로컬 시스템

수학에서 국소 계수는 대수학적 위상으로부터 나온 개념으로, 고정된 아벨리아 그룹 A에서 계수를 갖는 호몰로지 이론이나 코호몰로지 이론과 대략적으로 말하면 위상학적 공간 X에서 점마다 계수를 변화시킬 수 있는 일반 셰이프 코호몰로지 사이의 일종의 반쪽 단계다.그러한 개념은 1943년 노먼 스틴로드에 의해 도입되었다.^[1]

정의

X를 위상학적 공간이 되게 하라.X의 로컬 시스템(아벨 그룹/모듈/...)은 X의 로컬 상수 피복(아벨 그룹/모듈...)이다.즉, ${\mathcal {L}}$ 포인트에 L ${\mathcal {L}}|_{U}$ ${\displaystyle$ ${\mathcal {L}}$ {\ $mathcal$ ${\mathcal {L}}|_{U}$ { $L}$ $_{U}$ 이 $U$ (가) 일정한 sheaf가 되도록 ${\mathcal {L}}|_{U}$ 오픈된 $근린$ U ${\displaystyle$ U $}$ 이(가) 있는 경우 sheaf L ${\$ displaystytle {\ $mathcal$ { $L}$ _{U}은 로컬 시스템이다 ${\mathcal {L}}$ .

등가정의

경로연결공간

X가 경로에 연결된 경우, 아벨리아 그룹의 로컬 ${\mathcal {L}}$ ${\mathcal {L}}$ L ${\$ 은(는) 모든 지점에서 동일한 섬유 L을 갖는다.그러한 지역적 시스템을 부여하는 것은 동형성을 부여하는 것과 같다.

\rho :\pi _{1}(X,x)\to {\text{자동}(L)

지역 모듈 시스템도 마찬가지로... $\pi _{1}(X,x)\to {\text{End}}(L)$ 시스템 ${\mathcal {L}}$ ${\$ ${{1}(X,x)\text{End}$ 에 로컬 시스템 L {\ $displaystyle$ ${\$ $mathcal$ ${\mathcal {L}}$ { $L$ $}$ 을(를) 제공하는 $\pi _{1}(X,x)\to {\text{End}}(L)$ 지도를 ${\mathcal {L}}$ $\pi _{1}(X,x)\to {\text{End}}(L)$ $($ $\pi _{1}(X,x)\to {\text{End}}(L)$ x ) $\pi _{1}(X,x)\to {\text{End}}(L)$ → $\pi _{1}(X,x)\to {\text{End}}(L)$ }( $L$ $)$ 라고 ${\mathcal {L}}$ 한다 ${\mathcal {L}}$

등가증명서

로컬 시스템 ${\mathcal {L}}$ ${\$ 을 $\mathcal{L}$ (를) 사용하고 루프 $\gamma$ {\ $displaystyle \gamma$ }을(를) x에 $\gamma$ 가져오십시오. $[0,1]$ $[0,1]$ $[0,1]$ $[0,1]$ 의 모든 로컬 시스템이 일정하다는 $[0,1]$ 것을 쉽게 보여줄 수 있다.예를 들어 $\gamma ^{*}{\mathcal {L}}$ $\gamma ^{*}{\mathcal {L}}$ $\gamma ^{*}{\mathcal {L}}$ ${\$ 은(는) 일정하다 $\gamma ^{*}{\mathcal {L}}$ .This gives an isomorphism $(\gamma ^{*}{\mathcal {L}})_{0}\simeq \Gamma ([0,1],{\mathcal {L}})\simeq (\gamma ^{*}{\mathcal {L}})_{1}$ , i.e. between L and itself.Conversely, given a homomorphism $\rho :\pi _{1}(X,x)\to {\text{End}}(L)$ , consider the constant sheaf ${\underline {L}}$ on the universal cover ${\widetilde {X}}$ of X. ${\underline {L}}$ ${\underline {L}}$ ${\$ 의 갑판 변환 변위 부분은 X에 ${\underline {L}}$ 로컬 시스템을 제공한다.마찬가지로, 갑판-변환-변환 등가변 섹션은 X에 또 다른 로컬 시스템을 제공한다: 충분히 개방된 집합 U에 대해, 그것은 다음과 같이 정의된다.

