리라이 스펙트럼 시퀀스

수학에서 레레이 스펙트럼 시퀀스는 1946년^[1][2] 장 레레이가 도입한 호몰로지 대수학의 선구적인 예였다.오늘날에는 주로 그로텐디크 스펙트럼 시퀀스의 특별한 사례로 볼 수 있다.

정의

Let ${\displaystyle f:X\to Y}$ be a continuous map of topological spaces, which in particular gives a functor ${\displaystyle f_{*}}$ from sheaves of abelian groups on ${\displaystyle X}$ to sheaves of abelian groups on ${\displaystyle Y}$. Composing this with the functor ${\displaystyle \Gamma }$$$ ${\displaystyle {\text{Sh}}_{}}$ ${\displaystyle {\text{Ab}}_{}}$(${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\text{$$Sh}_{\text{Ab}(Y)}$은(는) ${\displaystyle {\text{Sh}}_{}}$ ${\displaystyle {\text{Ab}}_{}}$( $){\displaystyle{\text{}$에 대한 섹션을 취하는 것과 같다.$Sh}_{\text{Ab}(X$ 직접 영상 펑터 $∗{\$의 정의로$$:

${\displaystyle \mathrm {Sh_{Ab}(X)\xrightarrow {f_{*}}\mathrm {Ab}}\mathrm {Ab}}$

따라서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\$의 파생 펑커스는 X$${\$displaystyle$ X$}$에 대한 sheaf cohomology를 계산한다$.$

${\displaystyle R^{i}(\Gamma \cdot f_{*})({\mathcal{F}})=H^{i}(X,{\mathcal{F}).}$

그러나 $∗{\$와 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma$}이$($가) ${\displaystyle {\text{Sh}}_{}}$ ${\displaystyle {\text{Ab}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}X}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\text{)$로 주입 개체를 보내기 때문에$Sh}_{\text{Ab}(X)$에서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$까지 ${\$displaystyle {\$text${} -accyclic$$ 객체를 ${\displaystyle {\text{Sh}}_{}}$ ${\displaystyle {\text{Ab}}_{}Y)}$에서 {\$displaystyle {\$text$}$$Sh}_{\text{Ab}(Y$ 두 번째 페이지가 있는 스펙트럼 시퀀스가^{[3]pg 33,19} 있다.

${\displaystyle E_{2}^{pq}=(R^{p}\Gamma \cdot R^{q}f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p}(Y,R^{q}f_{*}({\mathcal {F}),}$

그리고 그것은 로 수렴된다.

${\displaystyle E^{p+q}=R^{p+q}(\Gamma \circle f_{*})({\mathcal {F})=H^{p+q}(X,{\mathcal {F}).}$

이것을 레레이 스펙트럼 시퀀스라고 한다.

다른 피복 및 복합 피복에 일반화

이 결과는 고정환 A ${\displaystyle A}$에 대해 국소적으로 일정한 $링{\displaystyle \underset{}{}}$ A ${\displaystyle \underset{}{\_}}$ ${\$$A}}$ 위에 모듈 조각을 고려함으로써 일반화될 수 있다$.$ 그런 다음 $개방형{\displaystyle }$ U${\displaystyle x}$ X의 경우 $A{\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\_}}$ ${\$ -modules가$$ 된다.${\displaystyle U\subset X$ 그러한 sheaf $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\text{Sh}}_{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{\_}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}X}$) ${\displaystyle {\mathcal {F}\in {\text}$$Sh}}_{\underline {A}}(X)}$ is an ${\displaystyle {\underline {A}}(U)}$-module for ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$. In addition, instead of sheaves, we could consider complexes of sheaves bounded below ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }\in D_{\underline {A}}^{$$+}($${\displaystyle {\underset{}{})\}}_{}}$의${\displaystyle }$파생$$범주 Sh A _ ( X ) ${\$displaystyle$$ {\$text{$$Sh}}_{\underline{A}(X$ 그러면 sheaf cohomology를 sheaf hypercohomology로 대체한다.

건설

레레이 스펙트럼 시퀀스의 존재는 그로텐디크 스펙트럼 시퀀스의^{[3]pg 19} 직접적인 적용이다.이 상태는 주어진 첨가제 펑터(functor)를 나타낸다.

