표현 가능한 펑터

수학, 특히 범주 이론에서 표현 가능한 펑터는 임의 범주에서 집합 범주로의 특정 펑터다.그러한 functors는 알려진 구조(즉, 세트와 기능)의 측면에서 추상적인 범주의 표현을 제공하므로 다른 설정에서 세트의 범주에 대한 지식을 최대한 활용할 수 있다.

또 다른 관점에서 범주 C에 대한 표현 가능한 펑커는 C와 함께 주어진 펑커다.그들의 이론은 양자리에서의 상위 집합과 그룹 이론에서의 케일리의 정리를 광대한 일반화한 것이다.

정의

C를 로컬로 작은 범주로 하고 Set를 집합의 범주로 한다.C의 각 객체 A에 대해 Hom(A,–)을 설정된 Hom(A,X)에 객체 X를 매핑하는 홈 펑터가 되도록 한다.

functor F : C → Set는 C의 일부 물체 A에 대해 Hom(A,–)과 자연적으로 이형성이 있으면 표현 가능하다고 한다.F의 표현은 다음과 같은 쌍(A, φ)이다.

φ : 홈(A,–) → F

자연적인 이형성이다.

C에서 Set까지 상쇄되는 functor G는 functor G : C^op → set와 같은 것으로 흔히 presheaf라고 부른다.사전 예방접종은 C의 일부 물체 A에 대해 대립되는 홈-기능자 홈(–,A)과 자연적으로 이형성이 있을 때 나타낼 수 있다.

범용요소

요네다의 보조정리법에 따르면, Hom(A,–)에서 F(A)로 자연 변형은 F(A)의 요소와 일대일 일치한다.자연변환 φ : Hom(A,–) → F 해당요소 u ∈ F(A)는 다음과 같이 주어진다.

$u=\ displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}).\,}$

반대로, 어떤 요소 u ∈ F(A)에 따라 우리는 자연적 변환 φ : Hom(A,–) → F를 통해 정의할 수 있다.

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(FF)(u)\,}$

여기서 f는 Hom(A,X)의 요소다.F의 표현을 얻기 위해 우리는 u에 의해 유도된 자연적 변형이 언제 이형성인지 알고 싶다.이를 통해 다음과 같은 정의가 도출된다.

functor F : C → Set의 보편적 요소는 (A,u) C의 물체 A와 u(A) F(A)로 구성되는 쌍으로, v f F(X,v)와의 모든 쌍에 대해 (F)u = v와 같은 고유한 형태론 f : A → X가 존재한다.

범용 요소는 원포인트 집합 {•}에서 펑터 F까지 범용 형태론 또는 F의 요소 범주에서 초기 개체로 볼 수 있다.

요소 u ∈ F(A)에 의해 유도된 자연적 변환은 (A,u)가 F의 보편적 요소인 경우에만 이형성이다.따라서 우리는 F의 표현이 F의 보편적 요소와 일대일 일치한다고 결론짓는다.이 때문에 보편적 요소(A,u)를 표현으로 지칭하는 것이 일반적이다.

예

• 각 세트를 해당 전원 세트에 매핑하고 각 기능을 역 이미지 맵에 매핑하는 역방향 functor P : Set → Set를 고려하십시오.이 functor를 나타내기 위해서는 쌍(A,u)이 필요하다. 여기서 A는 집합이고 u는 A(A)의 부분 집합이다. 즉, P(A)의 요소로서 모든 집합 X에 대해 Home-set Hom(X,A)은 φ_X(f) = (PF) = f⁻¹(u)를 통해 P(X)에 이형성이 된다.Take A = {0,1} 및 u = {1}.부분 집합 S ⊆ X가 주어지면 X부터 A까지의 해당 함수는 S의 특성함수다.
• 세트에 대한 건망증이 심한 장난꾼들은 종종 대표적이다.특히 발전기 u와 함께 1톤 세트에 걸쳐 A가 자유로운 물체일 때마다 건망증이 있는 functor는 (A, u)로 표현된다.
  • 망각적인 functor Grp → 그룹 카테고리에 설정된 것은 (Z, 1)로 나타낸다.
  • 건망증이 심한 펑터 링 → 링 카테고리에 설정된 링은 정수 계수가 있는 한 변수의 다항식 링인 (Z[x] x)으로 표현된다.
  • 망각적인 펑터 벡트 → 실제 벡터 공간의 범주에 설정된 것은 (R, 1)로 표현된다.
  • 위상학적 공간의 범주에 설정된 망각적인 펑터 탑 → Set는 그 고유한 요소를 가진 어떤 단일 톤 위상학적 공간으로 표현된다.
• 그룹 G는 우리가 •에 의해 나타내는 하나의 객체를 가진 범주(그룹형도 포함)로 간주될 수 있다.G에서 Set까지의 functor는 G-set에 해당한다.G에서 Set까지 고유의 홈 펑터 홈(•,–)은 왼쪽 곱셈의 작용으로 표준 G-set G에 해당한다.그룹 이론의 표준 인수는 해당 G-set이 단순히 transitive(즉, G-torsor 또는 힙)인 경우에만 G-set의 functor를 나타낼 수 있다는 것을 보여준다.표현을 선택하는 것은 힙의 ID를 선택하는 것과 같다.
• C를 연속함수의 호모토피 클래스에 의해 주어지는 형태론을 가진 CW 복합체의 범주가 되게 한다.각 자연수 n에 대해 각 CW 복합체에게 n^th 코호몰로지 그룹(정수계수 포함)을 할당하는 역변동 펑터ⁿ H : C → Ab가 있다.이것을 건망증이 심한 펑터(functor)와 함께 작곡하면 C에서 Set까지 상반되는 펑터가 나온다.대수적 위상에서의 브라운의 대표성 정리는 이 펑터가 에일렌버그-맥레인 공간이라고 불리는 CW 복합 K(Z,n)로 표현된다고 말한다.
• R은 정체성을 가진 상호 작용 링이 되게 하고, R-모드는 R-모듈의 범주가 되게 한다.If M and N are unitary modules over R, there is a covariant functor B: R-Mod → Set which assigns to each R-module P the set of R-bilinear maps M × N → P and to each R-module homomorphism f : P → Q the function B(f) : B(P) → B(Q) which sends each bilinear map g : M × N → P to the bilinear map f∘g : M × N→Q.Functor B는 R-module M ⊗_R N으로 표현된다.^[1]

