속도 전위

속도 전위는 전위 흐름 이론에 사용되는 스칼라 전위다. 1788년 조셉 루이스 라그랑주에 의해 도입되었다.^[1]

연속체 역학에서 사용되는데, 연속체가 단순히 연결된 영역을 차지하고 비회전적일 때 사용된다. 이런 경우에는

\nabla \times \mathbf {u} =0\...

여기서

u

는 유속을 나타낸다. 그 결과

u

는 스칼라 함수 :의 구배(gradient)로 나타낼 수 있다.

\mathbf {u} =\nabla \Phi \ ={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\mathbf {k} \,.

$φ$ 은 $u$ 의 속도전위로 알려져 있다.

속도 전위는 독특하지 않다. 만약 $φ$ 이 속도전위라면 $φ$ + a $(t)$ 도 $u$ 의 속도전위인데, $여기$ 서 a $(t)$ 는 시간의 스칼라 함수로서 일정할 수 있다. 즉, 속도 전위는 상수까지 또는 시간 변수의 함수까지 고유하다.

속도 전위의 라플라시안은 해당 흐름의 분리와 동일하다. 따라서 속도 전위가 라플라스 방정식을 만족하면 흐름은 압축할 수 없다.

스트림 기능과 달리 속도 전위는 3차원 흐름으로 존재할 수 있다.

음향학에서의 사용

이론적 음향학에서는 압력 $p$ 및/또는 입자 속도 $u$ 대신 속도 전위 $φ$ 의 음향파 방정식을 사용하는 것이 바람직하다.^[2]

\nabla ^{2}\Phi -{\frac {1}{c^{2}}:{\frac {1}{partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}=0

p장

또는

u장

중 하나에 대한 파동 방정식을 푸는 것이 반드시 다른 장에 대한 간단한 해답을 제공하는 것은 아니다. 반면

Ⅱ

를 풀면 위에서 제시한 바와 같이

u뿐

만 아니라

p

는 (선형화된) 베르누이 방정식으로부터 (비회전적이고 불안정한 흐름을) 그대로 쉽게 찾을 수 있다.

p=-\rho {\frac {\partial \Phi}{\partial t}\,

^ Anderson, John (1998). A History of Aerodynamics. Cambridge University Press. ISBN 978-0521669559.^{[페이지 필요]}
^ Pierce, A. D. (1994). Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications. Acoustical Society of America. ISBN 978-0883186121.^{[페이지 필요]}

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