${\displaystyle {\mathcal {A}\xrightarrow {G} {\mathcal {B}\xrightarrow {F} {\mathcal {C}}$

충분한 주입을 가진 아벨 범주, 왼쪽-exact Functor F$$ ${\displaystyle F}$ 및 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) $F{\displaystyle }$ ${\displaysty F}$ -acyclic$$ 객체에 주입 객체를 보내는$$ 경우 파생된 functors의 이형성이 있다.

${\displaystyle R^{+}(F\circ G)=R^{+}F\circ F^{+}G}$

${\displaystyle 파생\mathcal{}}$ 범주 $D{\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$+ (${\displaystyle {}^{}C}$) ${\displaystyle$ D$^{+}({\mathcal {A}),$$D^{+}({\mathcal{B}),$$D^{+}({\mathcal{C$ 위의 예에서 파생 펑커의 구성을 가지고 있다.

${\displaystyle D^{+}({\text})Sh}_{\text{Ab}(X)\x오른쪽 화살표 {Rf_{*}}D^{+}({\text{\text})Sh}_{\text{Ab}(Y)\xrightarrow {\Gamma }D^{+}({\text{Ab})}$

고전적 정의

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$을(를) 매끄러운 다지관의 연속 지도가 되게 하라$$.If ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ is an open cover of ${\displaystyle Y}$, form the Čech complex of a sheaf ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Sh}}(X)}$ with respect to cover ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ of ${\displaystyle X}$$$:

${\displaystyle {\text{C}}^{p}(f^{-1}{\mathcal {U},{\mathcal {F})}}$

The boundary maps ${\displaystyle d^{p}\colon C^{p}\to C^{p+1}}$ and maps ${\displaystyle \delta ^{q}\colon \Omega _{X}^{q}\to \Omega _{X}^{q+1}}$ of sheaves on ${\displaystyle X}$ together give a boundary map on the double complex ${\displaystyle {\text{C}}^p(f^{-1}}$${\displaystyle {\text{$$C}}^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},\Oomega _{X}^{q}}}})$

${\displaystyle D=d+\delta \colon C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet })\longrightarrow C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }).}$

이 이중 콤플렉스는 또한 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 경계도인 것에 대해 ${\displaystyle n}$= p${\displaystyle }$+ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n=p+q}$로 등급이 매겨진 단일 콤플렉스다$.$$U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 각 유한 교차점이 R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$과(와) 차이점이라면$,$ 코호몰로지임을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle H_{D}^{n}(C^{\bullet })(f^{-1}{\mathcal {U},\Oomega _{X}^{\bullet })=H_{\text{dR}}^{n}(X,\mathb {R} )}$

$이{\displaystyle }$ 콤플렉스는 X {\displaystyle $X}$의 de Rham $cohomology$이다$.$^{[4]: 96} 게다가,^{[4]: 179 [5]} 어떤 이중 콤플렉스는 E와 함께 스펙트럼 시퀀스를 가진다.

${\displaystyle E_{\infit }^{n-p,p}={\text{}}}}{{dR}^{n}(C^{\bullet })(f^{-1}{\mathcal{U}),\Oome_{X}^{\bullet }}}}}}}}}}}$

(이들의 합이 $H{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle d_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n ${\$이고,$$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U},{\mathcal {H}^{q}),}$

여기서 ${\displaystyle {Hq}^{}}$ ${\$는 X 송신 U${\displaystyle q^{}}$ Hq${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle U}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle F}$ )${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U,F$ 이러한 맥락에서 이것을 Leray 스펙트럼 시퀀스라고 한다.

The modern definition subsumes this, because the higher direct image functor ${\displaystyle R^{p}f_{*}(F)}$ is the sheafification of the presheaf ${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$.

