등각도

정합 지도

f

{\displaystyle f}(

아래) 아래의 직사각형 그리드(위쪽) 및 해당 이미지.

f

f

이(가) 90°에서 교차하는 선 쌍을 여전히 90°에서 교차하는 곡선 쌍에 매핑하는

f

것으로 보인다.

수학에서 등각 지도는 각도를 국소적으로 보존하는 함수지만 반드시 길이는 아니다.

보다 공식적으로 $U$ $U$ $및$ V $U$ $V$ 을(를) $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 의 열린 하위 집합으로 설정하십시오 $V$ $\mathbb {R} ^{n}$ 함수 $f:U\to V$ : $f:U\to V$ → V ${\displaystystyle f:$ $U\to V}$ 은(는) $u_{0}$ 을 $u_{0}$ 할 $u_{0}$ $u_{0}\in U$ 만 아니라 u 0 {\ $displaystyle$ $u_{0}$ u_{0 $}$ 을(를) 통해 방향 곡선 사이의 각도를 보존할 경우 $u_{0}\in U$ $u_{0}\in U$ $u_{0}\in U$ $u_{0}\in U$ U ${\displaystyle$ $u_{0$ $}\in U}$ 에서 등각(또는 각도 보존)이라고 한다 $f:U\to V$ .등각 지도는 각도와 무한히 작은 도형의 모양을 모두 보존하지만, 반드시 그 크기나 곡면성은 아니다.

등정 속성은 좌표 변환의 Jacobian 파생상품 행렬의 관점에서 설명될 수 있다.각 지점의 제이콥이 양의 스칼라 곱하기(결정적 매트릭스와 직교)일 때마다 변환은 일치한다.일부 저자들은 Jacobians가 직교 행렬의 스칼라 배수로 쓰일 수 있는 방향 반전 매핑을 포함하도록 일치성을 정의한다.^[1]

2차원 매핑의 경우 (방향 보존) 일치 매핑은 정확히 국소적으로 되돌릴 수 없는 복합 분석 기능이다.3차원 이상에서, 리우빌의 정리는 순응적인 매핑을 몇 가지 유형으로 극명하게 제한한다.

일치성의 개념은 리만 또는 반-리만 다지관 사이의 지도에 자연스럽게 일반화된다.

2차원의 정합 지도

$U$ $U$ 이 $U$ (가) 복합 $\mathbb {C}$ C ${\$ 의 열린 부분 집합인 경우 $\mathbb {C}$ $f:U\to \mathbb {C}$ $f:U\to \mathbb {C}$ : $f:U\to \mathbb {C}$ → C ${\$ $U\to \mathb {C}은($ 는) 홀오모르픽이고 $U$ {\ $displaystyle U}$ 에서 그 파생상품이 0이 아닌 모든 곳에 있는 경우에만 일치하며 $f:U\to \mathbb {C}$ $U$ $f$ $f$ 이(가) 반홀로모르픽(홀오모르픽 함수로의 콘주게이트)이면 $f$ 각도는 보존하되 방향을 반대로 한다.

문헌에는 일치에 대한 또 다른 정의가 있는데, 평면 $f$ 내 열린 세트에 일대일 및 홀로모픽인 $매핑$ f $f$ 가 있다.개방형 매핑 정리는 역함수( $f$ $f$ 의 영상에 정의됨 $f$ 를 홀로모르픽으로 강제한다.따라서, 이 정의에 따르면, 지도는 만약 그것이 생물학적이라면 그리고 오직 그것일 경우에만 일치한다.순응 지도에 대한 두 가지 정의는 동등하지 않다.일대일이고 홀모픽이 된다는 것은 0이 아닌 파생상품을 갖는다는 것을 의미한다.그러나 지수함수는 0이 아닌 파생상품이 있는 홀모형함수지만 주기적이기 때문에 일대일 함수는 아니다.^[2]

복합 분석의 심오한 결과 중 하나인 리만 매핑 정리는 비어 있지 않은 오픈 맵은 $\mathbb {C}$ C $\mathbb {C}$ {\ $displaystyle$ \ $mathb {C}}$ 의 적절한 서브셋에 연결된 C ${\$ $displaystyle \mathb {C}}}$ 에 있는 오픈 유닛 디스크에 대한 비주사적 컨포멀 맵을 인정한다고 $\mathbb {C}$ 명시하고 있다 $\mathbb {C}$

리만 구에 대한 글로벌 정합 지도

리만 구체의 지도는 뫼비우스 변환일 경우에만 일치한다.

