위상적 속성

수학의 위상 및 관련 영역에서 위상학적 속성이나 위상학적 불변성은 동형상에서는 불변하는 위상학적 공간의 속성이다.즉, 공간 X가 그 속성을 소유할 때마다 X에 대한 모든 공간 동질성이 그 속성을 소유한다면 공간의 속성은 위상학적 속성이다.비공식적으로 위상적 속성은 오픈 세트를 사용하여 표현할 수 있는 공간의 속성이다.

위상의 공통적인 문제는 두 개의 위상학적 공간이 동형인지 아닌지를 결정하는 것이다.두 공간이 동형성이 아니라는 것을 증명하기 위해서는, 두 공간들이 공유하지 않는 위상학적 특성을 찾기에 충분하다.

공통 토폴로지 특성

기본 함수

공간 X의 카디널리티 X.
공간 X 위상의 $\vert$ 카디널리티 $displaystyle \$ vert $}$ }( $\vert$ ) $displaystyle \vert }.$
무게 w(X), 공간 X의 위상에 대한 기초의 최소 카디널리티.
밀도 d(X) - 닫힘이 X인 X 부분 집합의 최소 카디널리티.

분리

이러한 용어 중 일부는 이전의 수학 문헌에서 다르게 정의된다는 점에 유의하십시오. 분리 공리의 역사를 참조하십시오.

T나₀ 콜모고로프.공간에는 x와 y가 아닌 x가 포함된 오픈 세트 또는 y가 아닌 y가 포함된 오픈 세트가 적어도 있다면 공간은 Kolmogorov이다.
T₁ 아니면 Frechet.스페이스는 프렛셰트(Fréchet)로, 스페이스에 있는 구별되는 포인트의 각 쌍에 대해 y는 포함하지 않지만 x는 포함하는 오픈 세트가 있다(T와₀ 비교, 여기서는 오픈 세트에 포함될 포인트를 지정할 수 있다).마찬가지로 모든 단골격이 닫히면 공간은 T이다₁.T공백은₁ 항상 T공백이다₀.
술취함. 모든 되돌릴 수 없는 닫힌 세트 C가 고유한 일반 포인트 p를 갖는다면 공간은 술취함이다.즉, C가 두 개의 작은 닫힌 하위 집합의 (비공동) 결합이 아닌 경우 {p}의 폐쇄가 C와 같으며, p가 이 속성의 유일한 지점이다.
T₂ 아니면 하우스도르프.각각의 뚜렷한 두 지점마다 공동의 이웃이 분리되어 있다면 공간은 Hausdorff이다.T공백은₂ 항상 T공백이다₁.
T나_2½ 우리존.각각의 두 지점들이 폐쇄적인 이웃들을 분리한다면 공간은 우리손이다.T공백은_2½ 항상 T공백이다₂.
완전히 T 아니면₂ 완전히 하우스도르프.각 두 개의 구별되는 점이 함수에 의해 분리되면 공간은 완전히 T이다₂.모든 완전한 하우스도르프 공간은 우리손이다.
규칙적이다.공간은 C가 닫힌 집합이고 p가 C에 없는 점일 때 C와 p가 이웃을 분리하는 경우 규칙적이다.
T나₃ 일반 하우스도르프.공간은 정규 T₀ 공간이라면 정규적인 하우스도르프다.(정규 공간은₀ T 공간이면 하우스도르프, T 공간이면 한정되어 있으므로 용어는 일치한다.)
완전히 규칙적이군.C가 닫힌 집합이고 p가 C에 없는 점일 때마다 C와 {p}이(가) 함수에 의해 분리되는 경우 공간은 완전히 정규적이다.
T_3½, Tychonoff, 완전 정규 Hausdorff 또는 완전 T₃. Tychonoff 공간은 완전 정규 T 공간이다₀.(완전히 정규적인 공간은 T인₀ 경우에만 하우스도르프이므로 용어는 일관성이 있다.)타이코노프 공간은 항상 규칙적인 하우스도르프 공간이다.
정상. 두 개의 분리된 닫힌 세트가 서로 분리된 이웃을 가지고 있다면 공간은 정상이다.정상적인 공간은 단결의 구획을 허용한다.
T₄ 또는 Normal Hausdorff.정상적인 공간은 T인₁ 경우에만 하우스도르프다.정상적인 하우스도르프 공간은 언제나 타이코노프다.
완전히 정상이야.두 개의 분리된 집합이 서로 분리된 이웃을 가지고 있다면 공간은 완전히 정상이다.
T₅ 또는 완전히 정상적인 하우스도르프.완전히 정상적인 공간은 T인 경우에만₁ 하우스도르프다.완전히 정상적인 하우스도르프 공간은 언제나 정상적인 하우스도르프 공간이다.
지극히 정상이다.어떤 두 개의 분리된 닫힌 세트가 함수에 의해 정확하게 분리된다면 공간은 완벽하게 정상이다.완벽하게 정상적인 공간도 완전히 정상이어야 한다.
T₆ 또는 Perfectly normal Hausdorff, 또는 Perfect T₄.한 공간은 완벽하게 정상이고 T면₁ 모두 완벽하게 정상적인 하우스도르프다.지극히 정상적인 하우스도르프 공간도 완전히 정상적인 하우스도르프여야 한다.
별개의 공간.공간은 모든 지점이 완전히 격리된 경우, 즉 서브셋이 열려 있는 경우 분리된다.
격리된 점 수입니다.위상학 공간의 고립된 점 수입니다.

