보존 벡터장

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벡터 미적분학에서 보존 벡터장은 어떤 함수의 구배인 벡터장입니다.^[1]보존 벡터 필드는 선분이 경로에 독립적이라는 속성을 갖습니다. 두 점 사이의 경로를 선택해도 선분의 값은 변경되지 않습니다.선분의 경로 독립성은 선분 아래의 벡터장이 보존적인 것과 같습니다.보존적 벡터 필드는 또한 비회전성입니다. 이는 3차원에서 컬이 사라짐을 의미합니다.도메인이 단순히 연결되어 있다면 비회전 벡터 필드는 필수적으로 보수적입니다.

보존 벡터 필드는 역학에서 자연스럽게 나타납니다.그것들은 에너지가 보존되는 물리계의 힘을 나타내는 벡터장입니다.^[2]보수적인 시스템의 경우, 구성 공간에서 경로를 따라 이동할 때 수행되는 작업은 경로의 끝점에만 의존하므로, 실제 경로와 독립적인 위치 에너지를 정의할 수 있습니다.

격식을 차리지

2차원과 3차원 공간에서는 두 점 사이에 무한히 많은 경로가 존재하기 때문에 두 점 사이의 적분을 취하는데 모호함이 있습니다. 두 점 사이에 형성된 직선을 제외하고 그림과 같이 더 긴 길이의 곡선 경로를 선택할 수 있습니다.따라서 일반적으로 적분값은 선택한 경로에 따라 달라집니다.그러나 보수적 벡터장의 특수한 경우 적분값은 취한 경로와 무관하며, 이는 두 점 사이의 직선을 따라 성분이 없는 모든$$ 원소 ${\displaystyle dR}$ ${\$ d${R}}$의 대규모 소거로 생각할 수 있습니다.이것을 시각화하기 위해, 두 사람이 절벽을 오르는 모습을 상상해 보세요. 한 사람은 절벽을 수직으로 올라가면서 절벽을 기어오르기로 결정하고, 두 번째 사람은 절벽의 높이보다 더 길지만 수평으로 아주 작은 각도의 구불구불한 길을 걷기로 결정합니다.비록 두 등산객이 절벽의 정상까지 오르기 위해 다른 길을 걸었지만, 정상에서는 둘 다 같은 양의 중력 잠재 에너지를 얻었을 것입니다.중력장은 보존적이기 때문입니다.

직관적 설명

M. C. 에셔의 석판 인쇄물인 상승과 하강은 비보존적인 벡터장을 보여주는데, 계단을 따라 이동할 때 지면 위의 다양한 높이(중력 퍼텐셜)의 기울기로 보일 수는 없습니다.계단에서 움직이는 사람이 경험하는 힘의 장은 하나 이상의 하강 또는 그 반대로 상승하는 동안 출발점으로 되돌아 갈 수 있고 중력에 의해 수행되는 0이 아닌 작업을 초래할 수 있다는 점에서 비보존적입니다.실제 계단에서, 땅 위의 높이는 스칼라 퍼텐셜장입니다: 같은 장소로 돌아가기 위해서는 아래로 내려가는 만큼 정확히 위로 올라가야 하는데, 이 경우 중력에 의한 일은 총 0이 됩니다.이는 계단에서 수행된 작업의 경로 독립성을 의미합니다. 이와 동등하게 경험되는 힘장은 보수적입니다(뒤 섹션: 경로 독립성 및 보수적 벡터장 참조).인쇄된 상황은 불가능합니다.

정의.