{\mathcal{L}(\rho )_{U}\ =\ \left\{{\text{sections }}s\in {\underline {L}}_{\pi ^{-1}(U)}{\text{ with }}\theta \circ s=\rho (\theta )s{\text{ for all }}\theta \in {\text{ Deck}}({\widetilde {X}}/X)=\pi _{1}(X,x)\right\}

여기서 $\pi :{\widetilde {X}}\to X$ : $\pi :{\widetilde {X}}\to X$ ~ $\pi :{\widetilde {X}}\to X$ → $\pi :{\widetilde {X}}\to X$ $\pi :{\widetilde{X}\to X$ 는 범용 덮개 입니다 $\pi :{\widetilde {X}}\to X$ .

이는 (X 경로 연결의 경우) 로컬 시스템이 정확하게 피복이며, X의 범용 피복으로 되돌아가는 피복은 상수 피복은 상수 피복이다.

비연결공간에 대한 보다 강력한 정의

또 다른(강성, 비양수적) 정의 일반화 2 및 비연결 X에 대한 작업: 공변량 펑터

{\mathcal{L}\colon \Pi _{1}(X)\textbf {Mod}(R)

from the fundamental groupoid of $X$ to the category of modules over a commutative ring $R$ . Typically $R=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ . What this is saying is that at every point $x\in X$ we should assign a module $M$ $표현$ $\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}_{R}(M)$ 1 $\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}_{R}(M)$ ( $\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}_{R}(M)$ , $\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}_{R}(M)$ ) $\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}_{R}(M)$ → $\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}_{R}(M)$ R ( $\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}_{R}(M)$ ) ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to$ {\ $text$ {\text $}$ $이러한$ 표현이 기본 그룹에 대한 $x\to y$ $x\to y$ → y ${\displaystyle$ x $\to$ y $}$ 의 변경과 호환되도록 자동 $}_{R}(M)}.$

