얕은 물 방정식

Shallow water equations
욕조 내 물의 얕은 물 방정식 모델에서 출력. 그 물은 표면 중력파를 발생시키는 5개의 비산물을 경험하며, 이는 물 튀김 장소로부터 멀리 퍼져나가 욕조 벽에서 반사된다.

얕은방정식쌍곡선 부분 미분 방정식(또는 점성 전단을 고려할 경우 포물선)의 집합으로, 유체의 압력 표면(때로는 반드시 자유 표면은 아니지만) 아래의 흐름을 설명한다.[1] 단방향 형태의 얕은 물 방정식은 Adhemar Jean Claude Baré de Saint-Venant의 이름을 따서 생-베넌트 방정식이라고도 불린다(아래 관련 섹션 참조).

방정식은 Navier의 깊이 통합에서 도출된[2] 것이다.–수식, 수평 길이 척도가 수직 길이 척도보다 훨씬 큰 경우 이 조건에서 질량의 보존은 유체의 수직 속도 눈금이 수평 속도 눈금에 비해 작다는 것을 의미한다. 모멘텀 방정식을 통해 수직 압력 구배는 거의 정수이고 수평 압력 구배는 압력 표면의 변위에 기인한다는 것을 알 수 있어 유체의 깊이 전체에 걸쳐 수평 속도장이 일정하다는 것을 알 수 있다. 수직으로 통합하면 방정식에서 수직 속도를 제거할 수 있다. 따라서 얕은 물 방정식은 도출된다.

수직 속도 항은 얕은 물 방정식에 존재하지 않지만, 이 속도가 반드시 0은 아니라는 점에 유의하십시오. 예를 들어, 바닥의 깊이가 변할 때 수직 속도는 0이 될 수 없으며, 따라서 0이면 평탄한 바닥만 얕은 물 방정식으로 사용할 수 있기 때문이다. 용액(즉, 수평 속도와 자유 표면 변위)이 발견되면 연속성 방정식을 통해 수직 속도를 복구할 수 있다.

수평 길이 척도가 수직 길이 척도보다 훨씬 큰 유체 역학 상황은 일반적이기 때문에 얕은 물 방정식이 광범위하게 적용된다. 그것들은 대기 흐름의 원시 방정식의 단순화로서 대기 및 해양 모델링에서 코리올리 힘과 함께 사용된다.

얕은 물 방정식 모델은 수직 수준이 하나만 있으므로 높이에 따라 변화하는 인자를 직접 포함할 수 없다. 그러나 평균 상태가 충분히 단순한 경우, 수직 변화는 수평으로부터 분리될 수 있고 여러 세트의 얕은 물 방정식이 상태를 설명할 수 있다.

방정식

보수적 형태

얕은 물 방정식은 질량 보존선형 운동량 보존의 방정식에서 도출된다(나비에르).-수압 점프와 같이 얕은 물에 대한 가정이 무너질 때에도 고정하는 스톡스 방정식). 코리올리스 힘, 마찰력점성력을 무시하는 수평 침대의 경우, 얕은 물 방정식은 다음과 같다.

여기서 η은 총 유체 컬럼 높이(x, y, t의 함수로써 즉각적인 유체 깊이)이며, 2D 벡터(u,v)는 유체의 수평 유속이며, 수직 컬럼 전체에서 평균이다. 추가 g는 중력에 의한 가속이고 ρ은 유체 밀도다. 첫 번째 방정식은 질량 보존에서, 두 번째 방정식은 운동량 보존에서 도출되었다.[3]

비보수형

상기의 파생상품을 상품규칙을 이용하여 확대하면 얕은 수식의 비보수적 형태를 얻게 된다. 속도에는 근본적인 보존 방정식이 적용되지 않기 때문에 비보수적인 형태는 충격이나 유압 점프를 가로지르지 않는다. 또한 코리올리스, 마찰력 및 점성력이 (정확한 유체 밀도의 경우) 얻기 위한 적절한 조건도 포함되어 있다.

