프로베니우스 상호주의

수학, 특히 표현 이론에서 프로베니우스 상호주의는 제한과 귀납의 과정 사이의 이중성을 표현하는 정리다.하위 그룹의 표현에 대한 지식을 활용하여 하위 그룹을 포함하는 "대규모" 그룹의 표현을 찾고 분류하는 데 사용할 수 있다.유한집단의 대표이론의 창시자인 페르디난드 게오르크 프로베니우스의 이름을 따서 지은 것이다.

성명서

특성 이론

그 정리는 원래 성격 이론의 측면에서 명시되었다.내버려두다G부분군을 가진 유한집단이다. H, $\operatorname {Res} _{H}^{G}$ $\operatorname {Res} _{H}^{G}$ $\operatorname {Res} _{H}^{G}$ ${\$ 은 $\operatorname {Res} _{H}^{G}$ (는) 문자 또는 보다 일반적으로 클래스 함수의 제한을 나타낸다.G로H, 및 $\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ H $\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ ${\$ 에 지정된 클래스 함수의 유도 클래스 함수를 나타냄 $\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ H. 유한집단에 대하여.A 클래스 함수 $A\to \mathbb {C}$ → $A\to \mathbb {C}$ → C ${\$ $to$ $\mathb{C}}$ 의 벡터 공간에 $\langle -,-\rangle _{A}$ 내부 제품 $\langle -,-\rangle _{A}$ - , - $\langle -,-\rangle _{A}$ $\langle -,-\rangle _{A}$ ${\$ displaystyle A $\$ $to$ \mathb { $C}}}($ Schur Orthogonality 관계 조항에서 자세히 설명됨)이 있다. $A\to \mathbb {C}$ 이제 모든 클래스 함수 $\psi :H\to \mathbb {C}$ : $\psi :H\to \mathbb {C}$ → C ${\$ : $H\to \mathb {C}$ 및 $\psi :H\to \mathbb {C}$ $\varphi :G\to \mathbb {C}$ : $\varphi :G\to \mathbb {C}$ → $\varphi :G\to \mathbb {C}$ ${\$ 다음과 같은 동등성은 유지된다.

\langle \operatorname {Ind}_{H}^{G}\psi ,\varphi \angle \psi ,\operatorname {Res} _{H}^{G}\varphi \angle _{H}}}

.^[1]^[2]

즉, $\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ $\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ $\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ ${\$ $\operatorname {Res} _{H}^{G}$ $\operatorname {Res} _{H}^{G}$ $\operatorname {Res} _{H}^{G}$ ${\$ 는 에르미타니아어 보조자임 $\operatorname {Res} _{H}^{G}$ .

계급기능에 대한 프로베니우스 상호주의 증명

$\psi :H\to \mathbb {C}$ : $\psi :H\to \mathbb {C}$ → C ${\$ : $H\to \mathb {C}$ 및 $\psi :H\to \mathbb {C}$ $\varphi :G\to \mathbb {C}$ and : $\varphi :G\to \mathbb {C}$ → $\varphi :G\to \mathbb {C}$ ${\$ 는) 클래스 함수가 된다 $\varphi :G\to \mathbb {C}$ .

증명. 모든 클래스 함수는 취소할 수 없는 문자의 선형 조합으로 쓰일 수 있다.As $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ is a bilinear form, we can, without loss of generality, assume $\psi$ and $\varphi$ to be characters of irreducible representations of $H$ in $W$ and of $G$ in $V$ , $V,$ 각각. $모든$ $s\in G\setminus H.$ $s\in G\setminus H.$ $\psi (s)=0$ $s\in G\setminus H.$ $s\in G\setminus H.$ ${\displaystyle s\psi($ $s)=$ $0}$ 을 $\psi (s)=0$ (를) 정의한 다음 $s\in G\setminus H.$

{\displaysty}\langle {\text}Ind}(\psi ),\varphi \rangele _{G}&={\frac {1}{{G}}\sum _{t\in G}{\text}{Ind}}(\psi)(t)\varphi(t^{-1})\\&, ={\frac{1}{G}}\sum _{Gt\in}{\frac{1}{H}}\sum _{s\in G\atop s^{)}ts\in H}(s^{-1}ts)\varphi(t^{-1})\\& \psi, ={\frac{1}{G}}{\frac{1}{H}}_{Gt\in}\sum _{Gs\in}\psi(s^{-1}ts)\varphi((s^{-1}ts)^{)})\\& \sum, ={\frac{1}{G}}{\frac{1}{H}}_{Gt\in}\sum _{Gs\in}\psi(t)\varphi(t^{-1})\sum.\\&^{\frac{1}{ H }}\sum _{t\in G}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{ H }}\sum _{t\in H}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{ H }}\sum _{t\in H}\psi (t){\text{Res}}(\varphi )(t^{-1})\\&=\langle \psi ,{\text{Res}}(\varphi )\rangle _{H}\end{aligned}}

