초기하학 계열에 의해 정의된 특수 함수
수학 에서 가우스 또는 일반적인 초기하 함수 1 F(a ,b ;c ;z )는 초기하계 계열 로 대표되는 특수 함수 로서, 구체적 이거나 제한적인 사례 로서 많은 다른 특수 함수를 포함한다. 2차 선형일반미분방정식 (oDE)의 해법이다. 3개의 정규 단수점 을 갖는 모든 2차 선형 ODE는 이 방정식으로 변환될 수 있다.
초지압 함수와 관련된 수천 개의 게시된 ID 중 일부의 체계적 목록은 Erdelyi 등(1953) 및 Olde Daalhuis(2010) harvtxt error: no target: CITREFOlde_Daalhuis2010(도움말 )의 참조 작업을 참조하십시오. 모든 신원을 정리하는 알려진 시스템은 없다; 사실, 모든 신원을 생성할 수 있는 알려진 알고리즘은 없다; 다른 일련의 정체성을 생성하는 많은 다른 알고리즘들이 알려져 있다. 정체성의 알고리즘 발견 이론은 여전히 활발한 연구 주제로 남아 있다.
역사 "초기하학 시리즈"라는 용어는 존 월리스 가 1655년 저서 산티아카 인피니토리움 에서 처음 사용하였다.
초지압 계열은 레온하르트 오일러 에 의해 연구되었지만, 최초 의 완전한 체계적 치료는 칼 프리드리히 가우스 (1813 )에 의해 주어졌다.
19세기 연구에는 에른스트 쿠메르 (1836년 )의 연구와 그것이 만족하는 미분 방정식을 이용하여 초계함수의 베르나르드 리만 (1857년 )에 의한 근본적인 특성화가 포함되었다.
리만은 복잡한 평면에서 검사한 F 1 (z )에 대한 2차 미분 방정식이 세 가지 정규 특이점 으로 특징지어질 수 있다는 것을 보여주었다.
해답이 대수함수 인 경우는 헤르만 슈바르츠 (슈워즈 리스트 )에 의해 발견되었다.
초기하학 계열 초기하학 함수는 전력 시리즈 에 의해 z < 1 에 대해 정의된다.
2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( b ) n ( c ) n z n n ! = 1 + a b c z 1 ! + a ( a + 1 ) b ( b + 1 ) c ( c + 1 ) z 2 2 ! + ⋯ . {\displaystyle {}_{2}F_{1}{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{n={n}{\frac {(a)_{n}{n}}{n}}{n}}{\frac{z^{n}{n! }}}=1+{\frac {ab}{c}{\frac {z}{1! }}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}{\frac {z^{2}}! }}}+\cdots .} c 가 양수가 아닌 정수 와 같으면 정의되지 않는다(또는 무한하다). 여기서 (q )n 상승 ) 기호 로, 다음과 같이 정의된다.
( q ) n = { 1 n = 0 q ( q + 1 ) ⋯ ( q + n − 1 ) n > 0 {\displaystyle (q)_{n}={\case}1&n=0\\\q(q+1)\cdots(q+n-1)&n]0\end{case}}}} 시리즈 는 a 또는 b 중 하나가 비양수 정수일 경우 종료되며, 이 경우 함수는 다항식으로 감소한다.
2 F 1 ( − m , b ; c ; z ) = ∑ n = 0 m ( − 1 ) n ( m n ) ( b ) n ( c ) n z n . {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{n}^{n1}{n}{\binom {m}{n}{n}{\frac {(b)_{n}}}{n}}z^{n}. } z ≥ 1 의 복잡한 인수인 경우, 지점 1과 무한대를 피하는 복잡한 평면의 경로를 따라 분석적으로 계속 할 수 있다.
c -m , 여기서 m 은 음이 아닌 정수로서 F 1 (z ) ∞. 감마함수 의 γ(c ) 값으로 나누면 다음과 같은 한계가 있다.
