톱니바퀴(수학)

수학에서 피복은 토폴로지 공간의 열린 집합에 부착되고 그것과 관련하여 로컬로 정의되는 데이터(세트, 아벨리아 그룹, 반지 등)를 체계적으로 추적하기 위한 도구다. 예를 들어, 각 오픈 세트에 대해 데이터는 오픈 세트에 정의된 연속 기능의 링이 될 수 있다. 이러한 데이터는 더 작은 오픈 세트로 제한될 수 있으며, 또한 오픈 세트에 할당된 데이터는 원래 오픈 세트를 포함하는 더 작은 오픈 세트 컬렉션에 할당된 모든 호환 데이터 모음과 동일하다는 점에서 잘 동작한다. (직관적으로 모든 데이터는 부품의 합이다.)

피복은 개념적으로 일반적이고 추상적인 물체로 이해된다. 그들의 정확한 정의는 다소 기술적이다. 예를 들어, 오픈 세트에 할당된 데이터 유형에 따라 링 또는 링 조각으로 구체적으로 정의된다.

또한 한 조각에서 다른 조각으로 이어지는 지도(또는 형태론)도 있다; 일정한 위상학적 공간에 형태론을 가진 조각(아벨리아 그룹의 조각과 같은 특정 유형의 지도)이 범주를 형성한다. 한편, 각 연속 지도에는 직사 이미지 펑터와 그 형태들을 코도메인의 쉐이브와 형태에 가져가는 것과 반대 방향으로 작동하는 역사 이미지 펑터가 모두 연관되어 있다. 이러한 변종들과 그 변종들은 피복 이론의 필수적인 부분이다.

일반적인 특성과 다용성 때문에, 셰이브는 위상, 특히 대수 기하학 및 미분 기하학에서 여러 가지 용도가 있다. 첫째로, 다른 종류의 다지관이나 구성과 같은 기하학적 구조는 공간의 고리 조각으로 표현될 수 있다. 그러한 맥락에서 벡터 번들이나 디비저와 같은 몇몇 기하학적 구조는 당연히 피복의 관점에서 지정된다. 둘째, 피복은 단수 코호몰로지 같은 "상용적" 위상적 코호몰로지 이론도 포괄하는 매우 일반적인 코호몰로지 이론의 틀을 제공한다. 특히 대수기하학 및 복합다지관 이론에서 셰이프 코호몰리학은 우주의 위상학적 특성과 기하학적 특성 사이에 강력한 연계를 제공한다. 셰이브는 미분 방정식 이론에 응용을 제공하는 D-모듈 이론의 기초를 제공하기도 한다. 또한, 그로텐디크 위상과 같은 위상적 공간보다 더 일반적인 설정으로 피복하는 일반화는 수학적 논리와 숫자 이론에 응용을 제공했다.

정의 및 예제

많은 수학적 가지에서 위상학적 $공간$ X ${\displaystyle$ X $}($ 예: 가변적인 다지관)에 정의된 여러 구조물은 $U\subset X$ 으로 국부화되거나 $U\subset X$ $U\subset X$ X ${\displaystyle U\subset$ X $}$ 개 $서브셋$ 으로 제한될 수 있다 $U\subset X$ 대표적인 예로는 연속적인 실제 값 또는 복잡한 값 함수, $n$ ${\displaysty n}$ 팀이 $n$ 포함된다.서로 다른(실제 값 또는 복합 값) 함수, 경계된 실제 값 함수, 벡터 필드 및 공간의 벡터 번들 섹션. 데이터를 더 작은 오픈 서브셋으로 제한하는 능력은 사전 절약의 개념을 만들어낸다. 대략적으로 말하면, 피복은 미리 피복된 것으로서, 지역 데이터를 글로벌 데이터에 붙일 수 있다.

프리셰이브

$X$ $X$ 을(를) 위상학적 공간으로 두십시오 $X$ . $X$ $X$ 에서 $F$ $F$ $F$ 세트의 사전 페이프는 다음 데이터로 구성된다 $X$ .

For each open set $U$ of $X$ , a set $F(U)$ . This set is also denoted $\Gamma (U,F)$ . The elements in this set are called the sections of $F$ over $U$ . The sections of ${\displaystyle$ $X$ $X$ 위에 $F$ 있는 $F}$ 은(는) $F$ $F$ 의 글로벌 섹션이라고 불린다 $X$ $F$
For each inclusion of open sets $V\subseteq U$ , a function $\operatorname {res} _{V,U}\colon F(U)\rightarrow F(V)$ . In view of many of the examples below, the morphisms ${\text{res}}_{V,U}$ are called restriction morphisms. $s\in F(U)$ $s\in F(U)$ $s\in F(U)$ ( $s\in F(U)$ ) ${\displaystyle s\in$ F $(U$ 인 경우, 그 ${\text{res}}_{V,U}(s)$ 은 ${\text{res}}_{V,U}(s)$ , ${\text{res}}_{V,U}(s)$ ( s ${\text{res}}_{V,U}(s)$ ) ${\text{res}_{V,U}}}$ 은(는) 기능 제한과 유추하여 $s|_{V}$ 종종 $s|_{V}$ $s|_{V}$ ${\$ s $_{V}$ 로 표시된다 ${\text{res}}_{V,U}(s)$ .

제한 형태는 다음과 같은 두 가지 추가 (기능) 특성을 만족시키기 위해 필요하다.

For every open set $U$ of $X$ , the restriction morphism $\operatorname {res} _{U,U}\colon F(U)\rightarrow F(U)$ is the identity morphism on $F(U)$ .
3개의 오픈 세트 $W\subseteq V\subseteq U$ $W\subseteq V\subseteq U$ $W\subseteq V\subseteq U$ $W\subseteq V\subseteq U$ $W\subseteq V\subseteq U$ $W\subseteq V\subseteq U$ 이 $W\subseteq V\subseteq U$ 가) 있는 경우, 복합 ${\text{res}}_{W,V}\circ {\text{res}}_{V,U}={\text{res}}_{W,U}$ W , ${\text{res}}_{W,V}\circ {\text{res}}_{V,U}={\text{res}}_{W,U}$ ${\text{res}}_{W,V}\circ {\text{res}}_{V,U}={\text{res}}_{W,U}$ V , ${\text{res}}_{W,V}\circ {\text{res}}_{V,U}={\text{res}}_{W,U}$ = ${\text{res}}_{W,V}\circ {\text{res}}_{V,U}={\text{res}}_{W,U}$ W , ${\text{res}}_{W,V}\circ {\text{res}}_{V,U}={\text{res}}_{W,U}$ , U ${\text{res}}_{W,V}\circ {\text{res}}_{V,U}={\text{res}}_{W,U}$ {\ $displaystystyle$ {\ $text{res}_{W,V}\circircirc.$ $U}={\text{res}_{W,U}}}$

비공식적으로, 두 번째 공리는 우리가 한 단계에서 W로 제한하든, 먼저 V로 제한하든 상관 없다고 말한다. 이 정의의 간결한 교구적 개혁은 아래에 더 있다.

사전 저장의 많은 예는 다른 등급의 함수에서 온다 $U$ $모든$ $C^{0}(U)$ ${\displaystyle U$ $}$ 에 $C^{0}(U)$ C 0 $C^{0}(U)$ ( U $C^{0}(U)$ ){\ $displaystyle$ $C^{0}(U)$ C $^{0}(U)}$ 를 $U$ 할 $C^{0}(U)$ 수 있다 $U$ 제한 맵은 U ${\$ U}에 대해 $연속적$ 인 함수를 제한함으로써 주어진다. 보다 작은 오픈 서브셋 $V$ $V$ 에 연결되며 $V$ 이 V는 다시 연속적인 기능이다. 두 개의 사전 주의 공리를 즉시 검사하여 사전 주의의 예를 제시한다. ${\mathcal {H}}(-)$ 은 H ${\mathcal {H}}(-)$ ( ${\mathcal {H}}(-)$ - $){\displaystyle {\mathcal{H}}}}$ 의 ${\mathcal {H}}(-)$ 홀모픽 함수와 부드러운 $C^{\infty }(-)$ C $C^{\infty }(-)$ ( - $){\displaystyle$ C $^{\infit }(-)$ 의 함수로 확장될 수 있다 $C^{\infty }(-)$

또 다른 일반적인 등급의 예로는 U $U$ 에 일정한 실제 가치 함수의 집합을 $U$ 할당하는 것이 있다. 이 사전 $\mathbb {R}$ 는 R $\mathbb {R}$ {\ $displaystyle$ \ $mathb$ ${R}}}}$ 과(와) 연관된 상수 사전 예제로 불리며 $\mathbb {R}$ R ${\underline {\mathbb {R} }}^{psh}$ ${\underline {\mathbb {R} }}^{psh}$ ${\underline {\mathbb {R} }}^{psh}$ p ${\underline {\mathbb {R} }}^{psh}$ h {\ $displaystylease {\{R}}}}^{$ psh ${\underline {\mathbb {R} }}^{psh}$ 로 표시된다.

셰이브스

Given a presheaf, a natural question to ask is to what extent its sections over an open set $U$ are specified by their restrictions to smaller open sets $U_{i}$ of an open cover ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ of $U$ . sheaf는 다음과 같은 두 가지 추가 공리를 만족하는 사전 시험이다.

