일관성 있는 칼집

수학에서 특히 대수 기하학과 복잡한 다지관 이론에서, 일관성 있는 조각은 밑 공간의 기하학적 특성과 밀접하게 연결된 조각의 한 종류다.일관성 있는 조각의 정의는 이 기하학적 정보를 코드화하는 고리 조각들을 참고하여 만들어진다.null

일관성 있는 조각은 벡터 번들의 일반화로 볼 수 있다.벡터 번들과 달리 아벨의 범주를 형성하고 있어 커널, 이미지, 코커넬 등의 작업으로 폐쇄된다.준일률적인 단은 정합된 단을 일반화한 것이며, 지역적으로 자유로운 무한계급 단을 포함한다.null

정합성 피복 코호몰로지(Coistency sheaf cohomology)는 특히 주어진 정합성 피복의 단면을 연구하기 위한 강력한 기술이다.null

정의들

A quasi-coherent sheaf on a ringed space ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ is a sheaf ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-modules which has a local presentation, that is, every point in ${\displaystyle X}$ has an open neighborhood ${\d$정확한 순서가 있는$$ $isplaystyle U}$

${\displaystyle {\mathcal {O}_{X}^{{U}\oplus I} _{U}\to {O}_{X}^{\oplus J} _{U}\to} {F} _{U}\}to 0}$

일부(아마 무한 확장 가능한) 세트 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$ 및$$ $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ J$}$의 경우$.$

링이 있는 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle O_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle(X$, ${\mathcal{O}_{X})$의 일관성 있는 피복은 다음$$ 두 가지 특성을 만족하는$$ 피복형 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$F}$이다.

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is of finite type over ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$, that is, every point in ${\displaystyle X}$ has an open neighborhood ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle X}$ such that there is a surjective morphism ${\displaystyle {\mathcal{O}}_X^n{}_U\to \mathcal{F}{}_U}$${\$$displaystyle{\displaystyle }$ ${\mathcal {O}_{X}^{n} _{U}\to {\mathcal {F} _{U}}$ 일부 자연수 n$$ ${\displaystyn$
2. for any open set ${\displaystyle U\subseteq X}$, any natural number ${\displaystyle n}$, and any morphism ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{n} _{U}\to {\mathcal {F}} _{U}}$ of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-modules, the kernel of ${\d$$isplaystyle \varphi }$은(는) 유한한 유형이다.

(Quasi-)일률적인 피복 사이의 형태는 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$ -모듈의$$ 피복과 같다.null

계략의 경우

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 체계인$$ 경우 위의 일반적인 정의는 보다 명시적인 정의와 동일하다.A sheaf ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-modules is quasi-coherent if and only if over each open affine subscheme ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}$ the restriction ${\displaystyle {\mathcal {F}} _{U}}$ is isomorphic to the sheaf${\displaystyle {\tilde {M}}}$ associated to the module ${\displaystyle M=\Gamma (U,{\mathcal {F}})}$ over ${\displaystyle A}$. When ${\displaystyle X}$ is a locally Noetherian scheme, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is coherent if and only if it is quasi-coherent and the module위의$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) 정밀하게 생성될 수 있다.null

부속 체계 $U{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle$ U$=\operatorname {Spec} A}$에서$,$ $모듈{\displaystyle }$$$M {\$displaystyle M}$을(를) 관련 sheaf $M{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$에 가져가는 A ${\displaystystysty$}-m$\}$의 범주가 동일하다.역등가성은 $U{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle U}$에서 F ${\$ ${\mathcal {F}$ 글로벌 섹션의$$ $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle A}$ -module$$ $F{\displaystyle \mathcal{}(U}$) {\$displaystystyle$ ${\mathcal {F}($$U)}$에 대한 $준일관적합성$을 취한다$.$

여기 어떤 계획에 대한 준 일관성 있는 조각의 몇 가지 추가 특성이 있다.^[1]null

특성.

임의의 고리형 공간에서 준조립형 집단이 반드시 아벨의 범주를 형성하는 것은 아니다.반면에 어떤 계략에 대해서도 준일관적인 셰이브는 아벨의 범주를 형성하고 있으며, 그것들은 그런 맥락에서 극히 유용하다.^[2]null

어떤 고리 모양 안에 우주 X{X\displaystyle}에는, 일관성 있는 볏짚을 단은abelian 범주, OX{\displaystyle{{O\mathcal}}_{X}}-modules의 범주의 완전한 하위 범주를 형성한다.모두 A{년의 범주의[3](4개인, 가간접성 모듈의 어떤 반지를 그 범주 A{A\displaystyle}는abelian 하위 범주이다.$디스플레이$ 스타일 $A}$ - modules$$.)그래서 어떤 일관성 있는 조각의 지도에 있는 커널, 이미지, 코커넬은 일관성이 있다.$두{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ 개의 정합성 있는 단면체의 직접적인 합은 일치한다$.$ 보다 ${\displaystyle {일반적}_{}}$으로 O X {\$displaystyle {\mathcal{O}_{X}}$ - 정합성 있는 단면체의 확장인 단면 -모듈은$$ 정합성이 있다.^[4]null