임이 있는 c → − m 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) Γ ( c ) = ( a ) m + 1 ( b ) m + 1 ( m + 1 ) ! z m + 1 2 F 1 ( a + m + 1 , b + m + 1 ; m + 2 ; z ) {\displaystyle \lim _{c\to -m}{\frac {{}_{2}F_{1}(a,b;c;z) }}{\감마(c)}}={\frac {(a)_{m+1}(b)_{m+1}{{m+1}:{(m+1)! }}}z^{m+1}{}_{2}F_{1}(a+m+1,b+m+1,m+1,m+2;z)} 2 F 1 (z )일반화된 초기하계 시리즈 F 의q 가장 일반적인 유형이며, 흔히 간단히 F (z .
미분화 공식 ID( a n 1 1 n {\ displaystyle (a)_{n+1}=a(a+1)_{n}}} (
d d z 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = a b c 2 F 1 ( a + 1 , b + 1 ; c + 1 ; z ) {\displaystyle {\frac {d}{dz}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z) ={\frac {c}{c}\ {}_{2}F_{1}(a+1,b+1,c+1;z)} 그리고 더 일반적으로,
d n d z n 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( a ) n ( b ) n ( c ) n 2 F 1 ( a + n , b + n ; c + n ; z ) {\dfrac {d^{n}{dz^{n}}\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z) ={\frac {(a)_{n}_{n}_{n}}{{(c)_{n}}\{}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)}} c 1 {\displaystyle c=a+1}
d d z 2 F 1 ( a , b ; a + 1 ; z ) = d d z 2 F 1 ( b , a ; a + 1 ; z ) = a ( ( 1 − z ) − b − 2 F 1 ( a , b ; a + 1 ; z ) ) z {\displaystyle {\frac {d}{dz}\{}_{2}F_{1}(a,b;a+1;z) ={\frac {d}{dz}\ {}_{2}F_{1}(b,a;a+1;z) ={\frac {a((1-z)^{-b}-{2}F_{1}(a,b;a+1;z)) }{z}}} 특례 많은 일반적인 수학 함수는 초기하 함수의 용어로 표현될 수 있고, 또는 그것의 제한적인 사례로 표현될 수 있다. 대표적인 예는 다음과 같다.
2 F 1 ( 1 , 1 ; 2 ; − z ) = ln ( 1 + z ) z 2 F 1 ( a , b ; b ; z ) = ( 1 − z ) − a , ( ∀ b ) 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 3 2 ; z 2 ) = 아크신 ( z ) z 2 F 1 ( 1 3 , 2 3 ; 3 2 ; − 27 x 2 4 ) = 3 x 3 + 27 x 2 + 4 2 3 − 2 3 x 3 + 27 x 2 + 4 3 x 3 {\displaystyle {\begin{aigned}_{2}F_{1}\좌측(1,1;2;-z\오른쪽)&={\frac {\ln(1+z)}{z}\\_{2} }F_ᆰ(의;b>z)&, =(1-z)^{-a},\quad(\forall b)\\_ᆲF_ᆳ\left({\frac{1}{2}},{\frac{1}{2}};{\frac{3}{2}};z^{2}\right)&, ={\frac{\arcsin(z)}{z}}\\\,_ᆶF_ᆷ\left({\frac{1}{3}},{{2}{3}}\frac,{\frac{3}{2}};-{\frac{27x^{2}}{4}}\right)&, ={\frac{{\sqrt[{3}]{\frac{3배{\sqrt{3}}+{\sqrt{27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{{2\frac}{3배{\sqrt{3.}}와{\sqrt{2 7x^{2}+4}}}:{x{\sqrt{3}}}\\end{정렬}}}} a =1과 b =c 가 되면 시리즈는 평이한 기하학 계열로 줄어든다.
