영역 구면 함수

수학에서, 구역 구면 함수 또는 종종 그냥 구면 함수는 G의 불가역적 표현에서 K-invariant 벡터의 매트릭스 계수로 발생하는 콤팩트 부분군 K(흔히 최대 콤팩트 부분군)를 가진 국소 컴팩트 그룹 G의 함수다.대표적인 예로는 구면 주계열의 행렬계수, 즉 L²(G/K)에 대한 G의 단일표현 분해에 나타나는 불가해한 표현들이 있다.이 경우 G의 공통점은 우측 콘볼루션에 의한 K 작용에 관한 G의 생체변량함수의 대수학에 의해 생성된다.덧붙여 G/K가 대칭 공간인 경우, 예를 들어 G가 유한한 중심을 가진 연결된 반실행 Lie 그룹이고 K가 최대 콤팩트 서브그룹인 경우, 그것은 유사하다.구형 주계열의 매트릭스 계수는 흔히 헤케 대수라고 불리는 콤팩트 서포트(compact support)의 생변량 함수에 의해 생성된 해당 C* 대수학의 스펙트럼을 정밀하게 설명한다.생체변량 L¹ 함수의 상호 작용 Banach *-algebra의 스펙트럼이 더 크다. G가 최대 콤팩트 부분군 K를 가진 반이행 Lie 그룹인 경우, 추가 문자는 구면 주계열의 분석적 연속성을 통해 얻은 보완계열의 매트릭스 계수에서 나온다.

영역 구형 함수는 하리쉬-찬드라에 의해 실제 반 구현 그룹에 대해 명시적으로 결정되었다.특별한 선형 집단의 경우, 그것들은 이스라엘 겔판드와 마크 나이마크에 의해 독자적으로 발견되었다.복합 그룹의 경우 G는 K의 복잡화이며, 공식은 K에 대한 Weyl 문자 공식의 분석적 연속성과 관련되기 때문에 이론은 상당히 단순화된다.지역 구면 함수의 추상적 기능 분석 이론은 로저 고데멘트에 의해 처음 개발되었다.이들의 그룹 이론적 해석과는 별개로, 반실행 Lie 그룹 G의 영역 구형 함수는 대칭 공간 G/K의 미분 연산자로서² L(G/K)에 G의 범용적 포괄 대수 중심 자연 작용에 대한 일련의 동시적 고유 기능도 제공한다.반이행 p-adic Lie 그룹의 경우, 영역 구형 함수와 헤케 알헤브라의 이론은 사타케와 이안 G. 맥도날드에 의해 처음 개발되었다.이 설정에서 Planchelle 정리 및 Fourier 반전 공식의 유사성은 Mehler, Weyl 및 Fock의 고유함수 확장을 일반화한다: 그것들은 Harish-Chandra의 c-함수 측면에서 1960년대에 완전히 일반화되었다.

"지역구면함수"라는 명칭은 G가 2-sphere에 작용하는 SO(3,R)이고 K가 지점을 고정하는 부분군일 때 유래한다. 이 경우 지역구면함수는 고정 축을 중심으로 회전하는 구면 불변성의 특정 함수로 간주될 수 있다.

정의들

G를 국소적으로 콤팩트한 단변형 위상학 그룹, K를 콤팩트한 부분군으로 하고 H₁ = L²(G/K)으로 한다.따라서 H는₁ 좌역번역에 의한 G의 단일표현 π을 인정한다.만일 G와 P의 좌우 정규 표현 λ과 ρ을 갖는 H= L(G²)이 직교 투영이라면, 이는 정규 표현에 대한 하위 표현이다.

${\displaystyle P=\int _{K}\rho(k)\,dk}$

H에서 H로₁ 그러면 H는₁ λ의 제한에 의해 주어지는 G의 작용으로 자연스럽게 PH로 식별할 수 있다.

반면에 폰 노이만의 감화 정리로는^[1]

${\displaystyle \lambda (G)^{\premy }=\rho (G)^{\premy \premy \premy }}}$

여기서 S'는 다음과 같이 연산자 S의 집합에 해당하는 것을 의미한다.

$\pi(G)^{\premy }=P\rho(G)^{\premy \primy \primy \primy }P.}$

따라서 연산자에 의한 폰 노이만 대수로서 π의 공통점이 생성된다.

${\displaystyle P\rho(f)P=\int _{G}f(g)(P\rho(g)P)\,dg}$

여기서 f는 G에 대한 콤팩트 서포트(compact support)^[a]

그러나 Pρ(f) P는 H에 대한 f(F)의₁ 제한에 불과하다.

${\displaystyle F(g)=\int _{K}\int _{K}f(kgk^{\premy }\,dk^{\premy }\,dk^{\premy}}}}}}}}$

콤팩트 서포트의 K-biinvarious 연속함수로서, 양쪽의 K가 평균 f를 하여 얻는다.

따라서 π의 공통점은 연산자 ρ(F)과 F의 제한에 의해 생성되며, 이는 G에 대한 콤팩트 서포트 K-biinvariant 연속함수인 C(K_c\G/K)이다.

