보렐-윌-보트 정리

수학에서 보렐-웨이일-보트 정리는 리 그룹의 표현 이론에서 기본적인 결과로서, 어떤 복잡한 벡터 번들의 홀로모르픽 부분으로부터, 그리고 더 일반적으로는 그러한 번들과 연관된 더 높은 층의 피복 코호몰로지 그룹에서 표현 계열을 얻을 수 있는 방법을 보여준다. 아만드 보렐과 안드레 웨일의 초기 보렐-윌 정리에 기초하여 구축되었으며, 라울 보트가 제공하는 더 높은 코호몰로지 그룹으로 확장된 부분(제롯 코호몰로지 그룹)의 공간만을 다루고 있다. 세레의 GAGA를 통해서, 동등하게, 이것을 자리스키 위상에서의 복잡한 대수 기하학 기하학으로 볼 수 있다.

공식화

G를 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 반실행 Lie 그룹 또는 대수 그룹이 되게 하고$$T를 포함하는 Borel 부분군 B와 함께 최대 토러스 T를 고정한다. λ은 T의 일체형 중량이 되게 하라; λ은 자연스럽게 T = B/U에 대한 표현을 철회함으로써 B의 1차원 표현 C를_λ 정의한다. 여기서 U는 B의 전능한 급진파다. 투영지도 G → G/B를 주 B 번들(B-bundle)으로_λ 생각할 수 있기 때문에, C마다 G/B에_−λ 관련 섬유다발 L(표지참고)을 받는데, 이것은 분명히 선다발이다. Identifying L_λ with its sheaf of holomorphic sections, we consider the sheaf cohomology groups ${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })}$. Since G acts on the total space of the bundle ${\displaystyle L_{\lambda }}$ by bundle automorphisms, this action naturally gives a G-module structure on these 그룹; 그리고 보렐-윌-보트 정리는 G-모듈로서 이들 그룹에 대한 명시적인 설명을 제공한다.

We first need to describe the Weyl group action centered at ${\displaystyle -\rho }$. For any integral weight λ and w in the Weyl group W, we set ${\displaystyle w*\lambda :=w(\lambda +\rho )-\rho \,}$, where ρ denotes the half-sum of positive roots of G. 일반적인 Weyl 그룹 액션과 달리 이 동작이 선형적이지는 않지만 이것이 그룹 액션을 정의하는지 확인하는 것은 간단하다. 또한 모든 단순뿌리 α에 대해$$ $\mu {\displaystyle ({}^{}}$α${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mu(\alpha ^{\vee }}\geq$ 0$})$가 되면 중량 μ가 우세하다고 한다. W에 길이 함수를 표시한다.

일체형 중량 λ에 따라 다음 두 가지 사례 중 하나가 발생한다.

1. ${\displaystyle W}$${\displaystyle }$${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle w*\lambda }$이(가) 지배적일 정도로$$ W ${\$$displaystyle w\in W}$이(가) 지배적일 $정도$로 $W{\displaystyle }$ ${\$displaystyle w$\lambda$ $\}$ ; 또는 W ${\displaystyle \ast }$∗ = ${\displaystystyleda$}이(가$$)인 비identity)가 있다.
2. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle w\in$ $W}$이$($가) 지배적인$$ 독특한$$ $w$가 있다.

정리는 첫 번째 경우에 우리는

${\displaystyle {}^{}}$H ${\displaystyle i^{}}$( ${\displaystyle G}$/ B${\displaystyle }$, ${\displaystyle L{}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda }}=0$$};$

그리고 두 번째 경우에는

${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle i^{}G}$/ ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle L{}_{}}$ $λ$${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ (${\displaystyle w}$)에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$0$$${\$$displaystyle$ $H^{i}(G/B$$,\,$$L_$${\$$lambda$$}}=0$

${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {\ell }^{}}$( ${\displaystyle w{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( G${\displaystyle }$/ B${\displaystyle }$, ${\displaystyle L{}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$) ${\displaystyle$ H$^{\ell (w)}(G/B,\,L_{\$$lambda }}})$은 최고 중량이 ${\displaystyle \ast 인}$ G의 무reducible $최고$ 가중치 표시의 이중이다$.$

위의 사례 (1)은 일부 양의 뿌리 β에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ $({\displaystyle \lambda }$+ ${\displaystyle {}^{}{)}^{}}$= 0 ${\displaystyle (\lambda +\rho )(\beta ^{\vee }=0})$일 경우에만 발생한다는 점에 유의할 필요가 있다. 또한, 우리는 dominant을 지배적이고 w를 정체성 $요소{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}${ W$${\$displaystyle$ e$\in$ W$}$로 취함으로써 고전적인 보렐-와일 정리를 이 정리의 특별한 사례로 얻는다$.$