예

• Let ${\displaystyle X,F}$ be smooth manifolds, and ${\displaystyle X}$ be simply connected, so ${\displaystyle \pi _{1}(X)=0}$. We calculate the Leray spectral sequence of the projection ${\displaystyle f\colon X\times F\to X}$. If the cover ${\displa$$ystyle {\mathcal{U}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$이(가) 좋음$$(마지막 교차점은 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$

${\displaystyle {\mathcal{H}^{p}(f^{-1}U_{i})\simeq H^{q}(F)}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 간단히 연결되기 때문에 국소적으로 일정한 사전 준비는 일정하므로, 이것은 일정한 사전 준비 ${\displaystyle {Hq}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}F}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle {\underset{}{\mathbb{}}}^{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{{}_{}}}$ ${\displaystyle {q_{}}^{}}$ ${\$ H$^{q}={\underline {\mathb{R}}}}}{n_{q$ 따라서 레이어 스펙트럼 시퀀스의 두 번째 페이지는 다음과 같다.

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U},H^{q}(F))=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U},\mathb {R} )\otimes H^{q}(F)}$

As the cover ${\displaystyle \{f^{-1}(U_{i})\}_{i\in I}}$ of ${\displaystyle X\times F}$ is also good, ${\displaystyle H^{p}(f^{-1}(U_{i});\mathbb {R} )\cong H^{p}(f;\mathbb {R} )}$. So

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X)\otimes H^{q}(F)\\Longrightarrow \ H^{p+q}(X\time F,\mathb {R} )}$

여기서 $우리$가 처음 사용하는 f ${\displaystyle f}$은 단순한 섬유 묶음이 아니라 투영이다$$. ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}의 모든 요소는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ F ${\displaystyle$ X$\time$ F$}$에 실제로 닫힌 차등 형태이므로$$d와 ${\delta}$를 모두$$ 적용하면 0이 된다.따라서 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ $이$는 X ${\displaystyle X}$에 대한 귄네스 정리를 간단하게 연결한 것을 증명한다.

${\displaystyle H^{\bullet }(X\time Y,\mathb {R} )\simeq H^{\bullet }(X)\otimes H^{\bullet }(Y)}$

• If ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ is a general fiber bundle with fibre ${\displaystyle F}$, the above applies, except that ${\displaystyle V^{p}\to H^{p}(f^{-1}V,H^{q})}$ is only a locally constant presheaf, not constant.

• Serre 스펙트럼 시퀀스를 이용한 모든 계산은 상수 피복에 대한 Leray 시퀀스다.

퇴화 정리

$C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 걸친 준투사 품종 범주에는 레레이 스펙트럼 시퀀스에 대해 Pierre Deligne와 Blandard에 의해 입증된 퇴화 정리가 있는데${\displaystyle ,}$ $이$는 f →${\displaystyle Y}$의 부드러운 투사형 형태론이 ${\displaystyle {E2\mathrm{}}_{}}$ ${\colon X\to Y}$을($으$)를 우리에게 제공한다고 기술하고 있다$.$$Le E_{2$}}: - $Q{\displaystyle {\underset{}{\mathbb{}}}_{}}$ ${\displaystyle {\_}_{}}$ X ${\$에 대한 스펙트럼 시퀀스 페이지가$$ 변질되므로$$

${\displaystyle H^{k}(X;\mathb {Q} )\cong \bigoplus _{p+q=k}H^{p}(Y;\mathbf {R}^{q}f_{*}({\underline {\mathb{Q}}}}}})).}$

Y가 단순히 연결되어 있다면 쉬운 예를 계산할 수 있다. 예를 들어 치수${\displaystyle }$≥ $[\displaystyle \geq$ 2$}$의 완전한 교차점($$이것은 후레위츠 동형식과 렙체츠 하이퍼플레인 정리 때문이다.)In this case the local systems ${\displaystyle \mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})}$ will have trivial monodromy, hence ${\displaystyle \mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\underline {\mat$$hbb{Q}}}}_{$$Y}^{}^{\oplus l_$q}}}. 예를 들어, 매끄러운 K3 표면 위에 3개 속 곡선의 매끄러운$$ 패밀리 $f{\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to$ Y$}$을(를) 고려하십시오.그러면, 우리는 그것을 가지고 있다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\mathbf {R} ^{0}f_{*}({\underline {\mathb{Q}}}) }{{{Y}&\cong {\underline {\mathb {Q}}}}{Y}\\\mathbf {R} ^{1}f_{*}({\underline {\mathb {Q}}}}}}{{}}}Y}&\cong {\underline {\mathb {Q}}}}{Y}^{\oplus 6}\\mathbf {R}^{2}f_{*}({\underline {\mathb {Q}}}}})_{{{}}Y}&\cong {\underline {\mathb {Q}}}}{Y}\end{aigned}}$

