공기파 이론

유체역학에서 공기파 이론(흔히 선형파 이론이라고 함)은 동질 유체층의 표면에서 중력파의 전파에 대한 선형화된 설명을 제공한다. 이 이론은 유체층이 균일한 평균 깊이를 가지며, 유체 흐름이 비실비실하고, 눌리지 않고, 비회전적이라고 가정한다. 이 이론은 19세기에 조지 비델 에어리에 의해 정확한 형태로 처음 발표되었다.^[1]

공기파 이론은 종종 임의의 바다 상태를 모델링하기 위해 해양 공학과 연안 공학에 적용되며, 많은 목적을 위해 높은 정확도의 파동 운동학 및 역학을 설명한다.^[2][3] 또한 표면 중력파의 몇 가지 2차 비선형 특성 및 그 전파는 그 결과로부터 추정할 수 있다.^[4] 공기파도 이론은 또한 해안의 쓰나미 파도가 해안 가까이에 가라앉기 전에 바다에서 일어나는 쓰나미 파도에 대한 좋은 근사치 입니다.

이 선형 이론은 종종 파동 특성과 그 영향을 빠르고 대략적으로 추정하기 위해 사용된다. 이 근사치는 파장 높이 대 수심 대 파장 대 파장 대 파장(심층 파장의 경우)의 작은 비율에 대해 정확하다.

설명

공기파 이론은 유동 표면에서의 중력파의 움직임을 설명하기 위해 전위 흐름(또는 속도 전위) 접근법을 사용한다. 점성, 변성, 난류 또는 흐름 분리가 필수적인 다른 많은 유체 흐름을 설명하지 못한 점을 고려할 때, 수파에서 (비논리적이고 비회전적인) 전위 흐름의 사용은 현저하게 성공적이다. 이것은 유체운동의 진동 부분에 대해 파동에 의해 유도된 변덕성은 유체영역의 경계에 있는 어떤 얇은 발진성 스톡스 경계층으로 제한되기 때문이다.^[5]

공기파 이론은 종종 해양 공학과 연안 공학과에서 사용된다. 특히 파동 난류라고 불리기도 하는 임의 파동의 경우, 파장 스펙트럼을 포함한 파동 통계량의 진화는 그리 먼 거리(파장 면에서)와 너무 얕지 않은 물에서 잘 예측된다. 회절은 공기파 이론으로 설명할 수 있는 파동 효과 중 하나이다. 또한 WKBJ 근사치를 사용함으로써 웨이브 shoaling과 굴절을 예측할 수 있다.^[2]

이전의 라플라스, 포아송, 코치, 켈란드는 전위 흐름을 이용하여 표면 중력파를 설명하려는 시도를 했다. 그러나 에어리는 1841년에 처음으로 정확한 파생어와 제형을 출판했다.^[1] 곧이어 1847년 스톡스의 비선형 파동 운동(Stokes의 파동 이론으로 알려진)을 위해 스톡스에 의해 파동 가파도에서 3차까지 정정된 에어리의 선형 이론이 확장되었다.^[6] 에어리의 선형 이론 이전에도 거스트너는 1802년에 비선형 트로코이드 파동 이론을 도출했는데, 그러나 이 이론은 비회전적이지 않다.^[1]

공기파 이론은 전위 흐름의 표면과 수평의 바닥 위에서 파장의 전파를 전파하기 위한 선형 이론이다. 한 파형 성분의 자유 표면 표고 η(x,t)은 수평 위치 x와 시간 t의 함수로서 정현상이다.

$\displaystyle \eta(x,t)=a\cos \left(kx-\omega t\오른쪽)}$

, where

• a는 미터 단위의 파동 진폭이다.
• 코사인 함수니까
• k는 1미터당 라디안(radian) 단위로 각도를 이루는 수이며, 파장과 관련된 값은 k = 2㎛/㎥이다.
• Ω은 초당 라디안 단위의 각도 주파수로, 주기 T 및 주파수 f Ω = 2㎛/T = 2㎛f와 관련된다.

파도는 수면을 따라 위상 속도 c_p:

${\displaystyle c_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\lambda }{T}}.}$

각도 wavenumber k와 주파수 Ω은 독립 매개변수가 아니라(따라서 파장 λ과 주기 T도 독립적이지 않음) 결합된다. 유체의 표면 중력파는 분산파(주파수 분산을 나타냄)로, 각 수면자는 고유한 주파수와 위상 속도를 가진다.

엔지니어링에서 파고 높이 H - 파고와 수조 사이의 고도 차이 - 는 종종 다음과 같이 사용된다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle H=2a\quad {\text{and}}\quad a={\tfrac {1}{2}}H,}$

현재 선형 주기파의 경우에 유효하다.

