기본 변경 정리

수학에서, 기저 변화 이론은 칼집의 직접적인 이미지와 풀백과 관련이 있다.더 정확히 말하자면, 그들은 다음과 같은 자연적인 셰이브의 변형에 의해 주어지는 기저 변화 지도에 관한 것이다.

g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F})}}}}}}

어디에

{\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\\\}}{\\to }}&#\downarrow &&\downarrow f\\\\\\\}S'&{\\stackrel {g}{{\\to }&S\end{array}}}

위상학적 공간의 데카르트 사각형이며, ${\mathcal {F}}$ ${\$ {\ $mathcal{F}}$ 는 ${\mathcal {F}}$ X 위의 피복이다.

그러한 이론들은 기하학의 다른 가지에 존재한다: (본질적으로 임의적인) 위상학적 공간과 적절한 지도 f, (Quasi-) 일관성 있는 피복과 피복 또는 g 평탄화에 대한 대수 기하학 기하학에서, 유사하게 분석 기하학에서, f etale 또는 g smooth를 위한 etale 피복 또한 있다.

소개

단순한 기저 변화 현상은 A가 정류 고리, B와 A'가 두 개의 A-알제브라일 때 나타난다.Let $B'=B\otimes _{A}A'$ $B'=B\otimes _{A}A'$ = $B'=B\otimes _{A}A'$ $B'=B\otimes _{A}A'$ $B'=B\otimes _{A}A'$ $B'=B\otimes _{A}A'$ ${\$ B $'=B\otimes _{A$ 이러한 상황에서 B-module M으로 볼 때 (A' - modules의) 이형성이 있다.

{\displaystyle(M\otimes _{B}B')_{A'}\cong (M_{A})\otimes _{A}A'.}

여기서 첨자는 건망증 펑터를 나타낸다. 즉, $M_{A}$ $M_{A}$ ${\$ 은(는 $M_{A}$ ) M이지만 A-모듈로 간주된다.실제로 그러한 이형성은 관찰함으로써 얻어지는 것이다.

M\otimes _{B}B'=M\otimes _{B}B\otimes _{A}A'\cong M\otimes _{A}A}

따라서 두 가지 작업, 즉 건망증이 있는 펑거와 텐서 제품은 위의 이형성(異形性)이라는 의미에서 통근한다.아래에서 논의되는 기저 변화 이론은 유사한 종류의 진술이다.

기본 변경 맵 정의

아래에 제시된 기저 변화 이론은 모두 다음과 같은 기저 변화 지도를 주장한다.

g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F})}}}}}}

이형성(異形性)이며, 여기서

{\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\\\}}{\\to }}&#\downarrow &&\downarrow f\\\\\\\}S'&{\\stackrel {g}{{\\\}}&S\\\end{array}}}

데카르트 사각형을 이루는 위상적 공간 사이의 연속적 지도와 ${\mathcal {F}}$ ${\$ 는 ${\mathcal {F}}$ X의 피복이다.^[1]여기서 $R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}$ $R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}$ $R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}$ {\ $displaystyle R^{i$ }f_ ${*}{\}{\mathcal$ ${F$ $}}}}}$ 은(는) f 아래에 ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ F ${\mathcal {F}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal$ {F $}}$ 의 높은 직접 이미지를 나타낸다 $R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}$ $f_{*}$ 즉, 직접 이미지의 파생 펑터(일명 푸시포워드) ${{\displaysty f_for$ f.

이 지도는 지도 f와 g에 어떠한 가정도 없이 존재한다.다음과 같이 구성된다: $g'^{*}$ $g'^{*}$ $g'^{*}$ ${\$ $displaystyle$ g $'^{*}}$ 은 $g'^{*}$ (는) $display$ {\ $displaystyle$ g'_ ${*}$ 에 연접하기 때문에 자연지도(단위지도라고 함)가 있다 $g'_{*}$

\propertyname {id} \to g'_{*}\properties g'^{*}}

등등

R^{r}f_{*}\to R^{r}f_{*}\circle g'_{*}\circle g'^{*}}.

그러면 그로텐디크 스펙트럼 시퀀스는 첫 번째 맵과 마지막 맵(에지 맵)을 다음과 같이 제공한다.

