abc 추측

abc 추측
들판	수론
추측자	조제프 외스테를레; 데이비드 매서;
추측:	1985
등가	수정 스피로 추측
결과들	비알 추측; Erd's-Ulam 문제; 팔팅스의 정리; 페르마의 마지막 정리; 페르마-카탈란 추측; 로스의 정리; 티데만 정리;

수학자 조셉 외스테를레

수학자 데이비드 매서

abc 추측(Oesterlé-Masser 추측이라고도 함)은 1985년 ^[1]^[2]조셉 오에스텔레와 데이비드 매서의 논의에서 나온 수 이론의 추측이다.이는 상대적으로 소수이고 a + b = c를 만족하는 세 개의 양의 정수 a, b 및 c(이름을 포함)로 표현된다.그 추측은 본질적으로 abc의 뚜렷한 소인수의 곱이 보통 c보다 훨씬 작지 않다고 말한다. 수 이론에서 많은 유명한 추측과 정리가 abc의 추측 또는 그것의 버전에서 바로 뒤따를 것이다.수학자 도리안 골드펠드는 abc 추측을 "디오판틴 분석에서 가장 중요한 미해결 문제"^[3]라고 묘사했다.

abc 추측은 Oesterlé와 Masser가 타원 곡선에 ^[4]대한 Szpiro 추측을 이해하려는 시도의 결과에서 비롯되었으며, abc 추측보다 진술에서 더 많은 기하학적 구조를 포함한다.abc 추측은 수정된 Szpiro의 ^[1]추측과 동등한 것으로 나타났다.

abc 추측을 증명하기 위한 다양한 시도가 이루어졌지만, 현재 주류 수학계에서 받아들여지고 있는 것은 없으며, 2020년 현재도 그 추측은 ^[5]^[6]증명되지 않은 것으로 간주되고 있다.

제제

추측을 하기 전에 정수의 라디칼 개념을 도입해야 한다. 양의 정수 n에 대해 rad(n)로 표시된 n의 라디칼은 n의 구별되는 소수 인자의 곱이다.예를들면

rad(16) = rad(2⁴) = rad(2) = 2

rad(17) = 17,

rad(18) = rad(2÷3²) = 2 · 3 = 6,

rad(rad00) = rad(2⁶ µ⁶ 5) = 2 µ 5 = 10.

a, b, c가 a + b = c와 같은 양의^{[notes 1]} 정수일 경우, "보통" c < rad(rad)로 판명됩니다.abc 추측은 예외를 다룬다.구체적으로 다음과 같이 기술되어 있습니다.

모든 양의 실수θ에 대하여, a + b = c인 공역 정수의 3배(a, b, c)만 존재한다^[7].

c>\operatorname {rad}(표준)^{1+\varepsilon}

등가 공식은 다음과 같습니다.

모든 양의 실수 θ에 대하여, a + b = ^[7]c인 공역 정수의 모든 3배(a, b, c)에 대하여 상수_ε K가 존재한다.

c<K_{\varepsilon}\cdot \operatorname {rad}(abc)^{1+\varepsilon}

추측의 세 번째 등가 공식은 다음과 같이 정의되는 트리플(a, b, c)의 품질 q(a, b, c)를 포함한다.

q(a,b,c)=frac {\log(c)}{\log {\operatorname {rad}{\big}}}}.

예를 들어 다음과 같습니다.

q(4, 127, 131) = log(syslog) / log(rad(4·syslog·syslog) = log(syslog·syslog) = 0.46820...

q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128) = log(128) / log(30) = 1.4265...

a + b = c인 공역 정수의 전형적인 트리플(a, b, c)은 c < rad(rad), 즉 q(a, b, c) < 1. 두 번째 예에서와 같이 q > 1인 트리플은 다소 특별하며, 작은 소수들의 높은 거듭제곱으로 나누어질 수 있는 숫자로 구성됩니다.세 번째 공식은 다음과 같습니다.

모든 양의 실수 δ에 대해, a + b = c인 공역 정수의 3배(a, b, c)는 q(a, b, c) > 1 + θ가 되도록 완전히 존재한다.

q(a, b, c) > 1일 정도로 a + b = c인 공역 양의 정수의 3배(a, b, c)가 무한히 많은 것으로 알려져 있지만, 추측에서는 이들 중 q > 1.01 또는 q > 1.001 또는 q > 1.0001 등을 갖는 정수의 수가 완전히 많을 것으로 예측하고 있다.특히 추측이 참이라면 가능한 최대 품질 q(a, b, c)를 달성하는 트리플(a, b, c)이 존재해야 한다.

작은 라디칼을 가진 트리플의 예

c > rad(abc)의 3배 a, b, c가 무한히 존재하기 때문에 > 0이라는 조건이 필요합니다.예를 들어,

\displaystyle a=1,\display b=2^{6n}-1,\display c=2^{6n},\qquad n>1.}

정수 b는 9로 나눌 수 있습니다.

