모세관파

표면 장력과의 인터페이스로 분리된 두 개의 유체 영역을 고려하십시오. 평균 인터페이스 위치는 수평이다. 상부를 하부 유체와 분리하며, 상부는 상수 질량 밀도가 서로 다른$$lower {\$displaystyle \rho }$과(와) 하한 영역용$$${\displaystyle {}^{}}\rho {\displaystyle {}^{}}$ ${\$이다. 유체는 비침습성 및 비압축성인 것으로 가정하며, 유량은 비회전성인 것으로 가정한다. 그런 다음 흐름이 잠재적이며, 하층 및 상층부의 속도는 ${\displaystyle \mathrm{각각}}$ ∇${\displaystyle \mathrm{}}${${$ { { \$nabla \pi$ $}$과 $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {\{}^{}}$ { { $\$\$nabla \pi '}$에서 얻을 수 있다$.$ 여기서 $\varphi {\displaystyle (x,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle z,}$ t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \phi(x,y,z,t)}$ 및$$${\displaystyle {}^{}}\varphi {\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle z,t}$ ) ${\displaystyle \phi '(x,y,z,t)}$은 속도 전위이다.

에너지에 대한 세 가지 기여가 포함되어 있다: 중력에 의한 잠재적 ${\displaystyle {에너지}_{}}$ V g ${\$ $V_{g},$ 표면 장력과 흐름의$$$$ 운동 에너지 ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle T}.$ The part ${\displaystyle V_{g}}$ due to gravity is the simplest: integrating the potential energy density due to gravity, ${\displaystyle \rho gz}$ (or ${\displaystyle \rho 'gz}$) from a reference height to the position of the surface, ${\displaystyle z=\eta (x,y,t)}$:^[6]

${\displaystyle V_{\mathrm {g}}=\iintdx\,dy\;\int_{0}^{\eta }dz\;(\rho -\rho ')gz={1}{1}{1}{1}{1}{{1}(\rho -\iintdx\, ddy\;eta ^}}}}}}}}}}}}},dy.$

평균 인터페이스 위치가 ${\displaystyle \mathrm{z}}$= 0 ${\displaystyle z=0}$이라고 가정하십시오$.$

표면적이 증가하면 표면 장력에 의한 에너지의 비례적 증가가 발생한다.^[7]

${\displaystyle V_{\mathrm {st} }=\sigma \iint dx\,dy\;\left[{\sqrt {1+\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}}}-1\right]\approx {\frac {1}{2}}\sigma \iint dx\,dy\;\left[\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}\right],}$

여기서 첫 번째 평등은 이 (Monge's) 표현 영역이며, 두 번째 평등은 파생상품의 작은 가치(너무 거칠지 않은 범위)에 적용된다.

마지막 기여는 유체의 운동 에너지를 포함한다.^[8]

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\int _{-\infty }^{\eta }dz\;\rho \,\left \mathbf {\nabla } \Phi \right ^{2}+\int _{\eta }^{+\infty }dz\;\rho '\,\left \mathbf {\nabla } \Phi '\right ^{2}\right].}$

용도는 압축할 수 없는 액체로 만들어지며 그 흐름은 비회전적이다(흔히 합리적인 근사치). 따라서 $\varphi {\displaystyle (x,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \phi(x,y,z,t)}$ 및$$ $\varphi {\displaystyle {}^{}(x,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle z,}$ t${\displaystyle }$) ${\displaysty \phi '(x,y,z,t)}$은 모두 Laplace 방정식을 충족해야$$ 한다.^[9]

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathrm{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\$${\displaystyle {}^{}{\mathrm{}}^{}}$$=0$$}$ 및 ∇ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\$$phi '=0.$$}$

이러한 방정식은 적절한 경계조건으로 해결할 수 있다: $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$}과 ${\displaystyle {\{}^{}}${\$displaystyle \pi '}$은(는) 표면으로부터 멀리 떨어져야 한다(우리가$$ 고려하는 "심층수"의 경우).

