부신수 근사치(물파)

Boussinesq approximation (water waves)
부신스큐형 모델을 이용한 수중 모래톱에서의 주기파 시뮬레이션 파도는 비행기 해변의 타원형 모양의 수중 모래톱 위로 퍼진다. 이 예는 굴절, 회절, 모래톱, 약한 비선형성을 포함한 파도와 얕은 물의 여러 가지 효과를 결합한 것이다.

유체 역학에서, 수파에 대한 부신스큐 근사치약하게 비선형적이고 상당히 긴 파장에 유효한 근사값이다. 근사치는 존 스콧 러셀번역의 파동(고독파 또는 솔리톤이라고도 함)을 관찰한 것에 대응하여 처음 그것들을 도출한 조셉 부시네크의 이름을 따서 명명되었다. 1872년 부신스크의 논문은 현재 부신스크 방정식으로 알려진 방정식을 소개하고 있다.[1]

수파에 대한 부신스큐 근사치는 수평 및 수직 흐름 속도의 수직 구조를 고려한다. 이로 인해 주파수 분산(주파수 분산이 아닌 얕은 방정식과 반대되는)을 통합하는 부신스큐형 방정식이라고 불리는 비선형 부분 미분 방정식이 발생한다. 연안공학에서는 얕은 바다항구수파 시뮬레이션에 부신스큐형 방정식이 컴퓨터 모델에서 자주 사용된다.

Boussinesq 근사치는 상당히 긴 파장(즉, 파장이 수심 대비 큰 경우)에 적용 가능한 반면, 스톡스 팽창은 단파(파장이 수심과 같은 순서 또는 짧은 경우)에 더 적합하다.

부신수 근사치

파동 전파 방향의 수직 단면에 표시된 부신스큐 근사치의 주기적 파동. 파동 비선형성으로 인해 평평한 수조와 날카로운 파고에 주목하십시오. 이 경우(척도로 그려짐)는 파장 39.1m, 파장 높이는 1.8m(파고와 수조 표고의 차이), 평균 수심은 5m인 반면 중력 가속도는 9.81m/s이다2.

보우시네크 근사치의 기본 개념은 수파하에서의 흐름의 수직 구조의 영향을 일부 유지하면서 흐름 방정식에서 수직 좌표를 제거하는 것이다. 이것은 파동이 수평면에서 전파되고 수직 방향에서 (파동적이지 않은) 다른 행동을 하기 때문에 유용하다. 종종, 부신스크의 경우와 마찬가지로, 관심은 주로 파동 전파에 있다.

수직 좌표의 이러한 제거는 1871년 조셉 부시네크(Joseph Boussinesq)가 독단파(또는 번역파)에 대한 대략적인 해결책을 구축하기 위해 처음 수행했다. 그 후, 1872년, 부신스크는 오늘날 부신스큐 방정식으로 알려진 방정식을 도출했다.

Boussinesq 근사치의 단계는 다음과 같다.

이후 수직 좌표에 대한 의존성을 제거하기 위해 나머지 유동 방정식에 부신스큐 근사치를 적용한다. 결과, 부분 미분 방정식은 수평 좌표( 시간)의 함수 측면에서 나타난다.

예를 들어 수평 좌표 x와 수직 좌표 z사용하여 (x,z) 평면의 수평 침대를 통한 잠재적 흐름을 고려하십시오. 침대는 z = -h에 위치하며 여기서 h평균 수심이다. 테일러 팽창은 침대 수준 z = -h 주변의 속도 전위 φ(x,z,t)로 이루어진다.[2]

여기서 φb(x,t)은 침대에서의 속도 전위다. press대한 라플레이스의 방정식을 사용할 경우, 압축 불가능한 흐름에 유효하게 된다.

수직 속도 φ /z는 - 불침투성 – 수평 베드 z = -h에서 0이다. 이 시리즈는 이후 한정된 수의 항으로 절단될 수 있다.

오리지널 부신수 방정식

파생

(x,z) 평면의 (x,z) 평면의 비압축 유체비회전 흐름에서의 수파의 경우 자유 표면 표고 z = η(x,t)의 경계 조건은 다음과 같다.[3]

여기서:

u는 수평 유속 성분이다: u = φ /x,
w는 수직 유속 성분이다: w = φ /z,
g중력에 의한 가속이다.

이제 위에서 제시한 속도전위 φ에 대한 부신스큐 근사치가 이 경계조건에 적용된다. 또한 결과 방정식에서는 inub 대한 선형2차 항만 유지된다(ub = φb / xx 침대 z = -h의 수평 속도). 입방체 및 고차 항은 무시할 수 있는 것으로 가정한다. 그 후 다음과 같은 부분 미분 방정식을 구한다.

A – Boussineq(1872), 방정식(25)을 설정한다.

이 방정식 집합은 평평한 수평 침대를 위해 도출되었다. 즉, 평균 깊이 h는 위치 x와 일정한 독립성을 갖는다. 위 방정식의 우측을 0으로 설정하면 얕은방정식으로 줄어든다.

일부 추가 근사치 하에서는, 그러나 동일한 정확도의 순서로, 위의 세트 A는 자유 표면 표고 η에 대한 단일 부분 미분 방정식으로 축소할 수 있다.

