선형 하위 공간

유한장 F에5 걸친 2차원 벡터 공간의 1차원 서브스페이스. 녹색 원으로 표시된 원점(0, 0)은 6개의 1-하위 영역에 속하며, 나머지 24개의 포인트 각각은 정확히 1-하위 영역에 속하며, 모든 차원에서 1-하위 영역을 보유하는 속성이다. 더 나은 시각화를 위해 모든 F52(즉, 5 x 5 제곱)를 네 번 그려라.

수학에서, 그리고 좀 더 구체적으로 말하면, 벡터 서브^{[1][note 1]} 스페이스라고도 알려진 선형 서브 스페이스는 벡터 스페이스의 일부 더 큰 벡터 공간의 부분집합인 벡터 공간이다. 선형 하위공간은 일반적으로 문맥이 다른 유형의 하위공간과 구별하기 위해 사용될 때 단순히 하위공간이라고 불린다.

정의

V가 필드 K에 대한 벡터 공간이고 W가 V의 부분 집합인 경우 W는 V의 선형 하위 공간이며, V의 작동에서 W는 K에 대한 벡터 공간이다. 동등하게, 비어 있지 않은 부분집합 W는, w₁, w가₂ W와 α, β가 K의 원소일 때마다, αw₁ + βw가₂ W에 있는 것을 따르는 경우, V의 하위 공간이다.^{[2][3][4][5][6]}

원뿔형으로서 모든 벡터 공간에는 최소한 두 개의 (아마도 다른) 선형 서브스페이스가 장착되어 있는데, 즉 제로 벡터만으로 구성된 제로 벡터 공간과 전체 벡터 공간 그 자체다. 이것들은 벡터 공간의 사소한 하위공간이라고 불린다.^[7]

예

예 I

필드 K를 실제 숫자의 집합 R이 되게 하고 벡터 공간 V를 실제 좌표 공간³ R이 되게 한다. 마지막 구성 요소가 0인 V의 모든 벡터 집합으로 W를 취하십시오. 그렇다면 W는 V의 아공간이다.

증명:

1. W에서 u와 v가 주어지면 u = (u₁, u₂, 0)와 v = (v₁, v₂, v, 0)로 표현할 수 있다. 그런 다음 u + v = (u₁+v₁, u₂+v₂, 0+0) = (u₁+v₁, u₂+v₂, 0) = (u+v, u+v, 0) 따라서 u + v도 W의 요소다.
2. W의 u와 R의 스칼라 c가 주어진 경우, u = (u₁, u₂, 0) 다시 cu = (cu₁, cu₂, c0) = (cu₁, cu₂,0)이다. 따라서 cu도 W의 요소다.

예 II

필드를 다시 R로 하되, 벡터 공간 V를 데카르트 평면 R으로² 한다. W를 x = y와 같은 R의² 점 집합(x, y)으로 취하십시오. 그렇다면 W는 R의² 아공간이다.

증명:

1. p = (p₁, p₂)와 q = (q₁, q₂)를 W의 요소, 즉 p₁ = p와₂ q₁ = q₂. 그런 다음 p + q = (p₁+q₁, p₂+q₂)로 한다. p₁ = p와₂ q₁ = q₂, 그₁ 이후 p + q₁ = p₂ + q₂, 따라서 p + q는 W의 요소다.
2. p = (p₁, p₂)를 W의 요소, 즉 p₁ = p와₂ 같은 평면의 점으로 하고 c를 R의 스칼라로 한다. 그₁ 다음 cp = (cp₁, cp₂); p = p₂, 그 다음 cp₁ = cp이므로₂ cp는 W의 요소다.

일반적으로, 균일한 선형 방정식의 시스템에 의해 정의되는 실제 좌표 공간ⁿ R의 하위집합은 하위 공간을 산출할 것이다. (예 I의 방정식은 z = 0이었고, 예 II의 방정식은 x = y). 기하학적으로 이러한 서브스페이스는 점 0을 통과하는 점, 선, 평면 및 공간이다.