정합성 있는 피복의 하위절차는 유한한 유형일 경우 일관성이 있다.일관성 있는 피복은 항상 유한한 표시의 ${\displaystyle O_{}}$ $X{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {O}_{X}-$모듈로$$, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 각 포인트 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 개방된 근린 $U{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle$ $U$$}$을(가)로$$ 하여 $F$의$제한한다.$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ to ${\displaystyle U}$ is isomorphic to the cokernel of a morphism ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n} _{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m} _{U}}$ for some natural numbers ${\displaystyle n}$ and ${\displaystyle m}$. If ${\displaystyle {\mathcal{O}}_{}}$${\displaystyle X_{}}$ ${\$은(는) 일관성이 있는 것으로$$, 반대로 ${\displaystyle {OX}_{}}$ ${\$에 걸쳐 유한한 표시의 모든 조각은 일관성이$$ 있다.null

링 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$의 피복은 그 자체로 모듈 피복으로 일관성이 있다고 생각되면 consistent라고 한다$$.특히 오카 일관성 정리는 복잡한 분석 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 있는 홀로모르픽 함수의 층이 일관성$$ 있는 고리 층이라고 명시하고 있다.입증의 주요 부분은 $사례{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$ X$=\mathbf {C} ^{n$ 마찬가지로, 국소적으로 노메트리안 $체계{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle$X$\}$에서 구조는 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\${\$mathcal{O}_${X$}$의 일관성 있는 반지의 조각이다$$.^[5]null

정합성 있는 피복의 기본 구조

• 링이$$있는 공간 $X{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ X$}$에 ${\displaystyle F_{}}$ ${\$$mathcal$ {O$}_$${X}}$ $-module$ F {\$displaystyle${\$mathcal$ {F$}}$이(가) 로컬로 유한 순위 또는 벡터 번들에서 벗어난다고 $하며{\displaystyle }$, X$${\$displaystystyle$ X$}$의 모든 지점에$$ $F$가 제한되어 있는 경우${\displaystyle {\mathcal {F}} _{U}}$ is isomorphic to a finite direct sum of copies of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X} _{U}}$. If ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is free of the same rank ${\displaystyle n}$ near every point of ${\displaystyle X}$, then the vector bundle ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathcal{F}}$ ${\$$displaystyle$ ${\mathcal${$F$$}}$은(는$)$ $n등급$이라고 한다$.$

체계 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 이 피복체-이론적 의미에서의 벡터 번들은 $형태론{\displaystyle }$ ${\displaystyle :}$ :${\displaystyle E}$ → ${\displaystyle X}${\$displaystyle \pi :$를 가진 $체계{\displaystyle }$ E ${\displaystyle E}$로서 보다 기하학적인 방식으로 정의된 벡터 번들과 동등하다$$.$E\to X}$ and with a covering of ${\displaystyle X}$ by open sets ${\displaystyle U_{\alpha }}$ with given isomorphisms ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha })\cong \mathbb {A} ^{n}\times U_{\alpha }}$ over ${\displaystyle U_{\alpha }}$ such that the two isomorphisms $교차로{\displaystyle {}_{}}$ U ${\displaystyle {\alpha }_{}}$α ${\displaystyle {\beta }_{}}${\$displaystyle$ U_${\alpha$}\$cap$U_{\$beta$}}}}에 대한 ms는 선형 자동 형태에 의해 다르다$$.^[6](유사한 등가성은 복잡한 분석 공간에도 적용된다.)For example, given a vector bundle ${\displaystyle E}$ in this geometric sense, the corresponding sheaf ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is defined by: over an open set ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle X}$, the ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$-module ${\displaystyle {\$$mathcal{F}($${\displaystyle U}$$)}$은 ${\displaystyle \mathrm{형태론}}$ $\pi {\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( U${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ U ${\displaystyle \pi ^{-1(U)\to U}$의 단면들의 집합이다. 벡터 번들의 피복 이론적 해석은 (로컬 노메트리안식 계통의) 아벨리안 분류에 포함되어 있는 장점을 가지고 있다$.$

• 국소적으로 무료 포장에는 표준 O ${\displaystyle X_{}}$ ${\$ -module$$ 연산이 적용되지만 국소적으로 무료 포장재를 다시 제공한다.^[vague]

• Let $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle$ X$=\operatorname {Spec}(R$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ 노메트리안$$ 링.그러면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 벡터 번들은 $정확히{\displaystyle }$ R ${\$$displaystyle$ R$}$을(를) 통해 미세하게 생성된 투영 모듈에 연결된 조각이거나$,$ (동등하게) R {\$displaystyle R}$을(를) 통해 미세하게 생성된 평면 모듈에 연결된 조각이다$.$^[7]

• Let $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{Proj}}$ ${\displaystyle }$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle X=\operatorname {Proj}(R$ R ${\displaystyle R}$ $노메트리안$ N ${\${$N$$}$ -graded$$ 링, $노메트리안{\displaystyle }$ 링 ${\displaystyle {R\mathrm{}}_{}}$ $0 {\\$Then each ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-graded ${\displaystyle R}$-module ${\displaystyle M}$ determines a quasi-coherent sheaf ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ on ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle {\mathcal {F}} _{\{f\neq 0\}}}$ is the sheaf associated to the${\displaystyle R[f^{-1}]_{0}}$-module ${\displaystyle M[f^{-1}]_{0}}$, where ${\displaystyle f}$ is a homogeneous element of ${\displaystyle R}$ of positive degree and ${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} R[f^{-1}]_{0}$${}$은(는) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 사라지지 않는$$ 위치다.