세트 B – Boussineq(1872), 방정식(26)

괄호 사이의 항에서 방정식의 비선형성의 중요성은 우르셀 숫자로 표현될 수 있다. 치수 없는 에서 비차원화를 위해 수심 h 중력 가속 g를 사용하여 이 방정식은 정규화 후 다음을 나타낸다.[4]

다음 항목 포함:

: 무차원 표면 표고,
: 무차원 시간 및
: 무차원 수평 위치.
상대파수 kh의 함수로 c2/(gh)를 제곱한 선형 위상 속도.
A = Boussineq(1872), 방정식(25)
B = Boussineq(1872), 방정식(26)
C = 완전 선형파 이론, 분산(수파) 참조

선형 주파수 분산

다른 파장물파는 다른 위상 속도로 이동하는데, 이것은 주파수 분산이라고 알려진 현상이다. 극소수 파형 진폭의 경우, 용어는 선형 주파수 분산이다. 부신스큐 방정식의 주파수 분산 특성은 유효한 근사치인 파장 길이의 범위를 결정하는 데 사용될 수 있다.

위 공식의 집합 A에 대한 선형 주파수 분산 특성은 다음과 같다.[5]

다음 항목 포함:

수파의 선형 이론과 비교했을 때, 세트 A에 대한 위상 속도 c의 상대적 오차는 상대파수 kh < ½ π π π에 대해 4% 미만이다. 따라서 공학적 적용에서 세트 A는 수심 h4배 이상 큰 파장에 유효하다.

방정식 B의 선형 주파수 분산 특성은 다음과 같다.[5]

방정식 B에 대한 위상 속도의 상대적 오차는 kh < 2//7의 경우 4% 미만이며, 이는 상당히파동이라고 불리는 수심 h의 7배 이상 긴 파장에 해당한다.[6]

k2 h2 > 3 방정식 B가 있는 단파의 경우, 위상 속도에 대해 더 이상 실제 을 매긴 해법이 없기 때문에 물리적으로 무의미해진다. 두 개의 부분 미분 방정식의 원래 집합(Boussinesq, 1872, 방정식 25, 위의 집합 A 참조)에는 이러한 단점이 없다.

얕은 방정식은 파장의 경우 4% 미만의 위상 속도에서 상대 오차가 있으며, 는 수심 h의 13배를 초과한 값이다.

부신스큐형 방정식 및 확장

Boussinesq 방정식이라고 일컬어지는 수학적 모형이 압도적으로 많다. 이것은 종종 부신스큐 방정식으로 느슨하게 언급되지만, 사실 그것의 변형이 고려되기 때문에 쉽게 혼동을 초래할 수 있다. 그래서 부신스큐형 방정식이라고 부르는 것이 더 적절하다. 엄밀히 말하면, Bousinesq 방정식은 그의 1872년 논문 나머지 부분의 분석에 사용되기 때문에 위에서 언급한 B 집합이다.

부신스큐 방정식이 확장된 일부 방향은 다음과 같다.

단방향 파장 전파에 대한 추가 근사치

부신스크 방정식은 파동이 반대 방향으로 동시에 이동하는 것을 허용하지만, 종종 한 방향으로만 이동하는 파동을 고려하는 것이 유리하다. 작은 추가 가정 하에서, Boussinesq 방정식은 다음과 같이 감소한다.

고독한 파동 해결책 외에도 코르테베그-데 브리스 방정식에는 주기적이고 정확한 해결책도 있는데,이를 Cnoidal wave라고 한다. 이것들은 Boussinesq 방정식의 대략적인 해법이다.

수치모델

항구 입구를 향해 이동하는 근해 파도의 부신스큐형 파형을 이용한 시뮬레이션. 시뮬레이션은 SMS의 BOURS-2D 모듈로 한다.
셀레리스의 부신스큐 모듈로 실시간 시뮬레이션보다 빠른 속도로 해변 근처에서 파동이 부서지고 굴절되는 모습을 보여준다. 그 모델은 상호작용 환경을 제공한다.

연안 및 항만 근처의 파동 모션 시뮬레이션을 위해, Boussinesq형 방정식을 채택한 상업적 및 학술적 수치 모델이 존재한다. 상업적인 예로는 MIK 21SMS의 부신스큐형 웨이브 모듈이 있으며, 무료 부신스큐 모델로는 셀레리스,[7] 쿨웨이브,[8] FUNWAVE 등이 있다.[9] 대부분의 수치모델은 모형 방정식의 분해를 위해 유한차이, 유한 체적 또는 유한요소 기법을 사용한다. 과학적 검토와 여러 부신스큐형 방정식의 상호 비교, 그 수치 근사치 및 성능은 예와 같다. Kirby(2003년), Dingemans(1997년, 제2부, 제5장), Hamm, Madsen & Peregrine(1993년).

메모들

  1. ^ 본 논문(Boussinesq, 1872년)은 다음과 같이 시작한다: "Tous les ingenénieurs connaission resists de J. Scott Russell et M. Bason sur la production et des onds solittles" (모든 엔지니어들은 J. Scott Russell and M의 아름다운 실험을 알고 있다.) 단독파의 발생과 전파에 관한 분지").
  2. ^ 딩게만(1997), 페이지 477.
  3. ^ 딩게만(1997), 페이지 475.
  4. ^ 존슨(1997), 페이지 219
  5. ^ a b 딩게만(1997), 페이지 521.
  6. ^ 딩게만(1997), 페이지 473과 516.
  7. ^ "Celeria.org - Celeris Boussinesq Wave Model". Celeria.org - Celeris Boussinesq Wave Model.
  8. ^ "ISEC - Models". isec.nacse.org.
  9. ^ "James T. Kirby, Funwave program". www1.udel.edu.

참조