이러한 함수는 무의식적으로 경련을 일으키면서 * 대수학을 형성한다.

${\displaystyle F^{*}(g)={\overline {F(g^{-1})},}$

종종 그 쌍(G, K)을 위해 헤케 대수라고 부른다.

렛 A(K\G/K)는 H에₁ 있는 연산자 ρ(F)에 의해 생성된 C* 대수(C*)를 나타낸다.

한 쌍(G, K)은 다음과 같은 알헤브라의 한 쌍, 즉 모두 일치하면 게프랜드 쌍이라고^[2] 한다.

• ${\displaystyle \pi (G)^{\prime }}$
• ${\displaystyle C_{c}(K\백슬래시 G/K)}$
• $[\displaystyle A(K\backslash G/K).}$

A(K\G/K)는 역행 C* 대수기 때문에 Gelfand-Naimark의 정리에₀ 의해 C(X)형식을 가지며, 여기서 X는 A(K\G/K)를 C로 연속하는 표준 *동형성의 국소적 콤팩트 공간이다.

G에 대한 K-biinvariant 균일 경계 함수로써 X의 *동형성을 구체적으로 실현하는 방법은 다음과 같다.^{[2][3][4][5][6]}

견적 때문에

${\displaystyle \pi(F)\\leq \int _{G}F(g) \,dg\equiv \F\ _{1},$

A(K\G/K)에서 C_c(K\G/K)의 표현은 연속성에 의해 K-biinvariant 통합함수의 * 대수인 L¹(K\G/K)까지 확장된다.그 이미지는 A(K\G/K)의 조밀한 * 하위 상징을 형성한다.연산자 규범에 대한 *동형성 χ 연속성의 제한도 표준에 대해 연속적이다 · . ₁L의¹ Banach space dual은 L이므로^∞, 다음과 같다.

${\displaystyle \chi (\pi (F)=\int _{G}F(g)h(g)\,dg,}$

G의 고유 경계 K-biinvariant 함수 h에 대해.이러한 함수 h는 정확히 쌍(G, K)에 대한 구역 구면 함수다.

특성.

지역 구면 함수 h는 다음과 같은 특성을 갖는다.^[2]

1. h는 G에서 균일하게 연속된다.
2. ${\displaystyle h(x)h(y)=\int _{K}h(xky)\,dk\,\(x,y\in G)}$
3. h(1) =1(정상화)
4. h는 G에 대한 확실한 함수다.
5. f * h는 모든 f in C_c(K\G/K)에 대해 h에 비례한다.

이것들은 h에 의해 정의되는 경계 선형 기능 χ이 동형상이라는 사실의 쉬운 결과들이다.특성 2, 3, 4 또는 특성 3, 4, 5는 구역 구면 함수를 특징짓는다.보다 일반적인 영역 구형 함수의 등급은 조건으로부터 양의 정의도를 떨어뜨림으로써 얻을 수 있지만, 이러한 함수의 경우 더 이상 단일 표현과 연관성이 없다.반실현 Lie 그룹의 경우, G/K에서 불변 미분 운영자의 고유 기능으로서 추가적인 특성이 있다(아래 참조).

실제로 Gelfand-Naimark-Segal 건설의 특수한 경우로서 K에 의해 고정된 단위 벡터 v를 가지는 G의 σ과 주어지는 지역 구면함수 h 사이에 일대일 일치성이 있다.

$[\displaystyle h(g)=(\displayma(g)v,v).}$

그러한 돌이킬 수 없는 표현은 종종 1등급을 갖는 것으로 묘사된다.그것들은 정확하게 유도된 표현들을₁ 분해하는데 필요한 수정 불가능한 표현들이다. 각 표현 σ은 A(K\G/K)까지 연속성에 의해 독특하게 확장되어 각 지역 구면 함수를 만족시킨다.

${\displaystyle \left \int _{G}f(g)h(g)\,dg\오른쪽 \leq \pi(f)\}$

A(K\G/K)의 f에 대해더욱이, 정류자 π(G)'은 정류자이기 때문에 *동형성 X의 공간에 다음과 같은 독특한 확률 측정 μ가 있다.

${\displaystyle \int _{G}f(g) ^{2}\,dg=\int _{X} \chi(\pi(f) ^{2}\,d\mu(\chi).}$

μ는 플랑쉐렐 측정치라고 불린다.π(G)'은 G가 생성하는 폰 노이만 대수학의 중심이기 때문에, 해석할 수 없는 표현 σ의_χ 관점에서 H의₁ 직접 적분 분해와 관련된 측도 제공한다.