예

계속 깎는다.예를 들어 ${\underline {\mathbb {Q} }}_{X}$ ${\underline {\mathbb {Q} }}_{X}$ ${\underline {\mathbb {Q} }}_{X}$ ${\$ 이 도구는 sheaf cohomology 이래의 cohomology 계산에 유용한 도구다. $H^{k}(X, {\underline {\mathb {Q} }}}}}\cong H_{\text{X}}}^{k}(X,\mathb {Q} )$ $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 의 단일한 코호몰로지와의 이형성 $X$
$X=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ . Since $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\})=\mathbb {Z}$ , there are $S^{1}$ -many linear systems on X, the ${\displaystyle \theta \in \math$ $bb {R}$ 단조로운 표현으로 주어진 $\theta \in \mathbb {R}$ 것 $\pi _{x}(X)=\mathb {Z} \to {\text{자동}_{\mathb {C} }(\mathb {C} )$ $n\mapsto e^{in\theta }$ $n\mapsto e^{in\theta }$ $n\mapsto e^{in\theta }$ $n\mapsto e^{in\theta }$ $n\mapsto e^{in\theta }$ $n\mapsto e^{in\theta }$ ${\$ 을(를) 전송함
평평한 연결이 있는 벡터 번들의 수평 섹션. $E\to X$ → $E\to X$ $E\to X$ 이(가) 플랫 연결 $\nabla$ $\nabla$ 이(가) 있는 벡터 번들이라면 $E\to X$ $\nabla$ $E_{U}^{\nabla }=\left\{\text{{\text{sections }s\in \Gamma(U,E){\text{ 가로: }\nabla s=0\right\}}}}$ 지역 시스템이다.
$E=X\times \mathbb {C} .^{n}$ 를 들어 X $X=\mathbb {C} \setminus 0$ = $X=\mathbb {C} \setminus 0$ ∖ 0 ${\displaystyle$ X $=\mathb {C} \setminus$ 0 $E=X\times \mathbb {C} .^{n}$ 및 E $X=\mathbb {C} \setminus 0$ $E=X\times \mathbb {C} .^{n}$ = $E=X\times \mathbb {C} .^{n}$ $E=X\times \mathbb {C} .^{n}$ $E=X\times \mathbb {C} .^{n}$ . $E=X\times \mathbb {C} .^{n}$ ${\$ {C $} ^{n}}}}}$ 을 $E=X\times \mathbb {C} .^{n}$ 사소한 번들로 취한다.Sections of E are n-tuples of functions on X, so $\nabla _{0}(f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})$ defines a flat connection on E, as does ${\displ$ $\Theta$ $\nabla(f_{1},\dots,f_{n})=(df_{1},\dots,df_{n}-\Theta(x)(f_{1},\$ $dots,$ $f_$ ${n$ $}})^{$ t $\Theta$ $}}}}.$ 수평 단면은 그 다음이다.
$E_{U}^{\nabla }=\left\{1},\dots,f_{n}\in E_{U}:(df_{1},\dots,df_{n}=\)세타(f_{1},\dots,f_{n})^{t}\오른쪽\}}$ 즉, 선형 미분 방정식 d $df_{i}=\sum \Theta _{ij}f_{j}$ i $df_{i}=\sum \Theta _{ij}f_{j}$ = $df_{i}=\sum \Theta _{ij}f_{j}$ ∑ $df_{i}=\sum \Theta _{ij}f_{j}$ $df_{i}=\sum \Theta _{ij}f_{j}$ j f $df_{i}=\sum \Theta _{ij}f_{j}$ {\ $displaystyle df_{$ i}=\ $sum \theta _{ij}f_{$ j $df_{i}=\sum \Theta _{ij}f_{j}$ 에 대한 해법.
If $\Theta$ extends to a one-form on $\mathbb {C}$ the above will also define a local system on $\mathbb {C}$ , so will be trivial since $\pi _{1}(\mathbb {C} )=0$ . So to give an interesting example, choose one with a pole at 0:
$\theta ={\begin{pmatrix}0&dx/x\\dx&e^{x}dx\end{pmatrix}}}}$ 이 경우 $\nabla =d+\Theta$ = d + $\nabla =d+\Theta$ ${\displaystyle \nabla$ = $d+\$ $세타 }$ , $E_{U}^{\nabla }=\left\{f_{1},f_{2}:U\to \mathb {C} \\{\f'_{1}=f_{2}/x\ \f_{2}/x\f_{1}+e^{x_{2}\}}}$
지도 $X\to Y$ → $X\to Y$ ${\displaystyle X\to Y$ $\{1,\dots ,n\}$ 을(를) 포함하는 n-시트 $\{1,\dots ,n\}$ n-shheet)는 $X\to Y$ 로컬 시스템이며 $\{1,\dots ,n\}$ $\{1,\dots ,n\}$ 로 설정된 $\{1,\dots ,n\}$ 이 있는 로컬 시스템이다 $\{1,\dots ,n\}$ 1,\ $dots,n\}$ 마찬가지로, 개별 파이버를 가진 섬유 다발은 각 경로가 지정된 기준점까지 고유하게 상승하기 때문에 로컬 시스템이다.(정의는 설정값 로컬 시스템을 명백한 방법으로 포함하도록 조정한다.)
X에 있는 k-벡터 공간의 로컬 시스템은 그룹 $\pi _{1}(X,x)$ 1 $\pi _{1}(X,x)$ ( X $\pi _{1}(X,x)$ , $){\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ 의 k-선형 표현과 동일하다 $\pi _{1}(X,x)$
X가 품종이라면 국부 시스템은 O-modules와 더불어 정합성이 더해진 D-module과 같은 것이다.

연결이 평평하지 않은 경우, x에서 수축 가능한 루프 주위로 파이버를 병렬로 운반하면 기준점 x에서 파이버의 비종속적인 자동형성을 제공할 수 있으므로 이러한 방법으로 국소 상수 피복을 정의할 기회가 없다.

Gauss-Manin 연결은 연결의 매우 흥미로운 예로서, 수평 부분은 Hodge 구조물의 변동 연구에 사용된다.

일반화

지역 체계는 건설 가능한 피복에 대해 약간의 일반화를 가지고 있다.로컬 경로에 연결된 위상학적 공간 $X$ $X$ 의 구성 가능한 피복은 피복 ${\mathcal {L}}$ ${\$ 이며 $X$ , 이러한 ${\mathcal {L}}$ 피복은 다음 계층화가 존재한다.