• $예$를 들어, 각 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대해 $R{\displaystyle }$$($${\displaystyle n)}$ ${\displaystyle$R$(n$$)}$ -모듈이$$ $)$에 의해 부여된 등급이 $지정$된 R ${\$$displaystyle$ R($n)}$ -$$$module$을 나타내도록 $하십시오$.Then each ${\displaystyle R(n)}$ determines the quasi-coherent sheaf ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$ on ${\displaystyle X}$. If ${\displaystyle R}$ is generated as ${\displaystyle R_{0}}$-algebra by ${\displaystyle R_{1}}$, then ${\disp$$laystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$ is a line bundle (invertible sheaf) on ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$ is the ${\displaystyle n}$-th tensor power of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$. In particular, ${\displaystyl$$e {\mathcal{O}_{\mathb {P}$^{$n}(-1)}$은(는) 투영 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -space에서$$ tautological line bundle이라고 한다$$.

• 벡터 번들이 아닌$$ $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 일관성 있는 피복의 간단한 예제는 코커넬에 의해 다음과 같은 순서로 제시된다.

${\displaystyle {\mathcal{O}(1){\xrightarrow {\cdot(x^{2}-yz,y^{3}+xy^{2}-xyz)}}{\mathcal{O}(3)\oplus {\mathcal{O}(4)\to {\mathcal{E}\to 0}$

이는 두 다항식의 소멸로 제한된$$ $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$E}}$이(가) 영 객체이기 때문이다.

• 이상적인 피복:$Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$이(가) 로컬 노메트리안 $구성표{\displaystyle }$ X$${\${\displaystyle {displaystyle}_{}}$$X$${\displaystyle {\}}_{}}$의 닫힌 하위 집합인 경우$$$,$ $Z{\displaystyle }$ {\$displaystyle {\mathcal {I}_{Z/X}$이(가) Z ${\displaystysty Z}$에 소멸되는 모든 정규 함수 ${\displaystyle {중}_{}}$에서 일관성이 있다$$.마찬가지로 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$이(가) 복합 분석 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 폐쇄 분석 하위 공간이라면$$ 이상적인 sheaf $I{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle Z_{/X}}$ ${\$ {$I}_{Z/X}$은(는$$) 일관성이 있다$.$

• The structure sheaf ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}}$ of a closed subscheme ${\displaystyle Z}$ of a locally Noetherian scheme ${\displaystyle X}$ can be viewed as a coherent sheaf on ${\displaystyle X}$. To be precise, this is the direct image sheaf ${\displaystyle i_{*}{\mathca$$l{O}_{Z$ 여기서 $i{\displaystyle }$: ${\displaystyle Z}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:Z\to$ X$}$가 포함된다$$.복잡한 분석공간의 폐쇄적 해석적 하위공간의 경우와 유사하다.The sheaf ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$ has fiber (defined below) of dimension zero at points in the open set ${\displaystyle X-Z}$, and fiber of dimension 1 at points in ${\displaystyle Z}$. There is a short exact sequence of coherent sheaves on ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}_{Z/X}\to {\mathcal {O}\{X}\to i*}{\mathcal {O}_{Z}\to.}$

• 선형대수의 대부분의 연산은 일관성 있는 단을 보존한다.In particular, for coherent sheaves ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ on a ringed space ${\displaystyle X}$, the tensor product sheaf ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}}$ and the sheaf of homomorphisms ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathcal{H}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ m ${\displaystyle {O{\mathcal{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {X_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}F\mathcal{}}$, G${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal {H}om_{\mathcal{O}_{X}}({\mathcal {F},{\mathcal {G})}}}$은(는) 일치한다$$.^[8]

• 준 일관성 없는 피복의 단순 비예제는 제로 펑터가 확장자에 의해 주어진다.예를 들어, $i{\displaystyle {}_{!}}$ ${\displaystyle O_{}}$ X ${\$를 고려하십시오.$}{\mathcal{O}_{X}}$에 대해$$

${\displaystyle X=\operatorname {Spec}(\mathb {C}[x,x^{-1}]){\xrightarrow {i}\operatorname {Spec}(\mathb {C}[x])=Y}$^[9]

이 피복은 서로 다른 줄기는 없지만 전지구적인 부분은 0개이므로, 이것은 준정합성 피복이 될 수 없다.이는 연결 방식에 대한 준정합성 피복은 기본 링 위에 있는 모듈의 범주에 해당하며, 접합은 글로벌 섹션을 취함으로써 이루어지기 때문이다.

교감성

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$을(를) 링된 공간의 형태론(예: 계략의 형태론)으로$$ 하자.Y{Y\displaystyle}에 만약 F{\displaystyle{{F\mathcal}}}은quasi-coherent 단, 그 후 역상 OX{\displaystyle{{O\mathcal}}_{X}}-module(또는 pullback)f∗ F{\displaystyle f^{*}{{F\mathcal}}}X에서 3f는 사상은 .[10]{X\displaystyle}:quasi-coherent 있다.x${\displaystyle f:X\to Y}$ and a coherent sheaf ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ on ${\displaystyle Y}$, the pullback ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$ is not coherent in full generality (for example, ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}_{$$Y}={\mathcal{O}_{X$ 일관성이 없을 수도 있지만, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$가 로컬 노메테리아인 경우 일관성 있는 셰이브의 풀백은 일관성이 있다.중요한 특수한 경우는 벡터 번들인 벡터 번들의 풀백이다.null