헬프랜드 쌍

G가 연결된 Lie 그룹이라면, Cartan, Malcev, 이와사와, Chevalley의 작업 덕분에 G는 최대 콤팩트 서브그룹을 가지고 있는데, 이 서브그룹들은 결합에 이르기까지 독특하다.^[7][8]이 경우 K가 연결되어 있고, 지수 G/K는 유클리드 공간과 차이점이다.G가 추가적으로 반시 구현된 경우, 이는 대칭 공간 G/K와 연관된 카르탄 분해법을 사용하여 직접 확인할 수 있으며, 이는 변환 불가능한 매트릭스의 극분해 일반화된다.실제로 τ이 고정점 부분군 K와 G의 두 자동형성과 연관된 기간이라면,

${\displaystyle G=P\cdot K,}$

어디에

${\displaystyle P=\{g\in G \tau(g)=g^{-1}\}.}$

지수지도에 따르면 P는 G의 리 대수에서 of의 -1 에겐스페이스와 차이가 있다. τ은 K를 보존하기 때문에 헤케 대수 C_c(K\G/K)의 자동화를 유도한다.반면에 F가 C_c(K\G/K)에 놓여 있다면,

F(평균) = F(g⁻¹),

그래서 τ은 반유형주의를 유도한다, 왜냐하면 역형이 그러하기 때문이다.따라서, G가 반실행되면

• 헤케 대수학(Hecke 대수학)은 서로 상응한다.
• (G,K)는 겔판드 쌍이다.

보다 일반적으로 동일한 주장이 Gelfand 쌍이 되는 (G,K)에 대해 Gelfand의 다음과 같은 기준을 제공한다.^[9]

• G는 단변형 로컬 컴팩트 그룹이다.
• K는 기간 2 자동형성 τ의 G의 고정점으로서 발생하는 콤팩트한 부분군이다.
• G =K·P(직접 제품일 필요는 없음) 여기서 P는 위와 같이 정의된다.

여기서 다루는 가장 중요한 두 가지 예는 다음과 같다.

• G는 two 기간 2 자동형성을 가진 콤팩트하게 연결된 반실행형 Lie 그룹이다.^[10][11]
• G는 반직접 제품 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⋊}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A\rtimes K}$이며$,$ A는 2-torion이 없는 국소 소형 아벨리안 그룹이고, A는 A와⁻¹ K이다.

이 세 가지 경우는 대칭 공간 G/K의 세 가지 유형을 포함한다.^[5]

1. 비 컴팩트 유형(K가 비 컴팩트 실제 구현 Lie 그룹 G의 최대 콤팩트 부분군인 경우)
2. 콤팩트형, K가 한 기간의 고정점 부분군인 경우 콤팩트 세미 구현 Lie 그룹 G.
3. 유클리드형, A가 K의 직교 작용이 있는 유한차원 유클리드 공간인 경우.

카르탄-헬가손 정리

G는 연결되고 단순하게 연결된 콤팩트한 semisimple이며, τ 고정점 부분군 K = G로^τ G의 기간 2 자동형이다. 이 경우 K는 커넥티드 컴팩트 리 그룹이다.^[5]또한 T $\cap {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$가 P의 최대치인 것처럼 T는 τ의 G 불변성의 최대치 토러스(maximal torus)가 되게 하고, 설정한다^[12].

${\displaystyle S=K=cap T=T^{\tau }}$

S는 토루스(torus)와 초등 아벨리아 2그룹의 직접 생산물이다.

1929년 엘리 카탄은 L²(G/K)의 분해 여부를 G의 유한 차원 불가역적 표현의 직접 합으로 결정하는 규칙을 발견했는데, 이는 시구르두르 헬가손에 의해 1970년에야 엄격하게 증명되었다.L²(G/K)에서 G의 공통점은 일치하기 때문에, 각 수정 불가능한 표현은 다중성 1과 함께 나타난다.콤팩트 그룹에 대한 프로베니우스 상호주의에 의해, 발생되는 불가해한 표현 V는 정확하게 K에 의해 고정된 비제로 벡터를 인정하는 표현들이다.

콤팩트한 반실행 집단의 대표이론에서 G의 불가해한 표현은 그 중량이 가장 높은 것으로 분류된다.이것은 T에 대한 최대 토러스 T의 동형성에 의해 지정된다.

더 카탄-헬가손 정리에는^[13][14] 다음과 같이 명시되어 있다.

K에 의해 고정된 비제로 벡터를 인정하는 G의 설명할 수 없는 표현은 정확히 S에 사소한 동형성에 해당하는 가장 높은 가중치를 가진 표현이다.

이에 상응하는 불가해한 표현을 구면 표현이라고 한다.

정리는 이와사와 분해를 이용하여 증명할^[5] 수 있다.

${\displaystyle {\mathfrak{g}={\mathfrak{k}}\mathfrak {k}\mathfrak {a}\mathfrak {n},}$

여기서 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ $k{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$${$k$ ${\$는 G, K, A = T $=$ $displaystyle$ \$cap}$$$및

${\displaystyle {\mathfrak{n}=\bigoplus {\mathfrak {g}_{\mathfrak }}$

τ에 의해 고정되지 않은 양의 뿌리 α에 해당하는$$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 T에 대한 모든 에겐스페이스에 대해 합계를 낸다.

Let V be a spherical representation with highest weight vector v₀ and K-fixed vector v_K. Since v₀ is an eigenvector of the solvable Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {p}}}$, the Poincaré–Birkhoff–Witt theorem implies that the K-module generated by v₀ is the whole of V.Q가 Haar 측정에 대해 G를 평균하여 구한 V에서 K의 고정점에 대한 직교 투영인 경우, 다음과 같다.

