6-j 기호

위그너의 6-j 기호는 1940년 유진 폴 위그너(Eugene Paul Wigner)에 의해 소개되어 1965년에 출판되었다.그것들은 4개의 위그너 3-j 기호의 곱에 대한 합으로 정의된다.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}}}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=\sum _{m_{1},\dots,m_{6}-1}^{{k=1}^{6}}}{\begin{pmatrix}j_{1}{1}}}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}\-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}{\nd{pmatrix}j_{1}}}{\nd{pmatrix}j_{1}}}}}}&j_{5}&j_{6}\\m_{1}-m_{5}&m_{6}\end{pmatrix}}{\nd{pmatrix}}}{\nd{pmatrix}j_{4}}}}}{\nd{pmatrix}j_j_{4}}}&j_{2}&j_{6}\\m_{4}&m_{2}-m_{6}\end{pmatrix}}{\nd{pmatrix}}}{\nd{pmatrix}j_{4}}}}}}{\nd{pmatrix}j_{4}}}}&j_{5}&j_{3}\\-m_{4}&m_{5}&m_{3}\end{pmatrix}.}$

이 합계는 3-j 기호의 선택 규칙에 의해 허용되는 6m_i 전체에 걸쳐 있다.

위그너 6-j 기호는 대칭성이 더 높기 때문에 리커플링 계수를 저장하는 보다 효율적인 방법을 제공하지만 3개의 각도 모멘트를 리커플링하는 데 사용되는 Racah W-coeuffects와 밀접하게 관련되어 있다.^[1]이들의 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}}}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}}+j_{5}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6})).}$

대칭 관계

6-j 기호는 열 순열에서 불변한다.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}}}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}}}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}}}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}\j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}=\cdots }}$

6-j 기호는 다음과 같은 두 열에서 상한과 하한 인수가 상호 교환되는 경우에도 불변한다.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}}}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}\j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}}}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}}}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

이러한 방정식은 6개의 가장자리 불변성을 가진 관련 4차선 Yutsis 그래프를 떠나는 자동모형 그룹의 24개의 대칭 연산을 반영한다. 즉, 두 개의 정점을 교환하고 인접한 가장자리 쌍을 교환하는 미러 연산이다.

6-j 기호

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}}}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}$

j₁, j₂, j, j가₃ 삼각형 조건을 만족하지 않는 한 0이다.

${\displaystyle j_{1}= j_{2}-j_{3} ,\ldots ,j_{2}+j_{3}}}$

이것은 상위 및 하위 원수의 상호교환을 위한 대칭관계와 결합하여 삼각조건이 트라이어드(j₁, j₆, j₅), (j₄, j₂, j₆) 및 (j₄, j₅, j₃, j)에 대해서도 충족되어야 함을 보여준다.더욱이 삼합체의 각 원소의 합은 정수여야 한다.따라서 각 삼합회의 구성원은 모두 정수이거나 정수와 반정수 두 개를 포함한다.

특수 케이스

j₆ = 0일 때 6-j 기호에 대한 식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{{\begin{Bmatrix}j_{1}}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

삼각 델타 {jjj₁₂₃}은 삼각형 조건(j, j₁, j₂₃)을 만족하면 1이고, 그렇지 않으면 0이다.대칭관계는 다른 j가 0일 때 식을 찾는 데 사용될 수 있다.

직교성 관계

6-j 기호는 다음과 같은 직교 관계를 만족한다.

${\displaystyle \sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}}}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}}}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}}}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{6}'}}}}{2j_{6}+1}:{\begin{Bmatrix}j_{6}}}}}}}}:{1}}}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}.}$

점증약학

6-j 기호의 점증적 행동에 대한 놀라운 공식은 처음에는 폰자노와 레지에^[2] 의해 추측되었고 나중에는 로버츠에 의해 증명되었다.^[3]점근식은 6개의 양자 숫자 j₁, ..., j가₆ 모두 큰 것으로 간주되어 6-j 기호 4면체 기하학과 연관되었을 때 적용된다.6-j 기호가 양자수 j₁, ...에 의해 결정되는 경우, j₆ 관련 4면체의 에지 길이는 J_i = j_i+1/2(i=1, ...,6)이고 점근식은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}}}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}\심 {1}{\frac {1}{\sqrt{12\pi V}}}}}}}\cos {\좌측(\sum _{i=1}^{6}J}\ta _{i}+{\frac{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

표기법은 다음과 같다.각 θ은_i 관련 사면체의 엣지_i J에 대한 외부 이면각이며 진폭 계수는 이 사면체의 부피인 V로 표현된다.

수학적 해석

표현 이론에서 6-j 기호는 텐서 범주에 있는 연관자 이형성의 행렬 계수다.^[4]예를 들어, 만약 우리에게 그룹(또는 양자 그룹)의_ik V, V_j, V를 세 가지 표현으로 주어진다면, 한 가지는 자연적인 이형성을 가진다.