\displaystyle b=2^{6n}-1=64^{n}-1=(64-1)(\cdots)=9\cdot 7\cdot(\cdots)}

이 사실을 이용하여 다음과 같이 계산한다.

{rad} \operatorname {rad} (a) \operatorname {rad} (b) \operatorname {rad} (c) \\&=\operatorname {rad} (1\operatorname {rad} \left (2^{6n}-1\right operatorname) {rad}\&=2\operatorname {rad}\left(2^{6n}-1\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(9\cdot {tfrac {b} {9}\right)\&\leqslant 2\cdot {tfrac {b} {9}\=2cdot {b}{3}\&{tfrac {3}c}.\end { aligned}

지수 6n을 b가 더 큰 제곱계수를 갖도록 강요하는 다른 지수로 치환함으로써 라디칼과 c의 비율을 임의로 작게 할 수 있다.구체적으로는 p > 2를 소수로 하고,

\displaystyle a=1,\display b=2^{p(p-1)n}-1,\display c=2^{p(p-1)n},\qquad n>1.}

이제 b는 p:로² 나누어질 수 있다고 타당하게 주장할 수 있다.

{displaystyle {p(p-1)n}-1\\&left(2^{p-1)}\right)^{n}-1\&left(2^{p-1)}-1\right)\\&=p^{2}\cdot r(cdots)\cdots.\end { aligned}

마지막 단계에서는 p가 2 - 1을 나눈다는^p(p−1) 사실을² 사용합니다.이것은 페르마의 작은 정리로부터 나온 것으로, 이것은^p−1 p > 2, 2 = pk + 1에 대해 어떤 정수 k를 나타낸다.양쪽을 p의 거듭제곱으로 올리면 2 = p²(...) + 1이 됩니다^p(p−1).

그리고 위와 같은 계산을 통해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

\operatorname {rad}(표준) <{\tfrac {2}{p}}c.

최고 품질의 트리플(c에 대해 특히 작은 라디칼을 가진 트리플) 목록은 아래에 제시되어 있습니다. 최고 품질의 1.6299는 Eric Reysat에 의해 발견되었습니다(Lando & Zvonkin 2004, 페이지 137).

a = 2,

b = 3¹⁰ · 820 = 6436341,

c = 23⁵ = 6436343,

rad(소수) = 15042 。

몇 가지 결과

abc 추측은 많은 결과를 낳는다.여기에는 알려진 결과(그 중 일부는 추측이 언급된 후에만 별도로 입증됨)와 조건부 증거를 제공하는 추측이 모두 포함된다.그 결과는 다음과 같습니다.

대수적 숫자의 ^[8]^[7]디오판틴 근사치에 대한 로스의 정리.
모르델의 추측(거트 ^[9]팔팅스에 의해 이미 일반적으로 증명됨).
마찬가지로, 차원 ^[10]1에 대한 Vojta의 추측입니다.
Erderes-Woods 추측은 한정된 수의 ^[11]반례를 허용한다.
모든 기저 b > ^[12]1에 무한히 많은 비페리히 소수가 존재한다.
정사각형과 ^[13]정수의 세제곱 사이의 분리에 대한 마샬 홀의 추측의 약한 형태.
페르마-카탈란 추측은 힘의 ^[14]합계에 관한 페르마의 마지막 정리의 일반화이다.
Legendre 기호에 의해 형성된 L-함수 L(s, θ_d)은 숫자 필드의 abc 추측의 균일한 버전이 주어졌을 때 시겔 0을 가지지 않으며, 이는 유리 ^[15]정수에 대해 위에서 공식화된 abc 추측뿐만이 아니다.
다항식 P(x)는 P가 최소 3개의 단순 ^[16]0을 갖는 경우 모든 정수 x에 대해 완전 거듭제곱을 가진다.
y = xⁿ + k의^m 해 수에 관한 Tijdeman의 정리 (Tijdeman의 정리)와 Ay = Bxⁿ + k의 해^m 수에 관한 Pilai의 추측 (정리)의 일반화.
마찬가지로 f가 n > 2의 정사각형 없는 2진수 형태일 경우, 모든 실수 β > 2에 대해 상수 C(f, β)가 존재한다는 그란빌-랑주뱅 추측은 모든 공명정수 x, y에 대해 f(x, y)의 라디칼이 C · max{ x, ^n−β^[17]y}를 초과한다.
마찬가지로 수정된 Szpiro 추측은 rad(abc)^1.2+ε^[1]의 경계를 생성합니다.
도브롭스키(1996)는 abc 추측이 디오판틴 방정식 n²! + A = k가 주어진 정수 A에 대해 완전히 많은 해만을 갖는다는 것을 암시한다는 것을 보여주었다.
f(n)/B'가 제곱이 없는 ~cN의_f 정수 n µ N이 있으며, c_f > 0은 다음과 ^[18]같이 정의된다.
$({displaystyle c_{f}=\display_{\text{prime}}x_{i}\left(1-{\frac {오메가},\!_{f}(p)}{p^{2+q_{p}}}}}\right).}$
페르마의 마지막 정리는 앤드류 와일스의 유명한 어려운 증거를 가지고 있다.단, abc 추측의 약한 버전에서는 적어도 n $† 6의 경우$ 쉽게 따라갈 수 있다 $n\geq 6$ abc 추측은 (위에서 정의된) 모든 성질의 집합의 제한 sup이 1이라고 말하는데, 이것은 품질에 유한한 상한이 있다는 훨씬 약한 주장을 암시한다.2가 그러한 상한이라는 추측은 n $s 6$ 에 $n\geq 6$ 페르마의 마지막 정리의 $매우$ 짧은 증명으로 충분하다 $n\geq 6$ ^[19]
만약 A + B = C이고^y^z x, y > 2인 양의^x 정수라면, A, B, C, x, y, z는 공통의 소인자를 갖는다는 것을 제안하는 페르마의 마지막 정리의 일반화인 Beal 추측이다.abc의 추측은 반례가 확실히 많다는 것을 암시할 것이다.
랑의 추측은 타원곡선의 비토론 유리점 높이의 하한이다.
합리적인 ^[20]거리를 가진 고밀도 유클리드 점 집합의 Erdss-Ulam 문제에 대한 음의 해법.