(Locality) If ${\mathcal {U}}$ is an open covering of an open set $U$ , and if $s,t\in F(U)$ have the property $s _{U_{i}}=t _{U_{i}}$ for each set $U_{i}$ of the covering, $s=t$ = $s=t$ ${\displaystyle s=t$ 및
(Gluing) If ${\mathcal {U}}$ is an open covering of an open set $U$ , and if for each $i\in I$ a section $s_{i}\in F(U_{i})$ is given such that for each pair $U_{i},U_{j}$ of the covering sets the restrictions of $s_{i}$ and $s_{j}$ agree on the overlaps, so $s_{i} _{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j} _{U_{i}\cap U_{j}}$ , then there is a section $s\in F(U)$ s $s|_{U_{i}}=s_{i}$ that $s|_{U_{i}}=s_{i}$ = $s|_{U_{i}}=s_{i}$ i ${\$ s $_{U_{i}=s_{i}}}$ 각 $i\in I$ $i\in I$ I ${\displaystyle i\in I$

공리 2에 의해 존재가 보장되는 섹션 $s$ $s$ $s$ 을(를) 섹션의_i 접착, 연결 또는 정렬이라고 한다. 공리 1에 의해 그것은 독특하다. axiom 2의 $s_{i}$ 조건을 만족하는 섹션 s ${\$ s_{ $i}$ 는 흔히 호환성이 있다고 불리며, 따라서 1과 2는 함께 호환되는 섹션이 고유하게 접착될 수 있다는 것을 명시한다. 분리된 프리셰프, 즉 단면체계는 공리를 만족하는 프리셰프다.^[1]

위에서 언급한 연속적인 기능으로 구성되는 프리슈프는 피복이다. 이 주장은 연속 함수 $f_{i}:U_{i}\to \mathbf {R}$ : $f_{i}:U_{i}\to \mathbf {R}$ $f_{i}:U_{i}\to \mathbf {R}$ → $f_{i}:U_{i}\to \mathbf {R}$ ${\$ 를 고려할 때, 그 확인으로 감소한다. $U_{i}\cap U_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ ${\$ 의 $U_{i}\cap U_{j}$ 교차로에 동의하는 $f_{i}:U_{i}\to \mathbf {R}$ $\mathbf {R}$ 에 고유한 $f:U\to \mathbf {R}$ f : $f:U\to \mathbf {R}$ → $f:U\to \mathbf {R}$ {\ $displaystyf f:$ $U\to \mathbf {R} }$ whose restriction equals the $f_{i}$ . By contrast, the constant presheaf is usually not a sheaf: if $U=U_{1}\sqcup U_{2}$ is a disjoint union of two open subsets, and $f_{1},f_{2}$ take different values, then there U에 대한 상수 함수가 아니며, U의 제한은 이 두 (다른) 상수 함수와 동일하다.

프리셰브와 셰이브는 전형적으로 대문자로 표시되는데, F는 특히 흔하며, 아마도 셰이프, 파이소라는 프랑스어 단어일 것이다. ${\mathcal {F}}$ ${\$ 와 같은 서예의 사용도 일반적이다 ${\mathcal {F}}$ .

피복을 지정하려면 피복의 토폴로지를 위한 기초의 공개 집합에 대한 제한을 지정하는 것으로 충분하다는 것을 보여줄 수 있다. 또한 덮개의 열린 세트에 대해 위의 피복 공리를 검증하는 것으로 충분하다는 것을 보여줄 수 있다. 이 관찰은 대수 기하학에서 결정적으로 중요한 또 다른 예, 즉 준정합성층(si-consistic sheav)을 구성하기 위해 사용된다. 여기서 문제가 되는 위상학적 공간은 교감 고리 R의 스펙트럼으로, 이들의 포인트는 R에서 주요한 이상 P이다. 오픈 $D_{f}:=\{p\subset R,f\notin p\}$ 는 D $D_{f}:=\{p\subset R,f\notin p\}$ $D_{f}:=\{p\subset R,f\notin p\}$ { $D_{f}:=\{p\subset R,f\notin p\}$ $D_{f}:=\{p\subset R,f\notin p\}$ , $D_{f}:=\{p\subset R,f\notin p\}$ f $D_{f}:=\{p\subset R,f\notin p\}$ p $}$ {\ $displaystyle$ D_{ $f}:=\{p\subset R,f\notin$ p $\}}$ 이(가) 이 공간의 자리스키 위상(Zariski)에 대한 기초를 형성한다 $D_{f}:=\{p\subset R,f\notin p\}$ . R-모듈 M이 주어지면, ${\tilde {M}}$ R에 M ${\tilde {M}}$ ~ ${\$ 이(가) 표시된 칼집이 있어 이를 만족한다.

{\displaystyle {\tilde{M}}(D_{f}):

=M[1/f],}

f에서 M의 국산화

{\tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],

추가 예

연속 지도의 단면들

$f:Y\to X$ 연속 지도 f $f:Y\to X$ : Y $f:Y\to X$ → $f:Y\to X$ ${\displaystyle f:$ 위상학적 $공간의$ Y\ $to$ X $}$ 을 $X$ $\Gamma (Y/X)$ 를 $\Gamma (Y/X)$ $\Gamma (Y/X)$ 하면X {\ $displaystyle X}$ 에 $\Gamma(Y/X)$ 있는 $\$ Displaystyle $\Gamma(Y/X$ )}이(가) 결정된다.

\감마(Y/X)(U)=\{s:U\to Y,f\circ s=\operatorname {id} _{U}\}.

이러한 $모든$ s $s$ 은 $f$ 으로 f $f$ 의 섹션이라고 불리며 $s$ $f$ 이 예는 $F(U)$ $F(U)$ ) $F(U)$ 의 요소를 일반적으로 섹션이라고 부르는 $F(U)$ 이유다. $이$ 구조는 f {\ $displaystyle f}$ 이(가 $)$ 섬유 다발을 기본 공간에 투영할 $f$ 때 특히 중요하다. 예를 들어, 매끄러운 기능의 덩어리들은 사소한 보따리의 단면들이다. 다른 예: 섹션의 조각

\mathbf {C} {\stackrel {\exp }{\\}\mathbf {C} \setminus \{0\}}

$U$ $U$ 에 있는 복합 로그의 분기 집합을 $U$ $U$ ${\$ displaystyle U $}$ 에 할당하는 피복이다 $U$

포인트 x와 아벨 그룹 S가 주어진 마천루 sheaf S는_x 다음과 같이 정의했다. U가 x를 포함하는 열린 집합인 경우 S_x(U) = S. U가 x를 포함하지 않으면_x S(U) = 0, 즉 사소한 그룹이다. 제한 맵은 두 오픈 세트 모두 x를 포함하는 경우 S의 ID 또는 제로 맵이 된다.

다지관 덮개

n차원 $C^{k}$ $C^{k}$ ${\displaystyle C^{k$ $}}$ - manifold $C^{k}$ M에는 ${\mathcal {O}}_{M}^{j}$ 으로 다른 ${\mathcal {O}}_{M}^{j}$ ${\mathcal {O}}_{M}^{j}$ O m j ${\$ $M}^{$ $}}}}$ 과 같이 중요한 여러 조각이 있다. $j\leq k$ Its sections on some open $U$ are the $C^{j}$ -functions $U\to \mathbf {R}$ . For $j=k$ , this sheaf is called the structure sheaf and is denoted ${\mathcal {O}}_{M}$ . The nonzero ${\displayst$ $yle C^{k}}$ functions also form a sheaf, denoted ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$ . Differential forms (of degree p) also form a sheaf $\Omega _{M}^{p}$ . In all these examples, the restriction morphisms are given by restricting functions or forms.

$U$ $U$ 에서 압축적으로 지원되는 기능으로 $U$ U $U$ 을(를) 보내는 할당은 일반적으로 더 작은 열린 하위 집합으로 전달하여 이 속성을 보존할 수 있는 방법이 없기 때문에 셰프가 아니다 $U$ . 대신, 이것은 제한 지도가 셰이브와는 반대 방향으로 가는 이중 개념인 코스헤프를 형성한다.^[2] 그러나, 이러한 벡터 공간의 이중성을 취하면 분포의 층인 피복이 생긴다.

자루가 아닌 사전 예열

상기에서 언급된 상수 프리셰프(일반적으로 셰이프가 아님) 외에도, 셰이브가 아닌 프리셰브의 추가 예가 있다.

$X$ $X$ 을(를) 이산 위상이 있는 $\{x,y\}$ 2점 위상학적 공간 $\{x,y\}$ { $\{x,y\}$ , $\{x,y\}$ $\{x,y\}$ ${\displaystyle$ \{ $x,y\}$ 이(가) 되도록 $X$ 한다. 다음과 같이 $F$ 사전 준비 $F$ $F$ 을(를) 정의하십시오. $F(\varnothing )=\{\varnothing \},\ F(\{x\})=\mathbf {R} ,\ F(\{y\})=\mathbf {R} ,\ F(\{x,y\})=\mathbf {R} \times \mathbf {R} \times \mathbf {R}$ The restriction map $F(\{x,y\})\to F(\{x\})$ is the projection of $\mathbf {R} \times \mathbf {R} \times \mathbf {R}$ onto its first coordinate, and the restriction map $F(\{x,y\})\to F(\{y\})$ is the projec $\mathbf {R} \times \mathbf {R} \times \mathbf {R}$ $\mathbf {R} \times \mathbf {R} \times \mathbf {R}$ $\mathbf {R} \times \mathbf {R} \times \mathbf {R}$ $\mathbf {R} \times \mathbf {R} \times \mathbf {R}$ $\mathbf {R} \times \mathbf {R} \times \mathbf {R}$ ${\$ 을(를) 두 번째 좌표에 배치한다 $\mathbf {R} \times \mathbf {R} \times \mathbf {R}$ . $F$ $F$ 은 $F$ (는) 분리되지 않은 사전 검사로, 글로벌 섹션은 세 개의 숫자로 결정되지만 {x}과(와) {y}을(를) 초과하는 해당 섹션의 값은 이러한 숫자 중 두 개만 결정한다. 따라서 {x}과(와) {y}에 대해 어떤 두 섹션도 접착할 수 있지만, 고유하게 접착할 수는 없다.
$X=\mathbf {R}$ = $X=\mathbf {R}$ ${\$ 를) 실제 라인으로 하고 $X=\mathbf {R}$ , $F(U)$ $F(U)$ 을 $F(U)$ (를) U $U$ 에서 경계 연속함수의 집합으로 한다 $U$ 접착이 항상 가능한 것은 아니기 때문에 이는 피복이 아니다. 예를 들어, U가_i x < i와 같은 x의 집합이 되게 하라. 아이덴티티 함수 f(x) = x는_i 각 U에 경계를 두고 있다. 결과적으로 우리는 U에_i 대한 섹션 s를_i 얻는다. 그러나, 함수 f는 실제 라인에 경계를 두지 않기 때문에 이 섹션들은 접착되지 않는다. 그 결과 F는 프리쉐이프지만, 셰이프는 아니다. 실제로 F는 연속기능의 피복의 하위처방이기 때문에 분리되어 있다.