어디에

u x 방향의 속도 또는 영역 속도
v Y 방향의 속도 또는 경맥의 속도
h 평균 높이 H: η = H + h에서 수평 압력 표면의 높이 편차
H 수평 압력 표면의 평균 높이
g 중력에 의한 가속도
f 코리올리 힘과 연관된 코리올리 계수다. 지구에서 f는 2Ω sin(φ)과 같으며, 여기서 Ω은 지구의 각도 회전 속도(π/12 radian/hour), φ은 위도( latitude道)이다.
b 비스코스 드래그 계수
ν 동역학적 점도
마찰력과 코리올리 힘이 없는 직사각형 분지에 대한 선형화된 얕은 물 방정식의 애니메이션. 그 물은 튀는 위치에서 멀리 퍼져나가 분지 벽을 반사하는 표면 중력파를 생성하는 물방울을 경험한다. 이 애니메이션은 축대칭 파형에 캐리어와 예(2005)의 정확한 용액을 사용하여 제작된다.[4]

대량접속 효과를 나타내는 uv의 2차적 용어가 다른 용어에 비해 작은 경우가 많다. 이것을 지리적 균형이라고 하며, 로스비 숫자가 작다고 말하는 것과 같다. 또한 파고가 평균 높이(h h H)에 비해 매우 작다고 가정할 때 (측면 점성력 미포함):

1차원 생베난트 방정식

1차원(1-D) 생베난트 방정식Adhémar Jean Claude Baré de 생베난트에 의해 도출되었으며, 일반적으로 일시적인 개방 채널 흐름과 표면 유출을 모형화하는 데 사용된다. 2차원(2-D) 얕은 물 방정식의 수축으로 볼 수 있는데, 이를 2차원 생베넌트 방정식이라고도 한다. 1-D Saint-Venant 방정식은 채널 단면형상의 주요 특성을 어느 정도 포함하고 있다.

1-D 방정식은 TUFlow, 마스카레(EDF), SIC(Irstea), HEC-RAS,[5] SWM5, ISIS,[5] InfoWorks,[5] Flood Modeller, SOBEK 1DFlow, MIK 11,[5] MIK SHE와 같은 컴퓨터 모델에서 광범위하게 사용된다. 1-D Saint-Venant 방정식의 일반적인 적용은 강을 따라 흐르는 홍수 경로(홍수의 위험을 줄이기 위한 조치의 평가 포함), 댐 파손 분석, 개방 채널에서의 폭풍 펄스 및 육지 흐름에서의 폭풍 유출을 포함한다.

방정식

개방 채널의 단면.

Saint-Venant가 1871년 논문(등가 19 및 20)에서 도출하고 포즈한 임의 단면 개방 채널에서 1-D 비압축성 흐름을 설명하는 부분 미분 방정식의 시스템은 다음과 같다.[6]

t+ ) = {\{\ A t {\ \partial

(1)

(2)

여기서 x는 채널 축을 따른 공간 좌표, t는 시간을 나타내며, A(x,t)는 위치 x에서 흐름의 단면적, u(x,t)는 유속, ζ(x,t)는 자유 표면 고도, τ(x,t)은 x에서 단면의 젖은 둘레 P(x,t)를 따라가는 벽 전단 응력이다. 추가 ρ은 (정수) 유체 밀도, g중력 가속도다.

(1)–(2) 방정식의 쌍곡선 시스템폐쇄는 단면도 A와 각 위치 x에서 표면도 elevation 사이의 기능적 관계를 제공함으로써 단면도 기하학으로부터 얻어진다. 예를 들어, 일정한 채널 폭 B와 채널 침대 표고 zb 갖는 직사각형 단면의 경우 단면적은 A = B(ζb - z) = B h이다. 순간 수심은 h(x,t) = =(x,t) - zb(x)이며, zb(x)는 침대 수준(예: 기준점 위 베드에서 가장 낮은 지점의 고도, 단면도 참조)이다. 비이동 채널 벽의 경우 등식 (1)의 단면적 A는 다음과 같이 기록할 수 있다.

b([7]x,h)를 사용하여 유체 깊이가 h –(x,h) = B(x)일 때 위치 x에서 채널 단면의 유효 폭

벽 전단 응력 τ은 유속 u에 따라 달라지며, 다아시-와이스바흐 방정식, 매닝 공식 또는 체지 공식 등을 사용하여 관련될 수 있다.

또한, (1)은 연속성 방정식으로, 이 비압축성 균질 유체에 대한 물량의 보존을 표현한다. 등식 (2)는 운동 방정식으로 힘과 운동량 변화율 사이의 균형을 제공한다.