If ${\displaystyle f:X\to Y}$ is a quasi-compact quasi-separated morphism of schemes and ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is a quasi-coherent sheaf on ${\displaystyle X}$, then the direct image sheaf (or pushforward) ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}}$ is quasi-coherent on ${\displays$$Y$^[2]

일관성 있는 피복의 직접적인 이미지는 종종 일관성이 없다.For example, for a field ${\displaystyle k}$, let ${\displaystyle X}$ be the affine line over ${\displaystyle k}$, and consider the morphism ${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} (k)}$; then the direct image ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ is the sheaf on${\displaystyle }$$다항{\displaystyle }$ 링 $k{\displaystyle }$[${\displaystyle }$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$\operatorname {$Spec}(k$$)\}$과(와) 관련된$$ ${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle .}$ k${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle k[x]}$은(는) $k{\displaystyle }$ ${\displaysty k}$ -벡터$$ 공간으로 무한 치수가 있으므로$$ 일관성이 없다.반면에 적절한 형태론 아래 일관성 있는 피복의 직접적인 이미지는 그루어트와 그로텐디크의 결과로 일관된다.null

정합성 있는 피복의 국부적 거동

일관성 있는 $셰이브{\displaystyle \mathcal{}}$F {\$displaystyle${\$mathcal$${$F$$}의 중요한 특징은 $지점{\displaystyle }$x {\$displaystyle x$$}$에서$$F {\$displaystyle$ {$F}$의 특성이 $아르비$에 대한 사실보다 더 많은$$ $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystystyle$ ${\mathcal${$F$$}$의 동작을 제어한다는$$ 점이다$.$삼단 껍질For example, Nakayama's lemma says (in geometric language) that if ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is a coherent sheaf on a scheme ${\displaystyle X}$, then the fiber ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,x}}k(x)}$ of ${\displaystyle {\mathcal {$$F$$}}}$ $지점{\displaystyle }$ x {\$displaystyle$x}($$$잔류장{\displaystyle }$ k${\displaystyle (x}$ )$$${\displaystyle$ k$(x$$)})$의 벡터 $공간$은 x ${\displaystyle x}$의 일부 열린 근방에서 0인$$ 경우에만 0$.$ 관련 사실은 일관성 있는 피복의 섬유 치수가 상-반선이라는 것이다.^[11]따라서 일관성 있는 톱니바퀴는 오픈 세트에서 일정한 순위를 가지며, 랭크는 더 낮은 차원의 닫힌 서브셋에서 점프할 수 있다.null

In the same spirit: a coherent sheaf ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ on a scheme ${\displaystyle X}$ is a vector bundle if and only if its stalk ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ is a free module over the local ring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ for every point ${\displ$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 $aystyle$ x$\}.$^[12]

일반적인 계획으로는, 일관성이 있는 피복이 단지 그것의 섬유로부터 (그 줄기와 반대되는) 벡터 묶음인지 아닌지를 판단할 수 없다.그러나 국소 노메트리안의 축소된 계획에서, 일관성이 있는 톱니바퀴는 그 등급이 국소적으로 일정할 경우에만 벡터 묶음이다.^[13]null

벡터 번들의 예

For a morphism of schemes ${\displaystyle X\to Y}$, let ${\displaystyle \Delta :X\to X\times _{Y}X}$ be the diagonal morphism, which is a closed immersion if ${\displaystyle X}$ is separated over ${\displaystyle Y}$. Let ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ be the ideal sheaf of ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle X\times _{Y}X}$. Then the sheaf of differentials ${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{1}}$ can be defined as the pullback ${\displaystyle \Delta ^{*}{\mathcal {I}}}$ of ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ to ${\displaystyle X}$. Sectionsof this sheaf are called 1-forms on ${\displaystyle X}$ over ${\displaystyle Y}$, and they can be written locally on ${\displaystyle X}$ as finite sums ${\displaystyle \textstyle \sum f_{j}\,dg_{j}}$ for regular functions ${\displaystyle f_{j}}$ and ${\displaystyle g_{j$$\}\}\}.$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가$)$ $필드{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$ 위에 있는 유한 유형의 로컬인 경우 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {X/}_{\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$}:{1$}:{$1}은(는) X ${\displaystystyle X}$의 일관성 있는 셰프입니다$.$

If ${\displaystyle X}$ is smooth over ${\displaystyle k}$, then ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ (meaning ${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$) is a vector bundle over ${\displaystyle X}$, called the cotangent bundle of ${\displaystyle X}$. Then the tangent bundle ${\display$$스타일 TX}$은(는) 이중 번들$({\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$로 정의된다$.$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 모든 차원$$ n ${\$$displaystystyle n}$의 k$}$에 걸쳐 매끄럽게$$ 배치되는 경우 접선 번들의 순위는 $n이다.$

$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대한 부드러운 구성표 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$$\}$의 부드럽게 닫힌 하위 집합인$$ 경우$,$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에 벡터 번들의 순서가 다음과 같이 짧다.