예 III

필드를 다시 R로 잡되 벡터 공간 V를 R에서 R까지의 모든 함수의 설정 R이^R 되게 한다. C(R)를 연속 함수로 구성된 부분 집합으로 한다. 그렇다면 C(R)는 R의^R 하위공간이다.

증명:

1. 우리는 미적분학으로부터 0 ∈ C(R) ⊂ R을^R 알고 있다.
2. 우리는 미적분학을 통해 연속함수의 합이 연속적이라는 것을 안다.
3. 다시 말하지만, 우리는 미적분학을 통해 연속함수와 숫자의 산물이 연속적이라는 것을 안다.

예 IV

이전과 동일한 필드 및 벡터 공간을 유지하되, 이제 모든 다른 기능의 설정된 Diff(R)를 고려하십시오. 이전과 같은 종류의 논쟁은 이 역시 하위공간이라는 것을 보여준다.

이러한 테마를 확장하는 예는 기능 분석에서 흔히 볼 수 있다.

하위 영역의 속성

벡터 공간의 정의에서 하위공간은 비어 있지 않으며, 합계와 스칼라 배수로 닫힌다는 것을 따른다.^[8] 동등하게, 하위공간은 선형 결합으로 닫히는 속성으로 특징지어질 수 있다. 즉, W의 미세하게 많은 원소의 모든 선형 조합이 W에 속할 경우에만 비어 있지 않은 집합 W는 하위 공간이다. 등가 정의는 동시에 두 원소의 선형 결합을 고려하는 것과도 동등하다고 명시하고 있다.

위상 벡터 공간 X에서, 하위 공간 W는 위상학적으로 닫힐 필요가 없지만, 유한 차원 하위 공간은 항상 닫힌다.^[9] 유한 코디네이션의 하위 공간(즉, 연속 선형 함수의 유한 수로 결정된 하위 공간)도 마찬가지다.

설명

하위공간 설명에는 균일한 선형 방정식으로 설정된 해법, 균일한 선형 파라메트릭 방정식의 시스템에 의해 기술된 유클리드 공간의 부분집합, 벡터 집합의 범위, 행렬의 null 공간, 열 공간 및 행 공간이 포함된다. 기하학적으로(특히 실수와 그 하위 필드 위에), 서브 스페이스는 원점을 통과하는 n-스페이스의 플랫이다.

1-subspace에 대한 자연적인 설명은 가능한 모든 스칼라 값에 대한 하나의 0이 아닌 벡터 v의 스칼라 곱이다. 두 벡터로 지정된 1-subspaces는 스칼라 곱셈으로 다른 벡터로부터 하나의 벡터를 얻을 수 있는 경우 및 경우에만 동일하다.

${\displaystyle \exists c\in K:\mathbf {v} '=c\mathbf {v} {\text{{}(또는 }}\mathbf {v} ={\frac {1}}{c}\mathbf {v} '{\text{\text{})}}}$

이 아이디어는 선형 스팬을 가진 더 높은 차원에 대해 일반화되지만, k 벡터 세트로 지정된 k-space의 동일성에 대한 기준은 그리 간단하지 않다.

이중 설명은 선형 함수(일반적으로 선형 방정식으로 구현됨)와 함께 제공된다. 0이 아닌 하나의 선형 함수 F는 커널 하위 공간 F = 코드션 1의 0을 지정한다. 두 개의 선형 함수에 의해 지정된 코디멘션 1의 하위 공간은 한 가지 기능을 다른 기능으로부터 스칼라 곱(듀얼 공간)으로 얻을 수 있는 경우에만 동일하다.

${\displaystyle \exists c\in K:\mathbf {F} '=c\mathbf {F} {\text{{}}{\frac {1}{c}\mathbf {F}{\text{\text{\text}}}}$

그것은 방정식 시스템을 가진 상위 코디멘트에 대해 일반화된다. 다음의 두 개의 하위섹션은 이 후자의 설명을 상세하게 제시하며, 나머지 네 개의 하위섹션에서는 선형 스팬의 개념을 더 자세히 설명한다.