R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}\to R^{r}(f\circ g')_{*}\circ g'^{*}=R^{r}(g\circ f')_{*}\circ g'^{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.

이것을 위의 생산량과 결합하면

R^{r}f_{*}\to g_{*}\circle R^{r}f'_{*}\circle g'^{*}.

$∗{\$ 와 $g^{*}$ $g_{*}$ $g_{*}$ ${\$ 의 연관을 사용하여 최종적으로 $g_{*}$ 원하는 지도를 산출한다.

전술한 입문 예제는 $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ 의 특별한 경우로서, 즉, $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ 체계 X $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ = $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ ( $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ ) , $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ S = $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ ( A $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ ) $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ , $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ = $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ ′ $X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')$ ) ${\displaystyle$ X $=\operatorname {Spec}$ ( $B),$ $S=\operatorname {Spec}(A),$ $S'=\operatorname {Spec} (A')}$ and, consequently, $X'=\operatorname {Spec} (B')$ , and the quasi-coherent sheaf ${\mathcal {F}}:={\tilde {M}}$ associated to the B-module M.

하나의 높은 직접 영상 펑터만을 포함하는 위의 베이스 변경 맵을 한 $R^{r}f_{*}$ 에 모든 $R^{r}f_{*}$ R r $R^{r}f_{*}$ $R^{r}f_{*}$ {\ $displaystyle$ R $^{r}f_{*}}}$ 를 인코딩하는 맵으로 구성하는 것이 개념적으로 편리하다.실제로 위와 유사한 논거에서는 S'에 있는 Shave의 파생 범주에 지도를 산출한다.

g^{*}RF_{*}({\mathcal {F})\Rf'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F})}}

여기서 $Rf_{*}$ $∗{\$ 는 $f_{*}$ $f_{*}$ ${\$ 의 (총) 파생 펑터를 나타낸다 $Rf_{*}$ $f_{*}$

일반 위상

적정기준변경

X가 Hausdorff 위상 공간인 경우, S는 국소적으로 컴팩트한 Hausdorff 공간이며 $X\times _{S}T\to T$ 는 보편적으로 닫혀 있다( $X\times _{S}T\to T$ , X $X\times _{S}T\to T$ $X\times _{S}T\to T$ $X\times _{S}T\to T$ → T $[\displaystyle X\$ $time$ $_{S}T}$ 는 $X\times _{S}T\to T$ 모든 연속 $T$ → $}$ 에 대한 닫힌 맵이다). $T\to S$ 그 다음 기본 지도를 변경한다.

g^{*}R^{r}f_{*}{\mathcal {F}\to R^{r}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}

이소모르프다.^[2]실제로, 우리는 $s\in S$ 과 같이 $s\in S$ : s $s\in S$ : s {\ $displaystyle$ s $\in S$

{\displaystyle(R^{r}f_{*}{\mathcal {F})_{s}=\varinjlim H^{r}(U,{\mathcal {F})==H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}),\quad X_{s}=f^{-1}s}

$s=g(t)$ = $s=g(t)$ ( $s=g(t)$ ) $s=g(t)$ 의 경우

g^{*}{r}f_{*}{\mathcal{F}}}_{t}=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F})==H^{r}(X'_{t},g'^{*}{\mathcal{F})=R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F})_{t}}}}

$∗{\$ 의 모든 개별 상위 파생 펑터를 하나의 엔터티로 $f_{*}$ 인코딩하려면, 위의 문장이 base change map(기본 변경 맵)이라고 하여 동등하게 다시 인코딩할 수 있다.

g^{*}RF_{*}{\mathcal {F}\ref'에 {*}g'^{*}{\mathcal {F}}

준이형성증이다.

관련 공간이 하우스도르프라는 가정은 슈너러&소어겔(2016년)에 의해 약화됐다.

루리(2009)는 위의 정리를 비아벨리안 셰이프 코호몰로지(non-abelian sheaf cohomology), 즉 (아벨리아 그룹과는 반대로) 단순 집합의 값을 취합하는 것으로 확장했다.^[3]

컴팩트한 지원 기능을 갖춘 직접 이미지

지도 f가 닫히지 않은 경우, 다음과 같은 예(지도는 표준 포함)에서 알 수 있듯이 베이스 변경 지도가 이형일 필요는 없다.

