푸앵카레-린슈타트법

섭동 이론에서, 푸앵카레-린슈타트 방법 또는 린드스테트-푸앵카레 방법은 규칙적인 섭동이 접근하는 경우, 일반 미분 방정식에 대해 균일하게 근사하게 주기적인 해법에 대한 기법이다. 이 방법은 한정된 진동 해법이 있는 약하게 비선형 문제에 섭동 이론을 직접 적용하는 데 도움이 되는 세속적인 용어(범주 없이 성장하는 용어)를 제거한다.[1]

이 방법은 앙리 푸앵카레와 ^[2]안데르스 린드스테트의 이름을 따서 명명되었다.^[3]

예제: 더핑 방정식

비침습, 용서받지 못한 더핑 방정식은 다음에 의해 주어진다.

{\ddotyle {\dot}+x+\varepsilon \,x^{3}=0\,}

t > 0의 경우, 0 < ε 1을 사용한다.^[4]

초기 조건 고려

x(0)=1,\,

{\dot{x}(0)=0.\,

x(t) = x₀(t) + ε x₁(t) + … 형식의 섭동 시리즈 솔루션을 구한다. 이 시리즈의 처음 두 용어는

x(t)=\cos(t)+\varepsilon \left[{\tfrac{1}{1}}}\좌측(\cos(3t)-\cos(t)\우측)-{3}{8}\8}\sin(t)\cdots.,},},},

이 근사치는 시간에 구애받지 않고 성장하는데, 이는 방정식이 모델링하는 물리적 시스템과 일치하지 않는다.^[5] 세속적인 $t\sin(t)$ 로 불리는 이 무한한 성장을 책임지는 용어는 $t\sin(t)$ $t\sin(t)$ $t\sin(t)$ ( t $t\sin(t)$ ) $t\sin(t)$ 이다 $t\sin(t)$ 푸앵카레-린슈타트 방법은 다음과 같이 항상 정확한 근사치를 만들 수 있다.

솔루션 자체를 무증상 시리즈로 표현하는 것 외에도, t: 시간을 확장하기 위해 다른 시리즈를 만드십시오.

\tau =\omega t,\,

=

\tau =\omega t,\,

\tau =\omega t,\,

{\

여기서

\tau =\omega t,\,

\omega =\omega _{0}+\varepsilon \omega _{1}+\cdots .\,

= 0

\omega =\omega _{0}+\varepsilon \omega _{1}+\cdots .\,

+

\omega =\omega _{0}+\varepsilon \omega _{1}+\cdots .\,

\omega =\omega _{0}+\varepsilon \omega _{1}+\cdots .\,

+

\omega =\omega _{0}+\varepsilon \omega _{1}+\cdots .\,

{\

용액의 각도 주파수의 선행 순서는 1이므로 편의를 위해 Ω₀ = 1을 취한다. 그러면 원래의 문제가 된다.

\displaystyle \omega ^2}\,x"(\tau )+x(\tau )+x(\tau )+\varepsilon \,x^{3}(\tau )=0\,}

같은 초기 조건으로 이제 x(τ) = x₀(τ) + ε₁ x(τ) + … 형식의 솔루션을 검색하십시오. ε의 제롯 및 제1차 주문 문제에 대한 다음과 같은 해결책을 구한다.

{\begin{aligned}x_{0}&=\cos(\tau )\\{\text{and }}x_{1}&={\tfrac {1}{32}}\,\left(\cos(3\tau )-\cos(\tau )\right)+\left(\omega _{1}-{\tfrac {3}{8}}\right)\,\tau \,\sin(\tau ).\end{정렬}}

그래서 세속적인 용어 선택을 통해:ω1).mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{제거할 수 있다.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}3⁄8. 이러한 방식으로 섭동 분석을 계속하면 더 높은 정확도를 얻을 수 있다. 현재로서 근사치(ε)는 order의 첫 번째 순서까지 정확하다.

x(t)\approx \cos {\Bigl (}\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \right)\,t{\Bigr )}+{\tfrac {1}{32}}\,\varepsilon \,\left[\cos {\Bigl (}3\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \,\right)\,t{\Bigr )}-\cos {\Bigl (}\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \,\right)\,t{\Bigr )}\right].\,

참조 및 참고 사항

^ Drazin, P.G. (1992), Nonlinear systems, Cambridge University Press, ISBN 0-521-40668-4, 페이지 181–190.
^ Poincaré, H. (1957) [1893], Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Célèste, vol. II, New York: Dover Publ., §123–§128.
^ A. Lindstedt, Abh. K. 아카드, 위스 상트페테르부르크 31번 (1882)
^ J. 데이비드 로건 응용 수학, 세컨드 에디션, 존 와일리 & 선즈, 1997. ISBN 0-471-16513-1.
^ The Duffing equation has an invariant energy $\scriptstyle E={\tfrac {1}{2}}\,{\dot {x}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\,\varepsilon \,x^{4}$ = constant, as can be seen by multiplying the Duffing equation with ${\displays$ $tyle \scriptstyle {\dot{x}}$ 및 $\scriptstyle {\dot {x}}$ 시간 t에 대한 통합. 예를 들어, 그 초기 조건에서 E = ½ + ¼ ε이 발견된다.

[1] Drazin, P.G. (1992), Nonlinear systems, Cambridge University Press, ISBN 0-521-40668-4, 페이지 181–190.

[2] Poincaré, H. (1957) [1893], Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Célèste, vol. II, New York: Dover Publ., §123–§128.

[3] A. Lindstedt, Abh. K. 아카드, 위스 상트페테르부르크 31번 (1882)

[logan-4] J. 데이비드 로건 응용 수학, 세컨드 에디션, 존 와일리 & 선즈, 1997. ISBN 0-471-16513-1.

[5] The Duffing equation has an invariant energy $\scriptstyle E={\tfrac {1}{2}}\,{\dot {x}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\,\varepsilon \,x^{4}$ = constant, as can be seen by multiplying the Duffing equation with ${\displays$ $tyle \scriptstyle {\dot{x}}$ 및 $\scriptstyle {\dot {x}}$ 시간 t에 대한 통합. 예를 들어, 그 초기 조건에서 E = ½ + ¼ ε이 발견된다.

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