선형 방정식의 체계

n개의 변수를 가진 선형 방정식의 모든 균일한 시스템으로 설정된 용액은 좌표 공간 Kⁿ:

예를 들어 방정식을 만족하는 모든 벡터(x, y, z) 집합(실제 또는 합리적인 숫자에 걸쳐)

1차원 아공간이야 보다 일반적으로, 즉, n개의 독립함수 집합에 주어진^k K의 서브공간 치수는 n 함수의 복합 매트릭스인 A의 null 집합의 치수가 된다.

행렬의 Null 공간

유한 차원 공간에서는 선형 방정식의 균일한 시스템을 단일 행렬 방정식으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} .}$

이 방정식에 대한 해법 집합을 행렬의 null 공백이라고 한다. 예를 들어 위에서 설명한 하위 공간은 매트릭스의 null 공간이다.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&#4&5\end{bmatrix}.}$

K의ⁿ 모든 하위 공간은 일부 매트릭스의 null 공간으로 설명할 수 있다(자세한 내용은 아래의 § 알고리즘 참조).

선형 모수 방정식

동종 선형 모수 방정식의 시스템에서 설명하는 K의ⁿ 부분집합은 다음과 같은 하위 공간이다.

$\displaystyle \left\{\left[\]!\!{\pair{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{7}x_{1}&,&\;=\,&&a_{11}t_{1}&,&\;+\,&&a_{12}t_{2}&,&\;+\cdots +\,&&a_{1m}t_{m}&, \\x_{2}&,&\;=\,&&a_{21}t_{1}&,&\;+\,&&a_{22}t_{2}&,&\;+\cdots +\,&&a_{2m}t_{m}&, \\&,&\vdots)^;&,&&&&&&am.P.&&&&\\x_{n}&,&\;=\,&&a_{n1}t_{1}&,&\;+\,&&a_{n2}t_{2}&,&\;+\cdots +\,&&a_{nm}t_{m}&, \\\end{alignedat}}{일부 \text{에}},t_{m}\i t_{1},\ldots.n K\right\}.}$

예를 들어 방정식으로 매개변수화된 모든 벡터(x, y, z) 집합

${\displaystyle x=2t_{1}+3t_{2},\;\;\;y=5t_{1}-4t_{2},\;\;\;\;\\text{and}\;\;\;\;z=-t_{1}+2t_{2}}}$

K가 숫자 필드인 경우(실제 또는 합리적인 숫자 등) K의³ 2차원 하위 공간이다.^{[note 2]}

벡터 범위

선형대수학에서 파라메트릭 방정식의 시스템은 단일 벡터 방정식으로 쓰일 수 있다.

${\displaystyle {\bmatrix}x\\y\z\end{bmatrix}\;=\;t_{1}\!{\\\5\\\-1\end{bmatrix}+t_{2}bmatrix}+t_{2}\!{\\n1}{bmatrix}3\\\-4\\2\end{bmatrix}}.}$

오른쪽의 식을 벡터(2, 5, -1)와 (3, -4, 2)의 선형 결합이라고 한다. 이 두 벡터는 결과적인 하위 공간에 걸쳐 있다고 한다.

일반적으로 벡터 v₁, v₂, ..., v의_k 선형 조합은 형태의 어떤 벡터다.

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}.}$

가능한 모든 선형 조합의 집합을 span이라고 한다.

${\displaystyle {\text{Span}}\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}=\left\{t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}:t_{1},\ldots ,t_{k}\in K\right\}.}$

벡터 v₁, ..., v가_k n개의 구성요소를 가지고 있다면, 그 범위는 K의ⁿ 하위공간이다. 기하학적으로 스팬은 점 v₁, ... , v에_k 의해 결정되는 n차원 공간의 원점을 통과하는 평면이다.

예

R의³ xz 평면은 방정식으로 매개변수화할 수 있다.

${\displaystyle x=t_{1},\;\;y=0,\;\;\;z=t_{2}.}$

하위 공간으로서 xz 평면은 벡터(1, 0, 0)와 (0, 0, 1)로 스팬된다. xz 평면의 모든 벡터는 다음 두 가지의 선형 조합으로 기록할 수 있다.