X=\coprod X_{\lambda }}

여기서 ${\mathcal {L}}|_{X_{\lambda }}$ ${\mathcal {L}}|_{X_{\lambda }}$ ${\$ 은(는) 로컬 시스템이다 ${\mathcal {L}}|_{X_{\lambda }}$ .이것들은 일반적으로 $f:X\to Y$ 연속 지도 $f:X\to Y$ 에 대해 파생된 푸시포워드의 공호학을 취함으로써 발견된다: $f:X\to Y$ X $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ ${\displaystyle f:X\to Y$ 예를 들어, 형태론의 복잡한 지점을 살펴보면,

f:X={\text{Proj}\왼쪽({\frac {\mathb {C}[s,t][x,y,z]}{stf(x,y,z)}}}}}}\text{Spec}(\mathb {C}[s,t]))로)

그리고 섬유질이 넘치다.

\mathb {A} _{s,t}^{2}-\mathb {V}(st)

$f$ $f$ 이(가 $f$ 제공한 평면 곡선이지만, $\mathbb {V}$ ${\$ 위에 있는 섬유는 $\mathbb {P} ^{2}$ 2 ${\$ { $P}^2$ 파생된 푸시포워드 R $\mathbf {R} f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})$ X $){\displaystyle \mathbf$ { $R}f$ {R} f_ ${{{!$ $}}({\underline$ {\ $mathb {Q} }} }})$ 그러면 $\mathbf {R} f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})$ 구성 가능한 피복이 나온다. $\mathbb {V}$ ${\$ 를) 통해 로컬 $\mathbb {V}$ 시스템을 구축함

{\begin{aigned}\mathbf {R}^{0}f_{!}}({\underline {\mathb {Q}}}}}_{\mathb {V}(st)}&={\derline {\mathb {Q}}}}}}{\mathb {V}\mathbf {R}^{2}f_{!}}({\underline {\mathb {Q}}}}}_{\mathb {V}(st)}&={\derline {\mathb {Q}}}}}}{\mathb {V}\mathbf {R}{4}f_{!}}}({\underline {\mathb {Q}}}}_{\mathb {V}(st)}&={\derline {\mathb {Q}}}}}}{\mathb {V}\mathbf {R}{k}f_{!}}}({\underline {\mathb {Q}}}}}_{\mathb {V}(st)}&={\underline {0}_{\mathb {V}(st){\text}{\datab{ined}}}}}{\text}}}}}}}}}}

$\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)$ , $\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)$ $\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)$ - $\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)$ ( $\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)$ $\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)$ ) ${\displaystyle \mathb {A} _{s,t}^{2}-\mathb {V}(st)$ 를 초과하는 동안 로컬 $\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)$ 시스템이 있음

{\begin{aigned}\mathbf {R}^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X}) _{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{1}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X}) _{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}^{\oplus 2g}\\\mathbf {R} ^{2}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X}) _{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X}) _{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}{\text{ otherwise}}\end{aligned}}

여기서 $g$ $g$ 은 $g$ 평면 곡선의 속( $g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2$ = $g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2$ ( $g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2$ $g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2$ ( f $g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2$ ) $g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2$ - $g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2$ ) $g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2$ ( $g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2$ $g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2$ ( $g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2$ $g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2$ - $g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2$ ) $g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2$ / $g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2$ ${\displaystyle g=(\displaysty(f)-1)(\displaysty(f)-2$ )-2 $}).$

적용들

방향 피복에 해당하는 모듈의 국소 계수를 가진 코호몰리를 사용하여 방향성이 없는 다지관에 대한 푸앵카레 이중성을 공식화할 수 있다: 트위스트 푸앵카레 이중성을 참조한다.

참고 항목.

참조

^ Steenrod, Norman E. (1943). "Homology with local coefficients". Annals of Mathematics. 44 (4): 610–627. doi:10.2307/1969099. MR 0009114.

외부 링크

"What local system really is". Stack Exchange.
Schnell, Christian. "Computing Cohomology of Local Systems" (PDF). 꼬인 de Rham 복합체를 사용하여 로컬 시스템의 계수로 코호몰로지 계산에 대해 논의한다.
Williamson, Geordie. "An illustrated guide to perverse sheaves" (PDF).
MacPherson, Robert (December 15, 1990). "Intersection homology and perverse sheaves" (PDF).
El Zein, Fouad; Snoussi, Jawad. "Local systems and constructible sheaves" (PDF).

[1] Steenrod, Norman E. (1943). "Homology with local coefficients". Annals of Mathematics. 44 (4): 610–627. doi:10.2307/1969099. MR 0009114.

[1]

Search