위그너 분류

수학 및 이론 물리학에서 Wigner의 분류는 유한 또는 0 질량 고유값을 갖는 Poincaré 그룹의 음이 아닌${\displaystyle (\mathrm{E}}$ ≥ 0) {\$displaystyle$~(~$E\$geq 0~)~} 에너지 축소 불가능한 단일 표현의 분류입니다. (이러한 단일 표현은 무한 차원이며, 군은 반단순하지 않으며 완전한 환원성에 대한 와일의 정리를 만족하지 않습니다.) 유진 위그너(Eugene Wigner)는 물리학에서 입자와 분야를 분류하기 위해 도입했습니다. 입자 물리학과 표현 이론을 참조하십시오. 다양한 질량 상태의 위그너 작은 그룹이라고 불리는 그룹의 안정기 부분군에 의존합니다.

푸앵카레 그룹의 카시미르 불변량은 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 1_{}}$ = ${\displaystyle P^{}}$ ${\$displaystyle$~C_{$1} = P^{\mu}\,$P_${\mu}~,}(아인슈타인 표기법)이며, 여기서 P는 4- momentum 연산자이고, C 2 = W α, {\displaystyle ~C_{2} = W^{\alpha}\,W_{\alpha}~, 여기서 W는 파울리-루반스키 의사 벡터입니다. 이러한 연산자의 고유 값은 표현에 레이블을 지정하는 역할을 합니다. 첫 번째는 질량 제곱과 관련이 있고 두 번째는 나선성 또는 스핀과 관련이 있습니다.

따라서 물리적으로 관련된 표현은 다음과 같이 분류될 수 있습니다.

• ${\displaystyle ~m>0~;}$
• ${\displaystyle m}$ $=$ $displaysty$${\displaystyle l}$$e$~m = 0~} 그러나 P 0 > 0; {\displaystyle ~P_{0}> 0~;\quad } 또는 그 여부
• ${\displaystyle m}$ = ${\displaystyle 0}$$displayst$${\displaystyle y}$$le ~$m$=$0${\displaystyle ~}$}, μ = $0, 1,$ 2,$$3. {\$displaystyle$ ~P^{${\displaystyle \backslash }$mu } = 0~,{\text{ for${\displaystyle }$}\mu = 0,1,2,3~}

위그너는 질량이 없는 입자는 질량이 큰 입자와 근본적으로 다르다는 것을 발견했습니다.

첫번째 경우는

${\displaystyle P}$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle m,}$0, 0, 0) {\displaystyle ~P = (m, 0, 0)~}와 관련된 고유 공간(결합되지 않은 연산자의 일반화된 고유 공간 참조)은 SO(3)의 표현입니다.

광선 해석에서는 Spin(3)으로 이동할 수 있습니다. 따라서 거대한 상태는 스핀을 특징짓는 축소 불가능한 스핀(3) 단일 표현과 양의 질량 m에 의해 분류됩니다.

두번째 경우는

스태빌라이저를 보세요.

${\displaystyle ~P=(k,0,0,-k)~.}$

SE(2)의 이중 커버입니다(투영표 참조). 우리는 두 가지 경우가 있습니다. 하나는 불연속적으로 다음의 정수배로 설명됩니다. 1/2은 헬리시티라고 불렀고, 다른 하나는 "continu 스핀" 표현이라고 불렀습니다.

세번째 경우는

유일한 유한 차원의 단일해는 진공이라고 불리는 사소한 표현입니다.

거대 스칼라장

예를 들어 > ${\displaystyle ~m>0~,}$ ${\displaystyle 및}$ s = 0$.{\$displaystyle ~s = ${\displaystyle 0}$~}로 축소할 수 없는 단일 표현을 시각화해 보겠습니다. 이는 방대한 스칼라 필드의 공간에 해당합니다.

M을 다음과 같이 정의된 쌍곡선 시트라고 가정합니다.

${\displaystyle ~P_{0}^{2}-P_{1}^{2}-P_{2}^{2}-P_{3}^{2}=m^{2}~,\quad }$ ${\displaystyle ~P_{0}>0~}$

민코프스키 메트릭은 M에 대한 리만 메트릭으로 제한되며, M에게 쌍곡 공간의 메트릭 구조를 제공하며, 특히 쌍곡 공간의 쌍곡 모델이며, 증명은 민코프스키 공간의 기하학을 참조하십시오. 푸앵카레 군 P는 민코프스키 내적을 보존하기 때문에 M에 작용합니다. (P 안에 추가된 번역 부분군 ℝ의 작용을 잊어버립니다.) $그리고$ 푸앵카레 그룹의 번역 부분군 ℝ의 요소 $x$는$적합$한 위상${\displaystyle \mathrm{곱셈기}\exp }$ ⁡${\displaystyle (}$$$-${\displaystyle ip}$ →$$⋅$$x → ), ${\displaystyle$~\$exp \left$ (-i${\$vec {p}}\${\displaystyle \mathrm{cdot}\text{{}}$vec$${x}\right}\${\displaystyle \mathrm{right}}$}에 ${\displaystyle {작용}^{}}$합니다$.$ 여기서 p$$∈ M. {\displaystyle ~p\in M~$}$이 두 동작은 유도 표현을 사용하여 영리한 방법으로 결합하여 M과 위상 곱셈의 동작을 결합하는$$ ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}M\text{),}}$ ${\displaystyle ~L^{2}(M)~,}$에 작용하는 P의 동작을 얻을 수 있습니다.