${\displaystyle (t_{1},0,t_{2}=t_{1}(1,0,0)+t_{2}(0,0,1){\text{}.}}}$

기하학적으로 이것은 (1, 0, 0) 방향으로 어느 정도 거리를 이동한 다음 (0, 0, 1) 방향으로 어느 정도 거리를 이동함으로써 xz 평면의 모든 점을 원점에서 도달할 수 있다는 사실에 해당한다.

열 공간 및 행 공간

유한 차원 공간의 선형 파라메트릭 방정식 시스템도 단일 행렬 방정식으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {x} =A\mathbf {t} \;\;\;{\text{where}\;\;\;;;;;;;;;;;;;;;A=\left[{\begin{aignedat}{2}2&&#3&\\\5&\\\;\;-4&\\\\\1&2\end{ignatedat}\,\right]{\text}.}}}$

이 경우 아공간은 벡터 x의 가능한 모든 값으로 구성된다. 선형대수학에서 이 아공간은 행렬 A의 열공간(또는 영상)으로 알려져 있다. 정확히 A의 열 벡터에 의해 확장된 K의ⁿ 아공간이다.

행렬의 행 공간은 행 벡터에 의해 확장되는 하위 공간이다. 행공간은 null공간의 직교보완물이기 때문에 흥미롭다(아래 참조).

독립성, 기본 및 차원

일반적으로 k 매개변수(또는 k 벡터로 스팬)에 의해 결정되는ⁿ K의 하위 공간에는 치수 k가 있다. 그러나 이 규칙에는 예외가 있다. 예를 들어, 세 벡터(1, 0, 0), (0, 0, 1) 및 (2, 0, 3)에 의해 확장된³ K의 하위공간은 xz 평면에 불과하며, 평면상의 각 점은 t₁, t₂, t의₃ 무한히 많은 다른 값으로 설명된다.

일반적으로 벡터 v₁, ..., v는_k 다음과 같은 경우에 선형 독립적이라고 불린다.

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}\{neq \;u_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots+{k}\mathbf {v}}}}}}}}}}}}$

(t₁, t₂, ..., t_k) ≠ (u₁, u₂, ..., u_k).^{[note 3]} v₁, ..., v가_k 선형적으로 독립된 경우, span 내 벡터에 대한 좌표₁ t, ..., t가_k 고유하게 결정된다.

아공간 S의 기본은 S의 범위가 S인 선형 독립 벡터 집합이다. 기본 원소의 수는 항상 하위 공간의 기하학적 치수와 동일하다. 서브 스페이스에 대한 스패닝 세트는 중복 벡터를 제거하여 기본으로 변경할 수 있다(자세한 내용은 아래 § 알고리즘 참조).

예

S를 방정식으로 정의된 R의⁴ 하위공간으로 한다.

${\displaystyle x_{1}=2x_{2}\;\;\\\text{and}\;\;\;\;x_{3}=5x_{4}.}$

그러면 벡터(2, 1, 0, 0), (0, 0, 5, 1)가 S의 기초가 된다. 특히 위의 방정식을 만족하는 모든 벡터는 다음과 같은 두 가지 기본 벡터의 선형 조합으로 고유하게 기록할 수 있다.

${\displaystyle(2t_{1},t_{1},5t_{2},t_{2}=t_{1}(2,1,0,0)+t_{2}(0,0,5,1).}$

아공간 S는 2차원이다. 기하학적으로 점(0, 0, 0, 0), (2, 1, 0, 0), (0, 0, 5, 1)을 통과하는 R의⁴ 평면이다.

하위 영역의 운영 및 관계

포함

설정-이론적 포함 이항 관계는 (모든 차원의) 모든 하위공간 집합에 부분적인 순서를 지정한다.

하위 공간은 작은 크기의 하위 공간에 있을 수 없다. 딤 U = k, 유한수, U ⊂ W일 경우, 딤 W = k if 및 U = W일 경우에만 딤 W = k.