표면 아래에는 자유 표면 운동과 관련된 유체 운동이 있다. 표면의 고도가 전파파를 나타내는 반면, 유체 입자들은 궤도 운동을 하고 있다. 에어리파 이론의 틀 안에서 궤도는 닫힌 곡선, 즉 깊은 물에 원을 그리며 유한한 깊이의 타원이다. 타원은 유체 층의 하단에서 평평해진다. 그래서 파동이 전파되는 동안, 유체 입자들은 단지 그들의 평균 위치를 중심으로 궤도를 돌기만 한다. 전파 파동 운동을 통해 유체 입자는 평균 속도 없이 파동 전파 방향으로 에너지를 전달한다. 궤도의 지름은 자유 표면 아래의 깊이와 함께 감소한다. 깊은 물에서는 반 파장의 깊이에서 궤도의 지름이 자유 표면 값의 4%로 줄어든다.

유사한 방식으로, 자유 표면 아래에도 압력 진동이 존재하며, 유체 구획의 궤도 운동과 같은 방식으로 파동에 의한 압력 진동이 자유 표면 아래로 깊이와 함께 감소한다.

파동의 수학적 공식화

흐름 문제 제형

파도는 좌표 x와 z = propag(x,t)의 자유 표면으로 위에 묶인 유체 영역으로 수평 방향으로 전파되며, z는 수직 좌표(위쪽 방향으로 양)와 t가 시간이다.^[7] 수준 z = 0은 평균 표면 고도와 일치한다. 유체층 아래의 불침투침대는 z = -h이다. 또한, 유량은 압축할 수 없고 비회전적인 것으로 가정되며, 이는 액체 표면의 파동에 대한 유체 내부의 유량에 대한 충분한 근사치인 것으로 추정되며, 전위 이론을 사용하여 유량을 설명할 수 있다. 속도전위 φ(x,z,t)은 수평 (x) 및 수직 (z) 방향의 u_x 및 u_z 유속 구성 요소와 관련된다.

${\displaystyle u_{x}={\frac \partial \Phi }{\partial x}\quad {\text{and}}\quad u_{z}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}}}.}$

그 다음, 압축할 수 없는 흐름에 대한 연속성 방정식으로 인해, 잠재적 Ⅱ는 라플라스 방정식을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+{\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}=0}=0.\qquad(1)}$

방정식 시스템을 닫기 위해서는 침대와 자유 표면에서 경계 조건이 필요하다. 선형 이론의 틀 내에서 이들의 공식화를 위해서는 흐름의 기본 상태(또는 제로-오더 솔루션)가 무엇인지 명시할 필요가 있다. 여기서 우리는 평균 흐름 속도가 0임을 의미하는 기준 상태가 정지된 것으로 가정한다.

침대는 불침투성이며, 키네마틱 침대의 경계조건으로 이어진다.

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial z}=0\quad {\text{{}z=-h.\qquad (2)}$

수학적 관점에서 볼 때, 무한한 물의 깊이를 의미하는 깊은 물의 경우, 수직 좌표가 영하 무한도: z → -multi로 갈 때 흐름 속도는 한계에서 0으로 가야 한다.

자유 표면에서, 극소수 파형의 경우, 흐름의 수직 운동은 자유 표면의 수직 속도와 같아야 한다. 이 경우 키네마틱 자유 표면 경계 조건이 충족된다.

${\displaystyle {\frac {\partial \eta}{\partial t}={\partial \Phi }{\partial z}}\quad{\text{{}}}}}}}}}}}x,t(t)\qquad (3)}$

자유 표면 표고 η(x,t)이 알려진 함수였다면 이 정도면 흐름 문제를 해결할 수 있을 것이다. 그러나 지표면 표고는 추가적인 경계 조건이 필요한 추가적인 미지의 사항이다. 이것은 버누이의 방정식에 의해 불안정한 전위 흐름을 제공한다. 자유 표면 위의 압력은 일정하다고 가정한다. 이러한 일정한 압력의 수준은 흐름을 변경하지 않기 때문에 일반성의 손실 없이 0과 동일하게 취한다. 선형화 후 동적 자유 표면 경계 조건을 제공한다.

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}+g\eta =0\quad{\text{{}}}}}}.\qquad (4)}$

이는 선형 이론이기 때문에 자유 표면 경계 조건인 키네마틱과 동적 경계 조건, 방정식 (3) 및 (4) 고정 평균 수준 z = 0에서 φ과 ∂φ/∂z 값이 사용된다.

진행성 단색파에 대한 해결책

단일 주파수(단색파)의 전파 파형의 경우 표면 고도는 다음과 같은 형식이다.^[7]

$\displaystyle \eta =a\cos(kx-\omega t).}$

유체 내부의 라플라스 방정식(1)과 자유 표면(2) 및 침대(3)의 운동학적 경계 조건을 만족하는 관련 속도 전위는 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi ={\frac {\omega }{k}a{\frac {\cosh k(z+h)}{\sinh kh}\sin(kx-\omega t),}$

각각 쌍곡 사인 및 쌍곡 코사인 함수를 사용하여. 그러나 η과 φ은 또한 동적 경계 조건을 만족해야 하며, 이는 선형 분산 관계를 만족하는 경우에만 파동 진폭에 대한 비경쟁(비영(0) 값이 된다.

