혼합 호지 모듈

수학에서 혼합 호지 모듈은 호지 이론, 혼합 호지 구조, 교차 코호몰로지, 분해 정리가 6개의 펑터 형식주의를 통해 퇴보하는 혼합 호지 구조의 변형을 논하기 위한 일관된 틀을 산출하는 것이다.Essentially, these objects are a pair of a filtered D-module $(M,F^{\bullet })$ together with a perverse sheaf ${\mathcal {F}}$ such that the functor from the Riemann–Hilbert correspondence sends $(M,F^{\bullet })$ to ${\displaystyle$ ${\mathcal{F$ 이렇게 하면 피사체가 발견되었을 때의 주요 문제 중 하나인 교차로 코호몰로지(chodge)에 호지 구조를 구성할 수 있다.이것은 호지 구조의 호지 여과기의 아날로그로서 일관성 있는 D-모듈의 여과물을 이용하는 방법을 발견한 사이토 모리히코에 의해 해결되었다.^[1]이것은 교차 코호몰로지 껍질 위에 호지 구조물을 주는 것을 가능하게 했는데, 그것은 아벨의 비뚤어진 껍질 범주에 있는 간단한 물체들이다.

추상구조

꽤 정교한 혼합 호지 모듈 정의에 대한 nitty gritty 세부사항으로 들어가기 전에 혼합 호지 모듈의 범주가 실제로 무엇을 제공하는지 이해하는 것이 유용하다.복잡한 대수적 품종 $X$ $X$ 을(를) 지정하면 아벨 범주 ${\textbf {MHM}}(X)$ ${\textbf {MHM}(X)$ 이(가) 있으며 $X$ , 다음과 ${\textbf {MHM}}(X)$ ^[2]^{pg 339} 같은 펑토릭 특성을 가지고 있다.

충실한 functor ${\text{rat}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ X ${\text{rat}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ : ${\text{rat}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ ${\text{rat}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ ${\text{rat}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ ( X ${\text{rat}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ ) ${\text{rat}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ → ${\text{rat}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ ${\text{rat}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ ${\text{rat}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ ${\text{rat}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ ( ${\text{rat}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ X ${\text{rat}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ ; ${\text{rat}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ $){\displaystyle{\text{rat}_{X}:$ $D^{b}{\textbf {MHM}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathb {Q})}}$ 은(는) 합리화 펑터라고 ${\text{rat}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ 불렀다.이것은 혼합된 Hodge 모듈의 근본적인 합리적 왜곡된 피복을 제공한다.
충실한 functor ${\text{Dmod}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})$ ${\text{Dmod}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})$ : ${\text{Dmod}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})$ b ${\text{Dmod}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})$ ( X ${\text{Dmod}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})$ ) ${\text{Dmod}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})$ → ${\text{Dmod}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})$ ${\text{Dmod}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})$ ${\text{Dmod}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})$ h ${\text{Dmod}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})$ ( ${\text{Dmod}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})$ $){\displaystyle {\text{Dmod}_{X}:$ $D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{coh}^{b}({\mathcal{D}_{X}})$ 이(가) 혼합된 Hodge 모듈을 기본 D-module로 전송함 ${\text{Dmod}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})$
이러한 펑커들은 $DR_{X}:D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )$ $DR_{X}:D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )$ D $DR_{X}:D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )$ X : $DR_{X}:D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )$ $DR_{X}:D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )$ h b ( $DR_{X}:D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )$ X $DR_{X}:D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )$ ) $DR_{X}:D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )$ → $DR_{X}:D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )$ c $DR_{X}:D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )$ b $DR_{X}:D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )$ ( $DR_{X}:D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )$ ; $DR_{X}:D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )$ ) {\ $displaystyle DR_{X:$ $D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )}$ , meaning for every mixed Hodge module $M$ there is an isomorphism ${\displaystyle \alpha :{\text{rat}}_{X}(M)\otimes \mathbb {C} \xrightarrow {\sim } {\text{$ $DR}_{X}({\text{Dmod}}_{X}(M)})}$ .

또한 다음과 같은 범주형 속성이 있다.

한 점에 걸쳐 혼합 호지 모듈의 범주는 혼합 호지 구조, ${\textbf {MHM}}(\{pt\})\cong {\text{MHS}}$ ${\textbf {MHM}}(\{pt\})\cong {\text{MHS}}$ ${\textbf {MHM}}(\{pt\})\cong {\text{MHS}}$ 의 범주에 이형성이며, ${\textbf {MHM}}(\{pt\})\cong {\text{MHS}}$ ${\$ { $MM}}(\{pt\})\cong {\textb$ }}\context ${M$ } $HS}}$
Every object $M$ in ${\textbf {MHM}}(X)$ admits a weight filtration $W$ such that every morphism in ${\textbf {MHM}}(X)$ preserves the weight filtration strictly, the associated graded objects ${\displays$ $tyle {\text{Gr}_{k}^{W}(M)}$ 은(는) 반단순이며 ${\text{Gr}}_{k}^{W}(M)$ , 한 점에 걸친 혼합 호지 모듈의 범주에서 이는 혼합 호지 구조의 무게 여과에 해당한다.
There is a dualizing functor $\mathbb {D} _{X}$ lifting the Verdier dualizing functor in $D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ which is an involution on ${\textbf {MHM}}(X)$ .