${\displaystyle \displaystyle {v_{K}=cQv_{0}}}$

일부 0이 아닌 상수 c에 대해.v는_K S에 의해 고정되고 v는₀ S에 대한 고유 벡터이기 때문에, 부분군 S는 실제로 S에 대한 사소한 조건의 동등한 형태인 v를₀ 고정해야 한다.

반대로^[15] v가₀ S에 의해 고정된 경우, 매트릭스 계수가

${\displaystyle \displaystyle {f(g)=(gv_{0},v_{0}}}}}}}$

K에 대해 음성이 아니다.f(1) > 0 이후로는 (Qv₀, v₀) > 0을 따르며, 따라서 Qv는₀ K에 의해 고정된 비제로 벡터라는 것이다.

하리쉬-찬드라 공식

G가 비 컴팩트 반실행 리 그룹인 경우, 그 최대 콤팩트 부분군 K는 카르탄 분해에서 성분 P에 대한 결합에 의해 작용한다.만약 A가 P에 포함된 G의 최대 아벨리아 부분군이라면, A는 지수 지도에 따른 리 대수학과의 차이점이며, 행렬의 극 분해에 대한 추가적인 일반화로서 P의 모든 원소는 K에 의해 A의 요소에 결합되어^[16] A의 원소에 결합된다.

G =KAK.

이와사와의 관련 분해도 있다.

G =KAN,

여기서 N은 닫힌 영점 부분군이며 지수 지도에서 Lie 대수와의 차이점형이며 A에 의해 정규화된다.따라서 S=AN은 G의 폐쇄적인 해결 가능한 부분군이며, N의 반직접 제품인 A와 G = KS이다.

Hom(A,T)의 α가 A의 문자라면, α는 N에 대해 사소한 것으로 정의함으로써 S의 문자로 확장된다.L²(G/S) = L²(K)에 해당하는 G의 단일유도표현이 있는데,^[17] 이는 소위 (구형) 주계열표현이다.

이 표현은 다음과 같이 명시적으로 설명할 수 있다.G, K와 달리 해결 가능한 Lie 그룹 S는 단변형이 아니다.dx는 S와 Δ에_S 대한 좌측 불변성 하르 측정값을 나타내도록 한다.그러면^[5]

${\displaystyle \int _{G}f(g)\,dg=\int _{S}\int _{K}f(x\cdot k)\,dx\,dk=\int _{S}f(k\cdot x)\.델타 _{S}(x)\,dx\,dk.}$

주요 시리즈 표현 σ은 L²(K)에 다음과 같이^[18] 실현된다.

${\displaystyle (\sigma (g)\xi )(k)=\알파 ^{\premy ^}(g^{-1}k)^{-1}\,\xi(U(g^{-1}k),}}$

어디에

$[\displaystyle g=U(g)\cdot X(g)}$

이와사와의 g 분해는 K에서는 U(g), S에서는 X(g)이다.

${\displaystyle \alpha ^{\premy }(kx)=\Delta _{S}^{1/2}\alpha (x)}$

k in K와 x in S.의 경우

표현 σ은 수정할 수 없으므로, v가 K에 의해 고정된 K의 상수 함수 1을 나타내는 경우,

${\displaystyle \varphi _{\display }(g)=(\displayma(g)v,v)}$

G의 구역 구면 함수를 정의한다.

위의 내부 제품을 계산하면 지역 구면 함수에 대한 Harish-Chandra의 공식으로 이어진다.

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(g)=\int _{K}\alpha ^{\premy }^{-1}\,dk}$

K에 대한 일체로서

Harish-Chandra는 이러한 영역 구형 함수가 L²(G/K)에 대한 우측 콘볼루션에 의해 작용하는_c C(K \ G / K)에 의해 생성된 C* 대수의 문자를 소진한다는 것을 증명했다.그는 또한 s가 A의 Weyl 그룹에 있는 α = β·s인 경우에만 두 개의 다른 문자 α와 β가 동일한 영역 구형 함수를 제공한다는 것을 보여주었다.

$W(A)=N_{K}(A)/C_{K}(A),}$

유한반사군인 중앙집중기에 의한 K에서 A의 정규분포 지수.

또한 표현 이론을 사용하지 않고 이 공식이 영역 구면 함수를 정의하고 있음을 직접^[2] 확인할 수 있다.모든 구역 구면 공식은 이러한 방식으로 발생한다는 일반적인 반실현 Lie 그룹에 대한 증명에는 G/K에 대한 G-invariant 미분 연산자와 이들의 동시 고유특성에 대한 상세한 연구가 필요하다(아래 참조).^[4][5]복잡한 반실행 집단의 경우, 하리쉬-찬드라, 펠릭스 베레진은 그 공식이 상당히 단순화되었고 더 직접적으로 증명될 수 있다는 것을 독립적으로 깨달았다.^{[5][19][20][21][22]}

