중력파

중력파는 속도가 없는 정지 상태 주위의 동요를 나타낸다. 따라서 시스템에 도입된 섭동은 극소량 진폭의 속도장$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle (x}$, ${\displaystyle z}$, t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle x}$, z${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle (u'$ ($x,z,t), w'$ ($x,z,t)$로 설명된다.$}$ 유체는 압축이 불가능한 것으로 가정하기 때문에$$ 이 속도장은 흐름 기능을 나타낸다.

${\displaystyle {\textbf {u}=(u'(x,z,t),w'(x,z,t)=(\display _{z}-\message _{x}),\,}$

여기서 첨자는 부분파생상품을 나타낸다. 이 파생에서는 중력이 음의 z 방향을 가리키는 2차원$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle z}$) ${\$에서 작업할 수 있다$.$ Next, in an initially stationary incompressible fluid, there is no vorticity, and the fluid stays irrotational, hence ${\displaystyle \nabla \times {\textbf {u}}'=0.\,}$ In the streamfunction representation, ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0.\,}$ Next, because of the translational invariance of the x-방향의 시스템, ansatz를 만드는 것이 가능하다.

${\displaystyle \psi \왼쪽(x,z,t\오른쪽)=e^{ik\왼쪽(x-ct\오른쪽)\psi \왼쪽(z\오른쪽)\,}$

여기서 k는 공간적인 wannaumber이다. 따라서 문제는 방정식을 푸는 것으로 줄어든다.

${\displaystyle \left(D^{2}-k^{2}\2}\오른쪽)\PSI =0,\,\,\,\\\D={\frac {d}{dz}}.}$

우리는 무한한 깊이의 바다에서 일하기 때문에 경계조건은 $z{\displaystyle }$= -${\displaystyle \infty .}$ ${\$무중단$$ $표면$은 ${\displaystyle \mathrm{z}}$= 0 ${\$$=$$0}$이고$,$ 교란되거나 물결치는 표면은 $z$${\displaystyle }$= $\eta {\displaystyle }$${\displaystyle ,}$ ${\$ $z$$=\eta$$$.$eta }$은(는) 크기가 작다. 바닥에서 유체가 새지 않는다면, 우리는 반드시 그 상태를 가지고 있어야 한다.

${\displaystyle u=D\psi =0,\,\,{\text{on}\,z=-\fty .}$

따라서 $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$= $a$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle k^{}}$ z ${\$ on z${\displaystyle }$∈${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle \eta }$) ${\$ 여기서 A와 wave speed는 인터페이스의 조건에서 결정되는 상수이다.

자유 표면 조건: 자유 표면 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle \eta }$( ${\displaystyle x}$, t${\displaystyle }$) $displaystyle \scriptstyle z=\eta \left(x,t\right$에서 키네마틱 조건은 다음을 유지한다.

${\displaystyle {\frac {\fract \eta}{\frac t}+u'{\fract \eta}{\preason x}=w'w'\eta \rift(\eta \right)\,}$

선형화, 이것은 단순하다.

${\displaystyle {\frac {\frac \\eta }{\put t}=w'\left(0\오른쪽),\,}$

where the velocity ${\displaystyle \scriptstyle w'\left(\eta \right)\,}$ is linearized on to the surface ${\displaystyle \scriptstyle z=0.\,}$ Using the normal-mode and streamfunction representations, this condition is ${\displaystyle \scriptstyle c\eta =\Psi \,}$, the second interfacial condi티온

인터페이스 간의 압력 관계: 표면 장력이 있는 경우, $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle \eta }$ ${\$ z$=\eta }$에서 인터페이스에 대한 압력 차이는 Young-Laplace 방정식에 의해 주어진다$$.

$\displaystyle p\left(z=\eta \right)=-\\cappa ,\,}$

여기서 σ은 표면 장력이고 κ은 인터페이스의 곡률이며, 이는 선형 근사치에서

$\\displaystyle \kappa =\csla ^{2}\eta =\eta _{xx}.\,}$

그러므로,

${\displaystyle p\좌측(z=\eta \우측)=-\bma \eta _{xx}.\,}$

단, 이 조건은 총압력(밑+뒤틀림)을 가리켜서, 따라서 다음과 같다.

$\\displaystyle \left[P\eta \right]+p'\left(0\right)\right]=-\sigma \eta _{xx}.}$

(평소처럼 동요된 수량은 표면 z=0으로 선형화할 수 있다.) 정수 밸런스를 사용하여 $P{\displaystyle }$= -${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle z}$+ ${\displaystyle \text{Const.}}$, ${\$ 형식.$}},}$

이 되다

${\displaystyle p=g\eta \rho -\data \eta \eta _{xx}\qquad {\text{}}}}$

동요된 압력은 섭동에 대해 선형화된 오일러 방정식의 수평 운동 방정식을 사용하여 흐름 기능 측면에서 평가된다.

${\displaystyle {\frac {\preason u'}{\frac t}=-{\frac {1}{\rho }}{\fract p'}{\fract x}},}$

$p{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ =${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathrm{\psi }.}$ ${\$ p$'=\rho cD\psi .}$

마지막 방정식과 점프 조건을 합치면

${\displaystyle c\rho D\psi =g\eta \rho -\sigma \eta _{xx}.\,}$

Substituting the second interfacial condition ${\displaystyle \scriptstyle c\eta =\Psi \,}$ and using the normal-mode representation, this relation becomes ${\displaystyle \scriptstyle c^{2}\rho D\Psi =g\Psi \rho +\sigma k^{2}\Psi .}$

$solution{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle z^{}}$ ${\$ 솔루션을 사용하면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle c={\sqrt {{\frac {g}{k}}+{\frac {\fracma k}{\rho}}}}}.}$