후르비츠 행렬

수학에서 공학적 안정성 행렬의 허위츠 행렬 또는 루스-허위츠 행렬은 실제 다항식 계수로 구성된 구조화된 실제 제곱 행렬이다.

후르비츠 매트릭스와 후르비츠 안정성 기준

즉, 실제 다항식인 경우

${\displaystyle p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}}}}}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\property$ n$}$제곱 행렬

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}a_{1}&, a_{3}&, a_{5}&, \dots, \dots, \dots & & &, 0&, 0&, 0\\a_{0}&, a_{2}&, a_{4}&,&&&\vdots, \vdots, \vdots \\0& & &, a_{1}&, a_{3}&,&&&\vdots &, \vdots &, \vdots \\\vdots &, a_{0}&, a_{2}&, \ddots &,&&0&, \vdots &, \vdots \\\vdots.&0&, a_{1}&,&\ddots &,&a_{n}&, \vdots, \vdots \\\vdots &, \vdots & &, a_{0}&,&&\ddots &, a_{n-1}&, 0&, \vdots \\\vdots, \vdots & &, 0&,&&&a_{n-2}&, a_{n}.&\vdots \\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}a_{n-1}\0&0&0&\nd&a&a_{n-4}&a_{n}\end{pmatrix}.}$

후르 비츠 매트릭스를 다항식 p{p\displaystyle}에 해당하는입니다. 그것은 아돌프 후르 비츠에 의해 1895년은 0을과 진정한 다항식;0{\displaystyle a_{0}>0}은 안정적인(그, 모든 뿌리를 두고 엄격하게 부정적인 실제적인 부분이다.), 만약 매트릭스의 모든 주요한 주요한 미성년자 H(p)에 설립되었다. 호출됩니다. {\di$splaystyle H(p)}$은(는) 양수:

${\displaystyle {\begin{aigned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}&=a_{1}>0\[2mm]\\델타 _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}a_{2}\\nd{vmatrix}\nd{vmatrix}&=a_{1}a_{0}a_{0}a_{3}_0\[2mm]\\\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}}$

등등. 미성년자 ${\displaystyle {\Delta k}_{}}$(${\displaystyle p}$) ${\displaystyle \Delta _{k}(p)}$을(를) 허위츠 결정요인으로 부른다$$. 마찬가지로 < ${\displaystyle a_{0}<0}>$일 경우, 주요 미성년자가 음수로 시작하는 교대 부호를 갖는 경우에만 다항식이 안정적이다.

후르비츠 안정 행렬

$공학{\displaystyle }$ 및 안정성 이론에서 정사각형 $행렬{\displaystyle }$ A ${\displaystyle$ A$}$의 모든 고유값이 완전히 음의 실제 부분, 즉, A ${\displaystyle A}$을(를) 갖는$$ 경우 안정적인 행렬(또는 때로는 Hurwitz 행렬)이라고 한다$$.

${\displaystyle \operatorname {Re} [\lambda _{i}]<0\,}$

각 고유값 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 대해$${\$displaystyle A}$을(를) 안정성 행렬이라고도 하는데$$, 이는 미분 방정식이기 때문이다.

${\displaystyle {\dot{x}}=악스}$

증상 없이 ${\displaystyle \mathrm{안정적}}$이다, $즉{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ x$(t)\to$ 0$}$을(를) $t{\displaystyle }$→$【\displaystyle t\to \ft.}$

$G{\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle G($s$$)}이(가) (매트릭스 값) 전송 함수인 경우 G {\$displaystyle$ G$}$의 모든 원소의 극이 음의 실제 부분을 가지면$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaysty$ G$}$이(가) Hurwitz라고 한다. 특정 인수 $s{\displaystyle }$,${\displaystyle s,}$에 대해 $G{\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle G}$이(가) Hurwitz 행렬일$$ 필요는 없으며, 정사각형일 필요도 없다는 점에 유의하십시오. 연결은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) Hurwitz 매트릭스일 경우 동적 시스템이

${\dotyle {\dot}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$

후르비츠 전송 기능이 있다.

연속 동적 시스템의 쌍곡 고정점(또는 평형점)은 동적 시스템의 자코비안이 고정점에서 후르비츠가 안정적일 경우에만 국소적으로 안정된다.

후르비츠 안정성 매트릭스는 통제 이론의 중요한 부분이다. 그 제어 매트릭스가 허위츠 매트릭스라면 시스템은 안정적이다. 행렬의 고유값의 음의 실제 구성요소는 음의 피드백을 나타낸다. 마찬가지로, 고유값 중 어느 하나라도 긍정적인 피드백을 나타내는 양의 실제 구성요소를 가지고 있다면 시스템은 본질적으로 불안정하다.

참고 항목

• 리에나르-치파르트 기준
• M 매트릭스
• P 매트릭스
• 페론-프로베니우스 정리
• Z 매트릭스

참조

• Asner, Bernard A., Jr. (1970). "On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix". SIAM Journal on Applied Mathematics. 18 (2): 407–414. doi:10.1137/0118035. JSTOR 2099475.
• Dimitrov, Dimitar K.; Peña, Juan Manuel (2005). "Almost strict total positivity and a class of Hurwitz polynomials". Journal of Approximation Theory. 132 (2): 212–223. doi:10.1016/j.jat.2004.10.010.
• Gantmacher, F. R. (1959). Applications of the Theory of Matrices. New York: Interscience.
• Hurwitz, A. (1895). "Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt". Mathematische Annalen. 46 (2): 273–284. doi:10.1007/BF01446812.
• Khalil, Hassan K. (2002). Nonlinear Systems. Prentice Hall.
• Lehnigk, Siegfried H. (1970). "On the Hurwitz matrix". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik. 21 (3): 498–500. Bibcode:1970ZaMP...21..498L. doi:10.1007/BF01627957.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 Hurwitz 매트릭스 소재가 통합되어 있다.

외부 링크

• "Hurwitz matrix". PlanetMath.