나머지 양의-확정성 구면 함수는 Hom(A,T)이 아닌 Hom(A,C*)에 α를 넣은 Harish-Chandra의 공식에 의해 주어진다.특정 α만이 허용되며 그에 상응하는 불가해한 표현은 구면 주계열의 분석적 연속으로서 발생한다.소위 "완성 시리즈"라고 불리는 이 시리즈는 바그만(1947년)이 G = SL(2,R)을 위해, 하리쉬 찬드라(1947년)와 겔판드 앤드 나이마크(1947)가 Gelfand & Naimark(1947년)가 G = SL(2,C)을 위해 처음 연구했다.그 후 1960년대에 구면 주계열의 분석적 지속에 의한 보완계열의 구축은 레이 쿤제, 엘리아스 스타인, 버트람 코스탄트에 의해 일반 반이행 리그룹에 대해 체계적으로 전개되었다.^[23][24][25]이러한 불가해한 표현은 담금질되지 않기 때문에 G(또는 G/K)에 대한 고조파 분석에는 일반적으로 필요하지 않다.

고유 기능

Harish-Chandra는 영역 구형 함수가 G/K에서 불변 미분 연산자의 대수인 D(G/K)의 고유 기능인 G/K에서 정규화된 양정확정 K-invariant 함수로 특징지어질 수 있음을 증명했다^[4][5].이 대수학은 G/K에 작용하며 좌역번역에 의한 G의 자연작용에 통용된다.그것은 K의 조정 작용에 따라 고정된 G의 보편적 포락 대수학의 하위격하와 구별할 수 있다.L²(G/K)과 해당 헤케 대수에서 G의 공통점에 대해서는, 이 연산자의 대수학은 일치한다. 실제로 아벨리안 폰 노이만 대수학인 ((G)에 소속된 중수 연산자의 대수학의 하위격이다.하리쉬-찬드라가 증명했듯이, A의 리 대수에서 W(A)-invariant 다항식 다항식 대수에 이항형이며, 그 자체가 체발리-에 의한 다항식 고리인 것이다.셰퍼드-유한 반사 그룹의 다항식 불변제에 대한 토드 정리.G/K에서 가장 단순한 불변 차동 연산자는 라플라시안 연산자다; 표지판까지 이 연산자는 G의 보편적 포락 대수 중심에서 카시미르 연산자의 under에 따른 이미지일 뿐이다.

따라서 G의 정규화된 양수 K-biinvarious 함수 f는 D(G/K)의 각 D에 대해 다음과 같은 상수 λ이_D 있는 경우에만 구역 구면 함수다.

${\displaystyle \pi(D)f=\lambda _{D}f,}$

즉, f는 연산자 π(D)의 동시 고유 기능이다.

만약 ψ이 구역 구면 함수인 경우, G/K의 함수로 간주되면, 그곳은 실제 분석 계수를 갖는 타원 미분 연산자인 라플라시안의 고유함수다.분석 타원형 정규성에 의해 ψ은 G/K에 대한 실제 분석 함수로서 G.

Harish-Chandra는 불변 연산자의 구조에 관한 이러한 사실들을 이용하여 그의 공식이 실제 반이행 Lie 그룹에게 모든 영역 구형 함수를 제공한다는 것을 증명했다.^[26][27][28]실제로 공칭값의 동시 에겐스페이스는 불변 미분 연산자의 대수의 동시 에겐스페이스가 모두 차원 1을 가지고 있음을 암시하며, 이 대수의 다항식 구조는 동시 에 고유값을 하리쉬-찬드라 공식과 이미 연관되어 있는 값이어야 한다.

예: SL(2,C)

그룹 G = SL(2,C)은 콤팩트한 Lie 그룹 K = SU(2)와 로렌츠 그룹의 더블 커버의 복합화다.로렌츠 집단의 무한 차원 표현은 1945년 디라크에 의해 처음 연구되었는데, 디락은 그가 팽창기라고 부르는 이산 직렬 표현을 고려했다.곧이어 하리쉬-찬드라, 겔판드-나이마크, 바그만 등이 체계적인 연구를 시작했다.구역 구면 함수에 해당하는 등급 1의 불가해한 표현은 라플라시안 연산자의 방사형 구성요소를 사용하여 쉽게 결정할 수 있다.^[5]

실제로, 어떤 비모듈라 복합체 2×2 매트릭스 g는 고유한 극 분해 g = v 단일체 및 p 양성체인 pv를 허용한다.차례로 p = uau*, u unitalis 및 양의 입력이 있는 대각 행렬.따라서 g = w = u* v가 있는 uaw를 사용하므로 G의 K-biinvariant 함수는 대각 행렬의 함수에 해당한다.

${\displaystyle a={\pmatrix}e^{r/2}&0\\0&e^{-r/2}\end{pmatrix},}$

위일 집단의 휘하에 불변하는쌍곡선 3-공간으로 G/K를 식별하는 영역 쌍곡선 함수 ψ은 라플라시안의 고유 기능인 방사형 함수에 해당한다.그러나 방사상 좌표 r의 관점에서 라플라시안은 다음과^[29] 같이 주어진다.