${\displaystyle 0\to TY\to TX _{Y}\to N_{Y/X}\to 0,}$

$이$는 X$${\$displaystyle$ X$}$에서 $일반{\displaystyle }$ 번들 ${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$/ X ${\$ ~ Y ${\displaystyle Y}$의 정의로 사용할 수 있다$.$

For a smooth scheme ${\displaystyle X}$ over a field ${\displaystyle k}$ and a natural number ${\displaystyle i}$, the vector bundle ${\displaystyle \Omega ^{i}}$ of i-forms on ${\displaystyle X}$ is defined as the ${\displaystyle i}$-th exterior power of the cotangent bundle, ${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}^i={\mathrm{\Lambda }}^{}}$${\displaystyle \Omega ^{i}=\Lambda ^{i}\Omega ^{1}}$. For a smooth variety ${\displaystyle X}$ of dimension ${\displaystyle n}$ over ${\displaystyle k}$, the canonical bundle ${\displaystyle K_{X}}$ means the line bundle ${\displaystyle \Omega ^{n}}$.따라서 표준 번들의 섹션은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$에 있는 볼륨 형식의 알헤브로-기하학 아날로그 입니다$.$ 예를 들어, $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\mathb{A}{n}}$에 대한$$ 아핀 공간 $표준{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 번들의 섹션은 다음과$$ 같이 $기록$할 수 있다.

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n}\;dx_{1}\cdots \cdots \cdots \cdx_{n}}}}$

여기서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k$}$에 $계수$가 있는 다항식이다$.$

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 정류 링으로 하고$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$을(를) 자연수로 한다.각 정수 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$에 대해$,$ $O{\displaystyle \mathcal{}}$$$(${\displaystyle j}$) ${\$$displaystyle R}$에 걸쳐 $투사$ ${\displaystyle {}^{}}$ P {\$displaystyle \$$mathb{P}$$$^{$n}}}}$에 대한 선 번들의 중요한 예가 있다$.$ 이를 $정의$하려면 R$${\$displaystyle$$$R$}$ -schemese를$$ 고려한다.

${\displaystyle \pi :\mathb {A} ^{n+1}-0\to \mathb {P} ^{n}}}$

given in coordinates by ${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$. (That is, thinking of projective space as the space of 1-dimensional linear subspaces of affine space, send a nonzero point in affine space to the line that it spans.)Then a section of ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ over an open subset ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ is defined to be a regular function ${\displaystyle f}$ on ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ that is homogeneous of degree ${\displaystyle j}$$$, 라는 뜻이다.

${\displaystyle f(ax)=a^{j}f(x)}$

as regular functions on (${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-0)\times \pi ^{-1}(U)}$. For all integers ${\displaystyle i}$ and ${\displaystyle j}$, there is an isomorphism ${\displaystyle {\mathcal {O}}(i)\otimes {\mathcal {O}}(j)\cong {\mathcal {O$${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$에 있는 라인$$ 번들 $}}.$

In particular, every homogeneous polynomial in ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ of degree ${\displaystyle j}$ over ${\displaystyle R}$ can be viewed as a global section of ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ over ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$. Note that every cl투사 공간의 sosed subscheme은 동종 ${\displaystyle \mathrm{다항식}}$의 일부 집합의 0 집합으로 정의될 수 있으며, 따라서 선다발 $O{\displaystyle \mathcal{}}$( j$){\displaystyle {\mathcal{O}}}$의 일부 섹션의 0 집합으로 정의된다$.$^[14]이것은 닫힌 하위 체임(subscheme)이 단순히 규칙적인 기능의 제로 집합인 아핀 공간의 단순한 경우와 대조된다.$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 대한 투사 공간 P ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 정기적인 함수는 "정수"($링{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R})$일$$ 뿐이므로 $$선다발 $O{\displaystyle \mathcal{}}$ ($){\displaystystyle {\mathcal}(j)$로 작업하는 것이 필수적이다$.$

Serre는 투사적인 공간에 있는 모든 일관성 있는 조각들에 대한 대수학적 설명을 했는데, 그것은 부속적인 공간에 일어나는 일보다 더 미묘한 것이다.즉, $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 노메트리안 링($예{\displaystyle }$: 필드)으로$$ 하고, 다항식${\displaystyle }$링 S =${\displaystyle R}$ [ x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaysty S=R[x_{0},\ldots ,x_{n}}}}}$을 각 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 1인$$ 등급 링으로 간주한다.Then every finitely generated graded ${\displaystyle S}$-module ${\displaystyle M}$ has an associated coherent sheaf ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ on ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ over ${\displaystyle R}$. Every coherent sheaf on ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ arisesin this way from a finitely generated graded ${\displaystyle S}$-module ${\displaystyle M}$. (For example, the line bundle ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ is the sheaf associated to the ${\displaystyle S}$-module ${\displaystyle S}$ with its grading lowered by ${\displaystyle j}$.) But$P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 주어진 일관성 있는 피복을 생성하는$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ -module$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) 고유하지$$ 않으며, 0이 아닌 모듈만 미세하게 여러 도에서 등급이$$ 매겨진 $M{\displaystyle }$ ${\displaysty M}$을 변경하는 데에만 해당된다.더 정확히 말하면, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 있는 일관성 있는 절편들의 아벨리안 범주는 미세하게 생성되는 $등급{\displaystyle }$S {\$displaysty$ S$}$ -모듈들의$$ 하위 범주에서 단지 미세하게 많은 도에서만 0이 아닌 모듈의 범주에서 몫이다$$.^[15]null