이론적 결과

abc 추측은 c가 abc의 radical의 근선형 함수에 의해 위에 제한될 수 있다는 것을 암시한다.경계는 지수적으로 알려져 있습니다.구체적으로 다음 한계가 입증되었습니다.

c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}

c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}

exp

c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}

(

c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}

c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}

rad

c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}

(

c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}

c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}

)

c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}

{

displaystyle

c < \

exp

(

K _

{

1 }

\

operatorname

{

rad

} (

abc )

}

c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}

（ Stewart & Tideman 1986 ） ,

c

<

c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}

c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}

(

c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}

c ) 2

c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}

+

c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}

)

（

display style

c <

c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}

{ left ( K

_

{ 2

c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}

} \

operatorname

{

rad }

(

abc )^{\ frac {2

}

{3}}

+ \

varepsilon }

} } （

c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}

Stewart & Yu 1991 ）、

c

< exp

c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}

(

c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}

c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}

c )

c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}

3 (

c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}

( rad ) (

c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}

c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}

c

c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}

)

c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}

){

style

c < \

exp

{ left ( K

_

{3} \

operatorname

{ rad } (

abc

) } \

lef

( \

log

( \

operatorname { rad ab

} ) 3 }

이러한 한계에서 K와₁₃ K는 a, b 또는 c에 의존하지 않는 상수이고₂ K는 (효과적으로 계산 가능한 방식으로) θ에 의존하지만 a, b 또는 c에 의존하지 않는 상수입니다.이 경계는 c > 2의 임의의 트리플에 적용됩니다.

계산 결과

2006년 네덜란드 레이든 대학의 수학부는 네덜란드 Kennislink 과학 연구소와 함께 ABC@를 출범시켰다.가정 프로젝트인 그리드 컴퓨팅 시스템은 rad(abc) < c를 사용하여 추가적인 3중 a, b, c를 발견하는 것을 목표로 한다. 비록 이 프로젝트에 의해 발견된 3중 패턴은 abc 추측을 해결할 수 없지만, 추측과 숫자 이론에 대한 통찰로 이어질 것으로 기대된다.

q^[21] > 1의 3배의 분포

q c	q > 1	q > 1.05	q > 1.1	q > 1.2	q > 1.3	q > 1.4
c < 10²	6	4	4	2	0	0
c < 10³	31	17	14	8	3	1
c < 10⁴	120	74	50	22	8	3
c < 10⁵	418	240	152	51	13	6
c < 10⁶	1,268	667	379	102	29	11
c < 10⁷	3,499	1,669	856	210	60	17
c < 10⁸	8,987	3,869	1,801	384	98	25
c < 10⁹	22,316	8,742	3,693	706	144	34
c < 10¹⁰	51,677	18,233	7,035	1,159	218	51
c < 10¹¹	116,978	37,612	13,266	1,947	327	64
c < 10¹²	252,856	73,714	23,773	3,028	455	74
c < 10¹³	528,275	139,762	41,438	4,519	599	84
c < 10¹⁴	1,075,319	258,168	70,047	6,665	769	98
c < 10¹⁵	2,131,671	463,446	115,041	9,497	998	112
c < 10¹⁶	4,119,410	812,499	184,727	13,118	1,232	126
c < 10¹⁷	7,801,334	1,396,909	290,965	17,890	1,530	143
c < 10¹⁸	14,482,065	2,352,105	449,194	24,013	1,843	160

2014년 5월 현재 ABC@Home은 2380만 개의 ^[22]트리플을 발견했습니다.