${\displaystyle L=-\partial _{r}^{2}-2\coth r\partial _{r}.}$

설정 f(r) = sinh(r)/limit(r)의 f는 r의 이상함수이며 $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\$의 고유함수라는 것을 따른다$.$

그러므로

${\displaystyle \varphi (r)={\sin(\ell r) \over \ell \sinh r}}$

여기서 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell}$은(는) 진짜다$$.

다카하시(1963년)의 일반화된 로렌츠 그룹 SO(N,1)와 파라오&코라니(1994년)의 경우(SO⁰(3,1) = SL(2,C) / ±I)와 유사한 초등 치료가 있다.

콤플렉스 케이스

G가 복잡한 반실행 Lie 그룹이라면, 그것은 그것의 최대 콤팩트 부분군 K의 복잡화다.$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$과(와) $k{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) 리알헤브라스라면, 그러면

${\displaystyle {\mathfak{g}={\mathfak{k}}\mathfak {k}\mathfak{k}}\mathfak {k}}.}$

Lie 대수 $t{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$와 함께 K에서 T를 최대 토루스(maximal torus)가 되게 하라$.$ 그러면

${\displaystyle A=\exp i{\mathfrak{t},\,\,P=\exp i{\mathfrak {k}.}$

내버려두다

${\displaystyle W=N_{K}(T)/T}$

K에서 T의 Weyl 그룹이다.Recall characters in Hom(T,T) are called weights and can be identified with elements of the weight lattice Λ in Hom(${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$, R) = ${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$. There is a natural ordering on weights and every finite-dimensional irreducible representation (π, V) of K has a unique high무게 λ$k{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \ominus }$ ${\displaystyle t\mathfrak{}}$ ${\$ {\mathfrak${k}\minus {\mathfrak{t}}$에 대한 K의 부선 표현 가중치를 루트라고 하며$$, ρ은 양의 뿌리 α의 반을 나타내기 위해 사용하며, Weyl의 문자 공식은 z = exp X in T에 있다고 단언한다.

${\displaystyle \chi _{\lambda }(e^{X})\equiv {\rm {Tr}\,\pi(z)=A_{\lambda +\rho }(e^{X})/A_{\rho }(e^{X}),}$

여기서, $∗{\$의$$μ에 대해 A는_μ 대칭 반대임을 나타낸다.

${\displaystyle \displaystyle A_{\mu }(e^{X})=\sum _{s\in W}\varepsilon (s)e^{i\mu(sX)}}}}$

및 ε은 유한반사군 W의 부호문자를 나타낸다.

Weyl의 분모 공식은 A 분모를_ρ 하나의 제품으로 표현한다.

${\displaystyle \displaystyle A_{\rho }(e^{X})=e^{i\rho (X)}\prod _{\alpha >0}(1-e^{-i\alpha (X)),}}$

제품이 양의 뿌리보다 높은 곳.

Weyl의 치수 공식은 다음과 같이 주장한다.

$\displaystyle \chi _{\lambda }(1)\equiv {\rm {dim}\,V={\prod _{\alpha >0}(\lambda +\rho ,\alpha ) \prod _{\lpha >0}(\rho ,\lpha )}).}$

$여기$서 t$∗{\$의 내부 제품은 k ${\$의 Killing 양식과 관련된 제품이다$.$

지금

• K의 모든 되돌릴 수 없는 표현은 복합화 G까지 홀로모형으로 확장된다.
• K의 모든 불가해한 문자 χ_λ(k)은 K와 $t{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$의 복잡화까지 홀로모형으로 확장된다${\$
• Hom(A,T) = $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ i${\mathfrak{t}^{*}}}}$의 모든 for에 대해 구역 구면 함수 φ이_λ 있다$.$

베레진-하리쉬-찬드라 공식은^[5] i ${\displaystyle t\mathfrak{}}$ ${\$의 X에 대해 단언한다.

${\displaystyle \varphi _{\lambda }(e^{X})={\chi _{\lambda }(e^{X}) \over \chi _{\lambda }(1)}$

즉, 다음과 같다.

• 복잡한 반실현 Lie 그룹의 영역 구형 함수는 정규화된 문자에 대한 공식의 분석적 연속성에 의해 주어진다.

이 공식의 가장 간단한 증명^[30] 중 하나는 G의 라플라시안 A에 있는 방사성분을 포함하는데, 이는 K의 라플라시안 T에 있는 방사성분을 이용하여 프로이덴탈의 고전적인 Weyl 문자 공식에 대한 Helgason의 재작업과 공식적으로 평행한 증거다.^[31]

후자의 경우 K의 클래스 기능은 T의 W-invariant 함수로 식별할 수 있다.T에 대한 Δ의_K 반경 성분은 Δ를_K T에 대한 W-invariant 함수에 대한 제한에 대한 표현일 뿐이며, 여기서 Δ는 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle \Delta _{K}=h^-1}\circle \Delta _{T}\circle h+\rho \ ^{2}}$

어디에

${\displaystyle \displaystyle h(e^{X})=A_{\rho }(e^{X})}$

$t{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 X에 대한 경우$.$ χ이 가장 높은 가중치 λ의 문자인 경우 = = h·χ가 만족하는 문자임

${\displaystyle \Delta _{T}\varphi =(\ \lambda +\rho \ \{2}-\rho \ \{2}}\rho \ \{varphi .}}$

따라서 φ에서 0이 아닌 푸리에 계수를 갖는 모든 중량 μ에 대해,

$\displaystyle \displaystyle \\doda +\rho \^{2}=\mu +\rho \ ^2}.}$

프로이덴탈의 고전적 주장은 μ + μ는 W의 일부 s에 대해 s(λ + ρ) 형태를 가져야 하므로 문자 공식은 φ의 대칭성에서 따온다는 것을 보여준다.