계산 조건

분리 가능.공간은 셀 수 있는 밀도 하위 집합이 있는 경우 분리할 수 있다.
첫 번째 카운트 가능.공간은 모든 점에 카운트 가능한 지역 기반이 있는 경우 먼저 카운트할 수 있다.
세컨드 카운트 가능.공간은 위상에 대한 카운트 가능한 기반이 있는 경우 두 번째로 카운트할 수 있다.제2의 카운트 가능 공간은 항상 분리할 수 있고, 제1의 카운트 가능하며, 린델뢰프(Lindelöf)

연결성

연결됨.한 쌍의 분리된 비빈 오픈 세트의 결합이 아닌 경우 공간이 연결된다.마찬가지로, 유일한 클리닝 집합이 빈 집합과 그 자체일 경우 공백이 연결된다.
로컬로 연결됨.공간은 모든 점이 연결된 집합으로 구성된 로컬 베이스를 갖는 경우 로컬로 연결된다.
완전히 끊겼어.둘 이상의 점으로 연결된 부분집합이 없는 공간은 완전히 분리된다.
경로 연결.스페이스 X는 2포인트 x, y in X, 즉 x에서 y까지 경로 p가 있다면 경로로 연결된다. 즉, p(0) = x, p(1) = y로 연속 지도 p: [0,1] → X. 경로로 연결된 공간은 항상 연결된다.
로컬 경로 연결됨.공간은 모든 지점이 경로로 연결된 집합으로 구성된 로컬 베이스를 갖는 경우 로컬 경로로 연결된다.로컬 경로로 연결된 공간은 경로로 연결된 경우에만 연결된다.
호 연결.공간 X는 두 지점 x, y, 즉 x에서 y까지 호 f가 있으면 호로 연결된다. 즉, p(0) = x, p(1) = y가 있는 주입 연속 지도 f: [0,1] → X. 호로 연결된 공간은 경로로 연결된다.
간단히 연결된다.스페이스 X는 경로로 연결되어 있고 모든 연속 지도 f:S¹ → X가 상수 지도와 동일시되는 경우 간단히 연결된다.
로컬로 간단하게 연결됨.공간 X는 X의 모든 지점이 단순히 연결된 이웃 U의 지역 기반을 가지고 있다면 지역적으로 간단히 연결된다.
반-로크 방식으로 간단하게 연결됨.공간 X는 모든 지점이 이웃 U의 지역적 기반을 가지고 있는 경우 반 로크로 간단히 연결되어 U의 모든 루프는 X로 수축할 수 있다.국소 단순 연결보다 엄격히 약한 조건인 반 국소 단순 연결은 범용 커버의 존재에 필요한 조건이다.
계약 가능.스페이스 X는 X의 ID 지도가 일정한 지도와 동일시되면 수축할 수 있다.계약 가능한 공간은 항상 간단하게 연결된다.
초연결.비어 있지 않은 두 개의 오픈 세트가 분리되지 않으면 공간이 초연결된다.모든 초연결된 공간이 연결되어 있다.
울트라콘넥트.비어 있지 않은 두 개의 닫힌 세트가 분리되지 않으면 공간이 초연결된다.모든 초연결 공간은 경로로 연결되어 있다.
경솔하거나 사소한 것.열린 세트만 빈 세트와 그 자체라면 공간은 불분명하다.그런 공간은 사소한 위상이 있다고 한다.