복잡한 분석 공간 및 대수 기하학으로부터 동기를 부여한다.

피복에 대한 역사적 동기 중 하나는 복잡한 다지관,^[3] 복잡한 분석 기하학,^[4] 대수 기하학에서 계략 이론을 연구하는 데서 비롯되었다. 이는 이전의 모든 사례에서 우리는 위상학적 $공간$ X $X$ 과(와) 복합 다지관, 복합 분석 공간 또는 구성표의 구조를 제공하는 ${\mathcal {O}}$ 구조 쉐이프 ${\mathcal {O}}$ ${\$ 을 $X$ (를) 함께 고려하기 때문이다. 위상학적 공간을 피복과 동일시하는 이러한 관점은 국소 링 공간 이론(아래 참조)에 필수적이다.

복잡한 다지관의 기술적 과제

피복의 도입에 대한 주요한 역사적 동기 중 하나는 복잡한 다지관의 홀로모픽 기능을 추적하는 장치를 만드는 것이었다. 예를 들어, 콤팩트한 복합 $매니폴드$ X{\ $displaystyle$ X $}($ 복합 투영 공간 또는 동종 다항식의 소멸 위치)에서 유일한 홀로모르픽 함수

$\displaystyle f:X\to \mathbf {C} }$

상수함수다.^[5] This means there could exist two compact complex manifolds $X,X'$ which are not isomorphic, but nevertheless their ring of global holomorphic functions, denoted ${\mathcal {H}}(X),{\mathcal {H}}(X')$ , are isomorphic. Contrast this with smooth manifolds where every manifold $M$ can be embedded inside some $\mathbf {R} ^{N}$ , hence its ring of smooth functions $C^{\infty }(M)$ comes from restricting the smooth functions from ${\displaystyle C^{\$ $infty }(\mathbf {R} ^{N})}$ . Another complexity when considering the ring of holomorphic functions on a complex manifold $X$ is given a small enough open set $U\subset X$ , the holomorphic functions will be isomorphic to ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)\cong$ ${\mathcal {H}}(\mathbf {C} ^{n})}$ . Sheaves are a direct tool for dealing with this complexity since they make it possible to keep track of the holomorphic structure on the underlying topological space of $X$ on arbitrary open subsets $U\subset X$ . This means as $U$ becomes more complex topologically, the ring ${\mathcal {H}}(U)$ can be expressed from gluing the ${\mathcal {H}}(U_{i})$ . Note that sometimes this sheaf is denoted ${\mathcal {O}}(-)$ or just ${\mathcal {O}}$ , or even ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\$ 구조물이 연관된 공간을 강조하고자 할 때 ${\mathcal {O}}_{X}$ .

칼집을 이용한 서브매니폴드 추적

$Y\hookrightarrow X$ 하위 관리 Y $Y\hookrightarrow X$ aves $Y\hookrightarrow X$ ${\displaystyle$ Y $\hookrightarrow X}$ 을(를) 고려함으로써 쉐이브의 또 다른 일반적인 예를 구성할 수 있다 $Y\hookrightarrow X$ $연관$ 된 쉐이프 ${\mathcal {O}}_{Y}$ Y {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {O}{{}}}}{}$ 오픈 서브셋 $U\subset X$ $U\subset X$ $U\subset X$ $U\subset X$ 을 $U\subset X$ (를) 취하고 $\$ Y {\ $displaystyle$ U\cap $Y}$ 에 홀로모픽 함수의 링을 주는 $Y$ 이러한 종류의 s를 사용하여 교차로 이론을 구축할 수 있기 때문에 이러한 형식주의는 매우 강력하고 피복 코호몰로지 등 많은 동기를 부여하는 것으로 밝혀졌다 $U\cap Y$ 세레 교차로 공식에서 나온 무게

칼집을 이용한 작전

형태론

피복의 형태는 대략적으로 그들 사이의 기능과 유사하다. 추가 구조가 없는 집합 사이의 함수와는 대조적으로, 피복의 형태는 피복에 내재된 구조를 보존하는 함수들이다. 이 사상은 다음과 같은 정의에서 정확하게 만들어진다.

F와 G를 X에 두 조각으로 나누자. A morphism $\varphi :G\to F$ consists of a morphism $\varphi _{U}:G(U)\to F(U)$ for each open set $U$ of $X$ , subject to the condition that this morphism is compatible with restrictions. 즉, 오픈 세트 U의 모든 오픈 서브셋 V에 대해 다음 다이어그램은 상응한다.

{\begin{array}{rcl}G(U)&{{\xrightarrow {\quad \varphi _{U}}\{{V,U}{\Biggl \downarrow }&amp;{{{r_{Biggl \downarrow},}r,}r,},},},}},{v.U}\\\G(V)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{V}\quad }]{}}&F(V)\end{array}}}}}}

For example, taking the derivative gives a morphism of sheaves on R: ${\mathcal {O}}_{\mathbf {R} }^{n}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {R} }^{n-1}.$ Indeed, given an (n-times continuously differentiable) function ${\displaystyle f:$ $U\to \mathbf{R}}($ R에 U가 열려 있는 경우) 파생상품의 제한(더 작은 오픈 서브셋 V에 대한 제한)은 $f|_{V}$ $f|_{V}$ ${\$ f $_{V}$ 의 파생상품과 동일하다 $f|_{V}$

이러한 형태론의 개념으로, 고정된 위상학적 공간 X에 포개져 하나의 범주가 된다. 따라서 모노, 에피, 이소모형의 일반적인 범주형 개념은 피복에 적용될 수 있다. $\varphi$ U $\varphi$ 은(는) 각 $\varphi _{U}$ $\varphi _{U}$ ${\$ 이 $\varphi _{U}$ (가) 바이어싱(resp)인 경우에만 이소모르프(resp. monomorphism)이다 $\varphi$ . 주입 지도). Moreover, a morphism of sheaves $\varphi$ is an isomorphism if and only if there exists an open cover $\{U_{\alpha }\}$ such that $\varphi _{U_{\alpha }}$ are isomorphisms of sheaves for all $\alpha$ . This statement, which also는 단성형을 지지하지만 사전 예열을 지지하지 않는다. 이는 깎는 것이 지역적 본성의 또 다른 예다.

이에 상응하는 진술은 경구체(절단)에 대한 것이 아니며, 이들의 실패는 피복 코호몰로지(sheaf cohomology)에 의해 측정된다.

칼집의 줄기

${\mathcal {F}}_{x}$ ${\mathcal {F}}$ ${\$ $displaystyle {\$ $displaystyle {\mathcal {F}{$ x ${\mathcal {F}}_{x}$ }}의 스토브 F x {\mathcal $}_{x}}$ 은(는) sheaf의 특성을 캡처하여 기능의 ${\mathcal {F}}$ 세균을 일반화한다. 여기서, "주변"은 개념적으로 말하면, 포인트의 점점 더 작은 이웃을 보는 것을 의미한다. 물론, 어떤 동네도 충분히 작지 않을 것이기 때문에, 어떤 종류의 한도를 고려해야 한다. 좀 더 정확히 말하자면, 줄기는

{\mathcal {F}_{x}=\varinjlim_{U\ni x}{\mathcal {F}(U),

주어진 점 x를 포함하는 X의 모든 열린 하위 집합에 대한 직접 한계 즉, 줄기의 한 요소는 x의 일부 개방된 동네에 걸쳐 있는 구역에 의해 주어지며, 두 개의 그러한 구역은 그들의 제한이 더 작은 동네에 동의한다면 동등한 것으로 간주된다.

자연 형태론 F(U) → F_x(U)의 s 부분을 x의 세균에 가져간다. 이것은 세균의 통상적인 정의를 일반화한다.

많은 상황에서, 칼집의 줄기를 아는 것은 칼집 자체를 통제하기에 충분하다. 예를 들어, 피복의 형태론이 단형주의인지, 인식주의인지, 이형주의인지를 줄기에서 시험할 수 있다. 이런 의미에서 피복은 지방 데이터인 줄기에 의해 결정된다. 대조적으로, 한 단면, 즉 글로벌 단면, 즉 전체 공간 X의 ${\mathcal {F}}(X)$ 섹션 ${\mathcal {F}}(X)$ ( $){\displaystyle {\mathcal{F}(X)$ 는 일반적으로 더 적은 정보를 전달한다. 예를 들어, 콤팩트한 복합 다지관 X의 경우, 홀모픽 함수의 전지구 단면은 어떤 홀모픽 함수가 있기 때문에 C에 불과하다.