이 방정식의 순서에서 우리는 클래스 함수와 문자의 특성에 대한 유도의 정의만을 사용했다. $\Box$

대체 증거.그룹 대수학의 관점에서, 즉 유도된 표현에 대한 대체적 설명에 의해 프로베니우스 상호주의(Probenius creativity)는 고리의 변화를 위한 일반 방정식의 특별한 경우다.

{\text{홈}_{\mathb {C} [H]}(W,U)={\text{홈}_{\mathb {C}[G]}(\mathb {C} [G]\otimes _{\mathb {C} [H]}W,U).

이 방정식은 정의상 [어떻게?]과 같다.

\langle W,{\text{Res}(U)\angle _{H}=\langle W, U\angle _{H}=\langle {\text}Ind}(W),U\rangele _{G}.

이 이선형식이 해당 문자에 이선형식을 집계하기 때문에 정리는 계산 없이 따른다. $\Box$

모듈 이론

유한집단의 표현 이론에서 설명한 바와 같이 #표현, 모듈 및 콘볼루션 대수학에서는 집단의 표현 이론이 있다.G들판 너머로K어떤 의미에서는 그룹 대수보다 모듈 이론에 해당된다. K[G]^[3] 그러므로 에 상응하는 프로베니우스 상호주의 정리가 있다.K[G]-의

내버려두다G부분군을 거느린 그룹이다H, letM콩을H-complete, and letsN…이 되다G -의미.모듈 이론 언어에서 유도 $K[G]\otimes _{K[H]}M$ $K[G]\otimes _{K[H]}M$ [ $K[G]\otimes _{K[H]}M$ $K[G]\otimes _{K[H]}M$ $K[G]\otimes _{K[H]}M$ K $K[G]\otimes _{K[H]}M$ [ $K[G]\otimes _{K[H]}M$ $K[G]\otimes _{K[H]}M$ $K[G]\otimes _{K[H]}M$ $K[G]\otimes _{K[H]$ $M}$ 은(는) 유도 표현 $\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ $\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ $\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ ${\$ ${_{K[H]}}N$ $}^{G}$ 에 해당하는 $K[G]\otimes _{K[H]}M$ 반면 스칼라 K [ ${_{K[H]}}N$ ${_{K[H]}}N$ ${_{K[H]}}N$ ${_{K[H]$ 의 제한에 해당한다 $\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ {} $N}은($ 는) $\operatorname {Res} _{H}^{G}$ $\operatorname {Res} _{H}^{G}$ $\operatorname {Res} _{H}^{G}$ ${\$ 제한에 해당하므로 ${_{K[H]}}N$ 다음과 $\operatorname {Res} _{H}^{G}$ 같은 문구를 사용한다.다음과 같은 모듈 동음이의 집합은 비주사적 대응 관계에 있다.

\operatorname {Hom} _{K[G]}\otimes _{K[G]}M,N)\cong \operatorname {Hom} _{K[H](M, {K]})}{N)

.^[4]^[5]

범주 이론에 대한 아래 섹션에서 언급한 바와 같이, 이 결과는 그룹 알헤브라의 모듈만이 아닌 모든 링 위의 모듈에 적용된다.

범주론

내버려두다G하위그룹을 거느리다H , $\operatorname {Res} _{H}^{G},\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ $\operatorname {Res} _{H}^{G},\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ $\operatorname {Res} _{H}^{G},\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ G , $\operatorname {Res} _{H}^{G},\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ H $\operatorname {Res} _{H}^{G},\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ ${\$ 을(를) 위와 같이 정의하도록 $\operatorname {Res} _{H}^{G},\operatorname {Ind} _{H}^{G}$ 한다.모든 그룹 $A$ 및 필드K에 대해 ${\textbf {Rep}}_{A}^{K}$ A ${\textbf {Rep}}_{A}^{K}$ ${\$ $A}^{K}}$ 은(는) 다음과 같은 선형 표현 범주를 나타낸다 ${\textbf {Rep}}_{A}^{K}$ .A에 걸쳐서K건망증이 있는 펑터가 있다.