침대 경사 S(x), 마찰 경사 Sf(x,t) 및 유압 반지름 R(x,t)은 다음과 같이 정의된다.

and

따라서 운동량 방정식(2)은 다음과 같이 기록할 수 있다.[7]

(3)

운동량 보존

운동량 방정식 (3)도 생베난트 방정식, (1)과 (3)에 대한 일부 대수적 조작을 통해 이른바 보존 형태로 주조할 수 있다. 배출 Q = Au:[8]

(4)

여기서 A, I1I2 채널 너비 B(수평,x)의 용어로 설명되는 채널 형상의 함수다. 여기서 σ은 위치 x의 단면에서 가장 낮은 지점 위의 높이로서 단면도를 참조한다. 따라서 σ은 침대 레벨 zb(x) 위의 높이(단면 내 가장 낮은 지점)이다.

위 – 보존 형태의 운동량 방정식 (4)에서 – A, I1I는2 = = h(x,t)로 평가된다. g I라는1 용어는 특정 단면에서 정수력을 설명한다. 그리고, 비자유적 채널의 경우, g I2 채널 축 x를 따라 기하학적 변동의 효과를 제공한다.

애플리케이션에서는 당면한 문제에 따라 비보존형, (2) 또는 (3)의 모멘텀 방정식이나 보존형(4) 중 하나를 사용하는 것을 선호하는 경우가 많다. 예를 들어 유압 점프에 대한 설명의 경우, 모멘텀 플럭스가 점프를 가로질러 연속되기 때문에 보존 형태가 선호된다.

특성.

공간 x 및 시간 t의 위치 P = (xP,tP)와 관련된 특성, 의존 영역 및 영향 영역.

생베넌트 방정식 (1)–(2)은 특성 방법을 사용하여 분석할 수 있다.[9][10][11][12] 특성 곡선의 두 개의 셀러리 dx/dt는 다음과 같다.[8]

d = ± c = c

Froude 번호 F = u / c는 흐름이 미임계(F < 1)인지 초임계(F > 1)인지를 결정한다.

일정한 폭 B의 직사각형 및 프리즘 채널, 즉 A = B hc = gh의 경우 리만 불변량은 다음과 같다.[9]

+ =+ r-= -

따라서 특성 형식의 방정식은 다음과 같다.[9]

임의 단면 프리즘 채널에 대한 리만 불변성 및 특성 방법은 디덴쿨로바 & 펠리노프스키(2011년)가 설명한다.[12]

특성 및 리만 불변성은 흐름의 거동에 관한 중요한 정보를 제공할 뿐만 아니라 (분석적 또는 수치적) 해결책을 얻는 과정에서 사용될 수 있다.[13][14][15][16]

파생 모델링

동적파

동적 파동은 완전한 1차원 생베난트 방정식이다. 숫자적으로는 해결이 어렵지만 모든 채널 흐름 시나리오에 유효하다. 동적파는 마스카레(EDF), SIC(Irstea), HEC-RAS,[17] InfoWorks_ 의 모델링 프로그램에서 과도성 폭풍의 모델링에 사용된다.ICM,[18] MIK 11,[19] Wash 123d[20]SWMM5.

단순화를 증가시키는 순서로 전체 1D 생베넌트 방정식(일명 동적파 방정식)의 일부 항을 제거함으로써 고전적 확산파 방정식과 키네마틱파 방정식을 얻는다.

확산파

확산 파동의 경우 관성 항이 중력, 마찰 및 압력 항보다 작다고 가정한다. 그러므로 확산파는 비침투파(non inertia wave)로 보다 정확하게 설명할 수 있으며, 다음과 같이 쓰여 있다.

확산파는 관성 가속도가 다른 모든 형태의 가속도보다 훨씬 작을 때, 또는 다시 말해서 주로 낮은 임계 유량이 있을 때 Froude 값이 낮을 때 유효하다. 확산파 가정을 사용하는 모델에는 MIK SE[21] LISFLOD-FP가 포함된다.[22] SIC(Irstea) 소프트웨어에서는 인터페이스에서 옵션으로 2개의 관성 용어(또는 그 중 하나)를 제거할 수 있기 때문에 이 옵션도 이용할 수 있다.

키네마틱파

키네마틱 파형의 경우 흐름이 균일하고 마찰 경사가 대략 채널의 기울기와 동일하다고 가정한다. 이로써 생베난트 방정식은 키네마틱 파동에 대한 완전한 방정식을 단순화한다.

키네마틱 파형은 예를 들어 가파른 경사면을 지나는 얕은 흐름의 경우 등 거리 및 시간에 걸친 파장 높이 및 속도 변화가 침대 기울기에 비해 무시할 수 있는 경우에 유효하다.[23] 키네마틱 파동은 HEC-HMS에서 사용된다.[24]

Navier에서 파생–스토크 방정식

1-D Saint-Venant 모멘텀 방정식은 Navier에서 도출할 수 있다.유체 운동을 설명하는 방정식을 표시한다. Navier의 x-구성 요소–스토크 방정식 - x-방향으로 데카르트 좌표로 표현되는 경우 다음과 같이 기록할 수 있다.

