월산

이전에 음산이라 불렸던 달의 산술은 ^[1][2]숫자에 대한 덧셈과 곱셈 연산이 최대 연산과 최소 연산으로 정의되는 산술의 한 버전입니다.그래서, 달의 산술에서는,

${\displaystyle 2\mathrm{+}}$ ${\displaystyle 7}$ = ${\displaystyle max}${ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle \}}$ = $7$ ${\$displaystyle ${\displaystyle 2}$$+$7 =\max\{2,${\displaystyle 7}$\} = 7 및 2 ${\displaystyle \mathrm{\times }}$ 7 = min {2, ${\displaystyle 7}$$$} = 2. {\displaystyle 2\time${\displaystyle \mathrm{s}}$ 7 =\min\{2,${\displaystyle 7}$\} = 2.}

음이 아닌 다 자리 수에 대한 달 산술 연산은 다음 예에서 보여주는 것처럼 일반적인 산술과 같이 수행됩니다.달 산술의 세계는 음이 아닌 정수들의 집합으로 제한됩니다.

976 + 348 ---- 978(열 단위 adding)

976 × 348 ------ 876 (976 숫자 multip 8) 444 (976 숫자 multip 4) 333 (976 숫자 multip 3) ------ 34876 (adding 숫자 열 단위)

달 산술의 개념은 데이비드 애플게이트, 마크 르브룬, 닐 슬론에 의해 제안되었습니다.^[3]

일반적인 달산술의 정의에서는 $임의$의 밑 b$${\$displaystyle$ b$}$로 표현된 숫자를 고려하여$$ 선택한 밑 b에 해당하는 숫자에 대한 max 및 min 연산으로 달산술 연산을 정의합니다.^[3]그러나 단순화를 위해 다음 논의에서는 숫자를 10을 기본으로 사용하여 나타낸다고 가정합니다.

달의 운행 특성

다음은 달 작업의 몇 가지 기본 속성을 나열한 것입니다.^[3]

1. 달의 덧셈과 곱셈 연산은 교환 법칙과 연관 법칙을 만족시킵니다.
2. 달의 곱셈은 달의 덧셈에 걸쳐 분배됩니다.
3. 숫자 0은 달의 덧셈에 따른 아이덴티티입니다.0이 아닌 숫자는 달 아래에 역수가 없습니다.
4. 숫자 9는 달 곱셈에 따른 항등식입니다.9와 다른 수는 달의 곱셈 아래에 역수가 없습니다.

일부 표준 시퀀스

짝수

달의 산술에서 ${\displaystyle n}$+ ${\displaystyle n}$≠ 2 × n ${\displaystyle n+$n\$neq 2\$times $n{\displaystyle \}}$ 및 ${\displaystyle n}$ + $n$= ${\$displaystyle n+n=n}임을 알 수 있습니다.짝수는 형식 $2{\displaystyle \mathrm{}}$× ${\displaystyle n}${\$displaystyle$2\$times$ n$}$의 숫자입니다$.$달의 산술에서 처음 몇 개의 뚜렷한 짝수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle 0,1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,120,121,122,\dots}$

이것들은 모두 숫자가 2보다 작거나 같은 숫자들입니다.

사각형

제곱수는 $n{\displaystyle }$× ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ 형태의 수이기$$때문에, 달의 산술에서 처음 몇 개의 제곱수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,100,111,112,113,114,115,116,117,118,119,200,\ldots }$

삼각수

$삼각수$는 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$ +${\displaystyle }$⋯ + n${\displaystyle 1+2+\$cdots $+$ n} 형태의 숫자입니다.처음 몇 개의 삼각형 달 숫자는 다음과 같습니다.

${\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,19,19,19,19,19,19,19,19,19,19,29,29,29,29,29,\ldots }$

인수분해

달 산술에서 $요인$ n${\displaystyle !}$ = ${\displaystyle 1}$×$2$ × ⋯ × n {\display n! = 1\times 2\times \cdots \times n}의 처음 몇 가지 값은 다음과 같습니다.