뫼비우스 변환의 복잡한 결합은 각도를 보존하지만 방향을 반대로 한다.예를 들어, 뒤집어서 원을 그리십시오.

3개 이상의 차원으로 구성된 정합 지도

리만 기하학

리만 기하학에서 부드러운 $다지관$ M $M$ 에 $h$ 있는 두 $g$ 의 리만 메트릭 g ${\displaystyle g$ $}$ 과 $g$ h ${\$ $displaystyle h$ $}$ 을 $M$ (를) $M$ ${\displaystystyle M}$ 에 $u$ 있는 일부 양성 $함수$ $g=uh$ ${\$ $displaystysty}$ 에 $g=uh$ 대해 $g=uh$ 한다고 $한다.$ $M$ $u$ ${\\displaystytyty$ $르 u}$ 을 $u$ (를) 순응계수라고 한다.

두 개의 리만 다지관 사이의 차이점형성을 뒤로 빼낸 측정지표가 원래 측정지형과 일치하게 동일하다면 등정형 지도라고 한다.예를 들어 무한대의 점으로 증강된 평면에 구의 입체 투영법은 정합 지도다.

또한 매끄러운 다지관의 정합적 구조를 정합성 있게 동등한 리만 지표의 한 종류로 정의할 수 있다.

유클리드 공간

조셉 리우빌의 고전적인 정리는 2차원보다 더 높은 차원의 순응 지도가 훨씬 적다는 것을 보여준다.유클리드 공간의 개방된 부분 집합에서 차원 3 이상의 동일한 유클리드 공간으로 가는 모든 정합성 지도는 균질성, 등각성 및 특수 정합성 변환의 세 가지 유형의 변환으로 구성될 수 있다.

적용들

카토그래피

지도 제작에서 메르카토르 투영과 입체 투영을 포함한 여러 개의 명명된 지도 투영법은 일치한다.그것들은 해상 항법에서 특히 유용하다. 왜냐하면 일정한 방향의 어떤 과정을 직선 세그먼트로 나타내는 독특한 특성 때문이다.이런 코스는 해양 항법에서는 배가 일정한 나침반 방향으로 항해할 수 있기 때문에 선호된다.

물리학 및 공학

정합성 매핑은 복잡한 변수의 함수 측면에서 표현될 수 있지만 불편한 기하학적 형상을 나타낼 수 있는 공학 및 물리학의 문제를 해결하는 데 매우 중요하다.적절한 지도를 선택함으로써, 분석가는 불편한 기하학을 훨씬 더 편리한 기하학으로 바꿀 수 있다.예를 들어 특정 각도로 분리된 두 전도면의 코너 근처에 위치한 점 전하 $E(z)$ 여기서 $z$ $z$ 은 $z$ 2-공간에서 점의 복잡한 좌표)에서 발생하는 전기장 $E(z)$ $E(z)$ ) $E(z)$ 을 계산할 수 있다.이 문제는 폐쇄적인 형태로 해결하기가 꽤 서툴다.그러나 매우 단순한 등각 매핑을 채택함으로써 불편한 각도를 정밀하게 $[\displaystyle \pi }$ 라디안 $\pi$ 중 하나에 매핑하게 되는데, 이는 두 평면의 모서리가 직선으로 변형된다는 것을 의미한다.이 새로운 영역에서는, (전도벽 근처에 위치한 점 전하를 통해 감명을 받은 전기장을 계산하는 문제)를 꽤 쉽게 풀 수 있다.솔루션은 이 도메인 $E(w)$ ( $E(w)$ ) ${\displaystyle E(w$ 에서 얻은 다음, w $E(w)$ ${\$ $displaystyle w}$ 을 $E$ (를 $)$ $함수$ (viz, e {\ $displaystyle$ E $}$ 및 $E(w)$ {\ $displaystyle$ $w$ $E(w)$ $w$ )로 얻었다는 $w$ $E(w)$ 에 유의하여 원래 $도메인$ 에 다시 매핑된다 $.$ $(w)}$ 은(는 $E(w(z))$ $E(w(z))$ 좌표 $z$ z $z$ 의 함수인 E $w)(z)}$ 로 볼 수 있다 $E(w)$ .이 애플리케이션은 일치 매핑이 각도를 보존한다는 사실과 모순되지 않으며, 경계선이 아닌 도메인 내부의 포인트에 대해서만 해당된다는 점에 유의하십시오.탱크 내 액체 슬로싱의 경계값 문제를 해결하기 위한 정합성 매핑 기법의 적용도 그 예다.^[3]