For a morphism $f:X\to Y$ of algebraic varieties, the associated six functors on $D^{b}{\textbf {MHM}}(X)$ and $D^{b}{\textbf {MHM}}(Y)$ have the following properties

$f_{!},f^{*}$ , $∗{\$ 복합 $M^{\bullet }$ $∙{\$ M $^{\bullet }}}$ 의 가중치를 높이지 마십시오 $M^{\bullet }$ .
$f^{!},f_{*}$ , $∗{\$ f $^{!},f_{*}}}$ 복합 $M^{\bullet }$ $∙{\$ 의 $M^{\bullet }$ 가중치를 줄이지 않는다 $f^{!},f_{*}$ .

파생 범주 간의 관계

The derived category of mixed Hodge modules $D^{b}{\textbf {MHM}}(X)$ is intimately related to the derived category of constructuctible sheaves $D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )\cong D^{b}({\text{Perv}}(X;\mathbb {Q} ))$ equivalent는 삐뚤어진 조각의 파생된 범주에 해당된다.이는 합리화 펑터가 복합 Hodge 모듈의 복합 $M^{\bullet }$ $M^{\bullet }$ $∙{\$ M $^{\bullet }}$ 의 $H^{k}$ 코호몰로지 펑터 $H^{k}$ $H^{k}$ ${\$ $H$ $^{k}}$ 와 어떻게 호환되는지 때문이다.합리화를 취할 때 이소모르프리즘이 있다.

${\text{rat}_{X}(H^{k})(M^{\bullet })={\text{{}^{}^{p}{}}}H^{k}({\text{rat}}_{X})(M^{\bullet }})}$

중간 외고집 p{\displaystyle \mathbb{p} 들어}. Note[2]pg 310이것은 함수 p:2N→ Z{\displaystyle \mathbf{p}:2\mathbb{N}\to \mathbb{Z}}p(2k) 보내는 위치를 외고집은 기능 ppseudomanifolds의 사례에서 다르)− k((2k)=-k},:.[2, n $\mathbb {p} :[2,n]\to \mathbb {Z} _{\geq 0}$ where $\mathbf {p} (2k)=\mathbf {p} (2k-1)=k-1$ . Recall this is defined as taking the composition of perverse truncations with the shift functor, so^[2]^{pg 341}

${\text{}^{}{p} {}}H^{k}({\text{rat}}_{X}(M^{\bullet })={\text{}}^{\mathbf{p}}}}\tau _{\leq 0}{\text{p}}}{\geq 0}({\text{rat}}}_{X})(M^{\bullet }[+k])}}}}}}$

This kind of setup is also reflected in the derived push and pull functors $f_{!},f^{*},f^{!},f_{*}$ and with nearby and vanishing cycles $\psi _{f},\phi _{f}$ , the rationalization functor takes these to their analogous perverse functors on the deriv삐뚤삐뚤한 천의 테두리

테이트 모듈 및 코호몰로지

Here we denote the canonical projection to a point by $p:X\to \{pt\}$ . One of the first mixed Hodge modules available is the weight 0 Tate object, denoted ${\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ which is defined as the pullback of its corresponding object in $\mathbb {Q} ^{Hdg}\in {\textbf {MHM}}(\{pt\})$ $\mathbb {Q} ^{Hdg}\in {\textbf {MHM}}(\{pt\})$ $\mathbb {Q} ^{Hdg}\in {\textbf {MHM}}(\{pt\})$ $\mathbb {Q} ^{Hdg}\in {\textbf {MHM}}(\{pt\})$ $\mathbb {Q} ^{Hdg}\in {\textbf {MHM}}(\{pt\})$ $\mathbb {Q} ^{Hdg}\in {\textbf {MHM}}(\{pt\})$ $\mathbb {Q} ^{Hdg}\in {\textbf {MHM}}(\{pt\})$ $\mathbb {Q} ^{Hdg}\in {\textbf {MHM}}(\{pt\})$ $\mathbb {Q} ^{Hdg}\in {\textbf {MHM}}(\{pt\})$ $\mathbb {Q} ^{Hdg}\in {\textbf {MHM}}(\{pt\})$ ) ${\displaystyle \mathb {Q}^{Hdg}\in {\textbf {MHM}}(\{pt\})$ 그러니까 $\mathbb {Q} ^{Hdg}\in {\textbf {MHM}}(\{pt\})$