벡터 필드 $v$ :${\displaystyle U}$ → R ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle \mathbf {v}$:$U\to \mathbb {R} ^{n}}$, where ${\displaystyle U}$ is an open subset of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, is said to be conservative if and only if there exists a ${\displaystyle C^{1}}$ (continuously differentiable) scalar field ${\displaystyle \varphi }$^[3] on ${\displaystyle U}$ such that

여기서$$∇ φ ${\$displaystyle $\nabla \$varphi}은$($는$)$φ {\displaystyle \varphi}의 구배를 $$합니다. φ {\displaystyle \varphi}은(는) 연속적으로 미분 가능하므로 v {\displaystyle \mathbf {v}}은(는) 연속적입니다.위의 식을 성립시키면$$φ {\displaystyle$$\varphi}을(를) v${\displaystyle \mathbf$ $\{$v}}의$$스칼라 $전위$라고 합니다.

벡터 미적분학의 기본 정리는 어떤 벡터장도 보존 벡터장과 솔레노이드장의 합으로 표현될 수 있다고 말합니다.

경로 독립성 및 보존 벡터장

경로독립성

벡터 필드 $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 선분은 두 개의 적분 경로 끝점 사이에 어떤 경로가 선택되든 상관없이 오직 두 개의 적분 경로 끝점에만 의존한다면 경로 독립적이라고 합니다$$.^[4]

$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 지정된 경로 끝점 쌍 사이에$$ 있는 ${\displaystyle {P1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {P2\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 모든 정수 경로 쌍에 대해$.$

경로 독립성은 다음과 같이 동등하게 표현됩니다.

두 끝점이 일치하는$$ $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 임의의 조각별 매끄러운 닫힌 경로 ${\displaystyle {PC}_{}}$ ${\$$폐쇄{\displaystyle }$ 경로 PC ${\$는 끝점 A ${\displaystyle A}$에서 다른 끝점 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$로 $가는{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {P1\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 두 경로로 만들$$ 수 있으므로 두 식이 동일합니다$.$$B{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle B}$에서 A {\$displaystyle A}$까지 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ P_${2}}$이므로$,$여기서 -${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle -P_{2}}$는 $P$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle P_{2}}$의 역이며 경로 ${{}_{}}_{}$ ∫ P $1$ $v$ ⋅$dr$= ∫ - P $2 v$⋅ $dr$. ${\textstyle$ \$int$ _{P_${1}}\$mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{-P_{2}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r}입니다.

보존 벡터장

보수적인 벡터 필드 $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 주요 속성은 경로를 따라 적분이 해당 경로의 끝점에만 의존한다는 것입니다$$.즉, 보존적 벡터장이라면 선분은 경로에 무관합니다.Suppose that ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$ for some ${\displaystyle C^{1}}$ (continuously differentiable) scalar field ${\displaystyle \varphi }$^[3] over ${\displaystyle U}$ as an open subset of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (so ${\displaystyle \mathbf {v}$$}$는 연속인 보수적 벡터 필드이며, $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$는 $U{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ U$}$에서 초기 점 A {\displaystyle $A}$ 및$$ 종단 점 B ${\displaystyle$ B$}$의 미분 가능 경로(즉, 미분 가능 함수로 매개 변수화할 수 있음)입니다$.$그러면 기울기 정리(선 적분에 대한 미적분학의 기본 정리라고도 함)는 다음과 같이 말합니다.

이것은 선분의 정의, 사슬 규칙, 미적분학의 두 번째 기본 정리의 결과로 성립합니다.${\displaystyle \mathbf{선분의\; v}\nabla }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf{\cdot }}$ $r$ = ⋅ $dr {\$displaystyle \mathbf {v} \cdot d\mathbf${\displaystyle \mathbf{}}${r} =\nabla {\varphi}\cdot d\mathbf {r} }는 직교 좌표계(예: 직교 좌표계, 원통 좌표계 또는 구 좌표계)에 대한 정확한 미분입니다.기울기 정리는 미분 가능 경로에 적용 가능하기 때문에, 조각별 미분 곡선에 대한 보존 벡터장의 경로 독립성은 미분 가능 곡선 성분별 증명으로도 증명됩니다.^[5]

지금까지 보수적인 벡터 필드 $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이(가) 선 적분 경로에 무관하다는 것이 증명되었습니다.반대로, 연속 벡터 $필드{\displaystyle \mathbf{}}$ v ${\$가 (선 적분) 경로에 독립적이라면, 이는 보존 벡터 필드이므로 다음 이중 조건문이 성립합니다.^[4]

이 역문의 증명은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbf{v}}$ ${\$은(는) 라인 적분이 경로에 무관한 연속 벡터 필드입니다.그렇다면 함수$$φ {\displaystyle$$\varphi}을(를) 다음과 같이 정의합니다.