교차로

벡터 공간 V의 서브 스페이스 U와 W가 주어진 경우, 이들의 교차점 U = W := {v ∈ V : v는 U의 요소로서 W}도 V의 서브 스페이스가 된다.^[10]

증명:

1. v와 w를 U ∩ W의 요소가 되게 하라. 그러면 v와 w는 U와 W 둘 다에 속한다. U는 하위공간이기 때문에 v + w는 U에 속한다. 마찬가지로 W는 하위공간이기 때문에 v + w는 W에 속한다. 따라서 v + w는 U ∩ W에 속한다.
2. v는 U ∩ W에 속하게 하고, c는 스칼라가 되게 하라. 그러면 v는 U와 W 둘 다에 속한다. U와 W는 서브 스페이스이기 때문에 cv는 U와 W 둘 다에 속한다.
3. U와 W는 벡터 공간이기 때문에 0은 두 세트에 모두 속한다. 따라서 0은 U ∩ W에 속한다.

모든 벡터 공간 V에 대해 {0}^[11][12] 및 V 자체는 V의 하위 공간이다.

합계

U와 W가 서브스페이스인 경우, 그 합은 서브스페이스가^[13][14] 된다.

예를 들어, 두 선의 합은 두 개의 선 모두를 포함하는 평면이다. 합계의 치수는 불평등을 만족시킨다.

여기서 최소는 한 개의 하위 공간이 다른 공간에 포함된 경우에만 발생하는 반면, 최대값은 가장 일반적인 경우다. 교차로와 합계의 치수는 다음 방정식에 의해 연관된다.^[15]

하위 스페이스 집합은 하위 스페이스 쌍 사이의 유일한 교차점이 사소한 하위 공간일 때 독립적이다. 직접 합은 $독립{\displaystyle }$ 서브스페이스의 합으로, U${\displaystyle }${ ${\displaystyle W}${\$displaystyle$U\$oplus$W}로 표기된다$.$ 등가 재작성은 모든 서브스페이스가 합계에 기여한다는 조건 하에서 직접 합은 서브스페이스 합이라는 것이다.^{[16][17][18][19]}

직접 합계 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U\oplus W}$의 치수는 서브스페이스의 합계와 동일하지만$$, 사소한 서브스페이스의 치수가 0이기 때문에 줄일 수 있다.^[20]

서브 스페이스 격자

운영 교차로와 합은 모든 서브스페이스의 집합을 경계 모듈식 격자로 만들며, 여기서 최소 요소인 {0} 하위 공간은 총 운영의 ID 요소이고, 최대 요소인 동일한 하위 공간 V는 교차 작업의 ID 요소다.

직교보완물

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V$$}$이(가) 내부 제품 공간이고 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle V$의 부분 집합인$$ 경우$,$ $N{\displaystyle }$${\$ 로 표시된$$직교 보어는 $다시{\displaystyle {}^{}}$ 하위 공간이다.^[21] N{N\displaystyle}과 N의 만약 V{V\displaystyle}및 N{N\displaystyle}은 부분 공간 유한 차원의.다면, 그 치수({\displaystyle N^{\perp}}희미한 ⁡(N)+희미한 ⁡(N⊥))dim ⁡(V){\displaystyle \dim(N)+\dim(N^{\perp})=\dim(V)}는 보완적 관계 .[22]더 많은 만족하고 있다.oveR, 벡터 자기 자신에게는 그렇게 N∩ N⊥){0}{\displaystyle N\cap N^{\perp}=\{0\}}와 N{N\displaystyle}및 N의 V{V\displaystyle}직접적인 합({\displaystyle N^{\perp}}.[23]직교의 보완 수단을 적용하면 두번 원래의 부분 공간:(N⊥)⊥)N{\displayst을 반환합니다 직교이다.yle$({\perp }}^{\perp$ }}^{\perp $}=N}$$$모든 $하위$ 공간 N {\$displaystyle$ $N}$^[24].