필드 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 위에$$ 놓인 투사 ${\displaystyle {}^{}}$ P ${\$ {$P}$^{$n}$의 접선 번들은 선 $번들{\displaystyle \mathcal{}}$ O (${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle {\mathcal$ {$O}(1)}($1)로 설명할 수 있다$$$.$ 즉, 정확한 순서인 오일러 시퀀스는 다음과 같다.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}_{\mathb {P} ^{n}\{n}}}^{n}}^{\oplus \n+1}\t\mathb {P} ^{n}\to.}$

표준 번들 $K{\displaystyle {}_{}}$ P ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\$접선 번들의 결정선 번들 이중)이 $O{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle n}$- $){\displaystyle {\mathcal{O}(-n-1$)에 이형성이라는 것을 따른다$.$이것은 대수 기하학의 근본적인 계산이다.예를 들어, 정식 묶음이 넉넉한 $선다발{\displaystyle \mathcal{}}$ O${\displaystyle }$( $){\displaystyle {\mathcal{O}(1)$의 음수배수라는 것은 투영 공간이 파노 품종이라는 것을 의미한다$$.복잡한 숫자에 걸쳐, 이것은 투영 공간이 양의 Ricci 곡면성을 가진 Kahler 메트릭을 가지고 있다는 것을 의미한다.null

하이퍼페이스의 벡터 번들

도 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ 초대면$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$ X$\\subset \mathb {P} ^n}}$ 도 d ${\displaystyle d}$의 동종 다항식 $f{\displaystyle }$ ${\displaystystyle f}$에 의해 정의된$$ 부드러운 $$를 고려하십시오$.$그러면 정확한 순서가 있다.

${\daystyle 0\to {\mathcal {O}_{X}(-d)\to i^{*}\Oomega_{\mathb {P}^{n}\to 0}$

여기서 두 번째 맵은 차등 폼의 풀백이고, 첫 번째 맵은 전송한다.

$\displaystyle \phi \mapsto d(f\cdot \phi )}$

이 시퀀스는 $O{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle d}$) ${\$d 디스플레이 $스타일 {\mathcal{O}(-d)}$이(가) $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 디스플레이 스타일 $\mathb {P} ^{n}}$에 $있는{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X}$의 요람임을 알려준다는 점에 유의하십시오$.$ 이 시퀀스를 이원화하면 정확한 시퀀스가 산출됩니다.

${\displaystyle 0\to T_{X}\to i^{*}T_{\mathb {P} ^{n}\to {\mathcal {O}(d)\to 0}$

따라서 $O{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle d}$) ${\$d 디스플레이 $스타일 {\mathcal {O}(d)}$은(는) ${\displaystyle {}^{}}$ $n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$에 있는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 일반적인 번들임입니다$.$ 만약 우리가 주어진 정확한 순서를 사용한다면

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}_{1}\to {\mathcal {E}{2}\to 0}$

$r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$이형성이 있다.

${\displaystyle \Lambda ^{r_{2}}:{\mathcal {E}{2}\cong \lambda ^{r_{1}:{1}{1}}\otimes \lambda ^{r_{3}}{\mathcal{E}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

줄다발을 묶으면 이소모르프리즘이 있다는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle i^{*}\omega _{\mathb {P} ^{n}\cong \omega_{X}\otimes {\mathcal{O}_{X}(-d)}$

라는 것을 보여줌

${\displaystyle \omega_{X}\cong {\mathcal {O}_{X}(d-n-1)}$

세레 시공 및 벡터 번들

부드러운 사영의 다양한에}계급 2벡터 사이에 E{\displaystyle{{E\mathcal}기능을 같이 묶는단 통신을 설정한다 계급 2벡터 다발 건설을 위한 한가지 유용한 기술은 세르 construction[16][17]pg 3}X{X\displaystyle}과 여차원 2subvarieties Y{Y\displaystyle}을 사용하여 특정한 떠ㅅ다.t 1{)$표시스타일 {\text{$$Ext}^{1}$- $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대해 계산된$$ 그룹$.$${\displaystyle {}^{2\mathrm{}}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}\mathcal{}}${\$displaystyle \wedge ^{2$}{\$mathcal$ {E$}}$ 라인 번들의 공호학적 조건에 의해 주어진다($$아래 참조).null

The correspondence in one direction is given as follows: for a section ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {E}})}$ we can associated the vanishing locus ${\displaystyle V(s)\subset X}$. If ${\displaystyle V(s)}$ is a codimension 2 subvariety, then

1. It is a local complete intersection, meaning if we take an affine chart ${\displaystyle U_{i}\subset X}$ then ${\displaystyle s _{U_{i}}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {E}})}$ can be represented as a function ${\displaystyle s_{i}:$$U_{i}\to \mathbb {A} ^{2}}$, where ${\displaystyle s_{i}(p)=(s_{i}^{1}(p),s_{i}^{2}(p))}$and ${\displaystyle V(s)\cap U_{i}=V(s_{i}^{1},s_{i}^{2})}$
2. The line bundle ${\displaystyle \omega _{X}\otimes \wedge ^{2}{\mathcal {E}} _{V(s)}}$ is isomorphic to the canonical bundle ${\displaystyle \omega _{V(s)}}$ on ${\displaystyle V(s)}$

다른 방향에서 코디네이션 2 하위 변수 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ Y$\subset X}$ 및 라인$$ 번들 $L{\displaystyle \mathcal{}}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {\L}\to$ X$}$의 경우 다음과 같이 하십시오$$.^[18]

1. ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L})=H^{2}(X,{\mathcal{L}})=0}$
2. ${\displaystyle \omega _{Y}\cong(\omega _{X}\otimes {\mathcal{L}) _{Y}}}$

규범적 이형성이 있다.