최고 품질의 트리플^[23]
순위	q	a	b	c	검출자
1	1.6299	2	3개¹⁰, 3개소	스물세⁵ 살	에릭 레이샛
2	1.6260	11개²	3²/5⁶/7³	2²¹/23	베네 드 베거
3	1.6235	19·1307	7·29²·31⁸	2⁸²²/3/5⁴	저지 브라우킨, 줄리어스 브레진스키
4	1.5808	283	5¹¹/13²	2⁸⁸/3/17³	저지 브라우킨, 줄리어스 브레진스키, 압데라흐마네 니타지
5	1.5679	1	2⁷/3	5⁴/7	베네 드 베거

주의: 트리플(a, b, c)의 품질q(a, b, c)는 위에서 정의되어 있습니다.

양식, 일반화 및 관련 문장의 세련

abc 추측은 다항식에 대한 메이슨-스토더스 정리의 정수 유사체이다.

베이커(1998)에 의해 제안된 강화는 abc 추측에서 rad(abc)를 다음과 같이 대체할 수 있다고 기술한다.

δ rad(표준^−ω),

여기서 θ는 a, b, ^[24]c를 나누는 구별되는 소수의 합계입니다.

앤드류 그랜빌은 기능 최소의(ε−ω 라드 ⁡(abc))ε>1+ε{\displaystyle{\big(}\varepsilon ^{-\omega}\operatorname{라드}(abc){\big)}^{1+\varepsilon}};ε)ω 로그⁡(라드 ⁡(abc)0{\displaystyle \varepsilon>0})발생한다.{\displaystyle\와 같이 것을 알아챘다.vareps $ilon = bigfrac {\log ( ) \operatorname { rad } { \ big }$ $}$

이것은 Baker(2004)가 abc 추측의 더 날카로운 형태를 제안하도록 영감을 주었다. 즉, 다음과 같다.

c<\kappa \operatorname {rad}(abc){\frac {\Big (}\log {\big (}\operatorname {rad}(abc)}{\Big}}}{\operatorname {rad}}{\obe!}}

θ를 절대 상수로 합니다.몇 가지 계산 실험 결과, 그는 6 $(\displaystyle$ 6 $/5$ )의 $6/5$ 값이 of에 허용된다는 것을 발견했다.이 버전은 "명시적 abc 추측"이라고 불립니다.

베이커(1998)는 또한 형태의 c에 상한을 부여하는 Andrew Granville의 관련 추측을 설명한다.

K^{\Omega(abc)}\operatorname {rad}(abc),

여기서 δ(n)는 n의 소수 인자의 총수이다.

O{\big (}\operatorname {rad} (abc)\}Theta(abc){\big},

여기서 δ(n)는 n을 나누는 소수만으로 나눌 수 있는 최대 n개의 정수 수입니다.

Robert, Stewart & Tenenbaum(2014년)은 Robert & Tenenbaum(2013년)에 기초한 보다 정확한 불평등을 제안했다.k = rad(라드)라고 하자.그들은 다음과 같은 상수₁ C가 있다고 추측했다.

c <k\exp \left(4{\sqrt {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac \log \log k}}}+{\frac {C_{1}}{\log \log k}}}\right

유지되는 반면 C는₂ 상수로 존재한다.

\displaystyle c>k\exp \left(4{\sqrt {3\log k}{\log \log k}}\left(1+{\frac \log \log \log k}}+{\frac {C_{2}}{\log \log k}}\right})

무한히 자주 개최됩니다.

Browkin & Brzezzinski(1994)는 n > 2개의 정수를 포함하는 abc 추측 버전인 n 추측을 공식화했다.

청구된 증거

Lucien Szpiro는 2007년에 해결책을 제안했지만,^[25] 곧 잘못된 것으로 판명되었습니다.

2012년 8월부터, 모치즈키 신이치는 스피로의 추측, 즉 abc ^[26]추측의 증거를 주장하고 있다.그는 abc ^[27]추측을 증명하기 위해 적용되는, 그가 국제 보편적 테이크뮐러 이론이라고 부르는 새로운 이론을 개발하는 일련의 프리프린트를 발표했다.그 논문들은 수학계에서 abc의 ^[28]증거로 받아들여지지 않았다.이것은 그들의 길이와 ^[29]그들을 이해하는 어려움 때문만이 아니라, 논쟁에서 적어도 하나의 특정한 요점이 다른 ^[30]전문가들에 의해 간극으로 확인되었기 때문이다.소수의 수학자들이 ^[31]증명의 정확성을 보증하고 IUTT에 대한 워크숍을 통해 그들의 이해를 전달하려고 시도했지만,^[32]^[33] 그들은 전반적으로 수론 커뮤니티를 설득하는 데 실패했다.

