막시말토루스

콤팩트한 Lie 그룹의 수학 이론에서 특별한 역할은 torus 하위 그룹이, 특히 최대 토러스 하위 그룹이 한다.

콤팩트한 Lie 그룹 G의 토러스(torus)는 G의 콤팩트하고 연결된 아벨리안 Lie 부분군(따라서 표준 토러스 T에^[1]ⁿ 이형체)이다.최대토루스는 그러한 하위집단들 사이에서 최대치인 것이다.즉, T가 포함된 Torus T′에 대해 T = T′가 있으면 T는 최대 토러스다.모든 토러스는 단순히 치수 고려에 의해 최대 토러스 안에 포함되어 있다.비교합격 Lie 그룹은 비교가능성이 없는 토리(예ⁿ: R)를 가질 필요가 없다.

G에서 최대토루스의 치수는 G의 순위라고 불린다.모든 맥심 토리가 공자임이 밝혀지기 때문에 계급이 잘 정해져 있다.세미 구현 그룹의 경우 순위는 관련 Dynkin 다이어그램의 노드 수와 동일하다.

예

단일 그룹 U(n)는 모든 대각 행렬의 하위 그룹을 최대값으로 한다.그것은

T=\왼쪽\{\\operatorname {diag} \left(e^{i\theta_{1}, e^{i\theta_{2}},\dots, e^{i\thea_{n}\오른쪽):\forall j,\theta _{j}\in \mathb {R} \right\}.

T는 분명히 n 원의 산물에 이형성이 있으므로, 유니터리 그룹 U(n)는 n등급이다.특수 유니터리 그룹 SU(n) ⊂ U(n)의 최대 토러스(maximal torus)는 치수 n - 1의 토러스인 T(SU)와 SU(n)의 교차점일 뿐이다.

특수 직교 그룹 SO(2n)의 최대 회전은 n 쌍방향 직교 면(즉, 2차원 벡터 공간)의 고정 선택에서 모든 동시 회전 집합에 의해 주어진다.구체적으로는 하나의 최대 토러스(maximal torus)가 $2\times 2$ 2 $[\displaystyle$ 2 $\time 2}$ 개의 $2\times 2$ 대각선 블록을 가진 모든 블록 대각선 행렬로 구성되며, 여기서 각 대각선 블록은 회전 행렬이다.이것은 또한 SO(2n+1) 그룹에서 나머지 방향을 수정하는 최대 토러스다.따라서 SO(2n)와 SO(2n+1) 모두 n등급이다.예를 들어 회전 그룹 SO(3)에서 최대 토리는 고정 축에 대한 회전으로 주어진다.

공감 그룹 Sp(n)의 순위는 n이다.최대 토러스란 모든 대각 행렬의 집합에 의해 주어지며, 모든 행렬의 입력은 H의 고정된 복합 하위 격자 안에 있다.

특성.

G를 콤팩트하고 연결된 Lie 그룹이 되게 하고 ${\mathfrak {g}}$ ${\$ 를 G의 Lie 대수학으로 삼는다 ${\mathfrak {g}}$ .첫 번째 주요 결과는 다음과 같이 공식화될 수 있는 토러스 정리다.^[2]

Torus 정리 : T가 G에서 하나의 고정된 최대 토러스라면 G의 모든 원소는 T의 원소에 결합된다.

이 정리에는 다음과 같은 결과가 있다.

G의 모든 maximal tori는 결합이다.^[3]
모든 맥심 토리는 G의 등급이라고 알려진 같은 차원을 가지고 있다.
G의 최대 토러스(maximal torus)는 최대 아벨의 하위그룹이지만, 그 반대는 붙잡을 필요가 없다.^[4]
G의 maximal tori는 ${\mathfrak {g}}$ g ${\$ ^[5]cf)의 maximal abelian subalgebras에 해당하는 Lie 하위집단이다.카르탄 하위 절개)
G의 모든 요소는 어떤 최대치 토러스 안에 있다. 따라서 G에 대한 지수적 지도는 절망적이다.
G가 차원 n과 순위 r을 가지면 n - r은 짝수다.