부정으로 이해되는 이 작업${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \neg$}$$ )은 하위 공간의 격자를 (무제한으로) 직교배열 격자(분산 격자는 아님)로 만든다.^{[citation needed]}

다른 이선형 형태가 있는 공간에서는, 이 결과들 중 일부는 포함되지만, 모든 결과는 여전히 유효하지 않다. 예를 들어, 사이비-유클리드 공간과 공감 벡터 공간에는 직교 보완이 존재한다. 그러나 이러한 공간 분석을 실시하고 그 결과가 존재하는 것에 직교하는 벡터가 null이 가질 수도 있subspaces N{N\displaystyle}가 N∩ N⊥≠{0}{\displaystyle N\cap N^{\perp}\neq \{0\}}. 따라서, 이 작업도 안 돌린 격자의 subspaces에 부울 논리 연산 대수(또한 Heyting 대수).[표창 필요한]

알고리즘

하위 공간을 다루는 대부분의 알고리즘은 행 축소를 포함한다. 이는 기본 행 연산을 행렬에 적용하는 과정으로, 행 에셀론 양식 또는 축소된 행 에셀론 양식에 도달할 때까지이다. 행 축소는 다음과 같은 중요한 속성을 갖는다.

1. 축소된 행렬은 원본과 동일한 null 공간을 갖는다.
2. 행 축소는 행 벡터의 범위를 변경하지 않는다. 즉, 축소된 행렬의 행 공간이 원래 행과 동일하다.
3. 행 감소는 열 벡터의 선형 의존성에 영향을 주지 않는다.

행 공간의 기준

입력 A m × n 행렬 A.

A의 행공간에 대한 출력 A.

1. 기본 행 작업을 사용하여 A 행을 echelon 형식으로 만드십시오.
2. 에셀론 형태의 0이 아닌 행은 A의 행 공간의 기초가 된다.

예를 들어 행 공간에 대한 문서를 참조하십시오.

대신 행렬 A를 축소된 행 에셀론 형식으로 넣으면 행 공간에 대한 결과 기준이 고유하게 결정된다. 이것은 두 행 공간이 동일한지, 그리고 확장하여 K의ⁿ 두 하위 공간이 동일한지 여부를 확인하는 알고리즘을 제공한다.

서브스페이스 멤버십

K의ⁿ 하위 공간 S에 대해 A 기준 {b₁, b₂, ..., b_k}을(를) 입력하고 구성 요소가 n개인 벡터 v를 입력한다.

출력 v가 S의 요소인지 여부 결정

1. 벡터 b₁, ... , b_k 및 v 행인 (k + 1) × n 행렬 A를 만드십시오.
2. 기본 행 작업을 사용하여 A 행을 echelon 형식으로 만드십시오.
3. echelon 양식에 0 행이 있으면 벡터 {b₁, ..., b_k, v}이(가) 선형 종속되므로 v ∈ S가 된다.

열 공간의 기준

입력 A m × n 행렬 A

A의 열 공간에 대한 출력 A

1. 기본 행 작업을 사용하여 A 행을 echelon 형식으로 만드십시오.
2. 에셀론 양식의 어느 열에 피벗이 있는지 결정한다. 원래 행렬의 해당 열은 열 공간의 기초가 된다.

예를 들어 열 공간에 대한 문서를 참조하십시오.

이것은 원래 열 벡터의 부분 집합인 열 공간의 기초를 만든다. 피벗이 있는 기둥은 에셀론 형태의 기둥 공간의 기초가 되고, 행 축소는 기둥 사이의 선형 의존 관계를 바꾸지 않기 때문에 효과가 있다.

벡터 좌표

K의ⁿ 하위 공간 S에 대해 A 기준 {b₁, b₂, ..., b_k}을(를) 입력하고 벡터 v ∈ S를 입력한다.

출력 번호 t₁, t₂, ..., t_k(v = tb₁₁ + ·····+tb_kk)

1. 마지막₁ 열이 v인 b,...,b인_k 증강 행렬 A를 만드십시오.
2. A를 축소된 행 에셀론 형태로 만들려면 기본 행 작업을 사용하십시오.
3. 축소된 에셀론 양식의 마지막 열을 첫 번째 k 열의 선형 조합으로 표현한다. 사용되는 계수는 원하는 숫자 t₁, t₂, ..., t이다_k. (정확히 감소된 에셀론 양식의 마지막 열에 있는 첫 번째 k 항목이어야 한다.)