{\begin{array}{rcl}\emptyet &{\stackrel {g'}{}}{{0\}\f'\downarrow &&\downarrow &&\\downarrow f\\\\}&}\stackreel {g}{}\}}}}}}}}}}\mathb {c}\c}\mathb}}\mathb}{c}}}\c}}\c}}\mathb}}}}}}

One the one hand $f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}$ is always zero, but if ${\mathcal {F}}$ is a local system on $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ corresponding to a representation of the fundamental group ${\displaystyle \pi _{1$ $}(X)}$ (which is isomorphic to Z), then $g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}$ can be computed as the invariants of the monodromy action of $\pi _{1}(X,x)$ on the stalk ${\mathcal {F}}_{x}$ (for any $x\neq 0$ ), whic사라질 필요가 없다.

베이스 변경 결과를 얻으려면 펑터 f ${\$ 또는 파생 펑터)를 컴팩트 서포트 $Rf_{!}$ $Rf_{!}$ ${\$ 로 직접 이미지로 교체해야 한다. $Rf_{!}$ 예를 들어 $f:X\to S$ : $f:X\to S$ → S ${\displaystyle$ f $:X\to$ S $}$ 이 $f:X\to S$ (가) 위의 예와 같이 열린 하위 집합이 포함된 경우, $Rf_{!}{\mathcal {F}}$ $Rf_{!}{\mathcal {F}}$ ! F ${\$ $}{\mathcal{F}}}$ 은(는) 0으로 확장된 것이며 $Rf_{!}{\mathcal {F}}$ , 즉, 줄기는 다음에서 주어진다.

(Rf_{!}}{\mathcal{F}}_{s}={\begin{case}{\mathcal{F}_{s}\in X,\0&s\notin X.\end{case}}

일반적으로 지도 $Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}$ $Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}$ ! $Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}$ → $Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}$ $Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}$ $Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}$ F ${\$ $}}{\mathcal{F}\to Rf_{*}{\mathcal{F$ f가 적절하다면 준 이형성이지만 일반적으로는 그렇지 않다.위에서 언급한 적절한 기저 변화 정리는 다음과 같은 일반화를 가지고 있다: 준 이형성이^[4] 있다.

g^{*}Rf_{!}{\mathcal{F}\Rf'_{!}g'^{*}{\mathcal {F}}.

준정합성 피복의 기저변동

적정기준변경

Proper base change theorems for quasi-coherent sheaves apply in the following situation: $f:X\to S$ is a proper morphism between noetherian schemes, and ${\mathcal {F}}$ is a coherent sheaf which is flat over S (i.e., ${\mathcal {F}}_{x}$ is flat over ${\mathcal {O}}_{S,f(x)}$ ${\mathcal {O}}_{S,f(x)}$ ${\mathcal {O}}_{S,f(x)}$ , ${\mathcal {O}}_{S,f(x)}$ ( ${\mathcal {O}}_{S,f(x)}$ ) ${\$ 이러한 상황에서 다음과 같은 진술은 유지된다.^[5]

"세미콘틴티뉴 정리":
- $p\geq 0$ $p\geq 0$ $p\geq 0$ 0 ${\displaystyle p\geq 0$ 에 대해 함수 $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z}$ $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z}$ $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z}$ k $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z}$ ( s $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z}$ ) $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z}$ $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z}$ $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z}$ ( $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z}$ $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z}$ , $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z}$ $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z}$ ) $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z}$ : $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z}$ → $s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z}$ ${\$ $H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}_{s}):$ $S\to \mathb {Z}$ }은(는) 위쪽 세미콘틴입니다 $s\mapsto \dim _{{k(s)}}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to {\mathbb {Z}}$ .
- 함수 $s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})$ $s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})$ ( $s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})$ s $s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})$ ) ${\displaystyle s\mapsto \chi({\mathcal {F}_{s}})$ 는 로컬로 일정하며 $s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})$ , $\chi ({\mathcal {F}})$ 서 $\chi ({\mathcal {F}})$ ( $\chi ({\mathcal {F}})$ $\chi ({\mathcal {F}})$ {\ $displaystyle \chi({\mathcal {F})}$ 는 오일러 특성을 나타낸다 $\chi ({\mathcal {F}})$ .
"Grauert의 정리": S를 축소하고 연결하면 각 $p\geq 0$ ≥ $p\geq 0$ $[\displaystyle p\geq$ 0 $}$ 에 대해 다음과 같다 $p\geq 0$ .
- $s\mapsto \dim _{k(s)$ $H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}_{s}})$ 은 $s\mapsto \dim _{{k(s)}}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})$ (는) 일정하다.
- $R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}$ $R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}$ $R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}$ $R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}$ ${\$ 은 $R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}$ (는) 로컬로 비어 있으며 자연도(Natural map)