예

예를 들어 G = SL₂(C)을 고려한다. G/B는 리만 구체로서, 적분 중량은 단순히 정수 n과 ρ = 1로 지정된다. 선다발 ${\displaystyle L}$은_n $O{\displaystyle \mathcal{}}$( n${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal {O}(n)}$이며$,$ 그 섹션은 도 n의 동종 다항식(즉, 이진 형식)이다. G의 표현으로서, 섹션은 Symⁿ(C²)*으로 쓸 수 있으며, Symⁿ(C²)에 대해 표준적으로 이형화된다^[how?].

This gives us at a stroke the representation theory of ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbf {C} )}$: ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}(1))}$ is the standard representation, and ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}(n))}$ is its nth symmetric power. 우리는 리만 구체의 벡터 장으로서의 실현으로부터 파생된 리 대수학의 작용에 대한 통일된 설명도 가지고 있다: 만약 H, X, Y가 $s{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle l_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{2}}_{}}$( $){\displaystyle {\mathfrak{sl}_{2}(\mathbf {C} )}$의 표준 생성기라면$,$ 그렇다면.

${\displaystyle {\reasoned}H&=x{\frac{d}{dx}-y{d}{d}},\\[5pt]X&=x{d}{d}},\[5pt]Y&=y{\frac {d}{dx}.\end{정렬}}}$

양성 특성

하나는 또한 긍정적인 특성에서 이 정리의 약한 형태를 가지고 있다. 즉, 특성 > $[\displaystyle p>0}$의 대수적으로 닫힌 장에 대해 G를 반실행 대수집단이 되게 한다 Then it remains true that ${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })=0}$ for all i if λ is a weight such that ${\displaystyle w*\lambda }$ is non-dominant for all ${\displaystyle w\in W}$ as long as λ is "close to zero".^[1] 이것은 켐프 소멸 정리라고 알려져 있다. 그러나 정리의 다른 진술은 이 설정에서 유효하지 않다.

더 명시적으로 λ이 지배적인 적분, 그때 그것은 여전히 H나는 모든 나입니다.;0{\displaystyle i>0}는 하지만 더 이상 비록 highes의 독특한 높은 무게 모듈을 포함하고 있다. 이 군의 가군 일반적으로 단순한 것은 사실이다=0{\displaystyle H^{나는}(G/B,\,L_{\lambda})=0}(G/B, Lλ)사실 한번 해 보겠습니다.tweigg-submodule로서 ht λ. 만약 λ이 임의의 적분 중량이라면, 일반적으로 공동호몰로지 모듈 ${\displaystyle {Hi}^{}}$(${\displaystyle G}$/ B${\displaystyle }$, ${\displaystyle L{}_{}}$ $){\displaystyle$ H$^{i}(G/B,\,L_{\lambda }}}}$을(를) 설명하는$$ 것은 사실 표현 이론에서 큰 미해결 문제인 것이다. $over{\displaystyle \mathbb{}}$C {\$displaystyle \mathb$ {C$}}$과(와) 달리$,$ Mumford는 이러한 모듈들이 단도 i를 제외하고 모두 0이라는 고정된 λ에 대해서는 그럴 필요가 없음을 보여주는 예를 제시했다.

보렐-윌 정리

보렐-와일 정리는 콤팩트 리 집단의 불가해한 표현과 복잡한 반실현 리 집단의 불가해한 홀로모르픽 표현에 대한 구체적인 모델을 제공한다. 이러한 표현은 그룹의 국기 다지관에 있는 홀로모픽 라인 번들의 글로벌 섹션의 공간에서 실현된다. 보렐-윌-보트 정리는 더 높은 코호몰로지 공간에 대한 일반화다. 이 정리는 1950년대 초반으로 거슬러 올라가며 세레 & 1951-4 harvtxt 오류: 대상이 없음: CITREFSerre1951-4 (도움말)과 Tits (1955)에서 찾을 수 있다.

