일반화 푸리에 시리즈

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수학적 분석에서 푸리에 시리즈의 많은 일반화가 유용하다는 것이 입증되었다. 그것들은 모두 내부 제품 공간의 정형화된 기준에 의해 분해되는 특별한 경우들이다. 여기서 우리는 보간 이론에 있어 중요한 실제 선의 간격에 정의된 사각 통합 함수를 고려한다.

정의

$값$이${\displaystyle }$F = ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$ =\$mathb {C}$ $또는$ F = ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ =\$mathb {R}$인 사각 통합 함수 집합을 고려하십시오$.$

내부 제품에 대해 직교하는 쌍방향 제품 where ${\displaystyle w(x)}$ is a weight function, and ${\displaystyle {\overline {\cdot }}}$ represents complex conjugation, i.e., ${\displaystyle {\overline {g}}(x)=g(x)}$ for ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$.

φ과 관련하여 \mathb {$}$에 대한 사각 통합 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$:${\displaystyle }$[ a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$→ ${\displaystyle F\mathbb{}}$ ${\$의 일반화된 푸리에 시리즈가 그 다음이다.

계수가 주어지는 곳

만약 Φ은 완전한 세트, 즉,[a, b]에 모든square-integrable 기능의 공간이 직교 기준으로 작은 직교 집합과 반대로, 관계 ∼{\displaystyle \sim}이 되는 L2의미에서 평등, 더 정확하게 ⋅의 나머지 w{\displaystyle \cdot_{w}}(반드시도 거의 everywhe pointwise지 않다.re).

예제(Fourier-Legendre 시리즈)

레전드르 다항식은 스터름-리우빌 문제에 대한 해결책이다.

${\displaystyle \left(1-x^{2})P_{n}'(x)\right'+n(n+1)P_{n}(x)=0}$

그리고 Sturm-Louville 이론 때문에, 이러한 다항식들은 문제의 고유 특성이며, 단위 중량으로 위의 내부 생산물에 대해 직교하는 해결책이다. 그래서 우리는 레전드르 다항식들과 관련된 일반화된 푸리에 시리즈(Fourier-Legendre 시리즈로 알려져 있음)를 형성할 수 있고,

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\nft }c_{n}P_{n}(x),}$

${\displaystyle c_{n}={\langle f,P_{n}\angle _{w}\over P_{n}\{w}^{2}}:$

예를 들어, [-1, 1]에서 f(x) = cos x에 대한 Fourier-Legendre 시리즈를 계산해 봅시다. 지금

${\displaystyle{\begin{정렬}c_{0}&, ={\int_{)}^{1}\cos, ={\int_{)}^{1}x\cos\over \int _{)}^{1}x^{2}\,dx}={0\over 2/3}=0\\c_{2}&{)}\,dx\over \int _ᆮ^ᆯ(1)^{2}\,dx}=\sin{1}\\c_{1}&{)}\,dx, ={\int_{)}^{1}{3x^{2}-1 \over 2}\cos{)}\,dx \over \int _{)}^{1}{9x^{4}-6x^{2}+1 \over 4}\,dx}={6\cos{1}-4\sin{1}\over 2/5}\end{동맹을 맺는다.교육}}}$

그리고 이 용어들을 포함하는 시리즈

${\displaystyle {\reasoned}c_{2}P_{2}(x)+c_{1}P_{1}(x)+c_{0}P_{0}(x)&={5 \over 2}(6\cos {1}-4\sin {1})\left({3x^{2}-1 \over 2}\right)+\sin 1\\&=\left({45 \over 2}\cos {1}-15\sin {1}\right)x^{2}+6\sin {1}-{15 \over 2}\cos {1}\end{aligned}}}$

이 값은 cos x와 약 0.003, 약 0으로 다르다. 고유특성은 모두 다항식이고, 따라서 통합과 계수를 계산하기 쉽기 때문에 그러한 푸리에-레젠더 시리즈를 사용하는 것이 유리할 수 있다.

계수 정리

계수 c에_n 대한 일부 이론은 다음과 같다.

베셀의 부등식

${\displaystyle \sum \sum _{n=0}^{n}^{2}\leq \int_{a}^{b}f(x) ^{2}w(x)\,dx.}$

파르세발 정리

만약 set이 완전한 집합이라면,

${\displaystyle \sum \{n=0}^{\n} c_{n}^{2}=\int_{a}^{b}f(x) ^{2}w(x)\,dx.}$

참고 항목

• 분수 푸리에 변환
• 직교성
• 직교 함수
• 고유 기능
• 벡터 공간
• 함수 공간
• 위상 벡터 공간
• 힐베르트 공간
• 바나흐 공간