R^{p}f_{*}{\mathcal {F}\otimes _{{\mathcal {O}_{S}k(s)\to H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}_{s}}}}}}}}}}}

모든

s\in S

s\in S

s\in S

s\in S

에 대한 이형성이다

s\in S

게다가, 만약 이런 조건들이 지속된다면, 자연지도는

R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}\otimes _{{\mathcal {O}_{S}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}_{s}}}}}}}}}}}}

모든

s\in S

s\in S

s\in S

s\in S

에 대한 이형성이다

s\in S

일부 $H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0$ 의 경우 $H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0$ 모든 $s\in S$ $H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0$ S ${\$ $displaystyle H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}_{s}=0})$ 에 대해 H p( $H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0$ s , $H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0$ $s\in S$ ) $H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0$ = $H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0$ {\ $displaystyle s\in$ S $s\in S$ 이면 자연도.

R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}\otimes _{{\mathcal {O}_{S}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}_{s}}}}}}}}}}}}

모든

s\in S

s\in S

s\in S

s\in S

에 대한 이형성이다

s\in S

sheaf $R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}$ $R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}$ f $R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}$ F ${\$ R $^{p}f_{*}{\mathcal{F}}}$ 의 줄기가 f에 따른 점 섬유질의 코호몰로지(cohomology)와 밀접하게 연관되어 $R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}$ 있으므로, 이 진술은 "코호몰로지(cohomology)는 염기 확장과 통한다"^[6]는 말로 패러디된다.

These statements are proved using the following fact, where in addition to the above assumptions $S=\operatorname {Spec} A$ : there is a finite complex $0\to K^{0}\to K^{1}\to \cdots \to K^{n}\to 0$ of finitely generated projective A-modules and a natural functors의 이형성

H^{p}(X\times _{S}\operatorname {Spec} -,{\mathcal {F}\otimes _{A}-)\to H^{p}(K^{\bullet }-), p\geq 0

$A$ $A$ -algebras $A$ 범주에 포함.

플랫 베이스 변경

기본 변경 맵

g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F})}}}}}}

$지도$ $g:S'\rightarrow S$ : $g:S'\rightarrow S$ $g:S'\rightarrow S$ → $g:S'\rightarrow S$ ${\displaystyle g:$ $S'\\오른쪽$ 화살표 $S}$ 은 $g:S'\rightarrow S$ 평평하다(여러 기술적 조건과 함께: f는 유한 유형의 분리된 형태론이어야 하며, 관련된 계획은 노메트리안이 되어야 한다).^[7]

파생 범주의 플랫 베이스 변경

기본 변경 맵을 고려할 때 플랫 베이스 변경의 광범위한 확장이 가능하다.

Lg^{*}RF_{*}({\mathcal {F})\Rf'_{*}(Lg'^{*}{\mathcal {F})}

위에서 언급한 것과 유사하게 S'에 있는 피복의 파생 범주에서.Here $Lg^{*}$ is the (total) derived functor of the pullback of ${\mathcal {O}}$ -modules (because $g^{*}{\mathcal {G}}={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{g^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}g^{-1}{\mathcal {G}}$ involves a tensor 제품, g $g^{*}$ ${\$ g $^{*}$ 는 $g$ 가 평탄하지 않을 때 정확하지 $g^{*}$ 않으므로 파생 펑터 $Lg^{*}$ $∗{\$ 과(와) 같지 않다. $Lg^{*}$ 이 지도는 다음과 같은 조건이 충족될 경우 준이형성이다.^[8]

