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $y$$}$ -방향은$$ 위쪽으로, 강도 $g{\displaystyle }$.${\displaystyle$ g$.}$의 지구의 중력에 반한다.$$ 자유 표면은 $파라미터{\displaystyle }$ α ${\displaystyle \alpha }$ 및$$ $\beta {\displaystyle }$, ${\displaystyle \beta ,}$ 및 시간$$ $t{\displaystyle }$. ${\displaystytle$ t$.}$의 함수로 파라메트릭적으로 설명된다.$$ 매개변수는 물결표면궤도에 유체가 구획되는 평균표면점$({\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y,}$z${\displaystyle }$) = ${\displaystyle (\mathrm{\alpha },}$ 0,${\displaystyle \beta }$ ) ${\디스플레이스타일(x,y,z)=(\alpha,$0,\$beta )}$에 연결된다. The free surface is specified through ${\displaystyle x=\xi (\alpha ,\beta ,t),}$ ${\displaystyle y=\zeta (\alpha ,\beta ,t)}$ and ${\displaystyle z=\eta (\alpha ,\beta ,t)}$ with:

${\displaystyle{\begin{정렬}\xi&=\alpha -\sum _{m=1}^{M}{\frac{k_{x,m}}{k_{m}}}\,{\frac{a_{m}}{\tanh \left(k_{m}\,h\right)}}\,\sin \left(\theta_{m}\right),\\\eta&=\beta -\sum _{m=1}^{M}{\frac{k_{z,m}}{k_{m}}}\,{\frac{a_{m}}{\tanh \left(k_{m}\,h\right)}}\,\sin \left(\theta_{m}\right),\\\zeta&=\sum _{m=1}^{M}a_{m}\,\cos \left(.\theta _{m}\오른쪽)\\text{and}\\\theta _{m}\{m}\{m}\m}\m}\m}\m}\m}\m_nd_nd{m}\m_nd_nd_nd{m}}}}}$

$여기$서 ${\displaystyle \tanh }$ ${\displaystyle \tanh$ $}$은 쌍곡 탄젠트 함수, M ${\displaystyle M}$은 고려된$$ 파동 성분의 수, ${\displaystyle m_{}}${\$displaystyle$ $a_$${m$$}$은 $성분{\displaystyle }$m =$$ … M의 진폭이며, $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$은$$그$위상이다.$ 추가 $k{\displaystyle {}_{}{m}_{}\sqrt{}}$= (${\displaystyle \sqrt{k_{}^{}}}$ x${\displaystyle \sqrt{{,}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}_{}^{}{\mathrm{}}_{}^{}}}$ + ${\displaystyle \sqrt{k_{}^{}}}$ z${\displaystyle \sqrt{{,}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{m_{}^{}}}$2 )$${\$displaystyle {k_{m}=\scriptstyle${\$sqrt{(k_{x,m}^}^{2}+k_$${z$$,$m$$$}^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 후자의 두 가지인 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \omega_{m}}$은(는) 독립적으로 선택할 수 없지만$$ 분산 관계를 통해 다음과 같은 관계가 있다.

$\displaystyle \omega_{m}^{2}=g\,k_{m}\,\tanh \left(k_{m}\,h\오른쪽),}$

$평균$ 수심($h)$을 가진. 깊은 물(${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle h\to \infit }$)에서 쌍곡 탄젠트는 ${\displaystyle \tanh }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m{}_{}}$ h${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ 1${\$로 간다$.$${\displaystyle {\}\}\}\}\}\}}_{}}$ {\$displaystyle k_{x,m}$ 및 ${\displaystyle k_{}}$ z${\displaystyle {,}_{}}$ m ${\$$displaystyle$ $k\_{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$${z,m}}$ ${\displaystyle {\mathrm{수평}}_{}}$ wavenumber vector k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\boldsymbol{k}_{m}}}}}$의 성분$$$$ $m{\displaystyle .}$ ${\displaystystym.$$}$

The choice of the various parameters ${\displaystyle a_{m},k_{x,m},k_{z,m}}$ and ${\displaystyle \phi _{m}}$ for ${\displaystyle {m=1,\dots ,{M},}}$ and a certain mean depth ${\displaystyle h}$ determines the form of the ocean surface. FFT를 이용하여 빠른 계산의 가능성을 이용하기 위해서는 현명한 선택이 필요하다. 예: 참조 Tessendorf(2001)는 이것을 어떻게 하는지 설명한다. 대부분의 경우$,{\displaystyle }$ 배관공은 (${\displaystyle k_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle k_{}}$ z${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (k_{x},k_{z}})$ -space에서$$ 일반 그리드에서 선택된다. ${\displaystyle {이후}_{}}$ m ${\$ 및 단계$$ ${\displaystyle {phases}_{}}$ m ${\$의 진폭은 특정 원하는 바다 상태의 분산 밀도 스펙트럼에 따라 무작위로 선택된다$$. Finally, by FFT, the ocean surface can be constructed in such a way that it is periodic both in space and time, enabling tiling – creating periodicity in time by slightly shifting the frequencies ${\displaystyle \omega _{m}}$ such that ${\displaystyle \omega _{m}=m\,\Delta \omega }$ for ${\displaystyle m=1,\dots ,M.}$${\displaystyle {m=1,\dots,{M}}}}$

렌더링 시 표면에 대한 정상$$ 벡터 $n{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$도 종종 필요하다. 이러한 값은 다음과 같이 교차 제품${\displaystyle }$ ${\displaystyle \time }$)을 사용하여 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {n}}={\frac {\partial {\boldsymbol {s}}}{\partial \alpha }}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {s}}}{\partial \beta }}\quad {\text{with}}\quad {\boldsymbol {s}}(\alpha ,\beta ,t)={\begin{pmatrix}\xi (\alpha ,\beta ,t)\\\zeta (\alpha ,\beta ,t)\\\eta (\alpha ,\beta ,t)\end{pmatrix}}.}$

The unit normal vector then is ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{n}={\boldsymbol {n}}/\ {\boldsymbol {n}}\ ,}$ with ${\displaystyle \ {\boldsymbol {n}}\ }$ the norm of ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}.$$}$

메모들

참조