여기서 u는 x-방향의 속도, v는 y-방향의 속도, w는 z-방향의 속도, t는 시간, p는 압력, density은 물의 밀도, ν은 운동점x, f는 x-방향의 체력이다.

1. 마찰이 체력으로 고려된다고 가정할 경우, 다음과 같이 을(를) 0으로 가정할 수 있다.
2. x 방향으로 1차원 흐름을 가정하면 다음과 같다.[25]
3. 또한 압력 분포가 거의 정수 분포라고 가정하면 다음과 같다.[25]

또는 차등 형식:

그리고 이러한 가정이 Navier의 x-구성 요소에 적용될 때–스토크 방정식:

4. 채널 유체에 작용하는 두 가지 신체 힘, 즉 중력과 마찰력이 있다.

여기서 fx,g 중력에 의한 신체 힘이고 fx,f 마찰에 의한 신체 힘이다.

5. fx,g 기본 물리학과 삼각법을 사용하여 계산할 수 있다.[26]

여기서 Fg x방향의 중력, θ은 각도, M은 질량이다.

그림 1: 경사면 아래로 이동하는 블록의 다이어그램

죄악 θ에 대한 표현은 다음과 같이 삼각법을 사용하여 단순화할 수 있다.

작은 θ(거의 모든 하천에 대해 타당함)에 대해서는 다음과 같이 가정할 수 있다.

그리고x f가 단위 질량 당 힘을 나타낸다는 점을 고려할 때, 그 표현은 다음과 같이 된다.

6. 에너지 등급 선이 채널 기울기와 동일하지 않고, 일정한 기울기의 도달에 대해서는 일정한 마찰 손실이 있다고 가정하면 다음과 같다.[27]
7. 이러한 모든 가정이 x 방향으로 1차원 생베넌트 방정식에 도달한다.

여기서 (a)는 국부 가속도 용어, (b)는 대류 가속도 용어, (c)는 압력 경사도 용어, (d)는 마찰 용어, (e)는 중력 용어다.

조건.

국부 가속도(a)는 시간에 따른 속도의 일부 변화를 설명하기 때문에 "불안정적인 용어"라고도 생각할 수 있다. 대류 가속도(b)는 위치 상에서의 속도 변화로 인해 발생하는 가속도인데, 예를 들어 수축이나 개구부로 들어가는 유체의 가속도 또는 감속도가 각각 증가한다. 이 두 항은 모두 1차원 생베넌트 방정식의 관성 항을 구성한다.

압력 구배 용어(c)는 압력이 위치에 따라 어떻게 변화하는지 설명하고, 압력이 정수압으로 가정되기 때문에, 이것이 헤드 오버 위치의 변화다. 마찰용어(d)는 마찰에 의한 에너지 손실을 설명하며, 중력용어(e)는 침대의 경사면에 의한 가속도를 나타낸다.

얕은 물 방정식에 의한 파동 모델링

얕은 물 방정식은 대기, 강, 호수, 해양의 로스비켈빈 파동뿐만 아니라 더 작은 영역의 중력 파동(예: 목욕탕의 표면 파동)을 모형화하는 데 사용될 수 있다. 얕은 물 방정식이 유효하려면 그들이 모델링해야 할 현상의 파장은 현상이 일어나는 분지의 깊이보다 훨씬 커야 한다. 다소 작은 파장은 분산 효과를 통합하기 위해 부신스큐 근사치를 사용하여 얕은 물 방정식을 확장하여 처리할 수 있다.[28] 얕은 물 방정식은 특히 길이 척도가 매우 큰 조수(백 킬로미터 이상)를 모형화하는 데 적합하다. 조석 운동을 위해, 아주 깊은 바다조차도 조석 파장보다 항상 그 깊이가 훨씬 작을 것처럼 얕게 여겨질 수 있다.

쓰나미 발생 및 전파는 얕은 물 방정식(빨간색 선, 주파수 분산 없음)과 부신스큐형 모델(파란색 선, 주파수 분산 포함)으로 계산한 것이다. 부신스큐형 모델(파란색 라인)이 진동 꼬리가 뒤에 머무르는 솔리톤을 형성하는 것을 관찰한다. 얕은 물 방정식(빨간 선)은 가파른 전면을 형성하고, 이는 나중에 보어 형성으로 이어질 것이다. 수심은 100미터다.