$S$ $S$ 은 $S$ (는) 준 컴팩트, $f$ $f$ 은 $f$ (는) 준 컴팩트 및 준 분리형,
${\mathcal {F}}$ is an object in $D^{b}({\mathcal {O}}_{X}{\text{-mod}})$ , the bounded derived category of ${\mathcal {O}}_{X}$ -modules, and its cohomology sheaves are quasi-coherent (for example, ${\displaystyle {\mathcal {$ $F}}}$ 은(는) 준정합성 피복의 경계 콤플렉스일 ${\mathcal {F}}$ 수 있음)
$X$ and $S'$ are Tor-independent over $S$ , meaning that if $x\in X$ and $s'\in S'$ satisfy $f(x)=s=g(s')$ , then for all integers ${\displaystyle p\geq$ $1}$ ,

\operatorname {Tor} _{p}^{{\mathcal {O}}_{S,s}}({\mathcal {O}}_{X,x},{\mathcal {O}}_{S',s'})=0

.

다음 조건 중 하나가 충족된다.
- ${\mathcal {F}}$ has finite flat amplitude relative to $f$ , meaning that it is quasi-isomorphic in $D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})$ to a complex ${\mathcal {F}}'$ such that $({\mathcal {F}}')^{i}$ $({\mathcal {F}}')^{i}$ is $f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}$ -flat for all $i$ outside some bounded interval $[m,n]$ ; equivalently, there exists an interval $[m,n]$ such that for any complex ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}$ in $D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})$ , one has $\operatorname {Tor} _{i}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=0$ for all $i$ outside ${\displaystyle [$ $m,n]}$ ; 또는
- $g$ $g$ 은(는) Tor-dimension이 유한하므로 $g$ , ${\mathcal {O}}_{S'}$ ${\mathcal {O}}_{S'}$ ${\mathcal {O}}_{S'}$ ${\displaystyle$ { $O}_{S'}}$ 은 $($ 는) g {\ $displaysty g}$ 에 상대적인 유한 평면 진폭을 가진다 ${\mathcal {O}}_{S'}$ $g$

이 공식의 한 가지 장점은 평탄도 가설의 약화가 있다는 것이다.그러나 현재 좌뇌와 우뇌의 코호몰리를 구체적으로 계산하려면 그로텐디크 스펙트럼 시퀀스가 필요하다.

파생 대수 기하학의 기저 변화

파생 대수 $X'$ 은 풀백 X $′$ {\ $displaystyle$ X $'}$ 이(가) 호모토피 풀백으로 대체되는 $X'$ 경우 평탄도 가정을 취하할 수 있는 수단을 제공한다.X, S, $S^{,}$ S $\$ {\ $displaystyle$ S $'}$ 이(위의 표기) 아핀일 $S'$ 때 가장 쉬운 경우, 호모토피 풀백은 파생 텐서 제품에 의해 주어진다.

X'=\operatorname {Spec}(B'\otimes _{B}^{L}A)

그런 다음, 관련된 계획(또는 보다 일반적으로 파생된 계획)이 준확산과 준분리형이라고 가정하면 자연적 변환이다.

Lg^{*}RF_{*}{\mathcal {F}\to Rf'{*}Lg'^{*}{\mathcal {F}}

모든 준 일관성 있는 피복에 대한 준 이형성 또는 더 일반적으로 준 일관성 피복의 복합체다.^[9]앞서 언급한 플랫 베이스 변경 결과는 g 플랫의 경우 호모토피 풀백(파생 텐서 제품에 의해 국소적으로 제공됨)이 일반 풀백(하위 텐서 제품에 의해 로컬로 제공됨)에 동의하고, 플랫 맵 g와 g'를 따라 풀백이 자동으로 파생되기 때문에( $Lg^{*}=g^{*}$ , L $Lg^{*}=g^{*}$ = g) $Lg^{*}=g^{*}$ 한 경우다. $∗{\$ 선행 베이스 변경 정리에서 토르 독립성 또는 토르 암페이트와 관련된 보조 가정도 불필요해진다.