$\displaystyle \omega ^{2}=gk\tanh kh,}$

쌍곡선 접선으로 따라서 각도 주파수 Ω과 와벤넘버 k - 또는 동등하게 주기 T와 파장 λ -은 독립적으로 선택할 수 없지만 관련이 있다. 이것은 유체 표면에서의 파동 전파는 고유 문제라는 것을 의미한다. Ω과 k가 산포 관계를 만족하면 파형 진폭 a를 자유롭게 선택할 수 있다(그러나 공기파 이론이 유효한 근사치가 될 만큼 작음).

파동수량표

아래 표에는 에어리파 이론에 따른 몇 가지 흐름량과 매개변수가 제시되어 있다.^[7] 주어진 수량은 위에서 주어진 해결책과 같이 좀 더 일반적인 상황에 대한 것이다. 첫째, 파장은 x = (x,y) 평면에서 임의의 수평 방향으로 전파될 수 있다. 웨이븐넘버 벡터는 k이며, 파도의 볏의 캠에 수직이다. 둘째, 수평 방향의 평균 유속 U에 대해 허용되며 깊이 z에 걸쳐 균일하다. 이것은 분산 관계에 있어서 도플러의 변화를 도입한다. 접지 고정 위치에서 관측된 각도 주파수(또는 절대 각도 주파수)는 Ω이다. 반면에, 평균 속도 U로 이동하는 기준 프레임에서 (따라서 이 기준 프레임에서 관측된 평균 속도가 0이 되도록), 각도 주파수는 다르다. 내적 각도 주파수(또는 상대 각도 주파수)라고 하며, σ을 나타낸다. 따라서 U = 0으로 순수파 운동에서는 주파수 Ω과 σ이 모두 동일하다. 파장 번호 k(및 파장 λ)는 기준 프레임과 독립적이며 도플러 이동(단색 파장의 경우)이 없다.

표는 속도, 입자 편차 및 압력 등 흐름량의 진동 부분만 제공하며 평균 값이나 드리프트는 아니다. 진동 입자 편차 ξ과_x ξ은_z 각각 진동 흐름 속도 u와_x u의_z 시간 통합이다.

수심은 세 가지 체제로 분류된다.^[8]

• 깊은 물 – 파장의 절반 이상인 수심 h > 1/2㎛의 경우 파장의 위상속도는 깊이의 영향을 거의 받지 않는다(이는 바다와 바다 표면의 대부분의 풍파에 해당된다).^[9]
• 얕은 물 – 파장의 5% 미만인 수심(h < 1/20㎛)의 경우 파장의 위상 속도는 수심에만 의존하며 더 이상 주기나 파장의 기능이 없다.^[10]
• 중간 깊이 – 다른 모든 경우, 수심 및 주기(또는 파장)가 공기파 이론의 해법에 중대한 영향을 미치는 1/20㎛ < h < 1/2㎛>.

깊고 얕은 물의 제한적인 경우, 용액에 대한 근사치를 단순화할 수 있다. 중간 깊이의 경우 전체 제형을 사용해야 한다.

공기파 이론에[7] 따른 깊은 물, 얕은 물, 중간 깊이의 중력파의 특성
수량	심볼	단위	깊은 물 (h > 1/2인치)	얕은 물 (h < 1/20λ)	중간 깊이 (모두 λ 및 h)
지표면 고도	${\displaystyle \eta(\mathbf {x},t)}$	m	${\displaystyle a\cos \theta(\mathbf {x},t)}$
파상	${\displaystyle \theta(\mathb {x},t)}$	방사선을 치다	${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t}$
관측된 각도 주파수	$\displaystyle \omega }$	rad/s−1	${\displaystyle \left(\omega -\mathbf {k} \cdot \mathbf {U} \right)^{2}={\bigl (}\Oomega(k){\bigr )^{}^{2}\quad{\text{}}}}}}}}}$
고유 각도 주파수	$\displaystyle \sigma }$	rad/s−1	${\displaystyle \quad \sigma ^{2}={\bigl (}\Oomega(k){\bigr )}^{2}\quad {\cext{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
파동 전파 방향의 단위 벡터	${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$	–	${\displaystyle {\frac {\mathbf {k}{k}}}$
분산 관계	$\displaystyle \Oomega(k)}$	rad/s−1	${\displaystyle \Oomega(k)={\sqrt{gk}}}$	${\displaystyle \Oomega(k)=k{\sqrt{gh}}$	${\displaystyle \Oomega(k)={\sqrt {gk\tanh kh}}$
위상 속도	${\displaystyle c_{p}={\frac {\오메가(k)}{k}}}}$	m/s−1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {g}{k}}={\frac {g}{\frama }}}$	${\displaystyle {\sqrt{gh}}$	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {g}{k}\tanh kh}}}$
집단 속도	${\displaystyle c_{g}={\frac {\partial \Oomega}{\partial k}}}$	m/s−1	${\displaystyle {\tfrac {1}{1}:{2}}: {\sqrt {\frac {g}{k}}={\tfrac {1}:{\frac {g}{\prozma }}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt{gh}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c_{p}\좌측(1+좌측1+좌측1+좌측{1-\tanh ^{2}좌측{1-\tanh ^{2}kh}{\tanh kh}\우측)}}$
비율	${\displaystyle {\frac {c_{g}{c_{p}}}}}$	–	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}:}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{1}:{2}}\좌측(1+1x{1-\tanh ^{2}kh}{\tanh kh}오른쪽)}$
수평 속도	${\displaystyle \mathbf {u} _{x}(\mathbf {x},z,t)}$	m/s−1	${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\bma a\,e^{kz}\cos \theta }$	${\displaystyle \mathbf {e} _{k}{\sqrt {\frac {h}a}a\cos \theta }$	${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\ma a{\frac {\cosh k(z+h)}{\sinh kh}\coses \theta }}$
수직 속도	${\displaystyle u_{z}(\mathbf {x},z,t)}$	m/s−1	$\displaystyle \desma a\,e^{kz}\sin \theta }$	${\displaystyle \frac {z+h}{h}\sin \theta }$	${\displaystyle \frac a{\sinh k(z+h)}{\sinh kh}\sinh kh}\sin \theta }}$
수평 입자 이동	${\displaystyle {\dismbol {\xi }_{x}(\mathbf {x},z,t)}$	m	${\displaystyle -\mathbf {e} _{k}a\,e^{kz}\sin \theta }$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{k}{\frac {1}{1}a\sin \theta }$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{k}a{\frac {\cosh k(z+h)}{\sinh kh}\sin \theta }$
수직 입자 이동	${\displaystyle \xi _{z}(\mathbf {x},z,t)}$	m	$\displaystyle a\,e^{kz}\cos \theta }$	${\displaystyle a{\frac {z+h}{h}}\cos \theta }$	${\displaystyle a{\frac {\sinh k(z+h)}{\sinh kh}\coses \theta }$
압력 진동	${\displaystyle p(\mathbf {x},z,t)}$	N·m−2	$\displaystyle \rho ga\,e^{kz}\cos \theta }$	$\displaystyle \rho ga\cos \theta }$	${\displaystyle \rho ga{\frac {\cosh k(z+h)}{\cosh kh}\coses \theta }}$