${\displaystyle {\text{홈}}(\omega _{X}\otimes {\mathcal{L}) _{Y}\Oomega _{Y}\cong {\text{}Ext}^{1}({\mathcal{I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L},{\mathcal {O}_{X}}}}$

코디멘션 $2{\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle$ 2$}$ 하위$$ 분리의 포함과 관련된 functorial.더구나 왼쪽에 주어진 어떤 이형성(異形性)은 오른쪽의 연장 가운데에 있는 국소적으로 자유로운 피복에 해당한다.즉, $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{Hom}}$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}{\Omega }_{}}$ ${\displaystyle L}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ,$$ ${\displaystyle Y_{}}$ ) $displaystyle s\in {\text{$$홈}}(\omega _{X}\otimes{\mathcal{L}) _{Y$}}}, 이형성인 $_{Y}}$은(는) 지역적으로 자유로운 2등급 $E$ ${\$이(가) 있으며, 이는 짧은 순서에 부합한다.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}_{X}\to {\mathcal {E}\to {\mathcal {I}_{{\mathcal}to.Y}\time {\mathcal {L}\to 0}$

이 벡터 번들은 안정적인지 아닌지를 판단하기 위해 코호몰로지 불변제를 사용하여 추가적으로 연구될 수 있다.이것은 주로 편극화된 아벨리아 품종과^[17] K3 표면과 같은 많은 특정한 경우에서 안정적 벡터 번들의 모듈리를 연구하기 위한 기초를 형성한다.^[19]null

체르반과 대수 K이론

A vector bundle ${\displaystyle E}$ on a smooth variety ${\displaystyle X}$ over a field has Chern classes in the Chow ring of ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle c_{i}(E)}$ in ${\displaystyle CH^{i}(X)}$ for ${\displaystyle i\geq 0}$.^[20]이것들은 토폴로지의 체르누스 계급과 같은 형식적인 속성을 만족시킨다.예를 들어, 모든 짧은 정확한 시퀀스에 대해

$A\to B\to C\to 0}$

$X{\displaystyle }${\$displaystyle X}$에 벡터 번들의 ,$$$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 체르누스 클래스는 다음과 같이 주어진다$$.

${\displaystyle c_{i}(B)=c_{i}(A)+c_{1}(A)c_{i-1}(C)+\c_{i-1}(C)+\c_{i-1}(C)+{1}(C)}(C)+{i}(C)}(C).}$

It follows that the Chern classes of a vector bundle ${\displaystyle E}$ depend only on the class of ${\displaystyle E}$ in the Grothendieck group ${\displaystyle K_{0}(X)}$. By definition, for a scheme ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle K_{0}(X)}$ is the quotient of the free abelian$[{\displaystyle B}$ ${\displaystyle ]}$=${\displaystyle }$[ A ${\displaystyle ]}$+${\displaystyle }$[ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [B]=$의 관계에 의한$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 벡터 번들의 이형성 등급 집합에 대한 그룹$[A]+[C]}$은(는) 위와 같은 간단한 정확한 순서를 말한다.$일반적$으로 K ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle K_{0}(X)}$을(를) 계산하기 어렵지만$$ 대수학 ${\displaystyle {K-이론}_{}}$은 > 0 ${\displaystyle i>0}$에 대한 관련 $그룹$ Ki$$ ( $X{\displaystyle {}_{}}$ )${\displaystyle K_{i}($의 시퀀스를 포함하여 연구를 위한 많은 도구를 제공한다

A variant is the group ${\displaystyle G_{0}(X)}$ (or ${\displaystyle K_{0}'(X)}$), the Grothendieck group of coherent sheaves on ${\displaystyle X}$. (In topological terms, G-theory has the formal properties of a Borel–Moore homology theory for schemes, while K-theory is the corresponding cohomology 이론).자연 동형성 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}X}$ )${\$$displaystyle$ $K_{0}(X)\to G_$${$$0}(X)}}$은(는$)$ 규칙적으로 분리된 노메트리안 체계라면$$ 이형성이며$$, 그러한 경우 $모든{\displaystyle }$ 일관성 있는 $피복$은 벡터 번들에 의해 유한 분해능을 갖는다.^[21]예를 들어, 그것은 한 분야에 걸쳐 매끄러운 다양성의 일관성 있는 피륙의 체르누스 계급에 대한 정의를 제공한다.null

$보다{\displaystyle }$ 일반적으로, 노메테리아식 $체계{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle$$X}$의 모든 일관성 있는 조각이 $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $X}$의 어떤 벡터 번들에서 추론되는 경우$$ 노메테리아식 체계 X {\$displaysty$ X}의 분해능 특성을 갖는다고$$ 한다$.$ 예를 들어, 노메테리아식 링에 대한 모든 준투영법에는 분해능 특성이 있다.null

해결 속성 적용

Since the resolution property states that a coherent sheaf ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ on a Noetherian scheme is quasi-isomorphic in the derived category to the complex of vector bundles :${\displaystyle {\mathcal {E}}_{k}\to \cdots \to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}$ we다음을 사용하여$$ $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 총 체르누스 클래스를 계산할 수 있음

${\displaystyle c({\mathcal{E}}}=c({\mathcal {E}_{0}c)({\mathcal {E}_{1})^{\cdots c({\mathcal {E}_{k}}}^{k}}}}}}}}}}}}}.$