${\displaystyle 1,1,1,1,1,1,1,1,1,10,110,1110,11110,111110,1111110,\ldots }$

소수

일반적인 산술에서 소수는 ${\displaystyle \mathrm{인수분해}}$가${\displaystyle }$1$$× p {\$displaystyle 1$\times $p}$인 숫자 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$로 정의됩니다$.$ 마찬가지로, 달의 산술에서는,소수는 $인수분해$만 9${\displaystyle }$× ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ 9$\times n}$인 숫자 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$으로 정의됩니다. 여기서$$ 9는 일반적인 산술에서 1에 해당하는 곱셈 항등식입니다.따라서, 다음은 달의 산술에서 처음 몇 개의 소수입니다.

${\displaystyle 19,29,39,49,59,69,79,89,90,91,92,93,94,95,96,97,99,109,209,219,}$

${\displaystyle 309,319,329,409,419,429,439,509,519,529,539,549,609,619,629,639,\dots }$

양식 ${\displaystyle 10}$의 모든 수${\displaystyle }$…${\displaystyle }$(${\displaystyle \text{n개}}$의 0${\displaystyle )}$… ${\displaystyle 09}$ ${\displaystyle 10\ldots (n{\text{zero}})\ldots 09$ $여기$서 n ${\displaystyle$ n$}$은 임의적입니다.$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은 임의이므로 이는 달 산술에 무한히 많은 소수가 있음을 보여줍니다.

합집합과 달의 곱

음이 아닌 정수의 부분집합과 이진수에 대한 달 곱셈의 합집합을 형성하는 작업 사이에는 흥미로운 관계가 있습니다.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$와 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$를 음이 아닌 정수의$$ 집합 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 비어 있지 않은 부분집합이라 하자.집합 $A{\displaystyle }$+ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A+B}$은(는) 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,\,b\in B\}.}$

집합$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$에 다음과$$ 같이 고유한 이진수 $\beta {\displaystyle }$(${\displaystyle A)}$ ${\displaystyle \beta (A)}$를 연결할 수 있습니다.$m$ = ${\displaystyle max}$($$A) $displaystyle$ m =\max (A)}라고 하자. i = 0, 1, …, m {\displaystyle i = 0,1,\ldots,m}에 대하여 정의한다.

${\displaystyle b_{i}={\begin{case}1&{\text{if}}i\in A\0&{\text{if}i\not in A\end{case}}}$

그리고 나서 우리는 정의합니다.

${\displaystyle \beta (A)=b_{m}b_{m-1}\ldots b_{0}.}$

는 것이 증명되었습니다.

${\displaystyle \beta }$ (A${\displaystyle }$+${\displaystyle B}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \beta }$ (A ${\displaystyle )}$ ×$$ (B) {\displaysty${\displaystyle \mathrm{le\; \backslash }}$beta (A +${\displaystyle }$B) =\beta (A)\tim${\displaystyle \mathrm{es\; \backslash }}$beta (B)} 여기서 오른쪽의 " × {\displaystyle \times }"는 이진수에서의 달 곱셈을 나타냅니다.

달의 산술을 이용한 사각형의 마법의 사각형

사각형의 마법의 사각형은 숫자의 사각형으로 형성된 마법의 사각형입니다.정수의 통상적인 덧셈과 곱셈으로 3차 제곱의 마법의 사각형이 있는지는 알 수 없습니다.그러나 달의 산술 연산을 고려하면 3차 제곱의 마법의 사각형이 무한히 존재한다는 것이 관찰되었습니다.다음 예는 다음과 같습니다.^[2]

${\displaystyle {\begin{matrix}44^{2}&38^{2}&45^{2}\\46^{2}&0^{2}&28^{2}\\18^{2}&47^{2}&8^{2}\end{matrix}}}$

참고 항목

• 열대산술

참고문헌

외부 링크

• 유튜브의 프라임 온 더 문 (달의 산수)