{\begin}\operatorname {Res} _{H}^{G:{\textbf {Rep}_{G}&\longrightarrow {\textbf {Rp}\\(V,\rho )\\\\longmapsto \operatorname {Res} _{H}^{G}(V,\rho )\end}}}}

이 functor는 형태론에 대한 정체성의 역할을 한다.반대 방향으로 가는 functor가 있다.

{\begin}\operatorname {Ind} _{H}^{G:{\textbf {Rep}_{H}&\longrightarrow {\textbf {Rep}_{G}\(W,\tau )&\longmapsto \operatorname {Ind}_{H}^{G}(W,\tau )\ended}}}}}

이들 펑커스는 짝을 이루는 $\operatorname {Ind} _{H}^{G}\dashv \operatorname {Res} _{H}^{G}$ $\operatorname {Ind} _{H}^{G}\dashv \operatorname {Res} _{H}^{G}$ H G $\operatorname {Ind} _{H}^{G}\dashv \operatorname {Res} _{H}^{G}$ $\operatorname {Ind} _{H}^{G}\dashv \operatorname {Res} _{H}^{G}$ H $\operatorname {Ind} _{H}^{G}\dashv \operatorname {Res} _{H}^{G}$ G {\ $displaystyle \operatorname$ {Ind $}{H}^{G$ }\ $dashv \operatorname$ { $Res} _{$ H}^{G $\operatorname {Ind} _{H}^{G}\dashv \operatorname {Res} _{H}^{G}$ ^[6]^[7] 유한집단의 경우 실제로 서로 왼쪽과 오른쪽을 동시에 가리키는 것이다.이 부속물은 유도 표현에 대한 보편적 특성을 발생시킨다(자세한 내용은 유도 표현#속성 참조).

모듈 이론의 언어에서, 상응하는 결합은 스칼라의 제한과 확장 사이의 더 일반적인 관계의 한 예다.

참고 항목

이 정리가 적용되는 프로세스의 정의는 제한된 표현 및 유도 표현을 참조하십시오.
그룹 표현 주제의 광범위한 개요는 유한집단의 표현 이론을 참조한다.
특정 로컬 컴팩트 그룹의 개별 코피나이트 하위 그룹에 대한 일반화는 셀버그 추적 공식과 아서-셀버그 추적 공식을 참조하십시오.

메모들

^ 세레 1977, 페이지 56. (도움말)
^ Sengupta 2012, 페이지 246.
^ 구체적으로는 []-GMod와 Rep_G^K 사이에 범주의 이소모르퍼시즘이 있으며, 페이지에는 범주의 이소모르퍼시즘#유한 집단의 표현 및 표현이론#표현, 모듈 및 콘볼루션 대수학 등이 기술되어 있다.
^ James, Gordon Douglas (1945–2001). Representations and characters of groups. Liebeck, M. W. (Martin W.) (2nd ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 9780521003926. OCLC 52220683.
^ Sengupta 2012, 245 페이지.
^ "Frobenius reciprocity on planetmath.org". planetmath.org. Retrieved 2017-11-02.
^ "Frobenius reciprocity in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2017-11-02.

참조

Serre, Jean-Pierre (1926–1977). Linear representations of finite groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387901906. OCLC 2202385.
Sengupta, Ambar (2012). Representing finite groups : a semisimple introduction. New York. doi:10.1007/978-1-4614-1231-1_8. ISBN 9781461412304. OCLC 769756134.
Weisstein, Eric. "Induced Representation". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2017-11-02.

[FOOTNOTESerre197756-1] 세레 1977, 페이지 56. (도움말)

[FOOTNOTESengupta2012246-2] Sengupta 2012, 페이지 246.

[3] 구체적으로는 []-GMod와 Rep_G^K 사이에 범주의 이소모르퍼시즘이 있으며, 페이지에는 범주의 이소모르퍼시즘#유한 집단의 표현 및 표현이론#표현, 모듈 및 콘볼루션 대수학 등이 기술되어 있다.

[4] James, Gordon Douglas (1945–2001). Representations and characters of groups. Liebeck, M. W. (Martin W.) (2nd ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 9780521003926. OCLC 52220683.

[FOOTNOTESengupta2012245-5] Sengupta 2012, 245 페이지.

[6] "Frobenius reciprocity on planetmath.org". planetmath.org. Retrieved 2017-11-02.

[7] "Frobenius reciprocity in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2017-11-02.

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