이것은 민코프스키 공간의 초표면 M에 정의된 제곱 적분 함수 공간에 대한 푸앵카레 그룹의 작용을 산출합니다. 이것들은 다음에 의해 정의된 집합 M에 집중된 민코프스키 공간에 정의된 측도로 볼 수 있습니다.

${\displaystyle E^{2}-P_{1}^{2}-P_{2}^{2}-P_{3}^{2}=m^{2}~,\quad }$ ${\displaystyle ~E~\equiv ~P_{0}>0~.}$

이러한 측정의 푸리에 변환(네 가지 변수 모두에서)은 민코프스키 공간에 정의된 클라인-고든 방정식의 양의 에너지,^{[clarification needed]} 유한 에너지 해를 산출합니다. 즉,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}\psi -\nabla ^{2}\psi +m^{2}\psi =0,}$

물리적 단위가 없는 방식으로$,$ 푸앵카레 그룹의 > 0, s = 0 {\displaystyle ~m> 0,\ quad s = 0~} 축소 불가능한 표현은 선형 파동 방정식의 적합한 해 공간에 대한 작용으로 실현됩니다.

사영표현이론

물리적으로, 사람들은 푸앵카레 그룹의 축소 불가능한 투영 단위 표현에 관심이 있습니다. 결국, 상수에 의한 곱셈으로 다른 양자 힐베르트 공간의 두 벡터는 같은 물리적 상태를 나타냅니다. 따라서 동일성의 배수만큼 다른 두 개의 단일 연산자는 물리적 상태에 대해 동일한 작용을 합니다. 따라서 푸앵카레 대칭을 나타내는 단일 연산자는 상수까지만 정의되므로 군 구성 법칙은 상수까지만 유지하면 됩니다.

바르그만의 정리에 따르면, 푸앵카레 군의 모든 투영적 유니터리 표현은 이중 덮개인 보편 덮개의 일반적인 유니터리 표현에서 비롯됩니다. (바르그만의 정리는 푸앵카레 군의 이중 덮개가 사소한 일차원 중심 확장을 인정하지 않기 때문에 적용됩니다.)

절반 이상의 정수 스핀 케이스를 허용하기 때문에 이중 커버로 전달하는 것이 중요합니다. 예를 들어, 양의 질량 사례에서 작은 그룹은 SO(3)가 아닌 SU(2)입니다. 그러면 SU(2)의 표현은 정수와 반 홀수 정수 스핀 사례를 모두 포함합니다.

바그만 정리의 일반적인 기준은 위그너가 분류를 할 때 알려지지 않았기 때문에, 그는 연산자에서 단계를 선택하여 그룹의 구성 법칙을 반영할 수 있다는 것을 (논문의 §5) 보여주어야 했고, 그런 다음 푸앵카레 그룹의 이중 표지로 전달하여 설명해야 했습니다.

추가구분

이 분류에서 제외된 것은 타키온 용액, 고정된 질량이 없는 용액, 고정된 질량이 없는 작은 입자 등입니다. 이러한 솔루션은 가상 상태를 고려할 때 물리적으로 중요합니다. 대표적인 예는 들어오는 경입자와 들어오는 경입자 사이에 가상 공간과 같은 광자가 교환되는 깊은 비탄성 산란의 경우입니다. 이는 이러한 가상 상태를 강입자의 내부 쿼크 및 글루온 내용물의 효과적인 프로브로 간주할 때 가로 및 세로로 편광된 광자와 가로 및 세로 구조 함수의 관련 개념의 도입을 정당화합니다. 수학적 관점에서 위에서 논의한 일반적인 대규모 사례에서 접하는 일반적인 SO(3) 그룹 대신 SO(2,1) 그룹을 고려합니다. This explains the occurrence of two transverse polarization vectors ${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{\lambda =1,2}~}$ and ${\displaystyle ~\epsilon _{L}~}$ which satisfy ${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{2}=-1~}$ and ${\displaystyle {ϵ}_L^2=+1,}$${\displaystyle ~\epsilon _{L}^{2}=+1~,}$ to be compared with the usual case of a free ${\displaystyle ~Z_{0}~}$ boson which has three polarization vectors ${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{\lambda }{\text{ for }}\lambda =1,2,3~;}$ each of them satisfying ${\displaystyle {ϵ}_T^2=-1.}$${\displaystyle ~\epsilon_{T}^{2}=-1~.}$

참고 항목

• 유도표현
• 미분동형군의 표현 이론
• 갈릴레이 군의 대표 이론
• 푸앵카레 군의 대표론
• 임치계
• 파울리-루반스키 의사결정자

참고문헌

• Bargmann, V.; Wigner, E.P. (1948). "Group theoretical discussion of relativistic wave equations". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 34 (5): 211–223. Bibcode:1948PNAS...34..211B. doi:10.1073/pnas.34.5.211. PMC 1079095. PMID 16578292.

• Mackey, George (1978). Unitary Group Representations in Physics, Probability and Number Theory. Mathematics Lecture Notes Series. Vol. 55. The Benjamin/Cummings Publishing Company. ISBN 978-0805367034.

• Sternberg, Shlomo (1994). "§3.9. Wigner classification". Group Theory and Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-0521248709.

• Tung, Wu-Ki (1985). "Chapter 10. Representations of the Lorentz group and of the Poincare group; Wigner classification". Group Theory in Physics. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9971966577.

• Weinberg, S. (2002). "Chapter 2. Relativistic quantum mechanics". The Quantum Theory of Fields. Vol. I. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55001-7.

• Wigner, E.P. (1939). "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group". Annals of Mathematics. 40 (1): 149–204. Bibcode:1939AnMat..40..149W. doi:10.2307/1968551. JSTOR 1968551. MR 1503456. S2CID 121773411.