${\displaystyle(V_{i}\otimes V_{j}\otimes V_{k}\to V_{i}\otimes(V_{j}\otimes V_{k})}}$

해당 바이알지브라와의 공동 연관성에 의해 유도된 텐서 또는 제품 표현.단일 범주를 정의하는 공리 중 하나는 연관자가 오각형의 정체성을 만족시킨다는 것인데, 이는 6-j 기호에 대한 비덴하른-엘리어트 정체성과 동등하다.

단일 범주가 반실행될 때, 우리는 해결할 수 없는 물체에 대한 우리의 주의를 제한할 수 있고, 다중성 공간을 정의할 수 있다.

${\displaystyle H_{i,j}^{\ell }=\operatorname {Hom}(V_{\ell },V_{i}\otimes V_{j})}$

다음과 같이 텐서 제품을 분해한다.

${\displaystyle V_{i}\otimes V_{j}=\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{}}\otimes V_{\ell }}}}}}}}\otimes V_{\ell }}}}}}}}}}}}}}}}\times }}$

모든 이소형성 등급의 회복 불가능한 물체에 대한 총계.다음:

${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\cong \bigoplus _{\ell ,m}H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\otimes V_{m}\qquad {\text{while}}\qquad V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})\cong \bigoplus _{m,n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}\otimes V_{m}}$

연상 이형성은 벡터 공간 이형성을 유도한다.

${\displaystyle \Phi _{i,j}^{}^{\ell }{{n}^{n}{n}}}\bigoplus _{n}H_{n},n^{n}}}}{m}\otimes H_{j,k^}}}{n}}}}}}}}}}:{n}}}}}}:{n}}}}}}}}}}}}}}}}}:{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

6j 기호는 구성 요소 맵으로 정의된다.

${\displaystyle {\begin}i&j&\ell \\\\\k&m&n\end{Bmatrix}=(\Phi _{i,j}^{k,m}}_{\ell,n}})}$

다중성 공간에 표준적인 기본 요소와 치수가 최대 하나(기존 설정에서 SU(2)의 경우처럼)가 있을 때, 이러한 구성요소 맵은 숫자로 해석될 수 있으며, 6-j 기호는 일반적인 매트릭스 계수가 된다.

추상적으로 말하면, 6-j 기호는 연관자를 사용하여 단조로운 구조를 재구성할 수 있기 때문에 반 구현된 단조로운 범주에서 그 그로텐디크 링으로 전달될 때 손실되는 정보다.유한집단의 표현 사례에 대해서는 문자표만으로 (기초 아벨의 범주와 그로텐디크 링 구조를 결정하는) 이소모르피즘까지의 집단을 결정하지 않는 반면, 대칭적인 단노이드 범주 구조는 타나카-크레인 이중성에 의해 결정된다는 것은 잘 알려져 있다.특히 순서 8의 두 비아벨계 집단은 동등한 아벨계 대표 범주와 이소모르픽 그로덴디크 고리를 가지고 있지만, 대표 범주의 6-j 기호가 구별되어 있어 대표 범주가 단노이드 범주로서 불평등하다는 것을 의미한다.따라서 6-j 기호는 중간 수준의 정보를 제공하며, 사실 그룹이 홀수 순서 또는 단순할 때와 같이 많은 경우에 그룹을 고유하게 결정한다.^[5]

참고 항목

• 클렙슈-고단 계수
• 3-j 기호
• 라카 W-코효율
• 9-j 기호

메모들

참조

• Biedenharn, L. C.; van Dam, H. (1965). Quantum Theory of Angular Momentum: A collection of Reprints and Original Papers. New York: Academic Press. ISBN 0-12-096056-7.

• Edmonds, A. R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-07912-9.

• Condon, Edward U.; Shortley, G. H. (1970). "Chapter 3". The Theory of Atomic Spectra. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09209-4.
• Maximon, Leonard C. (2010), "3j,6j,9j Symbols", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Messiah, Albert (1981). Quantum Mechanics (Volume II) (12th ed.). New York: North Holland Publishing. ISBN 0-7204-0045-7.

• Brink, D. M.; Satchler, G. R. (1993). "Chapter 2". Angular Momentum (3rd ed.). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-851759-9.

• Zare, Richard N. (1988). "Chapter 2". Angular Momentum. New York: John Wiley. ISBN 0-471-85892-7.

• Biedenharn, L. C.; Louck, J. D. (1981). Angular Momentum in Quantum Physics. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-201-13507-8.

외부 링크

• Regge, T. (1959). "Simmetry Properties of Racah's Coefficients". Nuovo Cimento. 11 (1): 116–117. Bibcode:1959NCim...11..116R. doi:10.1007/BF02724914. S2CID 121333785.
• Stone, Anthony. "Wigner coefficient calculator". (정확한 답변)
• Simons, Frederik J. "Matlab software archive, the code SIXJ.M".
• Volya, A. "Clebsch-Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator". Archived from the original on 2012-12-20.
• Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science. "369j-symbol calculator".
• GNU scientific library. "Coupling coefficients".
• Johansson, H.T.; Forssén, C. "(WIGXJPF)". (정확한; C, 포트란, 파이톤)
• Johansson, H.T. "(FASTWIGXJ)". (빠른 조회, 정확, C, 포트란)