콤팩트

콤팩트하다.모든 열린 커버가 유한한 서브 커버를 가지고 있다면 공간이 작다.일부 저자들은 이러한 공간을 Quasicompact라고 부르며 모든 오픈 커버가 유한한 하우스도르프 공간을 위해 콤팩트하게 예비한다.좁은 공간은 항상 린델뢰프와 파라콤팩트다.따라서 컴팩트한 하우스도르프 공간은 정상이다.
순차적 컴팩트.공간은 모든 시퀀스가 수렴성을 가질 경우 순차적으로 압축된다.
아주 작다.공간은 셀 수 있는 모든 오픈 커버가 유한 서브 커버를 가지고 있다면 셀 수 없이 좁다.
유사콤팩트.공간은 공간의 모든 연속적인 실제 가치 함수가 경계로 되어 있는 경우 유사점이다.
σ-compact공간이 셀 수 없이 많은 콤팩트 서브셋의 조합이라면 σ-compact이다.
린델뢰프.모든 오픈 커버에 카운트 가능한 서브 커버가 있다면 공간은 린델뢰프다.
파라콤팩트.모든 개방형 커버가 국소적으로 유한한 개방된 정교함을 갖는다면 공간은 파라콤팩트다.파라콤팩트 하우스도르프 공간은 정상이다.
로컬 컴팩트.모든 지점이 콤팩트한 이웃으로 구성된 로컬 베이스를 갖는 경우 공간은 국소적으로 좁다.약간 다른 정의도 사용된다.지역적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간은 언제나 티코노프다.
초음파 연결 컴팩트.초연결 콤팩트 공간 X에서 모든 오픈 커버는 X자체를 포함해야 한다.비어 있지 않은 초연결 콤팩트 공간에는 모노리스라고 하는 가장 큰 적절한 오픈 서브셋이 있다.

메트리저빌리티

메트리저블.공간은 미터법 공간과 동형인 경우 측정 가능하다.메트리징 가능한 공간은 항상 하우스도르프와 파라콤팩트(따라서 정상과 타이코노프)이며, 첫 번째로 셀 수 있다.또한 X에 대한 메트릭이 존재하여 메트릭 위상 T(d)가 위상 T와 동일할 경우 위상 공간(X,T)을 메트리징할 수 있다고 한다.
폴란드어. 공간이 분리 가능하고 완전한 미터법으로 메트리징될 수 있다면 폴란드어라고 부른다.
국소적으로 측정 가능.공간은 모든 지점이 메트리지 않는 이웃을 가진다면 지역적으로 메트리지가 가능하다.

잡다한

바이어 스페이스.스페이스 X는 그 자체로 보잘것없는 것이 아니라면 바이어 공간이다.마찬가지로 X는 밀도가 높은 오픈 세트의 교차점이 밀도일 경우 배어 공간이다.
문간 공간.위상학적 공간은 모든 부분집합이 열려 있거나 닫혀 있는 경우(또는 둘 다) 문 공간이다.
위상학적 동질성.X의 모든 x와 y에 대해 f $f:X\to X$ $f(x)=y.$ ) $f(x)=y.$ = $f(x)=y.$ ${\displaystyf f$ $($ $x)=y.}$ 직관적으로 $f:X\to X$ $f(x)=y.$ 말해서, 이는 공간이 모든 지점에서 동일하게 보인다는 것을 의미한다 $f:X\to X$ 모든 위상학 집단은 동질적이다.
정확히 생성됐거나 알렉산드로프였습니다.스페이스 X는 X에서 열린 세트의 임의 교차점이 열려 있는 경우 알렉산드로프 또는 닫힌 세트의 임의 결합이 닫혀 있는 경우 동등하게 나타난다.이들은 위상학적 공간과 연속적인 지도 범주의 정밀하게 생성된 구성원이다.
0차원.공간은 클록 집합의 기초가 있으면 0차원이다.이것들은 정확히 유도 치수가 0인 공간이다.
거의 분리되어 있다.모든 오픈 세트가 닫히면 공간은 거의 분리된다(헨스 클로닝).거의 분리된 공간은 정밀하게 생성된 0차원 공간이다.
부울.공간은 0차원, 콤팩트, 하우스도르프(동등하게, 완전히 단절, 콤팩트, 하우스도르프)라면 부울이다.이것들은 정확히 부울 알헤브라의 스톤 공간과 동형인 공간들이다.
리데마이스터 비틀림
$\kappa$ $\kappa$ -수정 $\kappa$ 가능.공간은 쌍으로 분리된 dense밀도 집합(존중: 거의 κ-revolible)이 포함되어 있으면 respect-resolible^[1](존중: 어디에도 없는 밀도 하위 집합의 이상에 대해 거의 분리됨)이라고 한다.공간이 $\kappa$ $\kappa$ -resolible이 $\kappa$ $\kappa$ 경우 $\$ {\ $displaystyle \kappa }$ - irresolible이라고 $\kappa$ 한다.
최대 해결 가능.Space $X$ is maximally resolvable if it is $\Delta (X)$ -resolvable, where $\Delta (X)=\min\{ G :G\neq \varnothing ,G{\mbox{ is open}}\}.$ Number $\Delta (X)$ is called dispersion character $X$ . ${\displaystyle$ X $.}$ 의
강하게 분리되어 있다. $D$ $D$ 의 점을 쌍으로 구분할 수 있는 $D$ 경우 $X$ Set $D$ $D$ 은 공간 $X$ $X$ 의 개별 부분 집합이다 $D$ . $스페이스$ $X$ ${\$ $displaystyle$ $X}$ 의 모든 비절연 지점이 일부 강하게 이산된 집합의 누적 지점인 $X$ 경우 스페이스 X ${\$ $displaystyle$ $X}$ 은 $X$ (는) 강하게 이산된다고 한다.