\displaystyle X\to \mathbf {C} }

리우빌의 정리로는 일정하다.^[5]

프리슈프를 쉬프로 만들기

프리슈프에 들어 있는 데이터를 가져다가 피복으로 표현하는 것이 유용할 때가 많다. 이것을 할 수 있는 가장 좋은 방법이 있다는 것이 밝혀졌다. 그것은 프리셰프 F를 필요로 하고 프리셰프 F와 연관된 피복 또는 피복이라고 불리는 새로운 피복 AF를 생산한다. 예를 들어 상수 프리슈프(위 참조)의 셰이프화를 상수 셰이프라고 한다. 그것의 이름에도 불구하고, 그것의 부분들은 지역적으로 일정한 기능이다.

sheaf aF는 F의 에탈레 공간, 즉 지도 부분의 sheaf를 사용하여 구성할 수 있다.

\mathrm {Spe}(F)\to X.

피복 aF의 또 다른 구조는 사전 피복에서 점차적으로 사전 피복의 특성을 개선하는 사전 피복까지 피복자 L을 통해 진행된다. 즉, 모든 피복의 경우, LF는 분리된 사전 피복이고, 그리고 분리된 피복의 경우, LF는 피복이다. 관련 피복 aF는 LLF에 의해 주어진다.^[6]

The idea that the sheaf aF is the best possible approximation to F by a sheaf is made precise using the following universal property: there is a natural morphism of presheaves $i\colon F\to aF$ so that for any sheaf G and any morphism of presheaves $f\colon F\to G$ , there is a unique morphism of sheaves ${\tilde {f}}\colon aF\rightarrow G$ such that $f={\tilde {f}}i$ . In fact a is the left adjoint functor to the inclusion functor (or forgetful functor) from the category of sheaves to the category of presheaves, and i is the unit of the adjunction. 이렇게 해서 피복의 범주는 프리셰브의 지라우 하위 범주로 변한다. 이러한 범주적 상황은 피복 펑터가 피복 형태론이나 피복의 텐서 생산물의 코커넬을 만들 때 나타나는 이유지만, 알맹이를 위한 것은 아니라고 말한다.

서브 셰이브, 지수 셰이브

If K is a subsheaf of a sheaf F of abelian groups, then the quotient sheaf Q is the sheaf associated to the presheaf $U\mapsto F(U)/K(U)$ ; in other words, the quotient sheaf fits into an exact sequence of sheaves of abelian groups;

0\to K\to F\to Q\to 0.}

(이것을 칼집 확장이라고도 한다.)

F, G를 아벨 그룹 무리로 하자. F에서 G까지의 셰이브 형태론의 $\operatorname {Hom} (F,G)$ 홈 $\operatorname {Hom} (F,G)$ ( $\operatorname {Hom} (F,G)$ , G $\operatorname {Hom} (F,G)$ ) $\operatorname {Hom} (F,G)$ 은(G의 아벨 그룹 구조에 의해) 아벨 그룹을 형성한다. F와 G의 피복 홈은,

{\mathcal {Hom}(F,G)

is the sheaf of abelian groups $U\mapsto \operatorname {Hom} (F _{U},G _{U})$ where $F _{U}$ is the sheaf on U given by $(F _{U})(V)=F(V)$ (Note sheafification is not needed here). The direct sum of F and G is the sheaf given by $U\mapsto F(U)\oplus G(U)$ , and the tensor product of F and G is the sheaf associated to the presheaf $U\mapsto F(U)\otimes G(U)$ .

이러한 모든 작업은 A 링 한 무더기를 통해 모듈 한 무더기로 확장된다. 위의 경우는 A가 상수 쉐이프 ${\underline {\mathbf {Z} }}$ ${\underline {\mathbf {Z} }}$ ${\$ 일 때 특별하다 ${\underline {\mathbf {Z} }}$

기본 교감성

a(사전)쉘의 데이터는 기지 공간의 열린 하위 집합에 따라 달라지기 때문에 서로 다른 위상학적 공간에 얹어 놓는 것은 그들 사이에 어떤 형태도 존재하지 않는다는 점에서 서로 관련이 없다. 단, 두 위상학 공간 사이에 연속 지도 f : X → Y가 주어진다면, 푸시포워드 및 풀백은 X의 피복과 Y의 피복과 관련된다.

직접 이미지

X의 ${\mathcal {F}}$ sheaf ${\mathcal {F}}$ ${\$ 의 푸시포워드 $($ 직접 영상이라고도 함)는 다음에 의해 정의된 sheaf이다.

(f_{*}{\mathcal{F})(V)={\mathcal{F}(f^{-1})(V))

여기서 V는 Y의 개방된 부분집합이므로 그 프리이미지가 f의 연속성에 의해 X로 개방된다. 이 건축은 위에서 언급한 $S_{x}$ 고층 건물 $S_{x}$ $S_{x}$ ${\$ 스타일 $S_{x}}$ 를 복구한다.

S_{x}=i_{*}(S)

$i:\{x\}\to X$ 서 $i:\{x\}\to X$ : $i:\{x\}\to X$ { $i:\{x\}\to X$ $i:\{x\}\to X$ → X ${\displaystyle$ i $:\{x\}\to X}$ 가 $i:\{x\}\to X$ 포함되며, S는 싱글톤( $S$ ( { $S(\{*\})=S,S(\emptyset )=\emptyset$ ) $S(\{*\})=S,S(\emptyset )=\emptyset$ = $,$ S $({*\})$ = $S,S(\emptyeset$ ) $=\empt$

로컬 컴팩트 공간 사이의 맵의 경우 컴팩트하게 지원되는 다이렉트 이미지는 다이렉트 이미지의 하위 셰이프다.^[7] 정의에 따라 $(f_{!}{\mathcal {F}})(V)$ ( $(f_{!}{\mathcal {F}})(V)$ ! $(f_{!}{\mathcal {F}})(V)$ ) $(f_{!}{\mathcal {F}})(V)$ ( $(f_{!}{\mathcal {F}})(V)$ $(f_{!}{\mathcal {F}})(V)$ ${\displaystyle (f_{!$ $}}{\mathcal{F}(V)}}$ 은(는) V에 대한 적절한 지도가 지원되는 $f\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(V))$ f $f\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(V))$ f $f\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(V))$ $f\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(V))$ $f\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(V))$ ( $f\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(V))$ ) ${\displaystyle f\in$ {\ $mathcal {F}(f^{-1(V))})$ 로 구성된다 $(f_{!}{\mathcal {F}})(V)$ . f 자체가 적절하다면 $f_{!}{\mathcal {F}}=f_{*}{\mathcal {F}}$ $f_{!}{\mathcal {F}}=f_{*}{\mathcal {F}}$ = $f_{!}{\mathcal {F}}=f_{*}{\mathcal {F}}$ $f_{!}{\mathcal {F}}=f_{*}{\mathcal {F}}$ F ${\$ $}}{\mathcal{F}=f_{*}{\mathcal{F$ 그러나 일반적으로 동의하지 않는다.

역 이미지

풀백 또는 역방향 이미지는 반대로, X에서 피복( $f^{-1}{\mathcal {G}}$ - $f^{-1}{\mathcal {G}}$ $f^{-1}{\mathcal {G}}$ ${\$ 을 생성하며, Y의 ${\mathcal {G}}$ 피복(pheaf) ${\mathcal {G}}$ ${\$ 중에서 $f^{-1}{\mathcal {G}}$ f $f^{-1}{\mathcal {G}}$ - 1 G {\displaystystycal}로 표시된다. f가 오픈 서브셋을 포함하는 것이라면 역 영상은 제한에 불과하다. 즉 $(f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)$ X에서 오픈 U에 대해 $(f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)$ ( $(f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)$ - $(f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)$ G $(f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)$ ) $(f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)$ ( $(f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)$ ) $(f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)$ = $(f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)$ ( U $){\displaystyle (f^{-1}{\mathcal{G})={\mathcal{G}}}(U)$ 로 주어진다. 일부 오픈 서브셋 $U_{i}$ $U_{i}$ ${\$ $displaystyle X=\bigcup _{i}}$ 에 $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ 의해 X = $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ i $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ U $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ ${\$ $displaystyle$ X=\ $bigcup$ $_{i}}}$ 이 $U_{i}$ (가) 열려 있는 모든 서브셋에 대한 F의 제한이 일정하게 되면 로컬 상수라고 한다. 넓은 범위의 위상학적 공간 X, 그러한 덮개는 기본 그룹 $\pi _{1}(X)$ $\pi _{1}(X)$ ( $){\displaystyle \pi _{1}(X)}$ 의 표현과 동일하다 $\pi _{1}(X)$

일반 지도 f의 경우, $f^{-1}{\mathcal {G}}$ - $f^{-1}{\mathcal {G}}$ G ${\$ f^{- $1}{\mathcal{G}}$ 의 정의가 더 관여하며 $f^{-1}{\mathcal {G}}$ , 역 이미지 펑터에 자세히 설명되어 있다. 줄기는 자연적인 식별을 고려하여 풀백의 필수 특수 케이스로, 여기서 나는 다음과 같다.

{\mathcal {G}_{x}=i^{-1}{\mathcal {G}(\{x\}).