표면 장력 효과

표면 장력으로 인해 산포 관계가 다음과 같이 변경된다.^[11]

${\displaystyle \Oomega ^{2}(k)=\left(g+{\frac {\gamma }{\rho }}}{\rho }}}}{\k^{2}\right)k\,\tanh kh,}$

표면 장력은 1미터당 뉴턴으로 한다. 중력 가속도 g를 다음으로^[12] 교체할 경우, 선형 파형에 대한 위의 모든 방정식은 동일하게 유지된다.

${\displaystyle {\tilde{g}=g+{\frac {\fract}{}{\rho }}}}$

표면 장력의 결과로 파도는 더 빨리 전파된다. 표면 장력은 단파에만 영향을 미치며, 물-공기 인터페이스의 경우 파장은 몇 디미터 미만이다. 매우 짧은 파장의 경우 – 2 mm 이하, 공기와 물 사이의 인터페이스의 경우 - 중력 효과는 무시할 수 있다. 표면 장력은 계면활성제에 의해 변경될 수 있다는 점에 유의하십시오.

표면 장력 영향이 지배하는 모세관의 그룹 속도 velocityΩ/∂k는 위상 속도 Ω/k보다 크다. 이는 위상 속도가 그룹 속도를 초과하는 표면 중력파 상황(중력 효과에 비해 표면 장력이 무시될 수 있음)과 정반대다.^[13]

계면파

표면파는 서로 다른 밀도의 두 유체 사이의 인터페이스에 있는 계면파의 특별한 경우다.

무한심층 2개 층

더 이상의 경계 없이 인터페이스로 분리된 두 유체를 고려하십시오. 그런 다음 이들의 산포관계 Ω² = Ω²(k)을 통해^[11][14][15] 주어진다.

${\displaystyle \Oomega ^{2}(k)= k \left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}}}}}{\rho '}{\rho +}}\rho '}오른쪽),}}$

여기서 ρ과 ρ′은 각각 인터페이스 아래(ρ)와 위(ρ)의 두 유체의 밀도다. 추가 γ은 인터페이스의 표면 장력이다.

계면파가 존재하기 위해서는 상층부 upper > ρ′보다 하층부가 무거워야 한다. 그렇지 않으면 인터페이스가 불안정하고 레일리-테일러 불안정성이 발생한다.

수평 강성 평면 사이의 두 층

인터페이스 아래 및 위 h′의 평균 두께 h의 두 동질 유체 층에 대해 - 중력의 작용 아래 수평 강성 벽으로 위아래로 경계 - 중력파에 대한 분산 관계 Ω² = Ω²(k)이 제공된다.^[16]

${\displaystyle \Oomega ^{2}(k)={\frac {gk(\rho -\rho ')}{\rho \chot kh+\rho '\coth kh'},},}$

여기서 다시 ρ과 ρ′은 인터페이스 아래 및 위쪽의 밀도인 반면, coth는 쌍곡선 코탄젠트 함수다. ρ′이 0인 경우 이는 유한 깊이 h의 물에서 표면 중력파의 분산 관계까지 감소한다.