선택한 시작점$({\displaystyle a,b)}$ ${\displaystyle(a,b)}$과$({\displaystyle x,y)}$ ${\displaystyle(x,y)}$ 사이의 임의 경로에 대해 결정합니다$.$ 경로와 무관하므로 이 점들 사이의 경로가 선택된 것에 관계없이$$${\displaystyle }$(${\displaystyle a,b)}$ ${\displaystyle(a,b)}$ 및$$ $({\displaystyle x,y}$)${\displaystyle(x,y)}$에만 의존합니다.

오른쪽 그림의 왼쪽에 표시된 2차원 직교 좌표계가 사용되는 경로를 선택합니다.이 경로의 두 번째 세그먼트는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 축과$$ 평행하므로 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ 축을$$ 따라 변경되지 않습니다.이 경로를 따라 선분적분은

$경로$ 독립성에 의해, $x$ ${\displaystyle x}({\$displaystyle$$\varphi}$$φ이(가) 부분 $도함수$를 가지려면 v${\displaystyle \mathbf$ {v}}이(가) 연속적이어야 함)에 대한 부분 도함수는$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$과 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은(는) 서로 독립적입니다.$v$ ${\displaystyle \mathbf {v}}$을(를) $v$ = ${\displaystyle P}$(x$,$ y ) i + Q (x, y ) j {\displaystyle \mathbf {v} = P(x,y)\mathbf {i} + Q (x,$y)\mathbf {j} }$ where ${\displaystyle \mathbf {i} }$ and ${\displaystyle \mathbf {j} }$ are unit vectors along the ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ axes respectively, then, since ${\displaystyle d\mathbf {r} =dx\mathbf {i} +dy\mathbf {j} }$,여기서 마지막 등식은 미적분학의 두 번째 기본 정리로부터 나온 것입니다.

오른쪽 그림의 오른쪽에 표시된 선 적분 경로에 대한 유사한 접근법은$$∂ ∂ $y$ φ ($x$, y$)$ = Q ($x,$ y) {\textstyle {\frac {\partial }{\partial y}}\varphi (x,y)=Q(x,y)}를 생성하므로

는 2차원 데카르트 좌표계에 대해 증명됩니다.이 증명 방법은 더 높은 차원의 직교 좌표계(예를 들어, 3차원 구면 좌표계)로 바로 확장될 수 있으므로 역문이 증명됩니다.또 다른 증거는 여기서 구배 정리의 역으로 발견됩니다.

비회전 벡터장

$n$ = ${\displaystyle 3}$ ${\$displaystyle n=3}(3차원 공간)이라고 하고 v$:$ U → R 3 {\displaystyle \mathbf {v}이라고 합니다.$U\to \mathbb {R} ^{3}$는 $\displaystyle$ \$mathbb {R} ^{n}$의 열린 부분 집합 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$가 있는 C 1 {\displaystyle C$^{1}($연속 미분 가능) 벡터 필드입니다$.$그러면 $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는) $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 모든 곳에서$$ 컬이 $0{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$인 경우에만 비회전이라고 합니다$$. 즉$,$

이러한 이유로, 이러한 벡터 필드는 때때로 컬 프리 벡터 필드 또는 컬리스 벡터 필드라고 불립니다.세로 방향 벡터 필드라고도 합니다.

U ${\displaystyle$$U$}의 ${\displaystyle {임의}^{}}$의 C2$${\$displaystyle$ C$^{2}($2차 미분까지 연속적으로 미분 가능) 스칼라 $필드$φ${\$displaystyle \$}$에 대하여, 다음을 갖는 벡터 미적분학의 동일성입니다.