보다 일반적으로 줄기는 $(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}$ ( $(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}$ - $(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}$ $(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}$ ) x $(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}$ = $(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}$ f $(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}$ ( x $){\$

0으로 확장

$j:U\to X$ $j:U\to X$ $j:U\to X$ → X ${\displaystyle j:$ 개방형 서브셋의 $j:U\to X$ $U\to X},$ U에 있는 아벨 그룹 0의 확장은 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle (j_{!

}{\mathcal{F})(V)={\mathcal {F}(

V)가

(j_{!}{\mathcal {F}})(V)={\mathcal {F}}(V)

V\subset U

⊂

V\subset U

U

V\subset U

및

(j_{!}{\mathcal {F}})(V)=0

(j

V\subset U

(j_{!}{\mathcal {F}})(V)=0

)가

(j_{!}{\mathcal {F}})(V)=0

=

(j_{!}{\mathcal {F}})(V)=0

0

{\displaystyle(j_{!)

이면 {\mathcal {F}}}}}(

V)}).

}{\mathcal{F})(V)=0}

그렇지 않으면

(j_{!}{\mathcal {F}})(V)=0

.

X에 있는 ${\mathcal {G}}$ sheaf ${\mathcal {G}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {G}$ 의 경우, $i_{*}$ 구성은 i $i_{*}$ {\ $displaystyle$ i_ $i_{*}$ 와 보완되는 개념이며, 여기서 $i$ ${\displaystyle$ i $}$ 은 U:의 보완을 포함한다 $i$ .

(j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}

(j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}

!

(j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}

G )

(j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}

=

(j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}

x

(j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}

{\

displaystyle (j_{!}j^{*}{\mathcal{G}}}}_{x}={\mathcal{G

}}}}={\mathcal

}_{x})

U에서는

(j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}

줄기가 0인 반면,

(i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0

∗

(i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0

(i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0

(i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0

)

(i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0

=

(i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0

(i_{*}i^{*}{\mathcal{G}})_{x}=0

이(가) U에서 x에

(i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0

해당되며, 그렇지

{\mathcal {G}}_{x}

않으면 G

{\mathcal {G}}_{x}

{\

과 같다.

따라서 이러한 functors는 X에 대한 피복이론적 질문을 층화 단계, 즉 X를 더 작고 국소적으로 닫힌 하위 집합으로 분해하는 것으로 줄이는 데 유용하다.

보완

좀 더 일반적인 범주에 넣다.

위에서 소개한 (사전)쉬브 ${\mathcal {F}}(U)$ 에, ${\mathcal {F}}(U)$ F ( $){\displaystyle$ {\ $mathcal{F}(U)}$ 는 ${\mathcal {F}}(U)$ 단지 세트일 뿐이며, 많은 경우에 이러한 섹션의 추가 구조를 추적하는 것이 중요하다. 예를 들어, 연속함수의 피복 부분들은 자연적으로 실제 벡터 공간을 형성하며, 제한은 이러한 벡터 공간들 사이의 선형 지도다.

임의 범주 C의 값을 갖는 사전 절단은 먼저 X의 오픈 세트 범주를 개체가 X의 오픈 세트인 Posetal 범주 O(X)로 간주하여 정의된다. O(X)의 개체는 X의 오픈 세트이고 형태는 포함이다. 그러면 X에 대한 C 값 프리슈프는 O(X)에서 C까지의 역행성 펑터와 같다. 자연 변형이라고도 하는 이 범주의 펑거(functors)의 형태론은 정의를 풀어서 알 수 있듯이 위에서 정의한 형태와 동일하다.

대상 범주 C가 모든 한계를 인정하는 경우, 다음 도표가 모든 $개방형$ ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ U ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ = ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ { ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ I ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ ${\displaystyle {U}=\{U_{i}\{i}\{$ $i$ \ $in$ I $}}$ 에 ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ 대한 동일자일 경우 C 값 프리셰프는 피복이 된다 $U$

F(U)\rightarrow \prod_{i_{i}{{{}{{}}{{}}\prod_{i_{i}\cap U_{j}}}}} \op \longrightarrow }}\op \longrightarrow \crow \p \p}}}}}\p \p \cap.

여기 첫 번째 지도가 제한 지도의 산물이다.

\operatorname {res} _{U_{i}U}\colon F(U)\오른쪽 화살표 F(U_{i})

화살표 쌍은 두 가지 제한 사항의 제품이다.

\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j}}}U_{i}}\colon F(U_{i}\cap U_{j})

그리고

\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}\colon F(U_{j})\오른쪽 화살표 F(U_{i}\cap U_{j}).

C가 아벨 범주인 경우, 이 조건도 정확한 순서가 있어야 한다.

0\to F(U)\to \prod _{i}F(U_{i})\xrightarrow {\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}-\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}} \prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).

U가 빈 집합이고 색인 집합 I 또한 비어 있는 경우 이러한 피복 상태의 특정 사례가 발생한다. 이 경우 피복조건은 C에서 F ( ${\mathcal {F}}(\emptyset )$ object ${\mathcal {F}}(\emptyset )$ ) ${\mathcal {F}(\emptyet )$ 이(가) 단자 객체여야 한다 ${\mathcal {F}}(\emptyset )$ .

링이 달린 공간 및 모듈 덩어리

대수기하학, 미분기하학 등 몇 가지 기하학 분야에서는 공간은 자연적인 고리의 층과 함께 오는데, ${\mathcal {O}}_{X}$ OX ${\$ 라고 하며 ${\mathcal {O}}_{X}$ 이러한 ${\mathcal {O}}_{X}$ ( $X$ , $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ) ${\displaystystyle$ ( $X,$ {O} $_{X})$ 을 스파링이라고 한다 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ .ce. 많은 유형의 공간은 특정 유형의 링된 공간으로 정의될 수 있다. 일반적으로 구조용 피복의 모든 ${\mathcal {O}}_{X,x}$ 줄기 ${\mathcal {O}}_{X,x}$ ${\mathcal {O}}_{X,x}$ , ${\mathcal {O}}_{X,x}$ ${\$ 는 국부적인 링이며, 이 경우 쌍을 국부적인 링 공간이라고 한다.

예를 들어, n차원 C^k 다지관 M은 M의 오픈 서브셋에서 C $C^{k}$ ${\$ C $^{k}}-$ 기능으로 $C^{k}$ 구성된 국소 링 공간이다. 국부적으로 링된 공간이라는 특성은 x의 한 지점에서 0이 아닌 그러한 기능도 x의 충분히 작은 개방된 근방에서 0이 아니라는 사실로 해석된다. 일부 저자들은 실제로 실제(또는 복잡한) 다지관은 국부적으로 링된 공간의 일부분열로 구성된 쌍에 국부적으로 이형화된 공간이라고 정의한다. $\mathbf {R} ^{n}$ $\mathbf {R} ^{n}$ ${\$ resp). $\mathbf {C} ^{n}$ $\mathbf {C} ^{n}$ ${\$ 과(와) C의^k 피복(resp)과 함께. 홀모픽) 함수.^[8] 마찬가지로, 대수 기하학에서 공간의 기초 개념인 체계들은 국소적으로 링의 스펙트럼에 이형화된 국소적으로 링된 공간이다.

Given a ringed space, a sheaf of modules is a sheaf ${\mathcal {M}}$ such that on every open set U of X, ${\mathcal {M}}(U)$ is an ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ -module and for every inclusion of open sets V ⊆ U, the restriction map ${\mathcal {M}}(U)\to {\mathcal {M}}(V)$ ${\mathcal {M}}(U)\to {\mathcal {M}}(V)$ ) ${\mathcal {M}(U)\to {\mathcal{M}(V)$ 제한 지도 ${\mathcal {M}}(U)\to {\mathcal {M}}(V)$ O(U) → O(V) : fs 제한은 O(U) 및 F(U)의 f배수 제한이다.

가장 중요한 기하학적 물체는 모듈 덩어리들이다. 예를 들어, 벡터 번들과 국소적으로 무료인 ${\$ modules의 ${\mathcal {O}}_{X}$ 1:1 대응성이 있다. 이 패러다임은 대수 기하학의 실제 벡터 번들, 복잡한 벡터 번들 또는 벡터 번들( ${\mathcal {O}}$ 서 ${\mathcal {O}}$ O ${\$ 에 적용된다. 미분방정식에 대한 용액의 집합은 D-modules, 즉 미분방정식의 피복 위에 있는 모듈이다. 위상학적 공간에서 상수 피복 ${\underline {\mathbf {Z} }}$ ${\underline {\mathbf {Z} }}$ ${\$ { $Z}}}}$ 위에 있는 모듈은 위의 의미에서는 아벨리안 그룹의 피복과 동일하다 ${\underline {\mathbf {Z} }}$ .

링 덩어리 위에 모듈 덩어리에는 다른 역 이미지 펑터가 있다. 이 functor는 보통 $∗{\$ f $^{*}}}$ 로 표시되며 $f^{*}$ $f^{-1}$ - 1 ${\$ 와는 구별된다 $f^{-1}$ 역 이미지 functor를 참조하십시오.