자유 표면으로 경계된 두 개의 층

이 경우 분산관계는 자유 표면 진폭이 계면파의 진폭에 비해 큰 바로방성 모드와 그 반대의 경우인 바로크린 모드 두 가지 모드를 허용한다. 즉, 계면파가 자유 표면파보다 높고 반격파인 경우다. 이 경우에 대한 분산관계는 더 복잡한 형태다.^[17]

2차 파동 특성

파장 진폭 a에서 2차적인 여러 2차 파장 특성은 에어리파 이론에서 직접 도출할 수 있다. 그것들은 파도 조건의 예측과 같은 많은 실제 적용에서 중요하다.^[18] WKBJ 근사치를 사용하여, 2차 파형 특성은 서서히 변화하는 욕실 측정과 전류 및 표면 고도의 평균 흐름 편차가 있는 경우 파형을 설명하는 데 응용할 수 있다. 파장 자체의 진폭, 주파수, 파장 및 방향에서 시간 및 공간 변동에 의한 파동과 평균 흐름 상호작용에 대한 설명에서도 그러하다.

2차 파동 특성 표

아래 표에는 몇 가지 2차 파동 특성(공간과 시간의 조건이 서서히 변화하는 경우 충족되는 동적 방정식)이 제시되어 있다. 이에 대한 자세한 내용은 아래에서 확인할 수 있다. 표는 하나의 수평 공간 차원으로 파동 전파에 대한 결과를 제공한다. 이 절에서는 더 나아가 2차원 수평 공간에서의 일반적인 전파 사례에 대해 보다 상세한 설명과 결과가 제공된다.

공기파 이론의 결과를 이용한 2차 수량 및 그 역학
수량	심볼	단위	공식
단위 수평 면적당 평균 파동에너지 밀도	$(\displaystyle E}$	제이엠−2	${\displaystyle E={\tfrac {1}{1}{2}}\rho ga^{2}}:$
방사선 응력 또는 파동 운동으로 인한 과도한 수평 운동량	${\displaystyle S_{xx}}$	N·m−1	${\displaystyle S_{xx}=\left(2{c_{g}}{c_{p}}-{\tfrac {1}{2}}\오른쪽)E}$
파장 작용	${\displaystyle {\mathcal{A}}$	J·s·m−2	${\displaystyle {\mathcal {A}={\frac {E}{\sigma }={\frac {E}{\omega -kU}}}}}$
파동 운동 또는 파동 사이비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비	$(\displaystyle M}$	kg·m−1·s−1	${\displaystyle M={\frac {E}{c_{p}}=k{\frac {E}{\sigma}}}}$
평균 수평 질량 변화 속도	${\displaystyle {\tilde{U}}$	m/s−1	${\displaystyle {\tile{U}}=U+{\frac{M}{\rho h}}{\rho h}{E}{\rho hc_{p}}}}}}}}}}$
스톡스 드리프트	${\displaystyle {\bar{u}_{S}}$	m/s−1	${\displaystyle {\bar{u}_{S}={\tfrac {1}{1}:{2}}\sigma ka^{2}{\frac {\cosh 2k(z+h)}{\sinh ^{2}kh}}}}}$
파동에너지 전파		J·m−2·s−1	${\displaystyle {\frac {\partial e}{\partial t}+{\frac {\partial x}}{\bigl (}(U+c_{g})E{\bigr )}+S_{xx}{\frac {\partial u}{\partial x}=0}$
파동 작용 보존		제이엠−2	${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial t}{\partial x}{\partial x}}{\bigl (}{{g}){\mathcal{A}{\bigr )=0}$
파도에 의한 보존.		rad·m−1·s−1	${\displaystyle {\frac {\partial k}{\partial t}+{\partial \frac}{\partial x}}=0\quad{\text}\quad \omega(k)+kU}$
평균적인 대량 보존		kg·m−2·s−1	${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial t}(\rho h)+{\partial x}\partial x}\put(\rho h{\tilde {U}\right)=0}$
평균 수평-수평 진화		N·m−2	${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho h{\tilde {U}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho h{\tilde {U}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\rho gh^{2}+S_{xx}\right)=\rho gh{\frac {\partial d}{\partial x}}}$

마지막 4개의 방정식은 평균 흐름과 상호작용하여 욕실측정법 위에 천천히 변화하는 파동 열차의 진화를 설명하고 있으며, 다음과 같은 변동 원리에서 도출할 수 있다. 휘담의 평균 라그랑기법.^[19] 평균 수평-모멘텀 방정식에서 d(x)는 정수 깊이, 즉 유체층 아래의 침대가 z = -d에 위치한다. 질량 및 운동량 방정식의 평균 흐름 속도는 수평 질량 전달에 대한 파형의 스플래시 존 효과를 포함한 질량 전달 속도 ũ이며, 평균 오일러 속도(예를 들어 고정 유량계로 측정한 값)는 아니다.

