셀 수 있는 컴팩트 공간

(1) $\Rightarrow {\displaystyle }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ $$(2):(1)이 유지되고 A가 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$ -accumulation$$ point가 없는 X의 무한 부분 집합이라고 가정합시다.필요한 경우 A의 서브셋을 취함으로써 A를 카운트할 수 있다고 가정할 수 있다.모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ x$\in$ X$}$에는 개방된 인접성${\displaystyle {}_{}}$O x ${\displaystyle O_{x}\cap A}$이(가) 유한(대개 비어 있을 수 있음)이 있는데$$, 이는 x가 Ω-accumulation 지점이 아니기 때문이다.A의 모든 유한 부분 집합 F에 ${\displaystyle {대해}_{}}$ $O{\displaystyle {}_{}}$ F${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \cup }${ ${\displaystyle O_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ A${\displaystyle }$= ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle O_{F}=\cup$\{$O_{x}:$$O_{x}\cap A=F$ 매 ${\displaystyle O_{}}$ x ${\$는 $O{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle O_{F}$의 한 부분$$집합이므로$$ $O{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\$는 X를 덮는다$$.${\displaystyle {셀}_{}}$ 수 없이 많으므로 O $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 X의 셀 수 있는 오픈 커버를 형성한다$$.그러나 모든 ${\displaystyle {OF}_{}}$ ${\$는 유한 부분집합(이름 F)에서 A를 교차하기$$ 때문에 그 중 대부분은 X는 말할 것도 없고 A를 커버할 수 없다.이 모순은 (2)를 증명한다.

(2)$⇒{\displaystyle \Rightarrow$ }}}$$ (3): (2)를 잡고 $({\displaystyle }$ ${\displaystyle x_{}{}_{}}$n ) ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle (x_{n})_{n}}}}$을(를) X의 시퀀스로 한다고$$ 가정한다.만일 시퀀스에 무한히 여러 번 발생하는 값 x가 있다면, 그 값은 시퀀스의 축적 지점이다.그렇지 않으면 시퀀스의 $모든{\displaystyle }$ 값이 미세하게만 발생하며 집합 A =${\displaystyle }${${\displaystyle }$x ${\displaystyle n_{}}$: ${\displaystyle n}$∈ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ A$=\{x_{n}:n\in \mathb$ {$N}\}}$은 무한하므로$$ Ω-accumulation point x가 있다.그 x는 쉽게 확인할 수 있듯이 시퀀스의 축적 지점이다.

(3) $\Rightarrow {\displaystyle }$ ${\displaystyle \Rightarrow }($1):$$(3) hold 및${\displaystyle }${ ${\displaystyle {On}_{}}$: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{O_{n}:n\in \mathb {N} \}}}$은(는) 유한 서브커버가 없는 카운트 가능한 오픈 커버라고$$ 가정하십시오.그런 다음 각 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $}$에 대해 $\cup {\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle i_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle O_{}}$ i ${\$에 없는 $점$을 $선택$할 수 있다$.$순서는()n)n{\displaystyle(x_{n})_{n}})과 그 x일부 Ok{\displaystyle O_{km그리고 4.9초 만}에}은. 그러나 그 때, x의{\displaystyle n>, k}어떤 xn{\displaystyle x_{n}의}n을, k을 함유하고 있지 않Ok{\displaystyle O_{km그리고 4.9초 만}}은 이웃, 그렇게)i.이 축적된 점을 지니s이 없결국 그 수열의 축적점.이 모순은 (1)을 증명한다.

(4) $\iff {\displaystyle }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }($1)$$ : 조건 (1)과 (4)은 보완을 하면 등가라고 쉽게 볼 수 있다.