모듈 조각의 정밀도 조건

모듈 오버 정류 링에 대한 정밀도 조건은 모듈 조각에 대해 유사한 정밀도 조건을 발생시킨다. ${\mathcal {M}}$ is called finitely generated (resp. finitely presented) if, for every point x of X, there exists an open neighborhood U of x, a natural number n (possibly depending on U), and a surjective morphism of sheaves ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n} _{U}\to$ ${\mathcal {M}} _{U}}$ (respectively, in addition a natural number m, and an exact sequence ${\mathcal {O}}_{X}^{m} _{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{n} _{U}\to {\mathcal {M}} _{U}\to 0$ .) Paralleling the notion of a coherent module, ${\displayst$ $yle {\mathcal {M}}}$ is called a coherent sheaf if it is of finite type and if, for every open set U and every morphism of sheaves $\phi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}\to {\mathcal {M}}$ (not necessarily surjective), the kernel of φ is of finite type. ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\$ 스스로 모듈로서 일관성이 있다면 ${\mathcal {O}}_{X}$ 일관성이 있다. 모듈처럼 일관성은 일반적으로 유한 표시보다 엄격히 강한 조건이다. 오카 일관성 정리는 복합 다지관에 있는 홀로모르픽 함수의 층이 일관성이 있다고 기술하고 있다.

칼집의 에탈레 공간

위의 예에서 일부 단면은 단면적으로 단면적으로 발생한다는 점에 주목하였다. 사실, 모든 집합은 대략 "확대"를 의미하는 프랑스어 단어 에탈레[에탈레]로부터 에탈레 공간이라고 불리는 위상적 공간의 한 조각으로 표현될 수 있다. If $F\in {\text{Sh}}(X)$ is a sheaf over $X$ , then the étalé space of $F$ is a topological space $E$ together with a local homeomorphism ${\displaystyle \pi :$ $E\to X}$ such that the sheaf of sections $\Gamma (\pi ,-)$ of $\pi$ is $F$ . The space $E$ is usually very strange, and even if the sheaf $F$ arises from a natural topological situation, $E$ may 명확한 위상학적 해석을 가지고 있지 않다. 예를 들어, $F$ $F$ 이 $F$ (가) 연속 함수 $f:Y\to X$ : $f:Y\to X$ → X ${\displaystyle f:$ $E=Y$ $to X$ 그러면 E = Y {\ $displaystyle E=Y}$ $f$ f ${\displaystyle$ f $}$ 이 $f$ (가) 로컬 동형상일 경우에만 $E=Y$ 된다.

The étalé space $E$ is constructed from the stalks of $F$ over $X$ . As a set, it is their disjoint union and $\pi$ is the obvious map that takes the value $x$ on the stalk of $F$ over ${\display$ $스타일 x\in X$ $E$ $E$ 의 토폴로지는 다음과 같이 정의된다 $E$ . 각 $s\in F(U)$ 의 $s\in F(U)$ $s\in F(U)$ ( $s\in F(U)$ $s\in F(U)$ 및 각 $s\in F(U)$ $x\in U$ $[s]_{x}$ $x\in U$ ${\displaystyle x$ $}$ 에 $s$ $대해$ $s$ $x$ $displaystyle s}$ 의 배아( $[s]_{x}$ $)$ 가 $[s]_{x}$ x ${\$ $displaystyle$ [ $s]{$ $x$ $}$ $s_{x}$ $s_{x}$ ${\$ 로 표시된다. These germs determine points of $E$ . For any $U$ and $s\in F(U)$ , the union of these points (for all $x\in U$ ) is declared to be open in $E$ . Notice that each stalk has the discrete topology as subspace topology. 피복 사이의 두 가지 형태는 투영 지도와 호환되는 해당 에탈레 공간의 연속 지도를 결정한다(모든 세균이 같은 지점에 걸쳐 세균에 매핑된다는 의미). 이것이 그 건축을 방조자가 되게 한다.

위의 구조는 $X$ $X$ 에 있는 세트 조각의 범주와 $X$ $X$ $X$ 에 대한 에탈레 공간 범주 사이의 범주의 동등성을 결정한다 $X$ 에탈레 공간의 구조는 프리쉐프에도 적용할 수 있으며, 이 경우 에탈레 공간의 섹션이 주어진 프리쉐프와 연결된 피복을 회수한다.

이 구조는 위상학적 공간의 특정 범주에서 모든 피복체를 대표할 수 있는 functor로 만든다. 위와 같이 $F$ $X$ 에서 F {\displaystyle $F}$ 을(를) 쉬프로 $F$ $X$ E $E$ 을 $E$ (를) 에탈레 공간으로, $\pi :E\to X$ : $\pi :E\to X$ → X ${\displaystyle \pi$ : $E\to X}$ 는 $\pi:E \to X$ 자연 투영법이다. ${\text{Top}}/X$ / X ${\displaystyle {\text{$ $X$ $X$ 위에 있는 위상학적 공간의 $상위$ $X$ 즉 위상학적 공간의 범주 및 $X$ $X$ 에 대한 고정 연속 맵. $X$ 이 범주의 모든 개체는 연속 맵 $f:Y\to X$ : $f:Y\to X$ → X ${\displaystyle f:$ $Y\to X}$ , $Y\to X$ Y → X → $Y\to X$ → X → $Z\to X$ → $Z\to X$ → X → X $}$ 까지의 형태론(Morphism)은 $Z\to X$ 연속 지도 $Y\to Z$ → $Y\to Z$ → Z $Y\to Z$ 이며 $X$ 두 $X$ 를 X ${\displaysty X}$ 에 통용하는 $Y\to Z$ Functor가 있다.

$\Gamma :{\text{상단}/X\to {\text{세트}$

객체 $f:Y\to X$ : $f:Y\to X$ → X ${\displaystyle f:$ $Y\to X}$ 에서 $f:Y\to X$ $f^{-1}F(Y)$ - 1 $f^{-1}F(Y)$ 까지 ${\displaystyle$ f $^{-1}F(Y$ 예를 들어 $i:U\hookrightarrow X$ $i:U\hookrightarrow X$ $i:U\hookrightarrow X$ X ${\displaystyle$ i $:$ $U\hookrightarrow X}$ 은 $i:U\hookrightarrow X$ (는) 열린 하위 집합의 포함이며,

$\감마(i)=f^{-1}F(U)=F(U)=\감마(F,U)$

점 $i:\{x\}\hookrightarrow X$ 를 포함하는 경우 $i:\{x\}\hookrightarrow X$ { $i:\{x\}\hookrightarrow X$ $i:\{x\}\hookrightarrow X$ $i:\{x\}\hookrightarrow X$ $i:\{x\}\hookrightarrow X$ ${\displaystyle i:\{x\}\hookrightarrow$ X $i:\{x\}\hookrightarrow X$ 그러면

$\감마(i)=f^{-1}F(\{x\})=F _{x}}$

$x$ $x$ 에서 $F$ F $F$ 의 줄기다 $x$ 자연 이형성이 있다.

$(f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )$ - 1 $(f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )$ ) $(f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )$ ( Y $(f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )$ ) $(f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )$ $(f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )$ $(f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )$ $(f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )$ $(f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )$ / X $(f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )$ ( $(f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )$ , $(f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )$ ) $(f^-11}F(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )$ , $(f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )$ ,

$\pi :E\to X$ : $\pi :E\to X$ → X ${\displaystyle \pi$ : $E\to X}($ 에탈레 공간의 경우)은 펑터 $\Gamma$ 를 나타낸다 $\Gamma$

$E$ $E$ 은(는) 투영 맵 $\pi$ $\pi$ 이(가) 커버 맵이 되도록 $\pi$ 구성된다 $E$ . 대수 기하학에서는 커버 맵의 자연 아날로그를 에테일 형태론이라고 한다. "에탈레"와 유사함에도 불구하고, 에탈[에탈]이라는 단어는 프랑스어로 다른 의미를 가지고 있다. $\pi$ $E$ 을(를) 하나의 체계로 $E$ , $\pi$ ${\$ $displaystyle \pi$ $\pi$ $}$ 을(를) 동일한 보편적 속성을 유지하는 $\pi$ 방식으로 구성의 형태론으로 바꾸는 $\pi$ 것이 가능하지만, $\pi$ ${\displaysty \pi }$ 은(를) 준-완성이 아니기 때문에 일반적으로 étaltaltaltaltaltaltal 형태주의가 아니다 $\pi$ . 그러나 그것은 형식적으로는 에테일이다.

에탈레 공간의 셰이브 정의는 앞서 기사에서 주어진 정의보다 오래된 것이다. 수학 분석과 같은 수학의 일부 영역에서는 여전히 흔하다.

셰이프 코호몰로지

오픈 세트 U가 고정되어 있고, sheaf가 변수로 간주되는 맥락에서, 세트 F(U)도 종종 $\Gamma (U,F).$ $\Gamma (U,F).$ , F $\Gamma (U,F).$ ) $\Gamma (U,F).$ . ${\displaystyle \감마$ ( $U,F)$ 로 표기된다 $.$ $}$

위에서 지적했듯이, 이 방광자는 경각심을 보존하지 않는다. Instead, an epimorphism of sheaves ${\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ is a map with the following property: for any section $g\in {\mathcal {G}}(U)$ there is a covering ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ where

$U=\빅컵 _{i\in I}U_{i}}$

of open subsets, such that the restriction $g _{U_{i}}$ are in the image of ${\mathcal {F}}(U_{i})$ . However, g itself need not be in the image of ${\mathcal {F}}(U)$ . A concrete example of this phenomenon is the exponential map

{\mathcal{O}{\stackrel {\exp }{\}{\mathcal{O}^{\time}}}}}}

단형 함수의 층과 0이 아닌 단형 함수의 층 사이에. 이 지도는 경구형이며, 즉, g를 적절한 개방형 하위 집합으로 제한한 후 (C의 일부 개방된 부분 집합에서) 0이 아닌 홀모형 함수 g는 국소적으로 복잡한 로그(Logarithm)를 허용한다고 말하는 것에 해당한다. 그러나 g는 세계적으로 로그인을 가질 필요는 없다.