루트 시스템

T가 콤팩트한 Lie 그룹 G의 최대 토러스라면 다음과 같이 루트 시스템을 정의할 수 있다.뿌리는 G의 복잡한 Lie 대수학에서 T의 조정 작용을 위한 가중치들이다.To be more explicit, let ${\mathfrak {t}}$ denote the Lie algebra of T, let ${\mathfrak {g}}$ denote the Lie algebra of $G$ , and let ${\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }:={\mathfrak {g}}\oplus i{\mathfrak {g}}$ denote the complexification of ${\mathfrak {g}}$ . Then we say that an element $\alpha \in {\mathfrak {t}}$ is a root for G relative to T if $\alpha \neq 0$ and there exists a nonzero $X\in {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }$ such that

\mathrm {Ad} _{e^{H}}(X)=e^{i\langle \alpha ,H\angle }X

모든 $H\in {\mathfrak {t}}$ $H\in {\mathfrak {t}}$ $H\in {\mathfrak {t}}$ ${\$ 에 대해 $H\in {\mathfrak {t}}$ 여기 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ { $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ { $\$ $displaystyle$ $\langle \cdot \$ $cdot \rangle$ }은 연결된 콤팩트 리 그룹의 조정 작용에 따라 불변하는 ${\mathfrak {g}}$ 고정된 내부 제품이다 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $.$

루트 시스템은 T의 ${\mathfrak {t}}$ Lie 대수 ${\mathfrak {t}}$ ${\$ 의 하위 집합으로서, 뿌리가 ${\mathfrak {t}}$ ${\$ 에 걸쳐 있지 않을 수 있다는 점을 제외하고 루트 시스템의 모든 통상적인 속성을 가지고 있다 ${\mathfrak {t}}$ ^[6]뿌리계는 G의 분류와 대표이론을 이해하는 데 있어 핵심 도구다.

웨일 그룹

Torus T(최대치는 아님)가 주어지면 T에 관한 G의 Weyl 그룹은 T의 중심제인 T modulo의 Normalizer로 정의할 수 있다.그것은

W(T,G):=N_{G}(T)/C_{G}(T).}

Maximal torus $T=T_{0}$ = $T=T_{0}$ $T=T_{0}$ ${\$ 을 G에 $T=T_{0}$ 고정하고, 그 다음에 해당하는 Weyl 그룹을 G의 Weyl 그룹이라고 한다(T의 선택에 따라 이형성에 따라 달라짐).

Weyl 그룹에 대한 첫 번째 두 가지 주요 결과는 다음과 같다.

G에서 T의 중심기는 T와 같기 때문에 Weyl 그룹은 N(T)/T와 같다.^[7]
Weyl 그룹은 연관된 Lie 대수학의 뿌리에 대한 반사에 의해 생성된다.^[8]따라서 T의 Weyl 집단은 G의 Lie 대수학의 뿌리계통의 Weyl 집단에 이형성이 있다.

우리는 이제 이러한 주요 결과의 몇 가지 결과를 열거한다.

T의 두 원소는 W의 원소에 의해 결합되는 경우에만 결합된다.즉, G의 각 결합 등급은 정확히 하나의 Weyl 궤도에서 T를 교차한다.^[9]실제로 G의 결합 클래스 공간은 궤도 공간 T/W에 대해 동형이다.
Weyl 그룹은 T (그리고 그것의 Lie 대수학)에서 자동화에 의해 행동한다.
T의 노멀라이저의 아이덴티티 성분도 T와 동일하다.따라서 Weyl 그룹은 N(T)의 구성요소 그룹과 동일하다.
Weyl 그룹은 유한하다.

G의 대표이론은 본질적으로 T와 W에 의해 결정된다.

As an example, consider the case $G=SU(n)$ with $T$ being the diagonal subgroup of $G$ . Then $x\in G$ belongs to $N(T)$ if and only if $x$ maps each standard basis element $e_{i}$ ${\displaystyle$ ${$ $i}$ 를 $e_{i}$ 다른 표준 기준 요소 e j {\ $displaystyle e_{j}$ 의 배수로 $e_{j}$ 즉 x {\ $displaystyle x}$ 이(가 $)$ 표준 기준 요소를 허용되는 $x$ 경우 및 일부 상수까지 곱하는 경우에만 해당된다.이 경우 Weyl 그룹은 $n$ $n$ 요소의 $n$ 순열 그룹이다.