축소된 행 에셀론 형식의 마지막 열에 피벗이 들어 있는 경우 입력 벡터 v는 S에 있지 않다.

Null 공간의 기준

입력 A m × n 행렬 A.

A의 null 공간에 대한 출력 A

1. A을(를) 축소된 열 에셀론 형식으로 넣으려면 기본 열 작업을 사용하십시오.
2. 축소된 행 에셀론 양식을 사용하여 변수 x₁, x₂, ..., x_n 중 어떤 변수가 비어 있는지 결정하십시오. 종속 변수에 대한 방정식을 자유 변수에 대해 쓰십시오.
3. 각 자유 변수 x에_i 대해 x_i = 1과 나머지 자유 변수가 0인 null 공간에서 벡터를 선택하십시오. 벡터의 결과 집합은 A의 null 공간의 기초가 된다.

예를 들어, null 공간에 대한 문서를 참조하십시오.

두 하위 영역의 합계와 교차점에 대한 기준

V의 두 하위 영역 U와 W가 주어진 경우, $U{\displaystyle }$+ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U+W}$와 교차점$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \cap }$ W ${\displaystyle U\cap W}$의 합계를 Zassenhaus 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있다$$.

하위 공간에 대한 방정식

K의ⁿ 하위 공간 S에 대해 A 기준 {b₁, b₂, ..., b_k} 입력

출력 An (n - k) × n 매트릭스 n n null 공간은 S이다.

1. 행이 b₁, b₂, ..., b인_k 행렬 A를 만드십시오.
2. A를 축소된 행 에셀론 형태로 만들려면 기본 행 작업을 사용하십시오.
3. c₁, c₂, ..., c를_n 줄인 행 에셀론 양식의 열이 되게 하라. 피벗이 없는 각 열에 대해 피벗이 있는 열의 선형 조합으로 열을 표현하는 방정식을 작성한다.
4. 이로써 변수 c₁, ...,c를_n 포함하는 n - k 선형 방정식의 균일한 시스템이 생성된다. 이 시스템에 해당하는 (n - k) × n 행렬은 nullspace S를 갖는 원하는 행렬이다.

예

A의 축소된 행 Echelon 형식이 다음과 같은 경우

${\displaystyle \left[{\begin{alignedat}{6}1&,&0&,&-3&,&0&,&2&,&0\\0&,&1&,&5&,&0&,&-1&,&4\\0&,&0&,&0&,&1&,&7&,&-9\\0&,&\;\;\;\와 같이^;0&,&\;\;\;\와 같이^;0&,&\;\;\;\와 같이^;0&,&\;\;\;\와 같이^;0&,&\;\;\;\와 같이^;0\end{alignedat}}\,\right]}$

그러면 열 벡터 c₁, ..., c는₆ 방정식을 만족한다.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {c} _{3}&=-3\mathbf {c} _{1}+5\mathbf {c} _{2}\\\mathbf {c} _{5}&=2\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}+7\mathbf {c} _{4}\\\mathbf {c} _{6}&=4\mathbf {c} _{2}-9\mathbf {c} _{4}\end{alignedat}}}$

따라서 A의 행 벡터는 방정식을 만족한다.

${\displaystyle {\displaystyle}{1}x_{3}&=-3x_{1}+5x_{2}\\x_{5}&=2x_{1}-x_{2}+7x_{4}\\x_{6}&=4x_{2}-9x_{4}.\end{aignedat}}}$

특히 A의 행 벡터는 해당 매트릭스의 null 공간의 기초가 된다.

참고 항목

• 순환하공간
• 불변 아공간
• 다변형 서브공간 학습
• 몫공간(선형대수)
• 신호 하위 공간
• 아공간 위상

메모들

인용구

원천

교과서

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웹

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외부 링크

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