셰이프 코호몰로지에서는 이 현상을 포착한다. 더 정확히 말하자면, 아벨 그룹들의 정확한 순서를 위해.

0\to {\mathcal {F}_{1}\to {\mathcal {F}_{2}\to 0,

(즉, 경구체 ${\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}$ ${\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}$ → ${\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}$ ${\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}$ ${\$ {\ $f}$ _{2 $}\to {\mathcal{F}_{3})$ 커널이 ${\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}$ F ${\mathcal {F}}_{1}$ ${\$ { $F}_{$ 1}인 경우, ${\mathcal {F}}_{1}$ 정확한 순서가 길다.

0\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{1})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{2})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{2})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{2}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to \dots

By means of this sequence, the first cohomology group

H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})

is a measure for the non-surjectivity of the map between sections of

{\mathcal {F}}_{2}

and

{\mathcal {F}}_{3}

.

피복 코호몰로지 구축에는 몇 가지 다른 방법이 있다. Grotendieck(1957)는 ology{\ $displaystyle \Gamma }$ 의 파생 펑터로서 피복 코호몰리를 정의하여 도입하였다 $\Gamma$ 이 방법은 이론적으로는 만족스럽지만 주입 분해능에 기초하고 있으므로 콘크리트 계산에는 거의 쓸모가 없다. 정부 결의안은 또 다른 일반적이지만 사실상 접근하기 어려운 접근법이다.

컴퓨터 피복 코호몰로지

특히 다지관 피복의 맥락에서 피복 코호몰리학은 부드러운 피복, 고운 피복, 그리고 피복 피복(피복이라는 뜻의 프랑스 플라스크 피복이라고도 한다)의 해상도를 이용하여 계산할 수 있는 경우가 많다. 예를 들어, 단일성 원칙의 분할은 다지관의 부드러운 기능의 층이 부드럽다는 것을 보여준다. $i>0$ > ${\displaystyle$ i > 0{\displaystyle $i$ $>0}$ 에 $H^{i}(U,{\mathcal {F}})$ 대한 상위 공동 호몰로지 그룹 $H^{i}(U,{\mathcal {F}})$ ( $H^{i}(U,{\mathcal {F}})$ , $H^{i}(U,{\mathcal {F}})$ ) ${\$ displaystyle H $^{\mathcal{F}}}}$ 은( $U,{\$ mathcal {F $})$ 가 사라지며 $i>0$ , 이는 다른 호몰의 공동 호몰리를 계산하는 방법을 제공한다. 예를 들어, de Rham 콤플렉스는 모든 매끄러운 다지관의 ${\underline {\mathbf {R} }}$ 상수 피복 ${\underline {\mathbf {R} }}$ ${\underline {\mathbf {R} }}$ ${\$ 의 분해능이므로, ${\underline {\mathbf {R} }}$ ${\underline {\mathbf {R} }}$ ${\$ 의 피복합체는 그 피복법과 같다 ${\underline {\mathbf {R} }}$ .

다른 접근법은 체흐 코호몰로지(Chech cohomology)에 의해 이루어진다. 체흐 코호몰로지(chech cohomology)는 셰이브를 위해 개발된 최초의 코호몰로지 이론으로 복합 투영 공간 $\mathbb {P} ^{n}$ ${\$ 의 일관성 있는 피복형 코호몰리지를 계산하는 등 구체적인 계산에 적합하다 $\mathbb {P} ^{n}$ ^[9] 공간의 오픈 서브셋에 관한 섹션을 공간의 코호몰로지 클래스에 연계한다. 대부분의 경우, Chech cohomology는 파생된 functor cohomology와 동일한 cohomology 그룹을 계산한다. 그러나 일부 병리학적 공간에 대해서는 체흐 코호몰로지에서는 H $H^{1}$ {\displaystyle H $^{$ 1}은(는) 정확한 H 1 ${\$ H^{1}은 $H^{1}$ $($ 는) 주지만 잘못된 상위 코호몰로지 그룹을 제공할 것이다. 이를 극복하기 위해 장 루이 베르디에는 하이퍼커버링을 개발했다. 하이퍼커버링은 정확한 상위 코호몰로지 그룹을 제공할 뿐만 아니라 위에서 언급한 오픈 서브셋을 다른 공간의 특정 형태에 의해 대체하도록 한다. 이러한 유연성은 피에르 들랭의 혼합된 호지 구조의 구축과 같은 일부 용도에 필요하다.

많은 다른 일관성 있는 피복 공동 호몰로지 그룹은 $공간$ X ${\displaystyle i$ $:X\hookrightarrow$ Y $}$ 을 $i:X\hookrightarrow Y$ (를) $\mathbb {P} ^{n}$ ${\$ ^ $n}$ 와 같이 알려진 공동 호몰로지 공간을 포함하거나 $X$ 일부 가중 투영 공간을 사용하여 발견된다. In this way, the known sheaf cohomology groups on these ambient spaces can be related to the sheaves $i_{*}{\mathcal {F}}$ , giving $H^{i}(Y,i_{*}{\mathcal {F}})\cong H^{i}(X,{\mathcal {F}})$ . For example, computing the coherent sheaf coh투영 평면 곡선의 형태는 쉽게 찾을 수 있다. 이 공간에서 한 가지 큰 정리는 델랭에 의해 증명된 피복 코호몰로지 그룹과 연관된 스펙트럼 시퀀스를 이용하여 발견된 호지 분해다.^[10]^[11] 기본적으로 E $E_{1}$ ${\$ }-페이지 $($ 용어 포함)

$E_{1}^{p,q}=H^{p}(X,\Oomega _{X}^{q}})$

부드러운 투영 버라이어티 $X$ {\ $displaystyle$ X $}$ 의 피복 공동 호몰로지 $E_{1}=E_{\infty }$ $E_{1}=E_{\infty }$ = $E_{1}=E_{\infty }$ $E_{1}=E_{\infty }$ ${\$ $E_{1}=E_{\infty }$ 이것은 공호학 그룹 $H^{k}(X,\mathbb {C} )$ $H^{k}(X,\mathbb {C} )$ ( $H^{k}(X,\mathbb {C} )$ , C ) ${\displaystyle H^{k}(X,\mathb$ { $C})}$ 에 표준 Hodge 구조를 제공한다 $H^{k}(X,\mathbb {C} )$ 나중에 이러한 공동유동학 그룹은 그리피스 잔여물을 사용하여 쉽게 명시적으로 계산할 수 있다는 것이 밝혀졌다. 제이콥의 이상을 보라. 이러한 종류의 이론들은 대수적 품종의 코호몰리에 관한 가장 깊은 이론들 중 하나인 분해 정리로 이어져 혼합 호지 모듈의 길을 열어준다.

일부 동종학 집단의 계산에 대한 또 다른 깨끗한 접근방식은 보렐-보트-와일 정리인데, 이것은 Lie 집단의 해석 불가능한 표현으로 국기 다지관에 있는 일부 선다발의 동종학 집단을 식별한다. 예를 들어, 이 정리는 투영 공간과 그래스만 다지관의 모든 선다발들의 코호몰로지 그룹을 쉽게 계산하기 위해 사용될 수 있다.

푸앵카레 이원화를 일반화하는 셰이브에 대한 이중성 이론이 있는 경우가 많다. Grotendieck 이중성과 Verdier 이중성을 참조하십시오.

피복의 파생 범주

여기서 $D(X)$ ( $D(X)$ ) ${\displaystyle D(X$ 로 표시된 일부 공간 X의 아벨리아 그룹들의 집합 범주의 파생 범주는 다음과 같은 관계로 인해 피복 공동체의 개념적 안식처다.

H^{n}(X,{\mathcal {F})=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z},{\mathcal {F}[n]).

$f_{*}$ - $f^{-1}$ ${\$ f $^{-1}$ 의 접합 부분인 $f^{-1}$ f - 1 ${\$ 이미 아벨리아 그룹의 단위에 있음)은 접합 부분을 발생시킨다.

{\

Rf_{*}}

f^{-1}:D(Y)\rightleftarrows D(X):Rf_{*}

(

f:X\to Y

:

f:X\to Y

→ Y

{\displaystyle f:X\to Y}),

여기서 $Rf_{*}$ $∗{\$ 은 $Rf_{*}$ (는) 파생 펑터다. This latter functor encompasses the notion of sheaf cohomology since $H^{n}(X,{\mathcal {F}})=R^{n}f_{*}{\mathcal {F}}$ for $f:X\to \{*\}$ .

$∗{\$ 와 같이 $f_{*}$ 콤팩트 서포트 $f_{!}$ ${\$ $}}}$ 도 파생할 수 있다 $f_{!}$ . $Rf_{!}F$ 과 같은 이형성 $Rf_{!}F$ $Rf_{!}F$ F ${\displaystyle Rf_{!$ ${}F}$ 은 $f$ 는) $f$ $f$ 의 섬유를 콤팩트하게 지지하여 코호몰리를 파라메트리한다 $Rf_{!}F$ .

{\displaystyle(R^{i}f_{!}F)_{y}=H_{c}^{i}(f^{-1}(y),F).}

^[12]

이러한 이형성은 기저 변화 정리의 한 예다. 또 다른 부속물이 있다.

Rf_{!}:D(X)\오른쪽 왼쪽 화살표 D(Y):f^{!}.