바일 적분식

f가 G의 연속 함수라고 가정하자.그 다음 정규화된 Har 측정 dg에 대한 f의 G에 대한 적분을 다음과 같이 계산할 수 있다.

\int_{G}f(g)\,dg=W ^{-1}\int \{T}\Delta (t) ^{2}\int _{G/T}f\왼쪽(y^{-1}\오른쪽)\,d[y]\,dt,}}}}}}

여기서 $d[y]$ [ $d[y]$ $d[y]$ $d[y]$ 은(는) 지수 $G/T$ G $G/T$ $G/T$ 에 대한 정규화된 볼륨 측정값이고 $d[y]$ $G/T$ $d$ $t$ ${\displaystydt}$ 은 $dt$ T에 대한 정규화된 Har 측정값이다.^[10] $|W|$ 서 Δ는 Weyl 분모 공식에 의해 주어지며 W $displaystyle$ W $}$ 은 $|W|$ Weyl 그룹의 순서다.이 결과의 중요한 특별한 경우는 f가 클래스 함수, 즉 결합 시 불변함수일 때 발생한다.그렇다면, 우리는

\int_{G}f(g)\,dg=W ^{-1}\int _{T}f(t) \Delta(t) ^{2}\,dt.}

$사례$ $G=SU(2)$ = $G=SU(2)$ $G=SU(2)$ ( 2 $G=SU(2)$ ) ${\displaystyle G=SU(2$ 을(를 $)$ 대각선 부분군으로 $T$ $간주$ 하십시오.그런 다음 클래스 함수에 대한 Weyl 적분 공식은 다음과 같은 명시적 형식을 취한다.^[11]

\displaystyle {\int _{SU(2)}f(g)\,dg={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }f\left(\mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)\right)\,4\,\mathrm {sin} ^{2}(\theta )\,{\frac {d\theta }{2\pi }}.}

Here $W =2$ , the normalized Haar measure on $T$ is ${\frac {d\theta }{2\pi }}$ , and $\mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)$ denotes the diagonal matrix with diagonal entries $e^{i\theta }$ $e^{i\theta }$ i ${\$ 및 $e^{-i\theta }$ - $e^{-i\theta }$ $e^{-i\theta }$ ${\$ e $^{-i\theta$

참고 항목

참조

^ 홀 2015 정리 11.2
^ 홀 2015 리마 11.12
^ 홀 2015 정리 11.9
^ 홀 2015 정리 11.36 및 연습 11.5
^ 홀 2015 제안서 11.7
^ 홀 2015 섹션 11.7
^ 홀 2015 정리 11.36
^ 홀 2015 정리 11.36
^ 홀 2015 정리 11.39
^ 홀 2015 정리 11.30 및 제안 12.24
^ 홀 2015 사례 11.33

Adams, J. F. (1969), Lectures on Lie Groups, University of Chicago Press, ISBN 0226005305
Bourbaki, N. (1982), Groupes et Algèbres de Lie (Chapitre 9), Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 354034392X
Dieudonné, J. (1977), Compact Lie groups and semisimple Lie groups, Chapter XXI, Treatise on analysis, vol. 5, Academic Press, ISBN 012215505X
Duistermaat, J.J.; Kolk, A. (2000), Lie groups, Universitext, Springer, ISBN 3540152938
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, ISBN 0821828487
Hochschild, G. (1965), The structure of Lie groups, Holden-Day

[1] 홀 2015 정리 11.2

[2] 홀 2015 리마 11.12

[3] 홀 2015 정리 11.9

[4] 홀 2015 정리 11.36 및 연습 11.5

[5] 홀 2015 제안서 11.7

[6] 홀 2015 섹션 11.7

[7] 홀 2015 정리 11.36

[8] 홀 2015 정리 11.36

[9] 홀 2015 정리 11.39

[10] 홀 2015 정리 11.30 및 제안 12.24

[11] 홀 2015 사례 11.33

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