모듈 조각

In mathematics, a sheaf of O-modules or simply an O-module over a ringed space (X, O) is a sheaf F such that, for any open subset U of X, F(U) is an O(U)-module and the restriction maps F(U) → F(V) are compatible with the restriction maps O(U) → O(V): the restriction of fs is the restriction of f times that of s for any f in O(U) and s in F(U).null

표준적인 경우는 X가 계획이고 O가 그것의 구조 피복일 때 이다.O가 상수 sheaf $Z{\displaystyle \underset{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\$인 경우$,$ O-modules의 sheaf는 아벨리아 그룹의 sheaf(즉, 아벨리안 sheaf)와 같다.null

X가 링 R의 주요 스펙트럼인 경우, 어떤 R-모듈도 O-모듈_X(관련 피복이라고 함)을 자연적으로 정의한다.마찬가지로, 만약 R이 등급화된 고리이고 X가 R의 Proj라면, 어떤 등급화된 모듈도 O-module을_X 자연적으로 정의한다.그런 식으로 생겨나는 O-모듈은 준정합성 피복의 예로서, 사실, 붙임성 또는 투영성 계략에서 모든 준정합성 피복은 이런 방법으로 얻는다.null

고리 모양의 공간 위에 있는 모듈 덩어리들은 아벨의 범주를 형성한다.^[1]또한 이 범주에는 충분한 주입물이 있으며,^[2] 결과적으로 피복합물학 $H{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle X}$, -${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {H}$^{$i}(X,-)}$을 글로벌 섹션 펑커 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}(X}$,${\displaystyle }$)의 i번째 오른쪽 파생 펑커로 정의할 수 있으며, 이 범주는 $X,-}$를 정의한다$.$^[3]

예

• 링이 있는 공간(X, O)이 주어지면 F가 O의 O-submodule이라면 X의 각 오픈 서브셋 U에 대해 F(U)가 링 O(U)의 이상이기 때문에 O의 이상 또는 이상 sheaf라고 부른다.
• X를 차원의 매끄러운 다양성이 되게 하라.그러면 X의 접선 피복은 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$의 이중이고, 표준 ${\displaystyle {피복}_{}}$은 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$의 n번째 외부 전력(결정력)이다$.$
• 알헤브라의 한 조각은 또한 반지의 한 조각인 모듈의 한 조각이다.

운영

(X, O)를 링이 있는 공간으로 두자.만약 F와 G가 O-module이라면, 그 텐서 제품은 다음과 같이 표시된다.

${\displaystyle }$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle O_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F\otimes _{O}G}$ 또는$$ $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$ G ${\displaystyle F\otimes$ G$\},$

is the O-module that is the sheaf associated to the presheaf ${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes _{O(U)}G(U).}$ (To see that sheafification cannot be avoided, compute the global sections of ${\displaystyle O(1)\otimes O(-1)=O}$ where O(1) is Serre's twisting sheaf on a projective space.)null

마찬가지로 F와 G가 O-모듈이면

${\displaystyle {\mathcal {H}om_{O}(F,G)}$

Sheaf $U{\displaystyle }$dule ${\displaystyle {\mathrm{Hom}}_{}}$ ${\displaystyle O_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ U${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle G}$ $){\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} _{O _{U}(F$ _${U}G$_{$U}})$ . 특히 O-module을 가리킨다$.$^[4]

${\displaystyle {\mathcal {H}om_{O}(F,O)}$

F의 이중 모듈이라 불리며 $F{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{ˇ}}$ ${\$로 표시된다$.$ 참고: 모든 O-module E, F에 대해 표준 동형성이 있다.

${\displaystyle \stackrel{}{E}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{ˇ}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \to H\mathcal{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ m O${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$ ) $displaystyle$ {\E$}\otimes F\to {\mathcal {H}om_{O}(E,F$

E가 유한 계급의 국부적으로 자유로운 피복일 경우 이형성인 것이다.특히 L에 로컬로 1등급이 없는 경우(이러한 L을 변위 불능 피복(invertible sheaf) 또는 선다발(line bundle)이라고 한다)^[5]에는 다음과 같이 적혀 있다.

${\displaystyle {\cHECK{L}\times L\simeq O,}$

불변성 피복의 이형성 계급을 암시하는 것은 그룹을 형성한다.이 그룹은 X의 Picard 그룹이라고 불리며 첫 번째 공동호몰로지 그룹 H ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (X}$, ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$) ${\displaystyle \operatorname {H}^{1}(X$, ${\mathcal {O}^{*})$와 함께 표준 인수로 표준적으로 식별된다.$$null

If E is a locally free sheaf of finite rank, then there is an O-linear map ${\displaystyle {\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _{O}(E)\to O}$ given by the pairing; it is called the trace map of E.