그린의 아이덴티티를 사용하고, 표면 고도의 편차가 작다고 가정하면(그러므로 z-통합은 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle \eta }$ = η ${\displaystyle z=$$0}$을(를) 대신 최대 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ z$=\$$eta }$까지 통합하여 근사치를 계산할 수 있다)$$ 운동 에너지는 다음과 같이 기록할 수 있다.^[8]

${\displaystyle T\approx {\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\rho \,\Phi \,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\;-\;\rho '\,\Phi '\,{\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}\right]_{{\text{at }}z=0}.}$

산포 관계를 찾으려면 X 방향으로 전파되는 인터페이스의 사인파를 고려하는 것으로 충분하다.^[7]

$\displaystyle \eta =a\,\cos \,(kx-\omega t)=a\,\cos \\theta ,}$

진폭 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$ 및 파형$$ 위상${\displaystyle }$phase = $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ -${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \teta$ =$kx-\omega$ t$\}.$ 인터페이스에서 접점 운동과 관련된 운동학적 경계 조건은 수직 속도 구성요소가 표면의 운동과 일치해야 한다는 것이다.^[7]

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}}$ and ${\displaystyle {\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}}$ at ${\displaystyle z=0}$.

잠재력을 찾는 문제에 대처하기 위해 두 필드를 다음과 같이 표현할 수 있는 경우 변수의 분리를 시도할 수 있다.^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x,y,z,t)&=+{\frac {1}{ k }}{\text{e}}^{+ k z}\,\omega a\,\sin \,\theta ,\\\Phi '(x,y,z,t)&=-{\frac {1}{ k }}{\text{e}}^{- k z}\,\omega a\,\sin \,\theta .\end{aligned}}}$

그런 다음 한 파장에 $걸쳐{\displaystyle }$ 수평으로 통합된 파동에너지에 대한 기여는 x 방향으로 in$$ =$amb$ / k {\$displaystyle \$lambda = $2\pi /k}$ 및 y 방향으로 단위 너비에 걸쳐 다음과 같이 된다.^[7][10]

${\displaystyle {\reasoned}V_{\text{g}}&={\frac {1}{4}}(\rho -\rho ')ga^{2}\lambda ,\\V_{\text{st}}&={\frac {1}{4}}\sigma k^{2}a^{2}\lambda ,\\T&={\frac {1}{4}}(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{ k }}a^{2}\lambda .\end{정렬}}}$

이제 분산 관계는 $라그랑비아{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$=${\displaystyle T}$- ${\displaystyle V}$ {\displaystyle $V}$과(${\displaystyle {와}_{}}$$)$ $중력{\displaystyle }$ V$$g {\$displaystyle V_{g}$ 및$$ 표면 장력 V의 t ${\$에 의한 전위 에너지의 합을$$ 사용하여 얻을 수 있다$.$^[11]

${\displaystyle L={\frac {1}{1}{4}\왼쪽[(\rho +\rho ')\frac {\omega^{2}}-{{}-(\rho -\rho ')g-\sigma k^{2}\rigma]a^{2}\lambda.}$

정현파 전파와 선형 파동 이론의 경우,phase–averaged Lagrangian항상 형태 해석에서 LxD(ω, km그리고 4.9초 만)2{\displaystyle L=D(\omega ,k)a^{2}}, 그래서가 유일한 자유 매개 변수,{\displaystyle}와 관련 그 변화는 분산 관계 D을 준다(ω, km그리고 4.9초 만)=0{D(\omega ,k)=0\displaystyle}.[11]이다.rse $D{\displaystyle (\Omega }$, k${\displaystyle }$) ${\displaystyle D(\omega ,k)}$는 대괄호 안의 표현일 뿐이므로$$ 분산 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle \omega ^{2}= k \left\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}\g+{\fracma }{\rho+}}}}}}},}$

위와 같은

그 결과 단위 수평 면적당 평균 파동에너지는 다음과 같다$.{\displaystyle }$ (${\displaystyle T}$+ ${\displaystyle V}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle$ (T$+V)/\lambda$ $\}$

${\displaystyle {\bar{E}={\frac {1}{1}:{2}}\,\왼쪽[(\rho -\rho ')\,g+\sigma k^{2}\,a^{2}.}$

선형 파동의 경우 일반적으로 전위와 운동에너지는 동일하다(등분 유지): ${\displaystyle T}$= V ${\displaystyle T=V}$^[12].