위의 형태에서, 기지 변화 벤즈비. Itzhak., 프랜시스 &amp에 의해;여기서 XS과 S'(아마도 파생된) 볏짚이 상황에 나들러(2010년)이 지도 f는 완벽한 지도 제공했다 연기되었다(그 소송 계획의 하나 f는 quasi-compact, quasi-separated 지도라 분류하는 것 스택 같은 더 많은 일반 스택, 포함한다를 포함한다. BG는 of 특성 0의 대수 그룹).

변형 및 응용 프로그램

적절한 기저변화는 복잡한 다지관의 맥락에서도 유지된다.^[10]형식 기능에 대한 정리는 풀백(pullback)이 완료 연산으로 대체되는 적절한 베이스 변경의 변형이다.

아벨 품종 이론에서 기초적 사실인 시소 원리와 큐브의 정리는 적절한 기저 변화의 결과물이다.^[11]

기저변화는 또한 D-module에 대하여도 유지된다: X, S, X, S'가 매끄러운 품종이라면(그러나 f와 g는 평평하거나 적절할 필요는 없다 등), 준 이형성이 있다.

g^{\dager }\int _{f}{\mathcal{F}\to \int_{f'g'^{\dager }{\mathcal {F},

여기서 - $-^{\dagger }$ ${\$ 및 $-^{\dagger }$ $\int$ $\int$ 은 D-modules의 역방향 및 직접 영상 펑커를 나타낸다 $\int$ .^[12]

에테일 셰이브의 기본 변경

étal toresion의 ${\mathcal {F}}$ F ${\$ 각각 $f:X\rightarrow S$ 부드러운 기저 변화라고 언급되는 두 가지 기본 변화 결과가 있다: $f:X\rightarrow S$ : X $f:X\rightarrow S$ → $f:X\rightarrow S$ $f:X\rightarrow S$ 가 적절할 $f:X\rightarrow S$ 경우 기저 변화는 유지된다.^[13]또한, f가 준비교이고 ${\mathcal {F}}$ ${\$ 의 비틀림이 X의 잔류장 특성에 가장 적합하다면 ${\mathcal {F}}$ g가 매끄러운 경우에도 고정된다.^[14]

Closely related to proper base change is the following fact (the two theorems are usually proved simultaneously): let X be a variety over a separably closed field and ${\mathcal {F}}$ a constructible sheaf on $X_{\text{et}}$ . Then ${\displaystyle H^{r}(X,{\mathcal$ ${F}}}$ 은(는) 다음 각 경우에 한정된다 $H^{r}(X,{\mathcal {F}})$ .

X가 완료되었거나
${\mathcal {F}}$ ${\$ 에는 p-torion이 없으며 여기서 p는 ${\mathcal {F}}$ k의 특징이다.

추가 가정 하에서, Denninger(1988)는 적절한 기저 변화 정리를 비토션 étale sheavs로 확장했다.

적용들

위에서 언급된 위상학적 상황과 밀접하게 유사하게, 개방적 몰입 f를 위한 기저 변화 맵,

g^{*}f_{*}{\mathcal {F}\to f'{*g'^{*}{\mathcal {F}}

보통은 이형성이 아니다.^[15]대신 0 functor $f_{!}$ ${\$ $}}}$ 이소모르피즘을 만족시키다 $f_{!}$ .

g^{*}f_{!}}{\mathcal{F}\to f'_{!}g^{*}{\mathcal {F}}.

이 사실과 적절한 베이스 변경은 다음과 같은 방법으로 지도 f에 대한 컴팩트한 지원을 통해 직접 이미지 펑터를 정의할 것을 제안한다.