파동에너지 밀도

파동에너지는 파동열차와 함께 수송되는 일차적인 양이기 때문에 일차적인 관심의 양이다.^[20] 위에서 볼 수 있듯이, 표면 높이와 궤도 속도와 같은 많은 파동량은 자연에서 평균이 0인 (선형 이론의 틀 안에서) 진동적이다. 수파에서 가장 많이 사용되는 에너지 측정치는 단위 수평 면적당 평균 파동 에너지 밀도다. 운동 에너지 밀도와 잠재적 에너지 밀도의 합으로, 유체 층의 깊이에 걸쳐 통합되고 파동 위상에 걸쳐 평균을 낸다. 가장 간단하게 도출할 수 있는 것은 표면 중력파의 수평 영역 E_pot 단위당 평균 전위 에너지 밀도로, 이는 파동의 존재로 인한 전위 에너지의 편차다.^[21]

${\displaystyle {\reasoned}E_{\text{pot}}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho gz\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}\rho gz\,\mathrm {d} z\\[6px]&={\overline {{\tfrac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}}}={\tfrac {1}{4}}\rho ga^{2}.\end{정렬}}}$

오버바(overbar)는 평균 값(현재의 경우, 주기적인 파장의 경우 공간 내 하나의 파장에 대한 평균 또는 시간 평균으로 간주할 수 있다.)을 나타낸다.

파동의 단위 수평 영역 E당_kin 평균 운동 에너지 밀도는 비슷하게 다음과 같다.^[21]

${\displaystyle {\reasoned}E_{\text{kin}}&={\overline {\int _{-h}^{0}{\tfrac {1}{2}}\rho \left[\left \mathbf {U} +\mathbf {u} _{x}\right ^{2}+u_{z}^{2}\right]\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}{\tfrac {1}{2}}\rho \left \mathbf {U} \right ^{2}\,\mathrm {d} z\\[6px]&={\tfrac {1}{4}}\rho {\frac {\sigma ^{2}}{k\tanh kh}}a^{2},\end{aligned}}}$

고유 주파수를 사용하여 파동 수량 표를 참조하십시오. 분산 관계를 이용하여 표면 중력 파형에 대한 결과는 다음과 같다.

${\displaystyle E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{1}{4}\rho ga^{2}.}$

알 수 있듯이, 평균 운동량과 잠재적 에너지 밀도는 같다. 이것은 보수적인 시스템에서 진행성 선형파의 에너지 밀도의 일반적인 특성이다.^[22][23] 잠재적 및 운동적 기여인 E와_potkin E를 더하면 파동의 단위 수평 영역 E당 평균 에너지 밀도는 다음과 같다.

${\displaystyle E=E_{\text{pot}+E_{\text{kin}={\tfrac {1}{1}{2}}\rho ga^{2}.}$

표면 장력 영향이 무시할 수 없는 경우, 그 기여는 또한 잠재력과 운동에너지의 밀도를 증가시켜 다음과 같은 효과를^[22] 준다.

${\displaystyle E_{\text{pot}}=E_{\text{kin}}={\\tfrac {1}{4}\왼쪽(\rho g+\gamma k^{2}\오른쪽)a^{2},}$

그렇게

${\displaystyle E=E_{\text{pot}+E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{1}:{2}}\왼쪽(\rho g+\gamma k^{2}\오른쪽)a^{2},}$

표면 장력을 γ으로 한다.

파동 작용, 파동 에너지 유동 및 방사선 응력

일반적으로 파동 운동과 평균 유체 운동 사이에 에너지 전달이 있을 수 있다. 즉, 파동에너지 밀도가 모든 경우에 보존된 양(소산효과 무시)이 아니라 총 에너지 밀도 - 파동의 단위 면적당 에너지 밀도와 평균 흐름 운동의 합 -이다. 단, 천천히 변화하는 배스 측정 및 평균 흐름 필드, 유사하고 보존된 파동 양으로 전파되는 파동 작용 A = E/11:^[19][24][25]

${\displaystyle {\frac {\mathcal {A}{\partial t}+\nabla \cdot \왼쪽[\mathbf {U}+\c}{g}\오른쪽){\mathcal {A}}}=0,}$

(U + c_g) A의 작용 플럭스와 c = 그룹 속도_ggk 벡터 작용 보존은 많은 풍파 모델과 파동 난류 모델의 기초를 형성한다.^[26] 또한 파도타기 연산을 위한 연안 공학 모델의 기초가 되기도 한다.^[27] 위의 파동 작용 보존 방정식을 확대하면 파동에너지 밀도에 대한 다음과 같은 진화 방정식이 나타난다.^[28]

${\displaystyle {\frac {\partial t}+\nabla \cdot \왼쪽[\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\오른쪽)E\right]+{\boldsymbol {S}:\좌(\nabla \mathbf {U} \우)=0,}$

다음 항목 포함:

• (U + c_g)E는 평균파 에너지 밀도 플럭스,
• S는 방사선 응력 텐서이고
• ∇U는 평균-속도 전단율 텐서이다.