For example, this formula is useful for finding the Chern classes of the sheaf representing a subscheme of ${\displaystyle X}$. If we take the projective scheme ${\displaystyle Z}$ associated to the ideal ${\displaystyle (xy,xz)\subset \mathbb {C} [x,y,z,w]}$, then

${\displaystyle c({\mathcal {O}_{Z}}={\frac {c({\mathcal {O}}-3)c({\mathcal {O}-3)}{c({\mathcal {{O})(-3)}{\mathcal {O}}}}}}}}}}}}$

결의가 있기 때문에.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}(-3)\to {\mathcal {O}(-2)\to {\mathcal {O}\to {\mathcal {O}\{Z}to 0}$

$C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{P}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 걸쳐$.$

묶음 동형성 vs. sheaf 동형성

벡터 번들과 한정된 상수 등급의 국소 자유 층을 서로 교환하여 사용할 경우, 묶음 동형성과 피복 동형성을 구별할 수 있도록 주의를 기울여야 한다.구체적으로 주어진 벡터 번들 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ ${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle q}$:${\displaystyle F}$ → X ${\displaystyle$ p$:$$E\to X,\,q:F\to$ X$\},$ 정의상 번들 동형성 $ism{\displaystyle }$ :${\displaystyle E}$→ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \varphi$:$E\to F}$ is a scheme morphism over ${\displaystyle X}$ (i.e., ${\displaystyle p=q\circ \varphi }$) such that, for each geometric point ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \varphi _{x}:p^{-1}(x)\to q^{-1}(x)}$ is a linear map of rank in$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 종속됨$.$따라서${\displaystyle }해당{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 국소적 자유 ${\$${\mathcal{E}\\mathcal$${{O}_{X}}$ - modules$$$$$($ 섹션의 절편${\displaystyle ).}$${\displaystyle {그러나}_{}}$ $OX{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$ -모듈$$ 동형성(module homoporphism)이 있을 수 있는데, 이러한 식으로 발생하지 않을 수 있다. 즉, 순위가 일정하지 않은 사람들이다.null

특히 하위 분절 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E\subset F}$은(는) 하위 분절($,$ E {\$displaystyle$ {\$mathcal$ {E$}}$은(는) F ${\$의 하위 분절임)이다.$$But the converse can fail; for example, for an effective Cartier divisor ${\displaystyle D}$ on ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-D)\subset {\mathcal {O}}_{X}}$ is a subsheaf but typically not a subbundle (since any line bundle has only two subbundles).null

준접합성 피복의 범주

어떤 계획에서든 준조립된 껍데기는 아벨의 범주를 형성한다.가베르는 사실 어떤 계략에 대해서도 준 논리적인 셰이브들이 특히 품행이 좋은 아벨리안 범주, 그로텐디크 범주라는 것을 보여주었다.^[22]준 콤팩트 준분리형 체계 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}($예를 들어 한 분야에 걸친 대수적 다양성)는 X {\$displaystyle X}$에 대한 아벨의 범주에 의해 가브리엘의 결과를 일반화하면서 이소모르피즘까지 결정된다$.$^[23]null

일관성 있는 코호몰로지

대수 기하학의 근본적인 기술적 도구는 일관성 있는 단층부의 동족학 이론이다.비록 1950년대에야 도입되었지만, 많은 초기 대수 기하학 기법들은 일관성 있는 단층에 적용된 단층 코호몰로지 언어에 의해 명확화된다.일반적으로 말해서, 일관성 있는 피복 공동체는 특정 성질을 가진 기능을 생산하기 위한 도구로 볼 수 있다; 선다발이나 더 일반적인 피복의 섹션은 일반화 함수로 볼 수 있다.복잡한 분석 기하학에서, 일관성 있는 피복 코호몰로지 또한 기초적인 역할을 한다.null

일관성 있는 피복 공동체의 핵심 결과로는 코호몰로지 유한차원성에 관한 결과, 다양한 경우에서 코호몰로지 소멸에 관한 결과, 세레 이중성과 같은 이중성 이론, 호지 이론과 같은 위상과 대수 기하학의 관계, 리만과 같은 피복의 오일러 특성에 대한 공식 등이 있다.n-로치 정리.null

참고 항목

• 피카르 그룹
• 분할자(알지브라질 기하학)
• 반사성 피복
• 인용구획정
• 트위스트 셰이프
• 본질적으로 유한 벡터 번들
• 주요 부품 묶음
• 가브리엘-로센베르크 재건 정리
• 사이비 일관성 있는 피복
• 대수적 스택의 준정합성 피복

메모들

참조

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• Danilov, V. I. (2001) [1994], "Coherent algebraic sheaf", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1984), Coherent Analytic Sheaves, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-69582-7, ISBN 3-540-13178-7, MR 0755331
• Eisenbud, David (1995), Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
• Fulton, William (1998), Intersection Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1700-8, ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323
• 섹션 0.5.3과 섹션 0.5.4
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Mumford, David (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians (2nd ed.). Springer-Verlag. doi:10.1007/b62130. ISBN 354063293X. MR 1748380.
• Onishchik, A.L. (2001) [1994], "Coherent analytic sheaf", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
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• Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics, 61: 197–278, doi:10.2307/1969915, MR 0068874

외부 링크

• The Stacks Project Authors, The Stacks Project
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