2018년 3월에는 피터 스콜즈와 제이콥 스틱스가 모치즈키와 ^[34]^[35]협의하기 위해 교토를 방문했다.그들은 차이를 해결하지는 못했지만, 더 명확한 초점을 맞추었다.스콜체와 스틱스는 증명 논리의 오류를 주장하고 설명하는 보고서를 썼으며, 이에 따른 격차가 너무 심해...조금만 수정해도 증명 ^[30]전략을 구할 수 없다고 주장했다.모치즈키는 그들이 이론의 중요한 측면을 잘못 이해하고 잘못된 ^[36]^[37]^[38]단순화를 했다고 주장했다.

2020년 4월 3일, 모치즈키가 일하고 있는 교토 연구소의 수학자 2명이, 모치즈키가 주장하는 증명서가, 모치즈키의 학술지인 수리 과학 연구소의 간행물에 게재될 것이라고 발표했다.모치즈키는 그 잡지의 편집장을 맡고 있었지만,^[5] 그 논평을 철회했다.이 발표는 Kiran Kedlaya와 Edward Frenkel에 의해 회의적인 반응을 보였고, Nature는 "많은 연구자들을 모치즈키 진영으로 이동시키는 것과 달리"^[5]라고 표현했다.2021년 3월, 모치즈키의 증명서가 RIMS에 ^[39]게재되었다.

「」를 참조해 주세요.

수학의 미해결 문제 목록

메모들

^ a + b = c일 때 a, b, c의 공명성은 a, b, c의 쌍방향 공명성을 의미한다. 따라서 이 경우, 우리가 어떤 개념을 사용하든 상관없다.

레퍼런스

^ ^a ^b ^c 외스테를레 1988년
^ 매서 1985년
^ 골드펠트 1996년
^ Fesenko, Ivan (September 2015). "Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and nonarchimedean theta-functions, notes on the work of Shinichi Mochizuki". European Journal of Mathematics. 1 (3): 405–440. doi:10.1007/s40879-015-0066-0.
^ ^a ^b ^c Castelvecchi, Davide (9 April 2020). "Mathematical proof that rocked number theory will be published". Nature. 580 (7802): 177. Bibcode:2020Natur.580..177C. doi:10.1038/d41586-020-00998-2. PMID 32246118.
^ P에 의한 추가 코멘트. Scholze at Not Even Wrong math.columbia^{[self-published source?]}.edu
^ ^a ^b ^c 발트슈미트 2015.
^ 봄비에리(1994년), 페이지
^ 엘키스(1991)
^ Van Frankenhuijen (2002).
^ 란제뱅(1993)
^ 실버맨(1988년).
^ 니타지(1996년).
^ 포메런스(2008년.
^ Granville & Stark (2000).
^ ABC-Conjecture, Frits Beukers, ABC-DAY, 레이든, 위트레흐트 대학, 2005년 9월 9일.
^ 몰린(2009);몰린 (2010, 페이지 297)
^ 그랜빌(1998).
^ Granville, Andrew; Tucker, Thomas (2002). "It's As Easy As abc" (PDF). Notices of the AMS. 49 (10): 1224–1231.
^ Pasten, Hector (2017), "Definability of Frobenius orbits and a result on rational distance sets", Monatshefte für Mathematik, 182 (1): 99–126, doi:10.1007/s00605-016-0973-2, MR 3592123, S2CID 7805117
^ 를 클릭합니다"Synthese resultaten", RekenMeeMetABC.nl (in Dutch), archived from the original on December 22, 2008, retrieved October 3, 2012.
^ "Data collected sofar", ABC@Home, archived from the original on May 15, 2014, retrieved April 30, 2014
^ "100 unbeaten triples". Reken mee met ABC. 2010-11-07.
^ 봄비에리 & 구블러 (2006), 페이지 404.
^ 2007년 5월 콜롬비아 대학에서 열린 L-함수와 자동 형태에 관한 콘퍼런스(Dorian Goldfeld의 60번째 생일 기념)에서 Lucien Szpiro가 강연합니다.를 참조해 주세요.
^ Ball, Peter (10 September 2012). "Proof claimed for deep connection between primes". Nature. doi:10.1038/nature.2012.11378. Retrieved 19 March 2018.
^ Mochizuki, Shinichi (4 March 2021). "Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations". Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences. 57 (1): 627–723. doi:10.4171/PRIMS/57-1-4. S2CID 3135393.
^ Calegari, Frank (December 17, 2017). "The ABC conjecture has (still) not been proved". Retrieved March 17, 2018.
^ Revell, Timothy (September 7, 2017). "Baffling ABC maths proof now has impenetrable 300-page 'summary'". New Scientist.
^ ^a ^b Scholze, Peter; Stix, Jakob. "Why abc is still a conjecture" (PDF). Archived from the original (PDF) on February 8, 2020. Retrieved September 23, 2018. (5월 보고서 갱신판)
^ Fesenko, Ivan (28 September 2016). "Fukugen". Inference. 2 (3). Retrieved 30 October 2021.
^ Conrad, Brian (December 15, 2015). "Notes on the Oxford IUT workshop by Brian Conrad". Retrieved March 18, 2018.
^ Castelvecchi, Davide (8 October 2015). "The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof". Nature. 526 (7572): 178–181. Bibcode:2015Natur.526..178C. doi:10.1038/526178a. PMID 26450038.
^ Klarreich, Erica (September 20, 2018). "Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture". Quanta Magazine.
^ "March 2018 Discussions on IUTeich". Retrieved October 2, 2018. 모치즈키 웹페이지에 의한 토론내용 및 후속 출판물 및 보충자료 연계
^ Mochizuki, Shinichi. "Report on Discussions, Held during the Period March 15 – 20, 2018, Concerning Inter-Universal Teichmüller Theory" (PDF). Retrieved February 1, 2019. the ... discussions ... constitute the first detailed, ... substantive discussions concerning negative positions ... IUTch.
^ Mochizuki, Shinichi (July 2018). "Comments on the manuscript by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory" (PDF). S2CID 174791744. Retrieved October 2, 2018.
^ Mochizuki, Shinichi. "Comments on the manuscript (2018-08 version) by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory" (PDF). Retrieved October 2, 2018.
^ Mochizuki, Shinichi. "Mochizuki's proof of ABC conjecture". Retrieved July 13, 2021.