모든 O-module F에 대해 F의 텐서 대수, 외부 대수 및 대칭 대수 등은 동일한 방식으로 정의된다.예를 들어 k-th 외부 전원

$\displaystyle \bigwedge ^{k}F}$

is the sheaf associated to the presheaf ${\textstyle U\mapsto \bigwedge _{O(U)}^{k}F(U)}$. If F is locally free of rank n, then ${\textstyle \bigwedge ^{n}F}$ is called the determinant line bundle (though technically invertible sheaf) of F, denoted by det(F).자연스러운 완벽한 짝짓기가 있다.

$\displaystyle \bigwedge ^{r}F\여러 번 \bigwedge ^{n-r}F\to \det(F).}$

렛 f: (X, O) → (X', O')는 고리형 공간의 형태론이다.F가 O-모듈이라면, 직접 이미지 $image{\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{*}F}$는 자연도 O' →fO를_* 통한 O'모듈이다$$(이러한 자연지도는 링이 있는 공간의 형태론 데이터의 일부분임).null

G가 O'모듈인 경우 G의 모듈 역 이미지 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ G ${\displaystyle f^{*}G}$는 모듈의 텐서 제품으로 주어진 O-모듈이다.

${\displaystyle f^{-1}G\otimes _{f^{-1}O'}O}$

$여기$서 $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{G}}^{}}$ ${\displaystyle$ f$^{-1}G}$은(는${\displaystyle {)}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$와 f - 1${\displaystyle }$O$$ → ${\displaystyle O}$ {\$displaystyle$f^{-$1}O$'\$to$ O$}$에서 O ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaysty O'\to f_{*}O$}O$}$의 역 이미지 조각이다.null

모든 O-module F와 O'module G에 대해 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\$ $f$$^{*}}$와 $F{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ f$^\{*\}\}$ 사이에 조정 관계가 있다.

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{O}(f^{*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} _{O'}(G,f_{*}F)}$

아벨 집단투영 공식도 있다: O-module F와 유한 등급의 국소 자유 O'module E의 경우,

${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E.}$

특성.

(X, O)를 링이 있는 공간으로 두자.O-module F는 O-module의 추설이 있을 경우 글로벌 섹션에 의해 생성된다고 한다.

$\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O\to F\to 0}$

명시적으로, 이것은 각 스토크_x F에 있는 s의_i 영상이 O-module로서_x F를_x 생성하는 것과 같은 F의 전역 섹션이_i 있다는 것을 의미한다.null

그러한 피복의 예로는 R-모듈 M, R은 링 Spec(R)의 스펙트럼에 있는 모든 정류 링과 대수 기하학적 기하학에 관련된 것이다.다른 예: Cartan의 정리 A에 따르면, 스타인 다지관의 모든 일관성 있는 피복은 전지구적인 섹션으로 확장된다. (cf)세레의 정리 A)계략 이론에서 관련 개념은 충분한 선다발이다.(예를 들어 L이 선다발이라면 그 중 어느 정도는 글로벌 섹션에 의해 생성된다.)null

주입형 O-모듈은 플라스크(즉, 모든 제한 맵 F(U) → F(V)는 굴절성)이다.^[6]플라스크 셰이프는 아벨 셰이브 범주에서 반복되므로, 이는 O-module 범주에서$$ 글로벌 섹션 펑터 $($,${\displaystyle }$-${\displaystyle }$)의 i번째 오른쪽 파생 펑터($functor)$가 아벨 셰이브 범주에서 일반적인 i번째 셰이프 코호몰로지($X,-)$와 일치함을 의미한다.^[7]null

모듈에 연결된 톱니바퀴

Let ${\displaystyle M}$ be a module over a ring ${\displaystyle A}$. Put ${\displaystyle X=\mathrm {Spec} (A)}$ and write ${\displaystyle D(f)=\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (A[f^{-1}])}$. For each pair ${\displaystyle D(f)\subs$국산화라는 보편적 속성에 의한 $eteq D(g)}$, 자연지도가 있다.

${\displaystyle \rho _{g,f:M[g^{-1}]\to M[f^{1}]}$

$\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {g,}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ =${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {g,}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, f ${\$h}\$circle \rho_{h,$f}}}}. 그러면$.$

$[\displaystyle D(f)\mapsto M[f^{-1}]}$

범주의 상이한 펑터로서, 범주의 대상은 세트 D(f)이며, 세트 포함을 아벨 그룹 범주로 형태화한다.실제로 B-shheaf(즉, 접착 공리를 만족함)임을^[8] 보여줄 수 있으며, 따라서 M과 연관된 sheaf라고 불리는 X의 sheaf $M{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$을 정의할 수 있다.

