그린의 법칙

Green's law
수심 감소에 따른 파장 파고의 변화를 나타내는 긴 파장의 전파.

유체역학에서, 19세기 영국 수학자 조지 그린의 이름을 딴 그린의 법칙은 점차 깊이와 폭이 변화하는 얕은 물에서 전파되는 깨지지 않는 표면 중력파의 진화를 설명하는 보존 법칙이다.가장 간단한 형태로, 파면깊이 등고선이 서로(및 해안) 평행한 경우, 다음과 같이 기술한다.

[{2}}}} ( 4 1 ( 4 2, \ )^{ , \ \ ( 2}} } ) 。

각각 1과 2의 파고를 나타내고 h1h2({}})는 동일한 두 위치의 평균 수심을 나타냅니다.

그린의 법칙은 해안 공학에서 해변의 긴 밀물 파도의 모델링을 위해 종종 사용되며, "긴"은 평균 [1]수심의 약 20배가 넘는 파장을 의미합니다.쓰나미 떼는 굴절과 회절의 지배를 받으며 해양과 대륙붕을 통해 전파되기 때문에 이 법칙에 따라 (높이를 바꿉니다.)해안과 매우 가까워지면(그리고 위로 올라가면) 비선형 효과가 중요해지고 Green의 법칙이 [2][3]더 이상 적용되지 않습니다.

묘사

캘리포니아 매버릭스의 파선 수렴( b b으로 높은 파도타기를 발생시킵니다.빨간 선은 파동 광선이고 파란 선은 파동 광선입니다.인접 파선 간의 거리는 수심계에 의한 굴절(심도 변화) 때문에 해안 쪽으로 변화한다.웨이브프론트 사이의 거리는 파도 밀림( h h으로 인해 해안 쪽으로 감소합니다.

선형화된 얕은 물 방정식에 기초한 이 법칙에 따르면 평균 h( 스타일 b({)의 물속에서 이동하는 파고에 대한 H사인파경우 표시 스타일 의 2배)의 공간적 변화 b열린 채널의 경우)가[4][5] 다음을 만족시킵니다.

서 h 4{\ {h의 번째 루트입니다 1과 2라는 라벨이 붙은 오픈 채널의 두 단면을 고려할 때 섹션 2의 파고는 다음과 같습니다.

첨자 1과 2는 관련 단면에서 수량을 나타낸다.따라서 깊이가 16배 감소하면 파도는 두 배로 높아집니다.그리고 채널폭을 계수 4로 서서히 줄인 후에는 파고가 2배로 증가한다.깊이 등고선이 해안선과 평행한 직선 코스트를 향해 수직으로 파동을 전파하려면 bb를 상수(예: 1m 또는 야드)로 취합니다.

바다나 해안 부근에서 긴 파도를 굴절할 b는파선간 거리로 해석할 수 있다.광선(및 광선 사이의 간격 변화)은 기하학적 광학 근사에서 선형 파동 [6]전파까지 이어집니다.직선 평행 깊이 등고선의 경우 Snell의 [7]법칙을 사용하는 것으로 단순화됩니다.

그린은 1838년에 [8]Liouville-Green 방법에 기초한 결과를 발표했습니다.이 방법은 현재 WKB 근사치로 알려져 있습니다.녹색의 법칙은 또한 [4][5]장파에서 평균 수평파 에너지 플럭스의 항상성에 해당합니다.

서 g h{\ 그룹 속도(수심층에서의 위상 속도에 대한 ), 8 2 gH2} = 1 } =2}} depth density and density density density density density density density density density density density density density density density 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、}은 이고\rho 수밀도입니다

파장 및 주기

또한 Green의 분석에 따르면 얕은 물속으로 밀려드는 동안 파장의 가 짧아지고[4][8],

파도를 따라그린의 선형 이론에 따르면 밀림파의 진동 주기(따라서 주파수)는 변하지 않습니다.

파생

그린은 현재 Liouville-Green으로 방법을 사용하여 물결의 법칙을 도출했으며, [9]전파 경로를 따라 깊이 점진적인 변화에 적용할 수 있습니다.

개방형 채널의 파동 방정식

시작점은 직사각형 단면(수직 측벽)이 있는 열린 채널에 대한 선형화된 1차원 Saint-Venant 방정식입니다.다음 방정식은 자유 표면 고도, 및 수평 u(t), 수평 유속 u , t ), {{ t 가진 파형의 진화를 설명합니다.

g {\ g 지구의 중력(상수로 간주), {\ h 평균 수심,b { b 채널 폭,// t{ \ / / / x { \ partial / \ 다음과 같은 미분을 나타냅니다.시간과 공간입니다. 축을 따라 x(\ xb b h(\h(\ x 느린 변동은 b(\ hx)로 표시되며, μ(\ \ 작은 파라미터입니다.: μ1. \1.} 위의 두 방정식은 표면 고도에 대한 하나의 파동 방정식으로 결합할 수 있습니다.