원천

Baker, Alan (1998). "Logarithmic forms and the abc-conjecture". In Győry, Kálmán (ed.). Number theory. Diophantine, computational and algebraic aspects. Proceedings of the international conference, Eger, Hungary, July 29-August 2, 1996. Berlin: de Gruyter. pp. 37–44. ISBN 3-11-015364-5. Zbl 0973.11047.
Baker, Alan (2004). "Experiments on the abc-conjecture". Publicationes Mathematicae Debrecen. 65 (3–4): 253–260.
Bombieri, Enrico (1994). "Roth's theorem and the abc-conjecture" (Preprint). ETH Zürich. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)^{[어쩔 수 없는 소스?]}
Bombieri, Enrico; Gubler, Walter (2006). Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. Vol. 4. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034.
Browkin, Jerzy; Brzeziński, Juliusz (1994). "Some remarks on the abc-conjecture". Math. Comp. 62 (206): 931–939. Bibcode:1994MaCom..62..931B. doi:10.2307/2153551. JSTOR 2153551.
Browkin, Jerzy (2000). "The abc-conjecture". In Bambah, R. P.; Dumir, V. C.; Hans-Gill, R. J. (eds.). Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. pp. 75–106. ISBN 3-7643-6259-6.
Dąbrowski, Andrzej (1996). "On the diophantine equation x! + A = y²". Nieuw Archief voor Wiskunde, IV. 14: 321–324. Zbl 0876.11015.
Elkies, N. D. (1991). "ABC implies Mordell". International Mathematics Research Notices. 1991 (7): 99–109. doi:10.1155/S1073792891000144.
Frey, Gerhard (1997). "On Ternary Equations of Fermat Type and Relations with Elliptic Curves". Modular Forms and Fermat's Last Theorem. New York: Springer. pp. 527–548. ISBN 0-387-94609-8.
Goldfeld, Dorian (1996). "Beyond the last theorem". Math Horizons. 4 (September): 26–34. doi:10.1080/10724117.1996.11974985. JSTOR 25678079.
Goldfeld, Dorian (2002). "Modular forms, elliptic curves and the abc-conjecture". In Wüstholz, Gisbert (ed.). A panorama in number theory or The view from Baker's garden. Based on a conference in honor of Alan Baker's 60th birthday, Zürich, Switzerland, 1999. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 128–147. ISBN 0-521-80799-9. Zbl 1046.11035.
Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre, eds. (2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton: Princeton University Press. pp. 361–362, 681. ISBN 978-0-691-11880-2.
Granville, A. (1998). "ABC Allows Us to Count Squarefrees" (PDF). International Mathematics Research Notices. 1998 (19): 991–1009. doi:10.1155/S1073792898000592.
Granville, Andrew; Stark, H. (2000). "ABC implies no "Siegel zeros" for L-functions of characters with negative exponent" (PDF). Inventiones Mathematicae. 139 (3): 509–523. Bibcode:2000InMat.139..509G. doi:10.1007/s002229900036. S2CID 6901166.
Granville, Andrew; Tucker, Thomas (2002). "It's As Easy As abc" (PDF). Notices of the AMS. 49 (10): 1224–1231. CiteSeerX 10.1.1.146.610.
Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-20860-7.
Lando, Sergei K.; Zvonkin, Alexander K. (2004). "Graphs on Surfaces and Their Applications". Encyclopaedia of Mathematical Sciences: Lower-Dimensional Topology II. Vol. 141. Springer-Verlag. ISBN 3-540-00203-0.
Langevin, M. (1993). "Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc". Comptes rendus de l'Académie des sciences (in French). 317 (5): 441–444.
Masser, D. W. (1985). "Open problems". In Chen, W. W. L. (ed.). Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory. London: Imperial College.
Mollin, R.A. (2009). "A note on the ABC-conjecture" (PDF). Far East Journal of Mathematical Sciences. 33 (3): 267–275. ISSN 0972-0871. Zbl 1241.11034. Archived from the original (PDF) on 2016-03-04. Retrieved 2013-06-14.
Mollin, Richard A. (2010). Advanced number theory with applications. Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4200-8328-6. Zbl 1200.11002.
Nitaj, Abderrahmane (1996). "La conjecture abc". Enseign. Math. (in French). 42 (1–2): 3–24.
Oesterlé, Joseph (1988), "Nouvelles approches du "théorème" de Fermat", Astérisque, Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165–186, ISSN 0303-1179, MR 0992208
Pomerance, Carl (2008). "Computational Number Theory". The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. pp. 361–362.
Silverman, Joseph H. (1988). "Wieferich's criterion and the abc-conjecture". Journal of Number Theory. 30 (2): 226–237. doi:10.1016/0022-314X(88)90019-4. Zbl 0654.10019.
Robert, Olivier; Stewart, Cameron L.; Tenenbaum, Gérald (2014). "A refinement of the abc conjecture" (PDF). Bulletin of the London Mathematical Society. 46 (6): 1156–1166. doi:10.1112/blms/bdu069. S2CID 123460044.
Robert, Olivier; Tenenbaum, Gérald (November 2013). "Sur la répartition du noyau d'un entier" [On the distribution of the kernel of an integer]. Indagationes Mathematicae (in French). 24 (4): 802–914. doi:10.1016/j.indag.2013.07.007.
Stewart, C. L.; Tijdeman, R. (1986). "On the Oesterlé-Masser conjecture". Monatshefte für Mathematik. 102 (3): 251–257. doi:10.1007/BF01294603. S2CID 123621917.
Stewart, C. L.; Yu, Kunrui (1991). "On the abc conjecture". Mathematische Annalen. 291 (1): 225–230. doi:10.1007/BF01445201. S2CID 123894587.
Stewart, C. L.; Yu, Kunrui (2001). "On the abc conjecture, II". Duke Mathematical Journal. 108 (1): 169–181. doi:10.1215/S0012-7094-01-10815-6.
Van Frankenhuijsen, Machiel (2002). "The ABC conjecture implies Vojta's height inequality for curves". J. Number Theory. 95 (2): 289–302. doi:10.1006/jnth.2001.2769. MR 1924103.
Waldschmidt, Michel (2015). "Lecture on the abc Conjecture and Some of Its Consequences" (PDF). Mathematics in the 21st Century. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol. 98. pp. 211–230. doi:10.1007/978-3-0348-0859-0_13. ISBN 978-3-0348-0858-3.