비선형 얕은수 방정식을 이용한 난류 모델링

충격파가 존재하는 얕은 물 방정식의 시뮬레이션에서 얻은 스냅샷

얕은 물 방정식은 비선형 형태로 대기와 해양의 난류, 즉 지구물리학적 난류를 모델링할 수 있는 명백한 후보다. 준기하 방정식에 비해 이것의 장점은 중력파 같은 해결책을 허용하는 동시에 에너지잠재적 편협성을 보존한다는 것이다. 그러나 지구물리학적 적용에 관한 한 몇 가지 단점도 있다. 즉, 총 에너지에 대한 비정수적 표현과 파동이 충격파가 되는 경향이 있다.[29] 충격 형성을 방지하는 일부 대체 모델이 제안되었다. 한 가지 대안은 운동 방정식의 "압력 항"을 수정하는 것이지만 운동 에너지에 대한 복잡한 표현으로 귀결된다.[30] 또 다른 옵션은 운동 에너지에 대해 2차적 표현을 제공하는 모든 방정식의 비선형 항을 수정하여 충격 형성은 피하지만 선형화된 잠재적 항성만 보존하는 것이다.[31]

메모들

  1. ^ Vreugdenhil, C.B. (1986). Numerical Methods for Shallow-Water Flow. Water Science and Technology Library. 13. Springer, Dordrecht. p. 262. doi:10.1007/978-94-015-8354-1. ISBN 978-90-481-4472-3.
  2. ^ "The Shallow Water Equations" (PDF). Retrieved 2010-01-22.
  3. ^ Clint Dawson and Christopher M. Mirabito (2008). "The Shallow Water Equations" (PDF). Retrieved 2013-03-28.
  4. ^ Carrier, G. F.; Yeh, H. (2005), "Tsunami propagation from a finite source", Computer Modeling in Engineering & Sciences, 10 (2): 113–122, doi:10.3970/cmes.2005.010.113
  5. ^ a b c d S. Néelz; G Pender (2009). "Desktop review of 2D hydraulic modelling packages". Joint Environment Agency/Defra Flood and Coastal Erosion Risk Management Research and Development Programme (Science Report: SC080035): 5. Retrieved 2 December 2016.
  6. ^ Saint-Venant, A.J.C. Barré de (1871), "Théorie du mouvement non permanent des eaux, avec application aux crues des rivières et a l'introduction de marées dans leurs lits", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 73: 147–154 and 237–240
  7. ^ a b Chow, Ven Te(1959), 개방형 채널 유압 장치, McGraw-Hill, OCLC 4010975, §18-1 및 §18-2.
  8. ^ a b 쿤지, J. A. F. M. 홀리 주니어, A. Verwey(1980), 계산 하천 유압의 실제적 측면, Pitman Publishing, ISBN 0273 08442 9, §2.1 및 2.2
  9. ^ a b c Whitham, G. B. (1974) 선형 비선형파, §5.2 & 13.10, Wiley, ISBN 0-471-94090-9
  10. ^ Lighthill, J. (2005) Wave in fluids, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-01045-0, §2.8–2.14
  11. ^ 마이어, R. E. (1960), 비실시 가스 역학의 특성 이론. 인: Fluid Dynamics/Strömungsmechanik, Physical IX, Eds. S. 플뤼게 & C. 트뤼셀, 스프링거, 베를린, ISBN 978-3-642-45946-7, 페이지 225–282
  12. ^ a b Didenkulova, I.; Pelinovsky, E. (2011). "Rogue waves in nonlinear hyperbolic systems (shallow-water framework)". Nonlinearity. 24 (3): R1–R18. doi:10.1088/0951-7715/24/3/R01.
  13. ^ Harris, M. W.; Nicolsky, D. J.; Pelinovsky, E. N.; Rybkin, A. V. (2015-03-01). "Runup of Nonlinear Long Waves in Trapezoidal Bays: 1-D Analytical Theory and 2-D Numerical Computations". Pure and Applied Geophysics. 172 (3–4): 885–899. Bibcode:2015PApGe.172..885H. doi:10.1007/s00024-014-1016-3. ISSN 0033-4553. S2CID 55004099.
