접근공간

Approach space

수학의 한 분야인 위상에서 접근 공간은 점 대 점 거리 대신 점 대 설정 거리에 기초한 미터법 공간의 일반화다. 그것들은 1988년과 1995년 사이의 접근 이론에 대한 일련의 논문에서 1989년 로버트 로웬에 의해 소개되었다.

정의

미터법 공간(X, d) 또는 더 일반적으로 확장된 의사정량계(여기서 약칭 qpq-metric)를 지정하면 유도 지도 d: X × P(X) → d(x, A) = inf{d(x, a) : ∈ A}를 정의할 수 있다. 이 예를 염두에 두고, X 상의 거리는 X와 A, B x X의 모든 X에 대해 만족하는 지도 X × P(X) → [0,198]로 정의된다.

  1. d(x, {x}) = 0,
  2. d(x, ø) = ∞,
  3. d(x, A∪B) = 최소(d(x, A), d(x, B),
  4. 0 ≤ ≤ ∞, d(x, A) ) d(x(ε), A) + ε에 대해,

여기서(ε) A = {x : d(x, A) ≤ ε}을(를) 정의한다.

("빈 최소는 양의 무한도"라는 관습은 무효 교차점이 모든 관습인 것과 같다.)

접근 공간은 쌍(X, d)으로 정의되며 여기서 d는 X의 거리 함수다. 모든 접근 공간에는 A → A를(0) 쿠라토프스키 폐쇄 운영자로 처리함으로써 주어지는 위상이 있다.

접근 공간 사이의 적절한 지도는 수축이다. 지도 f: (X, d) → (Y, e)는 모든 x x x X와 A x X에 대해 e(f(x), f[A]) d d(x, A)이면 수축이다.

예

모든 ∆pq-metric 공간(X, d)은 정의의 시작 부분에서 설명한 대로 (X, d)로 나눌 수 있다.

X가 설정되면 이산 거리는 d(x, A) = x ∈ A일 경우 0, d(x, A) = x a A일 경우 ∞로 지정된다. 유도 위상은 이산 위상이다.

X가 설정된 경우, A가 비어 있지 않으면 d(x, A) = 0, A가 비어 있으면 d(x, A) = ∞으로 불분명한 거리가 주어진다. 유도 위상은 불분명한 위상이다.

위상학적 공간 X가 주어진 경우 위상학적 거리는 d(x, A) = x ∈ A일 경우 0, d(x, A) = ∞로 부여된다. 유도 위상은 원래의 위상이다. 사실 두 가지 값을 가진 유일한 거리는 위상학적 거리들이다.

P = [0, ∞]을 확장된 비 음극 헤알이 되게 한다. let+ d(x, A) = x ∈ P와 A ⊆ P의 경우 max(x - supp A, 0). 임의의 접근 공간(X, d)을 감안할 때 지도(각 A ⊆ X) d(, A) : (X, d) → (P, d)는+ 수축이다.

P에서는 e(x, A) = inf{ x - a : ∈의 for A}를 x < ∞의 경우 e(∞, A) = 0으로 하고, A가 경계가 되면 e(∞, A) = ∞으로 한다. 그렇다면 (P, e)는 접근 공간이다. 지형학적으로 P는 [0, ∞]의 원포인트 압축이다. e는 일반적인 유클리드 거리를 확장한다는 점에 유의하십시오. 이것은 일반적인 유클리드 측정법으로는 할 수 없다.

βN을 정수의 스톤-치크 압축이 되게 한다. 점 U ∈ βN은 N의 초여광필터다. 부분집합 A ⊆ βN은 필터 F(A) = ∩ {U : U a A}을 유도한다. Let b(U, A) = supp{ inf{n - j : n : X, j ∈ E } : X : U, E ∈ F(A) }. 그 다음에 (βN, b)는 N의 일반적인 유클리드 거리를 확장하는 접근 공간이다. 이와는 대조적으로 βN은 측정이 불가능하다.

등가정의

로웬은 최소한 7개의 등가 제형을 제공했다. 그 중 두 개는 아래에 있다.

XPQ(X)는 X의 XPq-metrics 집합을 나타내도록 한다. XPQ(X)의 서브 패밀리 G는 다음과 같은 경우에 게이지라고 한다.

  1. 0 ∈ G, 여기서 0은 0 메트릭, 즉 모든 x, y에 대해 0(x, y) = 0
  2. e ≤ d ∈ G는 e ∈ G를 암시한다.
  3. d, e ∈ G는 max(d,e) ∈ G(여기서 "max"는 점괘 최대치)를 의미한다.
  4. 모든 d ∈ XPQ(X)에 대해, 모든 x ∈ X, ε > 0, N < ∞에 대해 최소(d(x,y), N) ≤ e(x, y) + ε과 같은 e ∈ G가 있다면, 그 다음 d ∈ G가 있다.

G가 X의 게이지라면 d(x,A) = supp {e(x, a) } : e ∈ G}은 X의 거리 함수다. 반대로 X의 거리함수 d를 주어진다면, e ∈ XPQ(X)의 집합은 X의 게이지가 된다. 그 두 연산은 서로 반비례한다.

수축 f: (X, d) → (Y, e)는 각각 관련 게이지 G와 H 측면에서 모든 d h H, d(f(.f(.)) .) G에 대한 맵이다.

X에 있는 탑은 지도 A → A에 대한 A[ε], B에 대한 A, X에 대한 A, 0에 대한 A, B에 대한 X와 Δ에 대한 0에 대한 모든 것을 만족하는 집합이다.

  1. A ⊆ A[ε],
  2. Ø[ε] = Ø,
  3. (A ∪ B)[ε] = A[ε] ∪ B[ε],
  4. A[ε][δ] ⊆ A[ε+δ],
  5. A[ε] = ∩δ>ε A[δ].

거리 d를 부여하면 관련 A → A는(ε) 탑이다. 반대로 탑이 주어지면 지도 d(x,A) = inf{nf : x ∈ A[ε]}는 거리가 되며, 이 두 연산은 서로 교차한다.

수축 f:(X, d)→(Y, e)는 관련 타워의 관점에서 모든 ε에 대해 ≥ 0, f[A[ε]] ⊆ f[A][ε]에 대한 지도가 된다.

범주형 속성

접근 공간과 그 수축에 대한 주된 관심사는 그들이 좋은 특성을 가진 범주를 형성하면서도 여전히 미터법 공간처럼 정량적이라는 것이다. 임의의 제품, 공동 산출물, 인용문 등을 취할 수 있으며, 그 결과는 위상에 대한 해당 결과를 적절히 일반화할 수 있다. βN, 즉 정수의 스톤-체크 콤팩트화처럼 측정 불가능한 공간도 "분리"할 수 있다.

특정 하이퍼 스페이스, 측정 공간, 확률적 메트릭 공간은 자연스럽게 거리가 부여된다. 근사 이론도 적용되었다.

참조

  • Lowen, Robert (1997). Approach spaces: the missing link in the topology-uniformity-metric triad. Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850030-0. Zbl 0891.54001.
  • Lowen, Robert (2015). Index Analysis: Approach Theory at Work. Springer.

외부 링크