비보존형식의 이 방정식에서 프로베니우스 내측 제품 S : (∇U)는 파동 운동과 평균 흐름의 에너지 교환을 설명하는 소스 용어다. 평균 전단률이 0인 경우에만, uU = 0인 경우, 평균파 에너지 밀도 E는 보존된다. 두 개의 텐서 S와 ∇U는 다음과 같은 형태의 데카르트 좌표계에 있다.^[29]

${\displaystyle {\begin{aigned}{\boldsymbol {S}&={\begin{pmatrix}S_{xx}&&gt;S_{xy}\\S_{yx}&S_{y}\end{pmatrix}}={\boldsymbol{I}}\왼쪽({\frac {c_{g}}}-{\frac {1}{1}2}}\오른쪽)E+{\frac{1}{k^{2}}}{\begin{pmatrix}k_{)}k_{)}&, k_ᆰk_ᆱ\\[2ex]k_{y}k_{)}&, k_{y}k_{y}\end{pmatrix}}{\frac{c_{g}}{c_{p}}}E,\\[6px]{\boldsymbol{나는}}&={\begin{pmatrix}1&, 0\\0&, 1\end{pmatrix}},\\[6px]\nabla\mathbf{U}&={\begin{pmatrix}\displaystyle{\frac{\partial U_{)}}{x\partial}}&\displaystyle{\frac{\partial U_{y}}{년.부분 x}}\\[2ex]\displaystyle {\frac {\partial U_{x}}{\partial y}&\displaystyle {\frac {\partial U_{y}}{\pmatrix}},\ended{ligned}}}}}$

k와_x k의_y 와바넘버 벡터 k의 성분과 마찬가지로_x U와 U의_y 평균 속도 벡터 U의 성분이다.

파동 질량 플럭스 및 파동 모멘텀

파동에 의해 유도되는 단위 면적 M당 평균 수평 운동량(파동에 의한 질량 흐름 또는 질량 이동)은 다음과 같다.^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} &={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho \left(\mathbf {U} +\mathbf {u} _{x}\right)\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}\rho \mathbf {U} \,\mathrm {d} z\\[6px]&={\frac {E}{c_{p}}}\mathbf {e} _{k},\end{aligned}}}$

정기적인 진행성 수파에 대한 정확한 결과로서 비선형파에도 유효하다.^[31] 그러나 그 유효성은 파동 모멘텀과 질량 플럭스가 어떻게 정의되는가에 따라 크게 좌우된다. Stokes는 주기적인 비선형 파장에 대해 위상 속도에 대한 두 가지 가능한 정의를 이미 식별했다.^[6]

• 파동 셀러리티(S1)에 대한 첫 번째 정의 스톡스 – 파도 수조 아래의 모든 표고 z'에 대해 평균 오일러 유속은 0과 같다.
• 파동 셀러리티(S2)에 대한 두 번째 정의를 시작하며, 평균 대량 전송은 0이다.

위의 파형 모멘텀 M과 파동에너지 밀도 E 사이의 관계는 스톡스의 첫 번째 정의의 틀 안에서 유효하다.

단, 해안선이나 닫힌 실험실 파도에 수직인 파형의 경우, 두 번째 정의(S2)가 더 적합하다. 이러한 파동 시스템은 두 번째 정의를 사용할 때 질량 흐름과 모멘텀이 제로다.^[32] 이와는 대조적으로 스톡스의 첫 번째 정의(S1)에 따르면 파동 전파 방향에는 파동에 의한 질량 유속이 있으며, 이는 언더로우라고 불리는 반대 방향의 평균 흐름 U에 의해 균형을 이루어야 한다.

그래서 일반적으로는 상당히 미묘한 점이 관련되어 있다. 따라서 파동운동 대신 파동의 사이비 모멘텀이라는 용어를 사용하기도 한다.^[33]

질량 및 운동량 진화 방정식

천천히 변화하는 욕실 측정, 파동 및 평균 흐름 장의 경우, 평균 흐름의 진화는 다음과 같이 정의되는 평균 질량 전달 속도 ũ의 측면에서 설명될 수 있다.^[34]

${\displaystyle {\tilde {U}}}}}}}}=\mathbf {U} +{\frac {\mathbf {M}{\rho h}}.}$

깊은 물의 경우, 평균 깊이 h가 무한대로 갈 때, 평균 오일러 속도 U와 평균 운송 속도 ũ이 같아진다.

질량 보존에 대한 방정식은 다음과 같다.^[19][34]

${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial t}\왼쪽(\rho h\right)+\nabla \cdot \left(\rho h{\tilde {\mathbf{U}}}\right)=0,}$

여기서 h(x,t)는 공간과 시간에 따라 천천히 변화하는 평균 수심이다.

마찬가지로 평균 수평 운동량은 다음과 같이 진화한다.^[19][34]

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho h{\tilde {\mathbf {U} }}\right)+\nabla \cdot \left(\rho h{\tilde {\mathbf {U} }}\otimes {\tilde {\mathbf {U} }}+{\tfrac {1}{2}}\rho gh^{2}{\boldsymbol {I}}+{\boldsymbol {S}}\right)=\rho gh\nabla d,}$

d 정지수심(해침대는 z = –d), S는 파동 방사선-스트레스 텐서, I는 아이덴티티 매트릭스, dy은 디라디치 제품:

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {U} }}\otimes {\tilde {\mathbf {U} }}={\begin{pmatrix}{\tilde {U}}_{x}{\tilde {U}}_{x}&{\tilde {U}}_{x}{\tilde {U}}_{y}\\{\tilde {U}}_{y}{\tilde {U}}_{x}&{\tilde {U}}_{y}{\tilde {U}}_{y}\end{pmatrix}}.}$

평균 수평 운동량은 해수면이 수평일 때(정수심 d는 상수) 노에더의 정리와 일치할 때만 보존된다는 점에 유의한다.