Rf_{!}:=Rp_{*}j_{!}

여기서 $f=p\circ j$ = $f=p\circ j$ $f=p\circ j$ $f=p\circ j$ ${\displaystyle f=p\p$ \property $j}$ 는 f를 압축한 것이다 $f=p\circ j$ . 즉, 적절한 지도가 뒤따르는 개방적 몰입으로의 인자화다.이것이 잘 정의되어 있다는 것을, 즉 (이소모르핀에 이르기까지) 콤팩트화 선택의 독립적(이소모르핀에 이르기까지)을 보여주기 위해서는 적절한 기저 변화 정리가 필요하다.더구나 위상학적 공간에 베는 경우를 비유하여 $g_{*}$ g $g_{*}$ ${\$ 스타일 $g_{*}}$ 대에 $g_{*}$ 대한 기저 변화 공식이다. ${\$ $}}}$ 비속성 맵 f에 대해 보류한다 $Rf_{!}$ .

구조 지도 $f:X\to S=\operatorname {Spec} k$ : $f:X\to S=\operatorname {Spec} k$ → $f:X\to S=\operatorname {Spec} k$ = 필드 k에 대한 체계의 $f:X\to S=\operatorname {Spec} k$ $f:X\to S=\operatorname {Spec} k$ k ${\displaystyle f:X\to$ S $=\operatorname$ { $Rf_{!}({\mathcal {F}})$ $}k},$ $Rf_{!}({\mathcal {F}})$ f ! $Rf_{!}({\mathcal {F}})$ ( $Rf_{!}({\mathcal {F}})$ ) ${\displaystyle Rf_{!$ $}}({\mathcal{F}})},$ H $H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})$ $H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})$ $H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})$ , $H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})$ ) ${\displaystyle H_{c}^{*}(X$ , ${\mathcal {F})$ 로 표시되며, 콤팩트한 지원을 받는 코호몰로지라고 한다 $H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})$ .그것은 일반적인 에테일 코호몰로지 중 중요한 변종이다.

Functor $Rf_{!}$ $Rf_{!}$ ! ${\$ 의 아날로그 구성에도 유사한 아이디어가 사용된다.A-호모토피 $Rf_{!}$ 이론에서¹ $}}.$ ^[16]^[17]

참고 항목

추가 읽기

Esnault, H.; Kerz, M.; Wittenberg, O. (2016), "A restriction isomorphism for cycles of relative dimension zero", Cambridge Journal of Mathematics, 4 (2): 163–196, arXiv:1503.08187v2, doi:10.4310/CJM.2016.v4.n2.a1, S2CID 54896268

메모들

^ The roles of $X$ and $S'$ are symmetric, and in some contexts (especially smooth base change) the more familiar formulation is the other one (dealing instead with the map ${\displaystyle f^{*}R^{i}g_{*}{\mathcal {G}}\rightar$ ${\mathcal {G}}$ $R^{i}g'_{*}f'^{*}{\$ $displaystyle {\mathcal{G}}$ 에 $f^{*}R^{i}g_{*}{\mathcal {G}}\rightarrow R^{i}g'_{*}f'^{*}{\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}$ 대한 행 ${\mathcal {G}}$ {\ $mathcal{$ G}} s on ${\$ For consistency, the results in this article below are all stated for the same situation, namely the map $g^{*}R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow R^{i}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}$ ; but readers should be sure to check this against their expectations.
^ 밀른 (2012, 정리 17.3)
^ 루리(2009년, 정리 7.3.1.16)
^ Iversen(1986)은 4개의 공간이 국소적으로 작고 유한한 치수로 가정한다.
^ Grotendieck(1963년, 섹션 7.7), Hartshorne(1977년, Organion III.12.11), Vakil(2015년, 챕터 28 코호몰로지 및 기저 변화 이론)
^ 하트쇼른(1977, 페이지 255)
^ Hartshorne(1977, 제안 III.9.3)
^ 베르테롯, 그로텐디크 & 일루시(1971, SGA 6 IV, 발의안 3.1.0)
^ 토인(2012, 발의안 1.4)
^ 그루어트(1960년)
^ 멈퍼드(2008)
^ 핫타, 타케우치 & 타니사키(2008, 정리 1.7.3)
^ 아르틴, 그로텐디크 & 베르디에(1972년, 엑스포세 XII), 밀른(1980년, 섹션 VI.2)
^ 아르틴, 그로텐디크 & 베르디에 (1972년, 엑스포세 16세)
^ Milne(2012, 예 8.5)
^ Ayoub, Joseph (2007), Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des cycles évanescents dans le monde motivique. I., Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-244-0, Zbl 1146.14001
^ Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2019), Triangulated Categories of Mixed Motives, Springer Monographs in Mathematics, arXiv:0912.2110, Bibcode:2009arXiv0912.2110C, doi:10.1007/978-3-030-33242-6, ISBN 978-3-030-33241-9, S2CID 115163824