마찬가지로 G의 K-biinvariant 함수는 A의 W(A)-invariant 함수로 식별할 수 있다.A에 대한 Δ의_G 방사상 성분은 A에 대한 Δ를_G W(A)에 대한 변이함수 제한에 대한 표현일 뿐이다.그것은 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle \Delta _{G}=H^-1}\circle \Delta _{A}\circle H-\ \rho \ ^2},}$

어디에

${\displaystyle \displaystyle H(e^{X})=A_{\rho }(e^{X})}$

${\displaystyle i\mathfrak{}}$ ${\$의 X에 대한 .

지역 구면함수 φ에 대한 베레진-하리쉬-찬드라 공식은 대칭함수를 도입하여 설정할 수 있다.

${\displaystyle \displaystyle f=H\cdot \varphi ,}$

이것은 라플라시안 Δ의_A 고유 기능이다.K는 단순 루트에 해당하는 SU(2)의 동형상인 부분군의 복사본에 의해 생성되기 때문에, 그 복합화 G는 SL(2,C)의 해당 동형상들에 의해 생성된다.SL(2,C)의 구역 구면함수에 대한 공식은 f가 어떤 하위 함수와 관련하여$$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle t\mathfrak{}}$ ${\$에 대한 주기 함수를 의미한다.Weyl 그룹과 프로이드텐탈의 논거에 따른 대칭성은 다시 ψ이 명시된 형태를 반드시 최대 승수 상수까지 가져야 함을 암시하는데, 이는 Weyl 치수 공식을 사용하여 결정할 수 있다.

예: SL(2,R)

SL(2,R)에 대한 지역 구면함수의 이론은 1881년 메흘러의 쌍곡 기하학 연구에서 비롯되었다.그는 1943년 포크에 의해 재발견된 플랑쉐렐 정리의 아날로그를 발견했다.해당 고유함수 팽창은 메흘러-폭 변환이라고 불린다.그것은 1910년 헤르만 바일의 일반 미분 방정식의 스펙트럼 이론에 관한 중요한 연구에 의해 이미 확고한 지위에 올려졌다.이 경우 라플라시안의 방사상 부분은 초기하 미분 방정식을 유도하는데, 이 이론은 웨일(Weyl)에 의해 자세히 다루어졌다.이후 하리쉬-찬드라에 의해 Weyl의 접근법이 일반적 반실현 Lie 그룹에 대한 지역적 구형 함수와 그에 상응하는 Planchelle 정리를 연구하기 위해 일반화되었다.SL(2,R)의 이산 직렬 표현에 관한 디라크의 연구에 따라, SL(2,R)의 단일 불가역적 표현에 대한 일반 이론이 바그만, 하리쉬찬드라, 겔판드-나이마크에 의해 독자적으로 개발되었다.1등급의 불가해한 표현, 또는 동등하게 지역적 구면함수의 이론은 이 이론의 중요한 특별한 경우를 형성한다.

그룹 G = SL(2,R)은 쌍곡면의 대칭 그룹인 3차원 로렌츠 그룹 SO(2,1)의 이중 커버다.뫼비우스의 변신에 의해 작용한다.상단 하프 평면은 Cayley 변환에 의해 유닛 디스크로 식별할 수 있다.이 식별에 따라 G는 그룹 SU(1,1)와 동일해지고, 뫼비우스 변환에 의해서도 작용한다.작용이 전이적이기 때문에 두 공간 모두 G/K로 식별할 수 있으며, 여기서 K = SO(2)가 된다.미터법은 G에 따라 불변하며 관련 라플라시안은 카시미르 연산자의 이미지와 일치하여 G-인바리안트다.상부 반면 모델에서 라플라시안은 공식에^[5][6] 의해 주어진다.