따라서 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 모든 $C1 {\$ C$^{1}$ 보존$$ 벡터 필드도 U ${\displaystyle U}$의 비회전 벡터 필드입니다$.$${\displaystyle 이}$ 결과는 ∇ ×${\displaystyle }$( ∇ φ) {\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )}를 슈바르츠의 정리(혼성 부분의 동일성에 대한 클레로트 정리라고도 함)로 데카르트 좌표계에서 표현하면 쉽게 증명할 수 있습니다.

$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$가 단순히 연결된 열린 공간(대략적으로 말하면, 그 안에 구멍이 없는 하나의 열린 공간)이라면$$, 이와 반대의 경우도 성립합니다.간단히 연결된 열린 공간 U ${\displaystyle U}$의 모든 비회전 벡터 필드는 $U{\displaystyle }${\$displaystyle U}$의 ${\displaystyle {C1\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle$ C$^{1}}$ 보수$$ 벡터 필드입니다$.$

$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$이(가) 단순히 연결되어 있지 않은 경우에는 일반적으로 위 문이 참이 아닙니다.Let ${\displaystyle U}$ be ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ with removing all coordinates on the ${\displaystyle z}$-axis (so not a simply connected space), i.e., ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}}$. Now,$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 벡터 필드 $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$를 다음과 같이 정의합니다$$.

Then ${\displaystyle \mathbf {v} }$ has zero curl everywhere in ${\displaystyle U}$ (${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} }$ at everywhere in ${\displaystyle U}$), i.e., ${\displaystyle \mathbf {v} }$ is irrotational.However, the circulation of ${\displaystyle \mathbf {v} }$ around the unit circle in the ${\displaystyle xy}$-plane is ${\displaystyle 2\pi }$; in polar coordinates, ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{\phi }/r}$, so the integral over the unit circle is

그러므로,${\displaystyle \mathbf{v}}$ ${\displaystyle$$$\$mathbf {v}}$에는 위에서 설명한 경로 독립 속성이 없으므로 v ${\$ \mathbf${\displaystyle }${v} $\$ \$mathbf$$${$0$$}이$$(가$) 정의된 U$${\displaystyle U}은(는) 단순히 연결된 열린 공간이 아니기 때문에 보수적이지 않습니다.

다시 말해, 단순히 연결된 열린 영역에서 비회전 벡터 $필드{\displaystyle \mathbf{}}$ v ${\$은$($$따라서{\displaystyle \mathbf{}}$ v {\$displaystyle \mathbf {v}}$은$($는) 경로 독립성을 갖습니다.이는 스톡스 정리를 이용하여 직접 증명할 수 있으며,

임의의 매끄러운 방향의 표면 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대하여, 경계가 단순 닫힌 경로 ${\displaystyle {PC}_{}}$ ${\$입니다$.$ 따라서, 단순히 연결된 열린 영역에서, 경로 독립성을 갖는 ${\displaystyle {임의}^{}}$의 C 1$${\$displaystyle C^{1}$ 벡터 필드가 (따라서 보존 벡터 필드입니다).) 또한 비회전성이어야 하며 그 반대도 마찬가지입니다.

추상화

더 추상적으로, 리만 메트릭이 있는 경우 벡터 필드는 미분 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$ - 형태에 해당합니다.보존 벡터 필드는 U$\{\backslash$displaystyle U}의 함수(스칼라 $)$ ϕ${\$displaystyle \$phi$}의 외부 $파생$ϕ {\displaystyle$$d\phi}인 $정확$한 1$${\$displaystyle 1}$ 형태에 해당합니다.The irrotational vector fields correspond to the closed ${\displaystyle 1}$-forms, that is, to the ${\displaystyle 1}$-forms ${\displaystyle \omega }$ such that ${\displaystyle d\omega =0}$. As ${\displaystyle d^{2}=0}$, any exact form is closed,따라서 어떤 보존 벡터장도 비회전성입니다.반대로 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$이(가) 연결되어 있으면 닫힌 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 1$}$ - 폼이 모두 정확합니다.