함수가 평면 영역(이차원)을 통해 라플레이스의 방정식 $\nabla ^{2}f=0$ $\nabla ^{2}f=0$ f = 0 $\nabla ^{2}f=0$ [\ $displaystyle \nabla ^{2$ }f $=0$ )을 만족하고, 정합 지도를 통해 다른 평면 영역으로 변환되는 경우, 변환도 조화롭다.이러한 이유로, 잠재력에 의해 정의되는 모든 기능은 순응적인 지도에 의해 변형될 수 있고 여전히 잠재력에 의해 지배되고 있다.전위에 의해 정의되는 방정식의 물리학의 예로는 전자기장, 중력장, 그리고 유체역학에서는 전위 흐름(전위 흐름)이 있는데, 이것은 일정한 밀도, 영점성, 무회전성 흐름을 가정하는 유체 흐름의 근사치인 것이다.등각 지도의 유동 동적 적용의 한 예는 Joukowsky 변환이다.

등각 지도는 일부 특정 기하학에서 비선형 부분 미분 방정식을 푸는 데도 가치가 있다.그러한 분석 솔루션은 지배 방정식의 수치 시뮬레이션의 정확성에 대한 유용한 검사를 제공한다.예를 들어, 반무한 벽 주위의 매우 점성이 있는 자유 표면 흐름의 경우, 도메인을 1차원적이고 계산하기 쉬운 반평면에 매핑할 수 있다.^[4]

이산 시스템의 경우, Noury와 Yang은 기하학에서 잘 알고 있는 일치 매핑(일명 반전 매핑)을 통해 이산 시스템 루트 로커스를 연속 루트 로커스로 변환하는 방법을 제시했다.^[5]

맥스웰 방정식

맥스웰 방정식의 관련 해법에 대한 다수의 일치 지도가 에베네저 커닝햄(1908)과 해리 베이트먼(1910)에 의해 확인되었다.케임브리지 대학에서의 그들의 훈련은 그들에게 영상 충전 방법과 구와 역전의 영상 관련 방법을 제공하는 시설을 제공했다.Andrew Warwick(2003) Masters of theory:

각각의 4차원 솔루션은 새로운 솔루션을 생산하기 위해

K

의사-반경

K

[\displaystyle K}

의 4차원 하이퍼스phere에서 반전될 수 있다.

워릭은 이 "새로운 상대성 이론"을 아인슈타인에 대한 케임브리지 반응으로서, 그리고 제임스 홉우드 청바지 교과서 전기와 자성의 수학적 이론에서 발견되는 것과 같이 반전 방법을 사용한 운동에 기초하여 강조한다.

일반상대성

일반상대성이론에서, 순응 지도는 가장 단순하고 따라서 가장 일반적인 유형의 원인 변환이다.물리적으로 이것들은 모든 동일한 사건과 상호작용이 여전히 가능한 다른 우주를 기술하지만, 이를 위해 새로운 추가 힘이 필요하다(즉, 모든 동일한 궤도의 복제가 미터법 텐서가 다르기 때문에 지오데틱 운동으로부터 이탈할 필요가 있을 것이다).예를 들어 빅뱅 이전에도 우주에 대한 설명을 허용하는 등 곡률적 특이점 이상의 확장에 맞춰 모델을 만들려고 하는 경우가 많다.