${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}페이지$$ 제공

${\displaystyle E_{2}=E_{\nft }={\begin{bmatrix}H^{0}(Y;{\underline {\mathb {Q}}}}}){{Y}&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathb{Q}}}}}){{Y}&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathb{Q}}}}){{Y}\\H^{0}(Y;{\underline {\mathb {Q}}}}}){{Y}^{\oplus 6}&0 H^{2}(Y;{\underline {\mathb {Q}}}}}){{Y}^{\oplus 6}&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathb {Q}}}}}){Y}^{\\oplus 6}\\H^{0}(Y;{\underline {\mathb {Q}}}}}){{Y}&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathb{Q}}}}}){{Y}&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathb{Q}}}}){{Y}\end{bmatrix}}$

모노드로미 예제

부드러운 투영 패밀리의 또 다른 중요한 예는 타원곡선과 연관된 패밀리다.

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-t)}$

$P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\setminus \{}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ $}$ ${\displaystyle \mathb {P} ^{1}\setminus$\{$0,1$,\fschz $\backslash \}\}\}\}$여기서 0과 1의 모노드로미는 Picard–Lefschz 이론을 사용하여 계산할 수 있는데, 로컬 모노드로미(modromy$)$를 합성하여${\displaystyle \mathrm{}}$around ${\\\\\\\\\\\dismattypromattyputholypromultyputyputypromattonyprom$

다른 스펙트럼 시퀀스에 대한 이력 및 연결

레레이가 작업할 당시에는 관련된 두 가지 개념(스펙트럴 시퀀스, 셰이프 코호몰로지) 중 어느 것도 확정적인 상태와 같은 것에 도달하지 못했다.따라서 레레이의 결과가 본래의 형태로 인용되는 경우는 드물다.많은 작업을 거쳐 특히 앙리 카르탄의 세미나에서는 일반적인 그로텐디크 스펙트럼 시퀀스는 아니지만 현대적인 진술이 얻어졌다.

앞서(1948/9) 섬유다발에 대한 함축은 세레 스펙트럼 시퀀스와 공식적으로 동일한 형태로 추출되었으며, 이는 셰이브를 사용하지 않는다.그러나 이 치료법은 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간의 적절한 지도에 적용되는 것처럼 알렉산더-스페인 코호몰로지(Alexander-Spanier cohomology)에 적용되었는데, 스펙트럼 시퀀스의 도출에는 전체 공간에 실제 미분해 등급의 알헤브라의 미세한 조각이 필요했고, 이는 내장을 따라 데 람 복합체를 당겨서 얻었기 때문이다.구체로장-피에르 세레(Jean-Pierre Serre)는 경로 공간 섬유에 적용되는 호몰로학에서 스펙트럼 시퀀스가 필요했으며, 총 공간은 거의 국소적으로 압축되지 않으므로 원래의 레레이 스펙트럼 시퀀스를 사용할 수 없었으며, 따라서 코호몰로지 변형이 일치하는 관련 스펙트럼 시퀀스를 도출했다.위의 순서

알렉산더 그로텐디크가 1957년경 달성한 공식에서, 레레이 스펙트럼 시퀀스는 두 유도 펑커의 구성을 위한 그로텐디크 스펙트럼 시퀀스다.

참고 항목

• 세레 스펙트럼 시퀀스 - 추가 예시
• Grotendieck 스펙트럼 시퀀스 - Leray 스펙트럼 시퀀스 구성을 포함하는 추상 이론용
• 혼합 호지 모듈

참조

외부 링크

• 리레이 스펙트럼 시퀀스 수학 백과사전 조항
• 스택 프로젝트의 링 스페이스에 대한 Leray 스펙트럼 시퀀스 문서