  14. ^ Harris, M. W.; Nicolsky, D. J.; Pelinovsky, E. N.; Pender, J. M.; Rybkin, A. V. (2016-05-01). "Run-up of nonlinear long waves in U-shaped bays of finite length: analytical theory and numerical computations". Journal of Ocean Engineering and Marine Energy. 2 (2): 113–127. doi:10.1007/s40722-015-0040-4. ISSN 2198-6444. S2CID 123725815.
  15. ^ Garayshin, V. V.; Harris, M. W.; Nicolsky, D. J.; Pelinovsky, E. N.; Rybkin, A. V. (2016-04-10). "An analytical and numerical study of long wave run-up in U-shaped and V-shaped bays". Applied Mathematics and Computation. 279: 187–197. doi:10.1016/j.amc.2016.01.005.
  16. ^ Anderson, Dalton; Harris, Matthew; Hartle, Harrison; Nicolsky, Dmitry; Pelinovsky, Efim; Raz, Amir; Rybkin, Alexei (2017-02-02). "Run-Up of Long Waves in Piecewise Sloping U-Shaped Bays". Pure and Applied Geophysics. 174 (8): 3185. Bibcode:2017PApGe.174.3185A. doi:10.1007/s00024-017-1476-3. ISSN 0033-4553. S2CID 132114728.
  17. ^ Brunner, G. W. (1995), HEC-RAS 강 분석 시스템. 유압 참조 설명서 버전 1.0 Rep, DTIC 문서.
  18. ^ 서비, D.; 딘; 마겟츠 J. (1998), 크라이스트처치 항구 하이드로웍스 모델링, WAPUG 가을 회의의 진행, 영국 블랙풀.
  19. ^ Havnø, K, M. Madsen, J. Dørge, V. 싱(1995), MIK 11-일반화된 하천 모델링 패키지, 유역 수문학의 컴퓨터 모델, 733–782.
  20. ^ 예, G.; 쳉, J.; 린, J.; 마틴, W. (1995) 1-D 하천 네트워크, 2-D 육지 체제, 3-D 지표면 미디어의 유역 시스템에서 물의 흐름과 오염 물질침전물 수송을 시뮬레이션하는 수치 모델. 유역 수문학의 컴퓨터 모델, 733–782.
  21. ^ DHI (Danish Hydraulic Institute) (2011), MIK SE 사용자 설명서 2권: 참조 가이드, 편집.
  22. ^ 베이츠, P, T. 리프트렐, M. Trigg 및 J. Neal(2008), LISFLUD-FP 사용자 설명서 및 기술 노트, 코드 릴리스 4.3.6, 브리스톨 대학교
  23. ^ Novak, P, 등, 유압 모델링 – 소개: 원칙, 방법 및 적용. 2010: CRC 프레스.
  24. ^ 샤르펜베르크, W. A. 및 M. J. 플레밍(2006) 수문 모델링 시스템 HEC-HMS: 사용 설명서, 미군 공병대, 수문 공학 센터.
  25. ^ a b Vincent., Fromion (2009). Modeling and control of hydrosystems. Springer. ISBN 9781848826243. OCLC 401159458.
  26. ^ "Inclined Planes". www.physicsclassroom.com. Retrieved 2017-05-16.
  27. ^ Methods., Haestad (2007). Computer applications in hydraulic engineering : connecting theory to practice. Bentley Institute Press. ISBN 978-0971414167. OCLC 636350249.
  28. ^ Dingemans, M.W. (1997), Wave propagation over uneven bottoms, Advanced Series on Ocean Engineering 13, World Scientific, Singapore, pp. 473 & 516, ISBN 978-981-02-0427-3
  29. ^ Augier, Pierre; Mohanan, Ashwin Vishnu; Lindborg, Erik (2019-09-17). "Shallow water wave turbulence". Journal of Fluid Mechanics. 874: 1169–1196. doi:10.1017/jfm.2019.375. ISSN 1469-7645. S2CID 198976015.
  30. ^ Bühler, Oliver (1998-09-01). "A Shallow-Water Model that Prevents Nonlinear Steepening of Gravity Waves". Journal of the Atmospheric Sciences. 55 (17): 2884–2891. doi:10.1175/1520-0469(1998)055<2884:ASWMTP>2.0.CO;2. ISSN 0022-4928.
  31. ^ Lindborg, Erik; Mohanan, Ashwin Vishnu (2017-11-01). "A two-dimensional toy model for geophysical turbulence". Physics of Fluids. 29 (11): 111114. doi:10.1063/1.4985990. ISSN 1070-6631.

추가 읽기

외부 링크