P 매트릭스

수학에서 P-매트릭스는 모든 주성분 부성분이 0보다 낮은 복잡한 정사각형 행렬이다. 밀접하게 연관된 클래스는 모든 주성분 부성분 $≥{\displaystyle$ P_${0$$}$ -매트릭스$$$$ 클래스의 마감인 P ${\displaystyle 0_{}}$의 그것이다.

P-매트릭스의 스펙트럼

켈로그의 정리에 의해 P-와 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$의 고유값$(\$- 행렬은 다음과 같이 음의 실제 축에 대한 쐐기로부터 경계된다.^[1][2]

{${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$. . .${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{u_{1$}, $...,u_{n}\}\}}}$이(가) n 차원 P-매트릭스의 고유값이라면, 서n > {\$displaystyle$ n$>1$ 그러면

${\displaystyle \arg(u_{i}) <\pi -{\frac {\pi }{n},\i=1,...,n}$

If ${\displaystyle \{u_{1},...,u_{n}\}}$, ${\displaystyle u_{i}\neq 0}$, ${\displaystyle i=1,...,n}$ are the eigenvalues of an n-dimensional ${\displaystyle P_{0}}$-matrix, then

${\displaystyle \arg(u_{i}) \leq \pi -{\frac {}{n},\i=1,...,n}$

언급

비정규 M-매트릭스 등급은 P-매트릭스 등급의 하위 집합이다.더 정확히 말하면, P-매트릭스와 Z-매트릭스가 모두 비정규 M-매트릭스다.충분한 행렬의 등급은 P-매트릭스의 또 다른 일반화다.^[3]

선형 보완성 문제 $L{\displaystyle \mathrm{}}$ C ${\displaystyle \mathrm{P}}$( ${\displaystyle M}$ ,${\displaystyle q}$) ${\displaystyle \mathrm {LCP} (M,q)}$은 M이 P 매트릭스인 경우에만 모든 벡터 q에 대해 고유한 솔루션을 가지고$$ 있다.^[4]이는 M이 P-매트릭스라면 M은 Q-매트릭스임을 의미한다.

함수의 Jacobian이 P-매트릭스인 경우, 함수는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 직사각형 영역에 주입된다$.$^[5]

특히 안정성과 관련하여 관련된 관심 $등급$은${\displaystyle {}^{}}$P${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$- $){\$ P$^{(-)}}}$ - 매트릭스$$(때로는 $N{\displaystyle }$- ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle N-P}$ - 매트릭스라고도$$ 한다.매트릭스 A는 (${\displaystyle }$-${\displaystyle {}^{}}$) ${\$$displaystyle$ P$^{(-)}}$이$($) P-매트릭스$($${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$인 경우에만 $P{\displaystyle {}^{(}}$ - ) {\$displaystyle$ P_{0}) -매트릭스다$$$$.$\sigma {\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$= -${\displaystyle \sigma }$(${\displaystyle }$- A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \sigma (A)=-\sigma(-A)}$ 이후$,$ 이들 행렬의 고유값은 양의 실제 축과 경계를 이룬다.

참고 항목

• 후르비츠 행렬
• 선형보완성문제
• M 매트릭스
• Q 매트릭스
• Z 매트릭스
• 페론-프로베니우스 정리

메모들

참조

• Csizmadia, Zsolt; Illés, Tibor (2006). "New criss-cross type algorithms for linear complementarity problems with sufficient matrices" (pdf). Optimization Methods and Software. 21 (2): 247–266. doi:10.1080/10556780500095009. MR 2195759.
• 데이비드 게일과 후쿠카네 니카이도 야코비안 매트릭스 그리고 매핑의 세계적 단합성인 수학. Ann. 159:81-93 (1965) doi:10.1007/BF01360282
• Li Fang, P-와 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$의 스펙트럼상 ${\$ - 행렬$$, 선형대수 및 응용 119:1-25 (1989)
• R. B. Kellogg, M과 P 행렬의 복잡한 고유값, 숫자. 수학. 19:170-175 (1972)