정리명세서

정리는 복잡한 반실행 Lie 그룹 G에 대해 또는 그것의 콤팩트한 형태 K에 대해 진술할 수 있다. G는 연결된 복잡한 Semisimple Lie 그룹, B는 G의 Borel 하위 그룹, X = G/B는 플래그 버라이어티. 이 시나리오에서 X는 복잡한 다지관과 비정규 대수 G-변수다. 깃발 다양성은 소형 동질 공간 K/T로도 설명될 수 있는데, 여기서 T = K b B는 K의 (compact) 카르탄 부분군이다. 적분 중량 λ은 X에서 G-등분 홀로모르픽 라인 번들 L을_λ 결정하고 G 그룹은 글로벌 섹션의 공간에 작용한다.

${\displaystyle \Gamma(G/B,L_{\lambda }).\ }$

보렐-와일 정리는 만약 λ이 지배적인 적분 중량이라면, 이 표현은 최고 중량 λ을 가진 G의 홀로모르픽 무reducable 최고 중량 표현이라고 명시한다. 그것의 K에 대한 제한은 최고 중량 λ을 가진 K의 불가해한 단일적 표현이며, 각각의 불가해한 단일적 표현은 λ의 고유한 값에 대해 이와 같이 얻어진다.(복잡한 Lie 그룹의 홀모픽 표현은 해당 Lie 대수표현이 복잡한 선형인 것이다.)

구체적인 설명

중량 λ은 보렐 부분군 B의 문자(일차원 표현)를 발생시키며, 이를 χ으로_λ 나타낸다. G/B 위에 있는 홀로모르픽 선다발 L의_λ 홀로모르픽 섹션은 홀로모르픽 맵으로 보다 구체적으로 설명할 수 있다.

${\displaystyle f:G\to \mathb {C} _{\lambda }:f(gb)=\chi _{\lambda }(b^{-1}f(g)}$

모든 g b G와 b ∈ B에 대하여.

이 섹션에 대한 G의 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle g\cdot f(h)=f(g^{-1}h)}$

g, h ∈ G의 경우.

예

G를 결정요소가 있는 상위 삼각형 행렬로 구성된 보렐 부분군을 가진 복합 특수 선형 그룹 SL(2, C)으로 한다. G에 대한 적분 가중치는 비부정 정수에 해당하는 지배적인 가중치로 정수로 식별할 수 있으며, B의 해당 문자 χ은_n 형태를 가진다.

${\displaystyle \chi _{n}{n}{pmatrix}a&b\\0&a^{-1}\end{pmatrix}=a^{n}.}$

국기 품종 G/B는 동종 좌표 X, Y를 갖는 복합 투영 라인 CP로¹ 식별할 수 있으며, L 선다발_n 글로벌 섹션의 공간은 C에서² 도 n의 동종 다항식 공간으로 식별된다. n ≥ 0의 경우, 이 공간은 차원 n + 1을 가지며 다항 대수 C[X, Y]에 대한 G의 표준 작용에 따라 수정 불가능한 표현을 형성한다. 중량 벡터는 단량형에 의해 주어진다.

${\displaystyle X^{i}Y^{n-i}\quad 0\leq i\leq n}$

중량 2i - n, 최고 중량 벡터 X에ⁿ 중량 n이 있다.

참고 항목

• 최고중량의 정리

메모들

참조

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103..
• Baston, Robert J.; Eastwood, Michael G. (1989), The Penrose Transform: its Interaction with Representation Theory, Oxford University Press. (도버가 다시 인쇄함)
• "Bott–Borel–Weil theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Jacob Lurie의 Borel-Weil-Bott 정리 증명. 2014년 7월 13일 회수
• Serre, Jean-Pierre (1954) [1951], "Représentations linéaires et espaces homogènes kählériens des groupes de Lie compacts (d'après Armand Borel et André Weil)", Séminaire Bourbaki, 2 (100): 447–454. 프랑스어로 번역된 제목: "선형 표현 및 Kahler 동종 공간인 콤팩트 리 그룹(Armand Borel 및 André Weil 이후)"
• Tits, Jacques (1955), Sur certaines classes d'espaces homogènes de groupes de Lie, Acad. Roy. Belg. Cl. Sci. Mém. Coll., 29 프랑스어로.
• Sepanski, Mark R. (2007), Compact Lie groups., Graduate Texts in Mathematics, 235, New York: Springer, ISBN 9780387302638.
• Knapp, Anthony W. (2001), Representation theory of semisimple groups: An overview based on examples, Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press. 1986년 원본의 재인쇄.

추가 읽기

• Teleman, Constantin (1998). "Borel–Weil–Bott theory on the moduli stack of G-bundles over a curve". Inventiones Mathematicae. 134 (1): 1–57. doi:10.1007/s002220050257. MR 1646586.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 보렐-보트-와일 정리의 자료가 통합되어 있다.