외부 링크

ABC@home ABC@Home이라고 하는 분산 컴퓨팅 프로젝트.
ABC처럼 간단:Brian Hayes의 자세한 설명에 따라하기 쉽다.
Weisstein, Eric W. "abc Conjecture". MathWorld.
Abderrahmane Nitaj의 ABC 추측 홈페이지
Bart de Smit의 ABC Triples 웹 페이지
http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
노암 D의 ABC의 수론 엘키스
번호에 관한 Barry Mazur의 질문
모치즈키의 MathOverflow에 대한 ABC 추측에 관한 연구의 이면 철학
ABC 추측 Polymath 프로젝트 Wiki 페이지, 모치즈키의 논문 해설의 다양한 출처에 링크.
abc 추측 번호 파일 비디오
모치즈키의 IUT 뉴스

[7] + b = c일 때 a, b, c의 공명성은 a, b, c의 쌍방향 공명성을 의미한다. 따라서 이 경우, 우리가 어떤 개념을 사용하든 상관없다.

[FOOTNOTEOesterlé1988-1] 외스테를레 1988년

[FOOTNOTEMasser1985-2] 매서 1985년

[FOOTNOTEGoldfeld1996-3] 골드펠트 1996년

[4] Fesenko, Ivan (September 2015). "Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and nonarchimedean theta-functions, notes on the work of Shinichi Mochizuki". European Journal of Mathematics. 1 (3): 405–440. doi:10.1007/s40879-015-0066-0.

[nature-2020-5] Castelvecchi, Davide (9 April 2020). "Mathematical proof that rocked number theory will be published". Nature. 580 (7802): 177. Bibcode:2020Natur.580..177C. doi:10.1038/d41586-020-00998-2. PMID 32246118.

[6] P에 의한 추가 코멘트. Scholze at Not Even Wrong math.columbia^{[self-published source?]}.edu

[FOOTNOTEWaldschmidt2015-8] 발트슈미트 2015.