- g b b ,\ \ { { \ { } - { \ frac { } , { \ frac } { \ } \ \ { g ( ( b , b ,

(1)

Liouville-Green 방법에서는 위의 비균질계수를 갖는 파동방정식을 균질방정식으로 변환한다(}).

독립 변수로 파상 변환

다음 단계는 좌표 변환을 적용하여 이동 시간(또는 파형 위상) {\ 소개합니다.

d h , {\ {mathrm { {\mathrm }} = { s \\ frac1} {g} { } 。

x x c .{{ c 통해 관련지어지며 변수 x ({ X=\x})를 도입하고 b( {bX)의 도함수를 나타냅니다.: b ′ b / X, \ b ' = \ { b / \{ } , x { \ x } - displaystyle x- in e e q q 1 、 Eq q :

이제 파동 방정식 (1)은 다음과 같이 변환됩니다.

(2)

다음 단계는 근사치의 두 번째 순서로 균질성으로부터의 편차만 남도록 방정식을 변환한다. 즉, 2. \ }에 비례한다.

동질성을 향한 새로운 변화

균질파 방정식(예μ \mu 0일 때)은 음수 또는 x(\ 방향으로 전파되는 영구 형태의 파동을 이동하기 위한 해 ( 가진다.불균일한 경우, 양의(\x) 방향으로 전파되는 파형을 고려하여 Green은 대략적인 솔루션을 제안합니다.

(3)

그리고나서

이제 Eq(2)의 왼쪽은 다음과 같다.

따라서 (3)에서 제안하는 해법은 (2)과 (1) 외에 μ에 하는 위의두 항({}와 를 만족하며 μ 1 1)의 오차는 O 순서(\cal mathstyle)로 만들 수 있다^{ 제공

해결책은 다음과 같습니다.

Eq. (3)를 사용하여x(\x에서tau)로 변환하면 표면고도의 근사해 {\ 다음과 같습니다.

(4)

일반성잃지 않고 \alpha 1로 설정합니다.x({x}) 방향으로 이동하는 파형은 F({F})의 인수에서 마이너스 부호가 플러스 부호로 반전됩니다.이 이론은 선형이기 때문에 중첩 원리 때문에 해를 추가할 수 있습니다.

정현파와 그린의 법칙

T T 따라 시간에 따라 변화하는 사인파가 고려됩니다.그것은

{ a는 진폭, a { H 파형 높이, / {= / 주파수, ( { 파형 위상입니다.따라서 (4)의 F F 사인파여야 한다. 예를 F sinδ ( F=\ t-(\ \displaystyle이다.

(4)의 {\ F {\ F 형식을 적용하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

그린의 법칙이죠

유속

x}) 방향의 수평 유속은 Eq(4)에서 Eq(1)의[10] 대한 식(x 로 표면 용액을 치환한 직후이다.

Q 추가적인 상시 방전입니다.

b(\ b h(\ h 상수가 아닌 경우 비례하는 용어는displaystyle(\ {displaystyle\ 를 의미합니다.u (표시 스타일 。

속도 V {\ V 사인파의 경우 유속은 다음과 같이 선두 순서[8] 이동한다.

이는 수평 V h ( / ) / {\ V =/h)= 파형 예상할 수 있었다.

메모들

  1. ^ Dean & Dalrymple (1991년, dean3.4)
  2. ^ Synolakis & Skjelbreia (1993)
  3. ^ 시놀라키스 (1991)
  4. ^ a b c 양(1993년, §185년)
  5. ^ a b Dean & Darrymple (1991년, 5.3파운드)
  6. ^ 사타케(2002)
  7. ^ Dean & Darrymple (1991년, § 4.8.2)
  8. ^ a b c 녹색(1838)
  9. ^ 아래에 제시된 도출은 Lamb(1993년, §169 및 §185)에 의해 사용된 추론 라인에 따른 것이다.
  10. ^ Didenkulova, Pelinovsky & Soomere (2009)

레퍼런스

초록의

  • Green, G. (1838), "On the motion of waves in a variable canal of small depth and width", Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6: 457–462, Bibcode:1838TCaPS...6..457G

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