브루하트 분해

수학에서 브루하트 분해(클래식 그룹을 위해 프랑수아 브루하트가, 일반적으로 클로드 체발리가 도입) G = 특정 대수 그룹 G가 세포에 들어가는 BWB는 일반적으로 상위 삼각형과 하위 삼각형의 산물로 매트릭스를 쓰는 가우스-요르단 제거 원리의 일반적인 표현으로 볼 수 있다.gular 행렬—그러나 예외적인 경우.이것은 국기 품종의 슈베르트 세포분해와 관련이 있다: 이것은 Weyl 그룹을 참조하라.

더 일반적으로, (B, N) 쌍을 가진 모든 그룹은 브루하트 분해를 가지고 있다.

정의들

• G는 대수학적으로 폐쇄된 분야에 걸쳐 연결된 환원 대수군이다.
• B는 G의 보렐 부분군이다.
• W는 B의 최대 토루스(Maximal torus)에 해당하는 G의 Weyl 그룹이다.

G의 브루하트 분해는 분해다.

$(\displaystyle G=BWB=\bigsqcup _{w\in W}BwB}$

Weyl 그룹 W의 요소에 의해 매개변수화된 B의 이중 코세트의 분리 결합으로서 G의 (참고: W는 일반적으로 G의 하위 그룹은 아니지만, 최대 토러스(torus)가 B에 포함되어 있기 때문에 코제트 wB는 여전히 잘 정의되어 있다.)

예

G는 일부 대수적으로 닫힌 필드, 즉 환원 그룹인 일부 대수적으로 닫힌 필드에 입력된 변위 불가능한 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ 행렬의$$ 일반 선형 그룹 GL이_n 되도록 한다.그 다음 Weyl 그룹 W는 n글자로 대칭 그룹_n S에 대해 이형이며, 순열 매트릭스를 대표자로 한다.이 경우 B를 상위 삼각형 반전성 매트릭스의 부분군으로 가져갈 수 있으므로 Bruhat 분해는 U와₁ U가₂ 상위 삼각형인 UPU₁₂ 제품으로서 어떤 반전성 매트릭스 A를 쓸 수 있다고 하며 P는 순열 매트릭스라고 한다.이것을 P = UAU로₁⁻¹₂⁻¹ 작성하면, 이것은 모든 반전성 행렬이 일련의 행과 열 연산을 통해 순열 행렬로 변환될 수 있다고 말하고, 여기서 i > j (resp. i)를 행 j (resp. column j)에만 추가할 수 있다.행 연산은 U에₁⁻¹ 해당하고, 열 연산은 U에₂⁻¹ 해당한다.

결정요소가 1인 변위성 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ n$\times n}$ 행렬의$$ 특수 선형 그룹 SL은_n 반실행성 그룹이며, 따라서 환원성이 있다.이 경우 W는 여전히 대칭군 S에_n 대해 이형이다.그러나 순열 매트릭스의 결정 인자는 순열의 부호이므로 SL에서_n 홀수 순열을 나타내기 위해 1이 아닌 0이 아닌 원소 중 하나를 -1이 되도록 취할 수 있다.여기서 B는 결정인자 1을 갖는 상위 삼각 행렬의 부분군이기 때문에 이 경우 브루하트 분해 해석은 GL의_n 경우와 유사하다.

기하학

브루하트 분해의 세포는 국기 품종의 슈베르트 세포 분해에 해당한다.세포의 치수는 Weyl 그룹에서 w 단어의 길이에 해당한다.푸앵카레 이중성은 세포분해의 위상, 따라서 위밀 그룹의 대수(예를 들어, 위 차원 셀은 고유하며(그것은 기본 계급을 나타내며), 콕시터 그룹의 가장 긴 원소에 해당한다.

연산

브루하트 분해의 주어진 차원의 세포 수는 관련 Dynkin 다이어그램의 q-polynomial^[1] 계수다.

더블 브루하트 셀

보렐스 맞은편에서 각각 브루하트 세포를 교차시킬 수 있다.

${\displaystyle G=\bigsqcup _{w_{1},w_{2}\in W}(Bw_{1}B\cap B_{-}w_{2}B_{-}}})$

참고 항목

• 거짓말 집단 분해
• 비르코프 인자화(Birkhoff factorization), 아핀 그룹에 대한 브루하트 분해의 특별한 경우.
• 군집 대수

메모들

참조

• 보렐, 아만드.선형 대수 그룹(2차 개정)뉴욕: Springer-Verlag, 1991. ISBN0-387-97370-2.
• Bourbaki, Nicolas, Lie Groups 및 Lie Algebras: 4-6장(수학의 원소), 스프링거-베를라크, 2008.ISBN 3-540-42650-7