${\displaystyle \Delta =-4y^{2}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})}$

s가 복잡한 수이고 z = x + i y가 y > 0이면 함수

${\displaystyle \displaystyle f_{s}(z)=y^{s}=\exposes}\cdot \log y),}$

Δ의 고유 함수:

$\displaystyle \Delta f_{s}=4s(1-s)f_{s}.}$

Δ는 G와 통용되기 때문에 f의_s 어떤 좌역도 동일한 고유값을 갖는 고유함수다.특히 함수인 K에 대한 평균값

${\displaystyle \varphi _{s}(z)=\int _{K}f_{s}(k\cdot z)\,dk}$

G/K에서 Δ의 K-invariant 고유함수.언제

${\displaystyle s={1 \over 2}+i\tau ,}$

τ real과 함께, 이 기능들은 G의 모든 구역 구면 함수를 제공한다.하리쉬-찬드라(Harish-Chandra)가 세미 구현 리 그룹에 대해 보다 일반적인 공식과 마찬가지로, φ은_s 주계열에서 K에 의해 고정된 벡터에 해당하는 매트릭스 계수이기 때문에 영역 구형함수다.다른 것이 없다는 것을 증명하기 위해 다양한 주장이 가능하다.가장 단순한 고전적 Lie 대수적 주장^{[5][6][32][33][34]} 중 하나는 Δ가 분석 계수를 가진 타원 연산자이므로 분석 타원 정규성에 의해 어떤 고유함수도 반드시 실제 분석이라는 점에 주목하는 것이다.따라서 지역 구면 함수가 벡터 v와 표현 σ의 행렬 계수에 해당한다면, 벡터 v는 G와 G의 분석 벡터다.

${\displaystyle \displaystyle(\sigma(e^{X}v),v)=\sum _{n=0}^{n=0}^{\infit }(\sigma(X)^{n}v,v)/n!}$

${\displaystyle i\mathfrak{}}$ ${\$의 X에 대한 .K에 의해 고정된 벡터를 가진 수정 불가능한 단일적 표현들의 극소형 형태는 바그만이 고전적으로 고안해냈다.^[32][33]그것들은 정확히 SL(2,R)의 주요 시리즈와 일치한다.따라서 구역 구면 함수는 주계열 표현에 해당한다.

또 다른 고전적인 논쟁은^[35] 방사상 기능에서 라플래시안이 형태를 가지고 있다는 것을 보여줌으로써 진행된다.

${\displaystyle \Delta =-\partial _{r}^{2}-\cot(r)\cdot \partial _{r}}$

따라서, r의 함수로서, 구역 구면 함수 r(r)는 일반적인 미분 방정식을 만족해야 한다.

$\displaystyle \varphi ^{\premy \premy \premy }+\coth r\,\varphi ^{\premy }=\premy \premy \,\varphi }}$

어떤 상수 α에 대해서.변수 t = sinh r의 변경은 이 방정식을 초기하 미분 방정식으로 변환한다.복합지수의 레전드르 함수에 관한 일반적인 해결책은 다음과^[2][36] 같다.

$\displaystyle \varphi(r)=P_{\rho }(\cosh r)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }(\cosh r+\sinh r\,\cos \theta )^{\rho }\,d\ta ,}$

여기서 α = ρ(ρ+1)이다.ρ에 대한 추가적인 제한은 G에 대한 영역 구형 함수의 경계성과 양의 정의에 의해 부과된다.

Mogens Flensted-Jensen 때문에 또 다른 접근방법이 있는데, 이 접근방식은 Planchrel 공식과 R에 대한 푸리에 역행 공식의 단순한 결과인 SL(2,C)에 대한 결과로부터 Planchrel 공식을 포함한 SL(2,R)에 대한 지역 구형 함수의 특성을 도출한다.이 "하향 방법"은 보다 일반적으로 작용하여, 실제 반실행 리 그룹에 대한 결과는 복잡화에 대한 해당 결과로부터의 하강에 의해 도출될 수 있다.^[37][38]

추가 방향

• 반드시 플러스-확정성이 있는 것은 아닌 영역함수의 이론.이것들은 위와 같은 공식에 의해 주어지지만 복잡한 매개변수 s나 ρ에 대한 제한은 없다.그것들은 비합법적인 표현에 해당한다.^[5]
• 구면함수에 대한 하리쉬-찬드라의 고유함수 팽창과 반전 공식.^[39]이것은 실제 반실현 Lie 집단을 위한 그의 플랑쉐렐 정리의 중요한 특별한 경우다.
• 헤케 대수학의 구조.하리쉬-찬드라 및 고데멘트는 콘볼루션 알제브라로서 웨일 그룹 아래 아발지브라 불변제인_c^{∞ W}C(K \ G / K )와 C_c^∞(A) 사이에 자연 이형성이 있음을 증명했다.^[3]이것은 SL(2,R)에 대해 쉽게 설정할 수 있다.^[6]
• 유클리드 운동 그룹과 컴팩트 리 그룹에 대한 구형 함수.^[5]
• p-adic Lie 그룹에 대한 구형 함수.이것들은 사타케와 맥도날드에 의해 심층적으로 연구되었다.^[40][41]그들의 연구와 연관된 헤케 알헤브라의 연구는 랭글랜드 프로그램의 핵심 요소인 반실행 p-adic Lie 그룹의 광범위한 대표 이론의 첫 단계 중 하나였다.

참고 항목

• 구형함수에 대한 평면정리
• 국소 콤팩트 집단의 헤케 대수
• 거짓말 그룹의 표현
• 비확정 고조파 분석
• 담금화
• 그룹의 양의 한정 함수
• 대칭공간
• 겔판트 쌍

메모들

인용구

원천

외부 링크

• Casselman, William, Notes on spherical functions (PDF)