위에서 살펴본 모든 펑커와는 달리 반전된(또는 예외적인) 반전 이미지 $f^{!}$ f $f^{!}$ ${\$ $}}}$ 은 일반적으로 파생 범주의 수준에 대해서만 정의된다 $f^{!}$ . 즉, 펑터는 아벨 범주 사이의 일부 펑터의 파생 펑터로서 획득되지 않는다. $f:X\to \{*\}$ : $f:X\to \{*\}$ → { $f:X\to \{*\}$ $f:X\to \{*\}$ ${\displaystyle f:X\to \{*\}},$ X가 $f:X\to \{*\}$ 치수 n의 매끄러운 방향 다지관일 경우

f^{\displaystyle f^{!}{{\underline{\mathbf{R}}}}}}}\cong {\underline {\mathbf {R}}}}}}[n].}

^[13]

이 연산, 그리고 이중성과 펑터의 호환성을 이용하여 푸앵카레 이중성에 대한 고브라우드 설명을 얻을 수 있다(Verdier duality 참조). 계획에 대한 준일관적 편성의 맥락에서, 일관성 있는 이중성으로 알려진 유사한 이중성이 있다.

비뚤어진 천은 $D(X)$ ( $D(X)$ $){\displaystyle D(X)},$ 즉, 천의 복합체(일반적으로 적절한 것은 아님)에서 특정 물체를 말한다. 그것들은 특이점의 기하학을 연구하는 중요한 도구다.^[14]

일관성 있는 피복과 그로텐디크 그룹의 파생 범주

볏짚을 단의 파생 부문의 또 다른 중요한 응용 프로그램 일관성 있는 볏짚을 단의 파생 범주와 X{X\displaystyle}DC입니다 h({\displaystyle D_{Coh}(X)를 설명 어떤 계획을}. 이 그로 탕디 에크에 의해 교차로 theory[15]파생 부문을 사용하여 K이론의 그의 발전에서 교차로 사용되었다.pr자급자족 $Y_{1},Y_{2}$ $Y_{1},Y_{2}$ , $Y_{1},Y_{2}$ 2 ${\$ 1}, $Y_{2$ }}은 $Y_{1},Y_{2}$ K 이론에 다음과 같이 표현된다.

$[Y_{1}]\cdot [Y_{2}]=[{\mathcal {O}}_{Y_{1}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{Y_{2}}]\in K({\text{Coh(X)}})$

여기서 ${\mathcal {O}}_{Y_{i}}$ ${\mathcal {O}}_{Y_{i}}$ ${\mathcal {O}}_{Y_{i}}$ ${\$ $Y_{i}}}$ 은 ${\mathcal {O}}_{Y_{i}}$ (는) ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\$ {\ $mathcal{O}_{X}$ - 구조용 피복에 의해 주어진 모형에 ${\mathcal {O}}_{X}$ 의해 정의된 일관성 있는 피복이다.

사이트 및 토포이

안드레 웨일의 Weil 추측에 따르면 리만 가설을 유사하게 보여주는 유한한 분야에 걸친 대수적 변종에 대한 코호몰로지 이론이 있었다. 복합 다지관의 동질학은 유클리드 위상에 있는 ${\underline {\mathbf {C} }}$ 국소 상수 ${\underline {\mathbf {C} }}$ C ${\underline {\mathbf {C} }}$ ${\$ 의 피복 공동질학으로 정의할 수 있으며, 이는 Weil 코호몰로지 이론을 상수 피복의 피복질학으로 정의함을 제안한다. 그러나 그러한 다양성의 유일한 고전적 토폴로지는 자리스키 위상이고, 자리스키 위상은 개방된 집합이 거의 없기 때문에, 수정 불가능한 다양성의 어떤 자리스키 정립된 피복의 공동 호몰로지(0도 제외)는 사라진다. 알렉상드르 그로텐디크는 커버의 개념을 공리화한 그로텐디크 토폴로지를 도입함으로써 이 문제를 해결했다. 그랜디크의 통찰은 피복의 정의는 개별 지점이 아닌 토폴로지 공간의 열린 집합에만 의존한다는 것이었다. 일단 그가 커버의 개념을 도식화시켰다면, 오픈 세트는 다른 물체로 대체될 수 있을 것이다. 프리슈프는 이전과 마찬가지로 이들 각각의 물체를 데이터로 가져가고, 피복은 우리의 새로운 커버 개념과 관련하여 접착 공리를 만족시키는 프리슈프다. 그로텐디크는 이를 통해 에탈 코호몰로지(Etale cohomology)와 ℓ-adic 코호몰리를 정의할 수 있었으며, 결국 웨일 추측을 입증하는 데 사용되었다.

그로텐디크 위상이 있는 범주를 사이트라고 한다. 부지에 있는 한 조각의 범주는 토포 또는 그로텐디크 토포라고 불린다. 토포스의 개념은 후에 윌리엄 로베레와 마일스 티어니에 의해 수학 논리와 관련이 있는 초등 토포들을 정의하기 위해 추상화되었다.

역사

피복 이론의 첫 번째 기원은 정확히 밝히기 어렵다 – 그것들은 분석적^{[clarification needed]} 연속성의 아이디어와 함께 확장될 수 있다. 코호몰로지 기초 작업에서 인정받을 수 있고 독립된 조각 이론이 나오기까지 약 15년이 걸렸다.

1936년 Eduard Chech는 단순화 콤플렉스를 오픈 커버에 연결하기 위해 신경 구조를 소개한다.
1938년 하슬러 휘트니는 J. W. 알렉산더와 콜모고로프가 처음 코인을 정의한 이래의 작업을 요약하면서 코호몰리에 대한 '현대적' 정의를 제시한다.
1943년 Norman Steenrod는 지역 계수를 가진 동음이의학에 대해 발표한다.
1945년 장 르레이는 전쟁 포로로서 수행된 작업을 출판하는데, 이는 PDE 이론에 적용하기 위한 고정점 이론과 스펙트럼 시퀀스의 시작이다.
1947년 앙리 카르탄은 안드레 웨일과 일치하여 셰프 방식으로 데 럼 정리를 책망한다(De Rham-Weil 정리 참조). 레레이는 클로즈드 세트(후기 캐러페이스)를 통해 코스에서 피복 정의를 내린다.
1948년 카르탄 세미나는 처음으로 피복 이론을 썼다.
1950년 카탄 세미나에서 나온 "제2판" 셰프 이론: 셰프 공간(스페이스 에탈레) 정의가 사용되며, 스토킹 구조로 되어 있다. 서포트가 도입되고, 서포트와 함께 코호몰로지(cohomology도 도입된다. 연속적인 매핑은 스펙트럼 시퀀스를 발생시킨다. 동시에 오카 기요시는 몇 가지 복잡한 변수에서 한 조각의 이상(그것과 인접한)을 소개한다.
1951년 카탄 세미나는 오카씨의 작품을 바탕으로 A와 B의 정리를 증명한다.
1953년 분석 이론에서 일관성 있는 피복에 대한 정밀도 정리는 세레의 이중성과 마찬가지로 카르탄과 장피에르 세레에 의해 증명된다.
1954년 세레의 논문 Faisceaux algébrike cohents (1955년 출판)는 절단을 대수 기하학에 도입한다. 이러한 사상은 위상학적 방법에 관한 1956년 주요 책을 쓴 프리드리히 히르제브루치에 의해 즉시 이용된다.
1955년 캔자스에서 열린 강연에서 알렉산더 그로텐디크는 아벨리아 범주 및 프리슈프를 정의하고, 주입적 해상도를 사용함으로써 모든 위상학적 공간에서 파생된 functor로서 피복 코호몰리를 직접 사용할 수 있다.
1956년 오스카 자리스키의 보고서 대수학 셰프 이론
1957년 그로텐디크의 토호쿠 논문은 동질대수를 다시 쓴다; 그는 그로텐디크 이중성(즉, 단수대수 품종에 대한 세레 이중성)을 증명한다.
1957년 이후: Grotendieck는 대수 기하학의 필요성에 따라 피복 이론을 확장하며, 이에 대한 체계와 일반 피복, 국소 코호몰로지, 파생 범주(Verdier 포함), 그로텐디크 토폴로지를 도입한다. 또한 그의 유력한 '6개 작전'의 동역학적 대수학에서의 개략적 발상이 나타난다.
1958년 Roger Godement의 sheaf 이론에 관한 책이 출판되었다. 이 무렵 사토 미키오는 자신의 초기능을 제안하는데, 그것은 피에스테틱한 성질을 가진 것으로 판명될 것이다.

이 시점에서, 셰이브는 수학의 주류가 되었고, 결코 대수적 위상에 제한되지 않았다. 이후 피복 범주의 논리가 직관적 논리(이러한 관찰은 현재 흔히 크립케-조이알 의미론이라고 하지만 아마도 다수의 저자에 기인해야 한다)라는 사실이 밝혀졌다.

참고 항목

메모들

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참조

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[1] Tennison, B. R. (1975), Sheaf theory, Cambridge University Press, MR 0404390

[2] 브레돈(1997, 5장, §1)

[3] Demailly, Jean-Pierre. "Complex Analytic and Differential Geometry" (PDF). Archived (PDF) from the original on 4 Sep 2020.

[4] Cartan, Henri. "Variétés analytiques complexes et cohomologie" (PDF). Archived (PDF) from the original on 8 Oct 2020.

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[6] SGA 4 II 3.0.5

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[12] 이베르센(1986년, 7장, 정리 1.4)

[13] 가시와라&샤피라(1994년, 제3장, 제3.1조)

[14] 데 카탈도 & 밀리오리니(2010)

[15] Grothendieck. "Formalisme des intersections sur les schema algebriques propres".

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