비토폴로지 특성

위상적 속성이 아닌 미터법 공간 등의 속성의 예가 많다.속성 $P$ $P$ 을 $P$ (를) 위상학적으로 나타내기 $X$ 는X {\ $displaystyle$ X $X\cong Y$ 이 $($ $P$ )P {\ $displaystyle P$ }을 $($ 를 $P$ $가지지만$ Y {\ $displaystyle$ Y $}$ 이( $P$ )P {\ $displaystystystyle P}$ 을 가지지 않도록 두 $X\cong Y$ 개의 동형 위상학적 공간 $X\cong Y$ 를 찾기에 충분하다 $P$

예를 들어 경계성과 완전성의 메트릭 공간 속성은 위상적 속성이 아니다. $X=\mathbb {R}$ = $X=\mathbb {R}$ ${\$ } 및 $X=\mathbb {R}$ $Y=(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})$ = $Y=(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})$ ( $Y=(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})$ - $Y=(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})$ $Y=(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})$ , $Y=(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})$ $Y=(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})$ ) ${\displaystyle Y=(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})$ 를 표준 메트릭스페이스로 한다 $Y=(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})$ .그러면 $X\cong Y$ $X\cong Y$ $X\cong Y$ ${\$ $displaystyle$ $X\cong$ Y $}$ 이(가) 동형체 $\operatorname {arctan} \colon X\to Y$ 을 $\operatorname {arctan} \colon X\to Y$ : X $\operatorname {arctan} \colon X\to Y$ → $\operatorname {arctan} \colon X\to Y$ → Y $\operatorname {arctan} \colon X\to Y$ {\ $displaystyle \operatorname$ { $arctan} \colon X\to$ Y $}.$ $그러나$ X {\ $displaysty$ Y $}$ 은 $X$ $Y$ 경계되지만 경계는 완전하지는 않다 $\operatorname {arctan} \colon X\to Y$

참고 항목

인용구

^ Juhász, István; Soukup, Lajos; Szentmiklóssy, Zoltán (2008). "Resolvability and monotone normality". Israel Journal of Mathematics. 166 (1): 1–16. arXiv:math/0609092. doi:10.1007/s11856-008-1017-y. ISSN 0021-2172. S2CID 14743623.

참조

Willard, Stephen (1970). General topology. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. p. 369. ISBN 9780486434797.
Munkres, James R. (2000). Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.

[2] Simon Mulieras, Maciej Lewenstein 및 Graciana Puentes, 이산 시간 양자 보행에 의한 Entanglement 엔지니어링 및 위상학적 보호, Journal of Physics B: 원자, 분자 및 광물리 46(10), 104005(2013).https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf

[1] Juhász, István; Soukup, Lajos; Szentmiklóssy, Zoltán (2008). "Resolvability and monotone normality". Israel Journal of Mathematics. 166 (1): 1–16. arXiv:math/0609092. doi:10.1007/s11856-008-1017-y. ISSN 0021-2172. S2CID 14743623.

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