참조

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Berthelot, Pierre; Grothendieck, Alexandre; Illusie, Luc (1971), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Lecture notes in mathematics 225) (in French), Berlin; New York: Springer-Verlag, xii+700, doi:10.1007/BFb0066283, ISBN 978-3-540-05647-8
Deninger, Christopher (1988), "A proper base change theorem for non-torsion sheaves in étale cohomology", Journal of Pure and Applied Algebra, 50 (3): 231–235, doi:10.1016/0022-4049(88)90102-8
Gabber, "우수한 계획의 에테일 코호몰로지 최종성 이론"
Grauert, Hans (1960), "Ein Theorem der analytischen Garbentheorie und die Modulräume komplexer Strukturen" (PDF), Publications Mathématiques de l'IHÉS, 5: 5–64, doi:10.1007/BF02684746, S2CID 122593346, Zbl 0100.08001
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Toën, Bertrand (2012), Proper local complete intersection morphisms preserve perfect complexes, arXiv:1210.2827, Bibcode:2012arXiv1210.2827T
Schnürer, O. M.; Soergel, W. (2016), "Proper base change for separated locally proper maps", Rend. Semin. Mat. Univ. Padova, 135: 223–250, arXiv:1404.7630v2, doi:10.4171/RSMUP/135-13, S2CID 118024164
Vakil, Ravi (2015), Foundations of Algebraic Geometry (PDF)

외부 링크

[1] The roles of $X$ and $S'$ are symmetric, and in some contexts (especially smooth base change) the more familiar formulation is the other one (dealing instead with the map ${\displaystyle f^{*}R^{i}g_{*}{\mathcal {G}}\rightar$ ${\mathcal {G}}$ $R^{i}g'_{*}f'^{*}{\$ $displaystyle {\mathcal{G}}$ 에 $f^{*}R^{i}g_{*}{\mathcal {G}}\rightarrow R^{i}g'_{*}f'^{*}{\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}$ 대한 행 ${\mathcal {G}}$ {\ $mathcal{$ G}} s on ${\$ For consistency, the results in this article below are all stated for the same situation, namely the map $g^{*}R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow R^{i}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}$ ; but readers should be sure to check this against their expectations.

[2] 밀른 (2012, 정리 17.3)

[3] 루리(2009년, 정리 7.3.1.16)

[4] Iversen(1986)은 4개의 공간이 국소적으로 작고 유한한 치수로 가정한다.

[5] Grotendieck(1963년, 섹션 7.7), Hartshorne(1977년, Organion III.12.11), Vakil(2015년, 챕터 28 코호몰로지 및 기저 변화 이론)

[6] 하트쇼른(1977, 페이지 255)

[7] Hartshorne(1977, 제안 III.9.3)

[8] 베르테롯, 그로텐디크 & 일루시(1971, SGA 6 IV, 발의안 3.1.0)

[9] 토인(2012, 발의안 1.4)

[10] 그루어트(1960년)

[11] 멈퍼드(2008)

[12] 핫타, 타케우치 & 타니사키(2008, 정리 1.7.3)

[13] 아르틴, 그로텐디크 & 베르디에(1972년, 엑스포세 XII), 밀른(1980년, 섹션 VI.2)

[14] 아르틴, 그로텐디크 & 베르디에 (1972년, 엑스포세 16세)

[15] Milne(2012, 예 8.5)

[16] Ayoub, Joseph (2007), Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des cycles évanescents dans le monde motivique. I., Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-244-0, Zbl 1146.14001

[17] Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2019), Triangulated Categories of Mixed Motives, Springer Monographs in Mathematics, arXiv:0912.2110, Bibcode:2009arXiv0912.2110C, doi:10.1007/978-3-030-33242-6, ISBN 978-3-030-33241-9, S2CID 115163824

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외부 링크