리에즈-마르코프-카쿠타니 표현 정리

수학에서, 리에츠-마코프-카쿠타니 표현 정리는 국소적 콤팩트 공간의 연속함수의 공간에 대한 선형 함수들을 측정 이론의 측정에 관련시킨다.이 정리는 단위 간격의 연속적인 기능을 위해 도입한 프리게스 리에즈(1909)와 그 결과를 일부 비복합적인 공간으로 확장한 안드레이 마르코프(1938), 그 결과를 콤팩트한 하우스도르프 공간까지 확장한 가쿠타니 시즈오(1941)의 이름을 따서 명명되었다.

선형함수는 복잡하거나 현실적이거나 양적일 수 있기 때문에, 선형함수가 정의되는 공간은 단위간격이나 콤팩트한 공간 또는 국소적 콤팩트한 공간일 수 있고, 연속함수는 무한대로 소멸되거나 콤팩트한 지지를 가질 수 있으며, 그 대책은 Baire 측정치나 정규적인 것이 될 수 있다.보렐 조치 또는 라돈 조치 또는 서명한 조치 또는 복잡한 조치.

C_c(X)에서 양의 선형함수에 대한 표현정리

다음 정리는 C_c(X)의 양의 선형 함수를 나타내며, 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간 X의 연속적으로 콤팩트하게 지원되는 복합 값 함수의 공간이다.다음 문장의 보렐 세트는 오픈 세트에 의해 생성된 σ-알지브라(Algebra)를 참조한다.

국소적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간 X에서 음이 아닌 가산 보렐 측정 μ는 다음과 같은 경우에만 라돈 측정값이다.

• μ(K) < 모든 콤팩트 K에 대하여 μ(K) >
• 모든 보렐 세트 E에 대해,

${\displaystyle \mu(E)=\inf\{\mu(U):$$E\subseteq U,$ U${\mbox{open}\}\}}($정규성);

• 관계

$\displaystyle \mu(E)=\supp\{\mu(K):K\subseteq E, K{\mbox{compact}\}}}$

E가 열려 있거나 E가 보렐과 μ(E) < ∞ (내부 정규성)일 때 잡는다.

정리.X를 지역적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간이 되게 하라.C_c(X)의$$ 모든 양의 선형 기능 $functional{\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$에 대해 X에는 다음과 같은 고유한 라돈 측정 μ가 있다.

${\displaystyle \f\in C_{c}(X):\qquad \psi(f)=\int _{X}f(x)\,d\mu(x).}$

측정_c 이론의 한 가지 접근방식은 C(X)에서 양의 선형 기능으로 정의되는 라돈 측정으로 시작하는 것이다.이것이 부르바키에 의해 채택된 방법이다; 물론 그것은 X가 단순히 세트로서가 아니라 위상학적 공간으로서 삶을 시작한다고 가정한다.지역적으로 작은 공간의 경우 통합 이론이 복구된다.

규칙성 조건이 없으면 보렐 측정치가 고유할 필요는 없다.예를 들어, X는 "개방 구간"에 의해 생성된 위상과 함께 첫 번째 탑재할 수 없는 서수 Ω과 최대 동일한 서수 집합이 되도록 한다.연속 함수를 Ω으로 그것의 값으로 가져가는 선형 기능은 Ω으로 점 질량을 가진 정규 보렐 측정에 해당한다.However it also corresponds to the (non-regular) Borel measure that assigns measure 1 to any Borel set ${\displaystyle B\subseteq [0,\Omega ]}$ if there is closed and unbounded set ${\displaystyle C\subseteq [0,\Omega [}$ with ${\displaystyle C\subseteq B}$, and assigns measure 0 to other Borel sets. (특히 싱글톤 {Ω}은(는) 점 질량 측정과 반대로 측정값 0을 얻는다.)

역사적 발언

F에 의해 원래의 형태로.Riesz(1909)의 정리에서는 [0,1] 구간에 있는 연속함수의 공간 C([0,1]에 걸친 모든 연속 선형함수 A[f]를 형태에 나타낼 수 있다고 기술하고 있다.

${\displaystyle A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha(x),}$

여기서 α(x)는 간격[0, 1]에 대한 경계 변동의 함수이며, 적분은 리만-스티엘트제스 적분이다.경계 변동의 간격과 함수에서 보렐 정규 척도 사이에 일대일 일치성이 있기 때문에(경계 변동의 각 함수에 해당하는 레베그-스티엘트제스 측정에 할당되며, 레베그-스티엘트제스 측정에 관한 적분들은 지속적인 펑크에 대한 리만-스티엘트제스와 일치한다.tions), 위에 기술된 정리는 F의 원래 진술을 일반화한다.리에즈. (역사적 논의는 그레이(1984년 참조)

C₀(X)의 연속 이중화에 대한 표현정리

리에츠-마코프 정리라고도 하는 다음 정리는 무한대로 사라지는 X에 대한 연속함수의 집합인₀ C(X)의 위상학적 이중공간을 구체적으로 실현해 준다.보렐은 정리의 문장에서 설정해 놓은 것도 오픈 세트에 의해 생성되는 σ-알지브라( refers-algebra)를 가리킨다.

μ가 복잡하게 계수할 수 있는 가산 보렐 측정치인 경우, 위에서 정의한 대로 음이 아닌 가산 측정 μ가 규칙적인 경우 μ를 정규라고 한다.

정리.X를 지역적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간이 되게 하라.C₀(X)의 모든 연속 선형 기능 ψ에 대해 X의 고유한 규칙적인 가산 복합체 보렐 측정 μ가 있다.

${\displaystyle \f\in C_{0}(X):\qquad \psi(f)=\int _{X}f(x)\,d\mu(x).}$

선형 함수로서의 ψ의 표준은 μ의 총변화, 즉 μ의 총변동이다.

$\displaystyle \psi \ = \mu(X).}$

마지막으로 μ은 측정 μ가 음이 아닌 경우에만 양성이 된다.

경계된 선형기능이 양성의 유한한 선형결합으로 쓰여질 수 있음을 먼저 보여줌으로써 양성의 선형함수에 대한 문장에서 선형함수에 대한 이 문구를 추론할 수 있다.

참조

• Fréchet, M. (1907). "Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires". C. R. Acad. Sci. Paris. 144: 1414–1416.
• Gray, J. D. (1984). "The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis". Archive for History of Exact Sciences. 31 (2): 127–187. doi:10.1007/BF00348293.
• Hartig, Donald G. (1983). "The Riesz representation theorem revisited". American Mathematical Monthly. 90 (4): 277–280. doi:10.2307/2975760. JSTOR 2975760.; 자연적 변환으로서의 범주 이론적 표현.
• Kakutani, Shizuo (1941). "Concrete representation of abstract (M)-spaces. (A characterization of the space of continuous functions.)". Ann. of Math. Series 2. 42 (4): 994–1024. doi:10.2307/1968778. hdl:10338.dmlcz/100940. JSTOR 1968778. MR 0005778.
• Markov, A. (1938). "On mean values and exterior densities". Rec. Math. Moscou. N.S. 4: 165–190. Zbl 0020.10804.
• Riesz, F. (1907). "Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables". C. R. Acad. Sci. Paris. 144: 1409–1411.
• Riesz, F. (1909). "Sur les opérations fonctionnelles linéaires". C. R. Acad. Sci. Paris. 149: 974–977.
• Halmos, P. (1950). Measure Theory. D. van Nostrand and Co.
• Weisstein, Eric W. "Riesz Representation Theorem". MathWorld.
• Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis. ISBN 0-07-100276-6.