보티시티

벡터 필드의 와동성$$ω {\displaystyle {\$boldsymbol {\$omega}}}는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

비회전장의 소용돌이는 어디서나 0입니다.^[6]켈빈의 순환 정리에 따르면 비점성 흐름에서 무회전인 유체는 무회전 상태로 유지됩니다.이 결과는 나비에의 컬을 취함으로써 얻어진 소용돌이성 수송 방정식으로부터 유도될 수 있습니다.–스토크스 방정식.

2차원 장의 경우, 와류성은 유체 요소의 국소적인 회전의 척도로 작용합니다.소용돌이성은 유체의 전역적인 행동에 대해서는 아무것도 의미하지 않는다는 것에 주목하세요.직선으로 이동하는 유체는 소용돌이성을 가질 수 있고, 원을 그리며 이동하는 유체는 비회전성을 가질 수 있습니다.

보수세력

힘 $F{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$과(와) 연관된 벡터 필드가 보존력이라면$$, 힘은 보존력이라고 합니다.

보존력의 가장 중요한 예는 중력과 정전기장과 관련된 전기력입니다.According to Newton's law of gravitation, a gravitational force ${\displaystyle \mathbf {F} _{G}}$ acting on a mass ${\displaystyle m}$ due to a mass ${\displaystyle M}$ located at a distance ${\displaystyle r}$ from ${\displaystyle m}$, obeys the equation

여기서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$는 중력 상수이고 $r{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$는 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에서 m ${\displaystyle m}$을 향하는 단위 벡터입니다$.$$중력$은 ${\displaystyle {}_{}}$ = -${\displaystyle }$∇ φG${\$displaystyle \mathbf {F} _{G}= -\nabla \Phi_{G}}, 여기서

중력 퍼텐셜 에너지 입니다.즉,$중력$과 연관된 중력장 $F$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle {\mathbf {F} _{G}}$ {{$M}}$는 중력과 연관된 중력장 F ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf {F} _{G}}$는 중력과 연관된 중력 퍼텐셜 φ$$G m {\$displaystyle {\fac {\Phi$ _${$G}} {m$}$입니다.${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle \Phi _{G$ $F$(${\displaystyle r}$${\displaystyle )}$ ${\$$displaystyle$ {$F}$ ${\displaystyle {=}_{}}$$F(r$) ${\displaystyle {\mathbf {r}}}$ 형식의 벡터 필드는 F${\displaystyle (r}$) {\$displaystyle F(r)}$가 적분 가능하다면 보수적임을 알 수 있습니다.

보존력의 경우 경로 독립성은 점 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에서 점 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$로 이동하는 작업이 선택한$$ 이동 경로와 독립적임을 의미하는 것으로 해석될 수 있습니다(점 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및 $B$ ${\displaystyle B}$에만 의존).$$단순한 닫힌 루프$$C {\$displaystyle C}$을(를) 돌 때 수행되는$$ $작업{\displaystyle }$ W$${\$displaystyle W}$가 0 ${\displaystyle 0}$임$:$

보존력의 영향을 받아 움직이는 입자의 총 에너지는, 위치 에너지의 손실이 동량의 운동 에너지로 변환되거나 또는 그 반대로 변환된다는 의미에서 보존됩니다.

참고 항목

• 벨트라미 벡터장
• 보수세력
• 보수주의 체제
• 복소 라멜라 벡터장
• 헬름홀츠 분해
• 라플라시안 벡터장
• 종방향 및 횡방향 벡터장
• 솔레노이드 벡터장

참고문헌

추가열람

• Acheson, D. J. (1990). Elementary Fluid Dynamics. Oxford University Press. ISBN 0198596790.