The most basic example is the structure sheaf on X; i.e., ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$. Moreover, ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ has the structure of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$-module and thus one gets the exact functoRM↦ M~{\displaystyle M\mapsto{\widetilde{M}}}ModA에서, 모듈의 모듈의 OX{\displaystyle{{O\mathcal}}_{X}에 대한 범주에 대한 범주}. 그것은, 역 Γ(X, −){\displaystyle \Gamma(X,-)}, 함께 ModA에서 X에서quasi-coherent 볏짚을 단의 범주에 등가성을 정의합니다.g로발 단면 펑터X가 노메테리아어일 때 펑터는 미세하게 생성된 A-모듈 범주에서 X의 일관성 있는 절편 범주까지 동등하다.

A-모듈 M, N,

• ${\displaystyle M}$[ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$~${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle M_{}\stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$( f${\displaystyle {}_{}}$) ${\$^[9]
• O_p = ${\displaystyle {A-module}_{}}$로 $M{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ p ${\displaystyle {}_{}}$ M ${\displaystyle p_{}}$ ${\$의 모든 프라임 이상 p에 대해, O = A-module_p.
• ${\displaystyle (M}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$~ ${\displaystyle \simeq {}_{}}$ A${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle N_{}\stackrel{}{}}$~ ${\$^[10]
• If M is finitely presented, ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})}$.^[10]
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))}$, since the equivalence between Mod_A and the category of quasi-coherent sheaves on X.
• ${\displaystyle (\underset{}{임}}$ →${\displaystyle \underset{}{}}$ M ${\displaystyle i_{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$~ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{임}}$ →${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{M_{}}}$ i${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$~ ${\$^[11] 특히 직불금과 ~ 출퇴근을 한다.

등급이 매겨진 모듈에 연결된 톱니바퀴

앞의 절에는 시공 및 동등성에 대한 등급별 유사성이 있다.R은 R-알지브라₀(R은₀ 0도를 의미함)로 도원소자에 의해 생성되는 등급이 지정된 링이고 M은 등급이 지정된 R-모듈이다.X를 R의 Proj가 되게 하라(그래서 R이 노메테리아라면 X는 투영적인 계책이다).그 다음 $O-module{\displaystyle \stackrel{}{}}$ M${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$가$$ 있어 R의 양성 정도를 가진 모든 동질 원소에 대해 자연 이형성이 있다.

${\displaystyle {\widetilde{M} _{\f\neq 0\}}\simeq (M[f^{-1}]_{0}^{\sim }}}}}}}}$

부속서 체계${\displaystyle }${${\displaystyle f0}$ 0${\displaystyle \}}$ = ${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle [{\mathrm{f}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{}_{}}$1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ )$${\$displaystyle \{f\neq$ 0$\}=\operatorname {Spec}(R[f^{-1}]_{0$^[12] 실제로 이것은 접착제로$$ $M{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$을 정의한다.null

Example: Let R(1) be the graded R-module given by R(1)_n = R_n+1. Then ${\displaystyle O(1)={\widetilde {R(1)}}}$ is called Serre's twisting sheaf, which is the dual of the tautological line bundle if R is finitely generated in degree-one.null

만약 F가 X의 O-모듈이라면, $F{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \otimes }$ O${\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle F(n)=$라고 쓰시오.$F\otimes$ O$(n$ 표준 동형성이 있다.

${\displaystyle \left(\bigoplus _{n\geq$$^{\sim }\to$ F$,\},$

F가 준일치인 경우에만 이형성인 것이다.null

컴퓨터 피복 코호몰로지

이 구간은 확장이 필요하다.덧셈으로 도와줘도 된다(2016년 1월)

셰이프 코호몰로지(Sheaf cohomology)는 계산하기 어려운 것으로 유명하다.이 때문에 다음 일반적인 사실은 모든 실제 계산을 위해 필수적이다.

Serre의 정리 A는 X가 투사성 품종이고 F가 그 위에 일관성 있는 껍질이라면, 충분히 큰 n에 대해서는 F(n)가 미세하게 많은 글로벌 부분에 의해 생성된다고 기술하고 있다.게다가

1. 각 i에 대해 R을ⁱ₀ 통해 H(X, F)가 미세하게 생성되며,
2. (세레의 정리 B) F에 따라 정수 n이₀ 있는데, 그런 것이 있다.
   $${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F(n)=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}.}$$

   

셰프 확장

(X, O)를 링이 있는 공간으로 하고, F, H를 X에 O-module 한 덩어리로 한다.H by F의 확장은 O-module의 짧은 정확한 순서다.