방정식의 체계는 파동 설명을 통해 폐쇄된다. 파동에너지 전파는 파동-작용 보존 방정식을 통해 설명된다(소산 및 비선형 파동 상호작용 없음):^[19][24]

${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial t}}\왼쪽({\frac {E}{\sigma }}\오른쪽)+\nabla \cdot \left[\mathbf {U} +\mathbf{g}\c}}{\rigma}=0]0].}$

파동 운동학은 파동-크레스트 보존 방정식을 통해 설명된다.^[35]

${\displaystyle {\frac {\mathbf {k}}{\mathbf {k}}{\mathbf}+\mathla \omega =\mathbf {0},}$

각도 주파수 Ω으로, 분산 관계를 통해 관련된 (사각형) 와바넘버 k의 함수. 이것이 가능하려면 파장(파장)이 일치해야 한다. 파동-크레스트 보존의 컬을 취함으로써, 초기에는 비회전적인 수증기 밭이 비회전적인 상태를 유지한다는 것을 알 수 있다.

스톡스 드리프트

순수파 운동(U = 0)으로 단일 입자를 따를 때, 선형 공기파 이론에 따르면, 첫 번째 근사치는 물 입자에 대해 닫힌 타원 궤도를 제공한다.^[36] 그러나 비선형 파형의 경우 입자는 2차 표식을 Airy wave 이론의 결과에서 도출할 수 있는 Stokes 표류를 나타낸다(2차 표 특성에 대한 위 표 참조).^[37] 스톡스 드리프트 속도 u는_S 한 번의 파동 사이클을 기간으로 나눈 후 입자 드리프트를 말하며, 다음과 같은 선형 이론의 결과를 이용하여 추정할 수 있다.^[38]

${\displaystyle {\bar {u}}}}}{\tfrac {1}{1}{1}:{2}}\sigma ka^{2}\cosh 2k(z+h)}{\sinh ^{2}kh}\mathbf {e} _{k}}}}}}}$

그래서 그것은 고도 함수에 따라 달라진다. 주어진 공식은 Stokes의 첫 번째 파동 셀러리티 정의에 대한 것이다. 츄가_S 깊이에서 통합되면 평균파동력 M에 대한 표현이 회복된다.^[38]

참고 항목

• 부신수 근사치(물파) – 얕은 물에서 파동에 대한 비선형 이론.
• 모세관파 – 표면장력 작용 시 표면파
• Cnoidal wave – 얕은 물에서의 비선형 주기파, Korteweg-de Vries 방정식의 해법
• 경도-슬로프 방정식 – 다양한 깊이에서 표면파의 굴절 및 회절
• 바다 표면파 – 바다와 바다에서 보이는 실제 물파
• 스톡스 파동 – 비흡수 물에서 비선형 주기 파동
• 파동 전력 - 발전용 해양 및 바다 파동을 사용한다.

메모들

참조

역사적

• Airy, G. B. (1841). "Tides and waves". In Hugh James Rose; et al. (eds.). Encyclopædia Metropolitana. Mixed Sciences. 3 (published 1817–1845). 또한: "지구의 형상에, 조수와 파도에 대하여" 396 pp.
• Stokes, G. G. (1847). "On the theory of oscillatory waves". Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 8: 441–455.
  다시 인쇄된 위치:

추가 읽기

• Craik, A. D. D. (2004). "The origins of water wave theory". Annual Review of Fluid Mechanics. 36: 1–28. Bibcode:2004AnRFM..36....1C. doi:10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118.
• Dean, R. G.; Dalrymple, R. A. (1991). Water wave mechanics for engineers and scientists. Advanced Series on Ocean Engineering. 2. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-02-0420-4. OCLC 22907242.
• Dingemans, M. W. (1997). Water wave propagation over uneven bottoms. Advanced Series on Ocean Engineering. 13. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-02-0427-3. OCLC 36126836. 2부 967쪽.
• Lamb, H. (1994). Hydrodynamics (6th ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9. OCLC 30070401. 1879년에 처음 발행된 제6회 연장판은 1932년에 처음 등장했다.
• Landau, L. D.; Lifschitz, E. M. (1986). Fluid mechanics. Course of Theoretical Physics. 6 (2nd revised ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-033932-0. OCLC 15017127.
• Lighthill, M. J. (1978). Waves in fluids. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29233-7. OCLC 2966533. 504쪽.
• Phillips, O. M. (1977). The dynamics of the upper ocean (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29801-8. OCLC 7319931.
• Wehausen, J. V. & Laitone, E. V. (1960), Flügge, S. & Truesdell, C. (eds.), "Surface Waves", Encyclopaedia of Physics, Springer Verlag, 9: 653–667, §27, OCLC 612422741, archived from the original on 2013-05-21, retrieved 2013-05-05

외부 링크

• 위키웨이브의 해양 표면 파장에 대한 선형 이론.
• MIT의 물파동.