[FOOTNOTEBombieri1994[[Category:Wikipedia_articles_needing_page_number_citations_from_January_2022]]<sup_class="noprint_Inline-Template_"_style="white-space:nowrap;">&#91;<i>[[Wikipedia:Citing_sources|<span_title="This_citation_requires_a_reference_to_the_specific_page_or_range_of_pages_in_which_the_material_appears.&#32;(January_2022)">page&nbsp;needed</span>]]</i>&#93;</sup>-9] 봄비에리(1994년), 페이지

[FOOTNOTEElkies1991-10] 엘키스(1991)

[FOOTNOTEVan_Frankenhuijsen2002-11] Van Frankenhuijen (2002).

[FOOTNOTELangevin1993-12] 란제뱅(1993)

[FOOTNOTESilverman1988-13] 실버맨(1988년).

[FOOTNOTENitaj1996-14] 니타지(1996년).

[FOOTNOTEPomerance2008-15] 포메런스(2008년.

[FOOTNOTEGranvilleStark2000-16] Granville & Stark (2000).

[Ref_a-17] ABC-Conjecture, Frits Beukers, ABC-DAY, 레이든, 위트레흐트 대학, 2005년 9월 9일.

[18] 몰린(2009);몰린 (2010, 페이지 297)

[FOOTNOTEGranville1998-19] 그랜빌(1998).

[20] Granville, Andrew; Tucker, Thomas (2002). "It's As Easy As abc" (PDF). Notices of the AMS. 49 (10): 1224–1231.

[21] Pasten, Hector (2017), "Definability of Frobenius orbits and a result on rational distance sets", Monatshefte für Mathematik, 182 (1): 99–126, doi:10.1007/s00605-016-0973-2, MR 3592123, S2CID 7805117

[Ref_d-22] 를 클릭합니다"Synthese resultaten", RekenMeeMetABC.nl (in Dutch), archived from the original on December 22, 2008, retrieved October 3, 2012.

[Ref_c-23] "Data collected sofar", ABC@Home, archived from the original on May 15, 2014, retrieved April 30, 2014

[24] "100 unbeaten triples". Reken mee met ABC. 2010-11-07.

[FOOTNOTEBombieriGubler2006404-25] 봄비에리 & 구블러 (2006), 페이지 404.

[26] 2007년 5월 콜롬비아 대학에서 열린 L-함수와 자동 형태에 관한 콘퍼런스(Dorian Goldfeld의 60번째 생일 기념)에서 Lucien Szpiro가 강연합니다.를 참조해 주세요.

[27] Ball, Peter (10 September 2012). "Proof claimed for deep connection between primes". Nature. doi:10.1038/nature.2012.11378. Retrieved 19 March 2018.

[Mochizukiweb-28] Mochizuki, Shinichi (4 March 2021). "Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations". Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences. 57 (1): 627–723. doi:10.4171/PRIMS/57-1-4. S2CID 3135393.

[29] Calegari, Frank (December 17, 2017). "The ABC conjecture has (still) not been proved". Retrieved March 17, 2018.

[30] Revell, Timothy (September 7, 2017). "Baffling ABC maths proof now has impenetrable 300-page 'summary'". New Scientist.

[stillConj-31] Scholze, Peter; Stix, Jakob. "Why abc is still a conjecture" (PDF). Archived from the original (PDF) on February 8, 2020. Retrieved September 23, 2018. (5월 보고서 갱신판)

[32] Fesenko, Ivan (28 September 2016). "Fukugen". Inference. 2 (3). Retrieved 30 October 2021.

[33] Conrad, Brian (December 15, 2015). "Notes on the Oxford IUT workshop by Brian Conrad". Retrieved March 18, 2018.

[34] Castelvecchi, Davide (8 October 2015). "The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof". Nature. 526 (7572): 178–181. Bibcode:2015Natur.526..178C. doi:10.1038/526178a. PMID 26450038.

[35] Klarreich, Erica (September 20, 2018). "Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture". Quanta Magazine.

[36] "March 2018 Discussions on IUTeich". Retrieved October 2, 2018. 모치즈키 웹페이지에 의한 토론내용 및 후속 출판물 및 보충자료 연계

[37] Mochizuki, Shinichi. "Report on Discussions, Held during the Period March 15 – 20, 2018, Concerning Inter-Universal Teichmüller Theory" (PDF). Retrieved February 1, 2019. the ... discussions ... constitute the first detailed, ... substantive discussions concerning negative positions ... IUTch.

[38] Mochizuki, Shinichi (July 2018). "Comments on the manuscript by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory" (PDF). S2CID 174791744. Retrieved October 2, 2018.

[39] Mochizuki, Shinichi. "Comments on the manuscript (2018-08 version) by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory" (PDF). Retrieved October 2, 2018.

[40] Mochizuki, Shinichi. "Mochizuki's proof of ABC conjecture". Retrieved July 13, 2021.

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