참고 항목

비홀로모르프 지도
카라테오도리의 정리 – 순응 지도가 경계까지 연속적으로 확장된다.
펜로즈 도표
슈바르츠-크리스토펠 매핑 – 상부 하프 평면을 간단한 폴리곤 내부로 정합적으로 변형
특수 선형 그룹 – (각도가 아닌) 볼륨과 방향을 보존하는 변환

참조

^ Blair, David (2000-08-17). Inversion Theory and Conformal Mapping. The Student Mathematical Library. Vol. 9. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. doi:10.1090/stml/009. ISBN 978-0-8218-2636-2. S2CID 118752074.
^ 리처드 M.티모니(2004년), 더블린 트리니티 칼리지의 리만 지도 정리
^ Kolaei, Amir; Rakheja, Subhash; Richard, Marc J. (2014-01-06). "Range of applicability of the linear fluid slosh theory for predicting transient lateral slosh and roll stability of tank vehicles". Journal of Sound and Vibration. 333 (1): 263–282. Bibcode:2014JSV...333..263K. doi:10.1016/j.jsv.2013.09.002.
^ Hinton, Edward; Hogg, Andrew; Huppert, Herbert (2020). "Shallow free-surface Stokes flow around a corner". Philosophical Transactions of the Royal Society A. 378 (2174). Bibcode:2020RSPTA.37890515H. doi:10.1098/rsta.2019.0515. PMC 7287310. PMID 32507085.
^ Noury, Keyvan; Yang, Bingen (2020). "A Psuedo S-plane Mapping of Z-plane Root Locus". ASME 2020 International Mechanical Engineering Congress and Exposition. American Society of Mechanical Engineers. doi:10.1115/IMECE2020-23096. ISBN 978-0-7918-8454-6. S2CID 234582511.
^ Warwick, Andrew (2003). Masters of theory : Cambridge and the rise of mathematical physics. University of Chicago Press. pp. 404–424. ISBN 978-0226873756.

추가 읽기

Ahlfors, Lars V. (1973), Conformal invariants: topics in geometric function theory, New York: McGraw–Hill Book Co., MR 0357743
콘스탄틴 캐러테오도리(1932) 수학 및 물리학의 케임브리지 트랙스 표준
Chanson, H. (2009), Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows, CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, The Netherlands, 478 pages, ISBN 978-0-415-49271-3
Churchill, Ruel V. (1974), Complex Variables and Applications, New York: McGraw–Hill Book Co., ISBN 978-0-07-010855-4
E.P. Dolzhenko (2001) [1994], "Conformal mapping", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw–Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
Weisstein, Eric W. "Conformal Mapping". MathWorld.

외부 링크

많은 표준 지도에 대한 대화형 시각화
마이클 트로트의 지도, 울프램 시연 프로젝트.
Conformal Mapping Gerhard Brunthaler에 의해 자기장이 없는 다른 기하학적 구조의 전류 흐름 이미지.
등각 변환: 원에서 사각형으로.
온라인 정합 지도 그래퍼.
Joukowski Transformation WebApp
M. C. 에셔가 그린 등각 지도

[1] Blair, David (2000-08-17). Inversion Theory and Conformal Mapping. The Student Mathematical Library. Vol. 9. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. doi:10.1090/stml/009. ISBN 978-0-8218-2636-2. S2CID 118752074.

[2] 리처드 M.티모니(2004년), 더블린 트리니티 칼리지의 리만 지도 정리

[3] Kolaei, Amir; Rakheja, Subhash; Richard, Marc J. (2014-01-06). "Range of applicability of the linear fluid slosh theory for predicting transient lateral slosh and roll stability of tank vehicles". Journal of Sound and Vibration. 333 (1): 263–282. Bibcode:2014JSV...333..263K. doi:10.1016/j.jsv.2013.09.002.

[4] Hinton, Edward; Hogg, Andrew; Huppert, Herbert (2020). "Shallow free-surface Stokes flow around a corner". Philosophical Transactions of the Royal Society A. 378 (2174). Bibcode:2020RSPTA.37890515H. doi:10.1098/rsta.2019.0515. PMC 7287310. PMID 32507085.

[5] Noury, Keyvan; Yang, Bingen (2020). "A Psuedo S-plane Mapping of Z-plane Root Locus". ASME 2020 International Mechanical Engineering Congress and Exposition. American Society of Mechanical Engineers. doi:10.1115/IMECE2020-23096. ISBN 978-0-7918-8454-6. S2CID 234582511.

[6] Warwick, Andrew (2003). Masters of theory : Cambridge and the rise of mathematical physics. University of Chicago Press. pp. 404–424. ISBN 978-0226873756.

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[3]

[4]

[5]

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