${\underline {\mathb {Q}}}}}{X}^{Hdg}=p^{*}\mathb {Q}^{Hdg}}$

무게는 0이므로 혼합 Hodge 구조 $\mathbb {Q} ^{Hdg}$ 에서 $\mathbb {Q} (0)$ $\mathbb {Q} ^{Hdg}$ H $\mathbb {Q} ^{Hdg}$ $\mathbb {Q} ^{Hdg}$ {\ $displaystyle \mathb{Q} ^{Hdg}}$ 는 중량 0 Tate 객체 Q ( $\mathbb {Q} (0)$ ) $\mathb {Q$ ( $0)}$ 에 해당한다 $\mathbb {Q} ^{Hdg}$ .이 물체는 6개의 펑터 형식주의를 통해 $X$ $X$ $X$ 의 다양한 공동체를 계산하고 혼합된 Hodge 구조를 주는 데 사용할 수 있기 때문에 유용하다.이것들은 표와 함께 요약될 수 있다.

${\display}H^{k}(X;\mathb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{*}p^{*}}\mathb {Q}^{Hdg}\\H_{c}^{k}(X;\mathb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!}}p^{*}\mathb {Q}^{Hdg}\\H_{-k}(X;\mathb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!}p^{!!}}\mathb {Q}^{Hdg}\\H_{-k}^{BM}(X;\mathb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!}}p^{*}\mathb {Q}^{Hdg}\end{matrix}}$

또한 $i:Z\to X$ 폐쇄된 $i:Z\to X$ i : Z → $i:Z\to X$ {\ $displaystyle$ i $:Z$ \to $X}$ 을(를) 고려할 때 로컬 코호몰로지 그룹이 있음 $i:Z\to X$

$H_{Z}^{k}(X;\mathb {Q} )=H^{k}(\{pt\}},p_{*i_{*i^{!}}{\underline {\mathb {Q}}}}}}}_{X}^{Hdg}}$

혼합 호지 구조물의 변형

$f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ Y {\ $displaystyle$ $f:$ $X\$ $to$ Y}의 $f:X\to Y$ 형태론에 대해 푸시포워드 맵 $f_{*}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ $f_{*}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ Q $f_{!}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ $f_{*}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ $f_{*}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ $f_{*}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ $f_{*}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ ${\$ ${\\$ $mathb{Q}}}}}^{$ $f_{!}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ $}}}}$ $f_{!}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ $f_{!}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ $}}{{\underline{\mathb{Q}}}}}_{X}^{Hdg}}}$ $Y$ {\ $displaystyle Y}$ 에 혼합 호지 구조의 퇴화 변동을 나타내며 $f_{!}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ $Y$ 이러한 변동을 보다 잘 이해하기 위해서는 분해 정리 및 교차 코호몰리학이 필요하다.

교차로 코호몰로지

혼합된 Hodge 모듈의 범주에 대한 정의적 특징 중 하나는 교차 코호몰리가 그 언어로 표현될 수 있다는 사실이다.이를 통해 다양한 종류의 지도 $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ 에 대한 분해 정리를 사용할 수 있다.교차로 콤플렉스를 정의하려면 $j:U\hookrightarrow X$ : $j:U\hookrightarrow X$ $j:U\hookrightarrow X$ X ${\displaystyle j:$ $U\hookrightarrow X}$ 은 $j:U\hookrightarrow X$ (는 $)$ 다양한 $X$ {\ $displaystyle X}$ 의 개방된 매끄러운 부분임. $그러면$ X {\ $displaystyle$ X $}$ 의 교차로 콤플렉스를 다음과 같이 정의할 수 있다 $X$ $X$

$IC_{X}^{\bullet }\mathb {Q}^{Hdg}=j_{!*}{{\underline {\mathb {Q}}}}}}}}_{U}^{Hdg}[d_{X}]$

어디에

$j_{!*}({\underline {\mathb {Q}}}}}}}}_{U}^{Hdg})=\operatorname {Image} [j_{!}}}({\underline {\mathb {Q}}}}}}}}_{U}^{Q}}\to j_{*}({\underline {\mathb {Q}}}}}}{U}^{Hdg})}}}}}$

삐뚤삐뚤하게^[2]^{pg 311}특히 이 설정을 사용하여 교차 코호몰로지 그룹을 표시할 수 있다.

$IH^{k}(X)=H^{k}(p_{*})IC^{\bullet }{\underline {\mathb {Q} }}}$

순수한 중량 $k$ ${\displaysty k}$ Hodge $k$ 구조를 가지고 있다.

참고 항목

참조

^ "Hodge structure via filtered $\mathcal{D}$-modules". www.numdam.org. Retrieved 2020-08-16.
^ ^a ^b ^c ^d Peters, C. (Chris) (2008). Mixed Hodge Structures. Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-77017-6. OCLC 1120392435.

혼용 Hodge 모듈에 대한 젊은이의 안내서

[1] "Hodge structure via filtered $\mathcal{D}$-modules". www.numdam.org. Retrieved 2020-08-16.

[:0-2] Peters, C. (Chris) (2008). Mixed Hodge Structures. Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-77017-6. OCLC 1120392435.

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