$F\오른쪽 화살표 G\오른쪽 화살표 H\오른쪽 화살표 0.}$

그룹 확장과 마찬가지로 F와 H를 고치면 H by F에 의한 확장의 모든 동등성 등급이 아벨 그룹(cf)을 형성한다.Baer sum), which is isomorphic to the Ext group ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$, where the identity element in ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$ corresponds to the trivial extension.null

H가 O인 경우, 우리는 다음을 가지고 있다: 어떤 i 0 0에 대해서도,

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\mathrm {Ext} _{O}^{i}(O,F),}$

양쪽이 모두 동일한 functor${\displaystyle }\gamma {\displaystyle \mathrm{}(X}$, - )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{Home}}_{}}$ ${\displaystyle O_{}(O,}$- ) . ${\displaystyle \Gamma(X,-)=\operatorname {Hom}$_{O$}($$O$,-)의 오른쪽 파생 펑커들이기 때문이다.$}$

참고: 일부 저자들, 특히 Hartshorne은 첨자 O를 삭제한다.

X가 노메테리아 반지에 대한 투영적인 계획이라고 가정하자.F, G는 X와 I의 정수를 일관성 있게 깎도록 하라.그렇다면 그런 것은 없다₀.

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt_{$$O}^{i}(F,G(n)),\,n\geq n_{0$^[13]

로컬에서 사용 가능한 해상도

${\displaystyle \mathcal{E}}$ ${\displaystyle \mathcal{x}}$ ${\displaystyle \mathcal{t}(F}$, ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle {\mathcal {Ext}({\mathcal {F},{\mathcal${$G$$})$은(는) 로컬 자유 분해능을 사용하여$$ 일관성 있는 모든 sheaf ${\displaystystyle$ {\$mathcal$ {F$}$에 대해 쉽게 계산할 수 있다$$.^[14] 복합적인 경우

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {L}_{2}\to {\mathcal {L}{1}\to {\mathcal {0}\mathcal {F}\to 0}$

그때

${\displaystyle {\mathcal {RHOM}({\mathcal {F},{\mathcal {G})={\mathcal {Hom}({\mathcal {L}_{\bullet },{\mathcal {G})}}}}}}$

이 때문에

${\displaystyle {\mathcal {Ext}^{k}({\mathcal {F},{\mathcal {G})=h^{k}({\mathcal {Hom}}{\mathcal {L}{\bullet},{\mathcal})}$

예

초저면

도 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$의 부드러운 초경면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 고려하십시오$.$그러면, 우리는 해상도를 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {O}(-d)\to {\mathcal {O}}$

그리고 그것을 발견하다.

${\displaystyle {\mathcal {O}_{X},{\mathcal {F}}}=h^{i}({\mathcal {Hom})({\mathcal {O}(-d)\to {\mathcal {O},{\mathcal {F})}}}}}}$

매끄러운 전체 교차로 연합

그 계획을 고려하라.

${\displaystyle X={\text{Proj}}\좌측({\frac {\mathb {C}[x_{0},\ldots,x_{n}}]{{f){(g_{1},g_{3}}}\rig)\subseteq \mathb {P}^{{{n}}}}}}}}}}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (f,g_{1},g_{2},g_{3}})$은 매끄러운 전체 교차점이며$$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle$ $\deg($$f)=$$d$$\},$ $($ $i)$= e ${\$

${\displaystyle{{O\mathcal}}(-d-e_{1}-e_{2}-e_{3}){\xrightarrow{\begin{bmatrix}g_{3}\\-g_{2}\\-g_{1}\end{bmatrix}}}{\begin{행렬}{{O\mathcal}}(-d-e_{1}-e_{2})\\\oplus \\{{O\mathcal}}(-d-e_{1}-e_{3})\\\oplus \\{{O\mathcal}}(-d-e_{2}-e_{3})\end{매트릭스}}{\xrightarrow{\begin{bmatrix}g_{2}&, g_{3}&, 0\\-g_{1}&, 0&, -g_{3}\\0&, -g_{1}&am.p/&g_{2}\end{bmatrix}}}{)begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}fg_{1}&fg_{2}&fg_{3}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}}$

$E{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{x}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{t}}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$(${\displaystyle O\mathcal{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$, F$){\displaystyle$ {$O}_{X}$을(를) 계산하는 데 사용할 수 있는$$ O ${\displaystyle X_{}}$, ${\displaystyle$ ${\mathcal {\O}_{X}, {\mathcal {F}}}$ 확인$.$

참고 항목

• D-모듈(O 대신 D, 미분 연산자의 피복도 고려할 수 있다.)
• 분수의 이상
• 홀로모르프 벡터 묶음
• 일반적 자유성

메모들

참조

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157