특성.

유니크함

functors의 표현은 독특한 이소모르퍼리즘에 이르기까지 독특하다.즉, (A₁, A,R₁)과 (A₂,R₂)가 동일한 functor를 나타낸다면, 독특한 이형성 φ이₁ 존재한다 : A → A₂.

${\displaystyle \Phi \{1}^{-1}\circule \Phi _{2}=\mathrm {Hom}(\varphi ,-)}$

Hom(A₂,–)에서 Hom(A₁,–)까지 자연 이형성으로서.이 사실은 요네다의 보조정리에서는 쉽게 따라온다.

보편적 요소들의 관점에서 언급된다: (A₁,u₁)와 (A₂,u₂)가 동일한 functor를 나타낸다면, 독특한 이형성 φ이₁ 존재한다 : A → A₂.

${\displaystyle(F\varphi )u_{1}=u_{2}.}$

한계 보존

대표 가능한 펑커는 홈 펑커와 자연적으로 이형성이기 때문에 그들의 속성을 공유한다.특히 (공변량) 표현 가능한 펑터는 모든 한계를 보존한다.그것은 어느 정도 한도를 보존하지 못하는 어떤 펑터도 대표할 수 없다는 것을 따른다.

반비례적인 표현 가능한 펑커들은 한계에 도달하기 위해 콜리미트를 가져간다.

왼쪽 맞춤

임의의 functor K : C → Set with left adjoint F : Set → C는 (FX, η_X(•)로 표시되며, 여기서 X = {•}은 싱글톤 세트, η은 부속의 단위다.

반대로 K가 한 쌍(A, u)으로 표현되고 A의 모든 소형 복사기가 C에 존재한다면 K는 각 세트 I를 A의 Ith 코파워로 보내는 좌측 조정 F를 가진다.

따라서, C가 모든 소형 복사기가 있는 범주라면, 펑터 K : C → Set는 좌측 조정자가 있는 경우에만 나타낼 수 있다.

보편적 형태 및 부호와의 관계

범용 형태론과 조정형 펑커스의 범주형 개념은 모두 표현 가능한 펑커를 사용하여 표현할 수 있다.

G : D → C를 functor로 하고 X를 C의 대상이 되게 한다.그 다음에 (A,1963)는 (A,1963)이 D에서 세트까지의 펑터 홈_C(X,G–)을 나타내는 경우에만 X에서 G까지의 범용 형태론이다.C의 모든 X에 대해 Hom_C(X,G–)을 나타낼 수 있는 경우에만 G가 좌경 F를 갖는다는 것을 따른다.자연 이형성 Ⅱ_X : Hom_D(FX,–) → Hom_C(X,G–)은 비례성을 산출한다. 즉

${\displaystyle \Phi _{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}(FX,Y)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}(X,GY)}}$

모든 X와 Y에 대한 편향이다.

이중 진술도 사실이다.F : C → D를 functor로 하고 Y를 D의 대상이 되게 한다.그 다음 (A,1963)은 (A,1963)이 C에서 Set까지의 functor_D Hom(F–,Y)을 나타내는 경우에만 F에서 Y까지의 범용 형태론이다.Hom_D(F–,Y)이 D의 모든 Y에 대해 나타낼 수 있는 경우에만 F가 우경화 G를 갖는다는 것을 따른다.

참고 항목

• 하위 객체 분류기
• 밀도 정리

참조

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.