콤팩트한 지지를 받는 코호몰로지

수학에서 콤팩트한 지지를 받는 코호몰로지(cohomology)는 특정한 코호몰로지 이론을 말하는데, 보통 코코클이 콤팩트한 지지를 받아야 하는 조건이 있다.

콤팩트한 지지를 받는 단일한 코호몰로지

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 위상학적 공간으로 두십시오$$.그러면

${\displaystyle \displaystyle H_{c}^{\ast }(X;R):=\varinjlim _{K\subseteq X\,{\text{compact}}}}H^{\ast }(X,X\setminus K;R)}$

This is also naturally isomorphic to the cohomology of the sub–chain complex ${\displaystyle C_{c}^{\ast }(X;R)}$ consisting of all singular cochains ${\displaystyle \phi :C_{i}(X;R)\to R}$ that have compact support in the sense that there exists some compact ${\displaystyle K\s$$ubseteq X$$},$ $즉$ X${\displaystyle }$$bs{\displaystyle }$ K {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $X\setminus$K}의$$ 모든 체인에 . ${\$$displaystyle$ X$\$$setminus$ $K$

functorial

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$을(를) 위상학적 공간으로 하고$$ ${\displaystyle p}$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle p:X\to \star$ }지점까지$$ 맵을$$\}한다.컴팩트 서포트 functors $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$!${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle \mathrm{Sh}}$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \text{Sh}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{Ab}}$ ${\$$}}:{\text{Sh}(X)\to${\$text{Sh}(\star )={\text{Ab$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 아벨 $그룹{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\${\$mathcal {F}$을(를) 콤팩트하게 지원하여 코호몰로지 및 코호몰리를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \displaystyle H^{i}(X, {\mathcal {F})\\\R^{i}p_{*}{\mathcal {F},}$

${\displaystyle \displaystyle H_{c}^{i}(X, {\mathcal {F})\\\ R^{i}p_{!}{\mathcal {F}.}$

$F{\displaystyle }$ ${\$에 대해 링 R ${\displaystyle R}$에 계수가 있는 상수 피복은$$ 이전 정의를 복구한다$$.

부드러운 다지관을 위한 콤팩트한 지지의 드 람 코호몰로지

다지관 ${\displaystyle X_{}^{}}$가 주어지면 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}^{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \Oomega _{\mathrm {c}{}^{k}(X)}$을(를) X에 있는 k-forms의 실제 벡터 공간이 되고$$, d는 표준 외부 파생형이 되도록 한다.Then the de Rham cohomology groups with compact support ${\displaystyle H_{\mathrm {c} }^{q}(X)}$ are the homology of the chain complex ${\displaystyle (\Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(X),d)}$:

${\displaystyle 0\to \Oomega _{\mathrm {c}(X)\to \Oomega _{\mathrm {}{c}{1}(X)\to \cdots }$

즉, $H{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}^{}{q}_{}^{}}$ ( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle H_{\mathrm {c}{}^{q}(X)$는 닫힌 q-forms modulo의 벡터 공간이다$$.

Despite their definition as the homology of an ascending complex, the de Rham groups with compact support demonstrate covariant behavior; for example, given the inclusion mapping j for an open set U of X, extension of forms on U to X (by defining them to be 0 on X–U) is a map ${\displaystyle$$j_{*}:\Oomega _{\mathrm {c}^{\bullet }(U)\to \Oomega _{\mathrm {c}{}^{\bullet }(X)}$로 지도를$$ 유도함

${\displaystyle j_{*}:$$H_{\mathrm {c} }^{q}(U)\to H_{\mathrm {c} ^{q}(X)}$.

그들은 또한 적절한 지도, 즉 모든 콤팩트 세트의 역적 이미지가 압축되도록 지도와 관련하여 상반된 행동을 보여준다.Let f: Y → X가 그러한 지도가 되게 한 다음 풀백

${\displaystyle f^{*}:\Oomega _{\mathrm {c}{q}(X)\to \Oomega _{\mathrm {c}{}}}}{q}(Y)\sum _{I}g_{{}}}}}}}}{Oomega \oema _{\to.I}\,dx_{i_{1}}\웨지 \ldots \wedge dx_{i_{q}}\mapsto \{I}(g_{})I}\circle f)\,d(x_{i_{1}}\circle f)\wedge \ldots \wedge d(x_{i_}}}}\circle f)}$

지도를 유도하다

${\displaystyle H_{}^{}}$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle q_{}^{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$→ H ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}^{}q}$ ( Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle H_{\mathrm {c}{}^{q}(X)\to H_{\mathrm {c}{}^{q}(Y)}$.

Z가 X의 하위 관리형이고 U = X–Z가 보완 오픈 세트인 경우, 정확한 순서가 길다.

${\displaystyle \cdots \to H_{\mathrm {c} }^{q}(U){\overset {j_{*}}{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q}(X){\overset {i^{*}}{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q}(Z){\overset {\delta }{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q+1}(U)\to \cdots }$

콤팩트한 지지로 길고 정확한 코호몰로지 순서를 불렀다.X = R², Z에 대해 X의 단순 폐쇄 곡선인 요르단 곡선 정리 등 수많은 응용 프로그램을 가지고 있다.

콤팩트한 지원을 받는 De Rham 코호몰로지(De Rham cohomology)는 공변량 Mayer-Vetoris 시퀀스를 만족한다. U와 V가 X를 포함하는 개방형 세트인 경우, 다음

${\displaystyle \cdots \to H_{\mathrm {c} }^{q}(U\cap V)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(U)\oplus H_{\mathrm {c} }^{q}(V)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(X){\overset {\delta }{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q+1}(U\cap V)\to \cdots }$

모든 지도가 0으로 확장되어 유도되는 곳 또한 정확하다.

참고 항목

• 보렐-모어 호몰로지
• 푸앵카레 이중성
• 시공성 쉬프
• 파생분류

참조

이 글에는 참고문헌, 관련 독서 또는 외부 링크 목록이 수록되어 있으나 인라인 인용구가 부족하여 출처가 불분명하다. 보다 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2016년 3월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

• Iversen, Birger (1986), Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190
• Raoul Bott and Loring W. Tu (1982), Differential Forms in Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag
• "Cohomology with support and Poincare duality". Stack Exchange.