2 F 1 ( 1 , b ; b ; z ) = 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aigned}_{2}F_{1}\좌측(1,b;b;z\오른쪽)&=1+z^{2}+z^{3}+z^{4}+\cdots \end{aigned}}}}}} 따라서, 초기하학 이라는 이름. 이 기능은 기하 계열 의 일반화라고 볼 수 있다.
결합초기하함수 (또는 Kummer의 함수)는 초기하함수의 한계로 주어질 수 있다.
M ( a , c , z ) = 임이 있는 b → ∞ 2 F 1 ( a , b ; c ; b − 1 z ) {\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \inflt }{}{2}F_{1}(a,b;c;b^{-1}z)} 그래서 베셀 기능 과 같이 그것의 본질적으로 특수한 경우인 모든 기능들은 초기하 함수의 한계로 표현될 수 있다. 여기에는 일반적으로 사용되는 수학물리학 함수의 대부분이 포함된다.
범례함수 는 3개의 정규 단수점을 갖는 2차 미분방정식의 해법으로서, 예를 들어 초지하함수의 관점에서 표현될 수 있다.
2 F 1 ( a , 1 − a ; c ; z ) = Γ ( c ) z 1 − c 2 ( 1 − z ) c − 1 2 P − a 1 − c ( 1 − 2 z ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\감마(c)^{1-c}{1-c}{2}}(z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z) 자코비 다항식 P 와(α,β) n 레전드레 다항식 , 체비셰프 다항식 , 게겐바우어 다항식 을 포함한 여러 직교 다항식들은 초지하학 함수의 관점에서 쓰일 수 있다.
2 F 1 ( − n , α + 1 + β + n ; α + 1 ; x ) = n ! ( α + 1 ) n P n ( α , β ) ( 1 − 2 x ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)= {!! ♬ frac! }}{{{{n(\alpha +1)_{n}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}} 특별한 경우인 다른 다항식으로는 Krawtchouk 다항식 , Meixner 다항식 , Meixner-Pollaczek 다항식 이 있다.
타원 모듈형 함수 는 때때로 인수 a , b , c 가 1, 1/2, 1/3, ... 또는 0인 초기하 함수 비율의 역 함수로 표현될 수 있다. 예를 들어, 다음과 같다.
τ = i 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; 1 − z ) 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; z ) {\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z{\bigr )}}{{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z{\bigr )}}}} 그때
z = κ 2 ( τ ) = θ 2 ( τ ) 4 θ 3 ( τ ) 4 {\displaystyle z=\kappa ^{2}(\tau )={\frac {\tau _{2}(\tau )^{4}{\tau _{3}(\tau )^{4}}}}}}}}}{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} τ의 타원 모듈 함수로서, 다음과 같다.
θ 2 ( τ ) = ∑ n ∈ Z e π i τ ( n + 1 / 2 ) 2 , θ 3 ( τ ) = ∑ n ∈ Z e π i τ n 2 {\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau (n+1/2) ^{2}},\quad \teta _{3}(\tau )=\sum _{n\in \mathb {Z} }e^{\pi i\tau ^{2 불완전한 베타 함수 B x p ,q )는 다음과 같다.
B x ( p , q ) = x p p 2 F 1 ( p , 1 − q ; p + 1 ; x ) {\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}{p}{{p}{}{{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x)} 완전한 타원형 통합 K 와 E 는 다음과 같이 주어진다.
K ( k ) = π 2 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; k 2 ) {\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}{1}{1}{1}:{\tfrac {1}:{1}{1}:{1},{\tfrac {1}{1}{1}{1};k^{2}\오른쪽)}}}} E ( k ) = π 2 2 F 1 ( − 1 2 , 1 2 ; 1 ; k 2 ) {\displaystyle E(k)={\tfrac {}{2}}\,_{2}F_{1}{1}\좌측(-{\tfrac {1}{1}2}},{\tfrac {1}{1}{1}{1};k^{2}\오른쪽)}}} 초기하 미분 방정식 초기하 함수는 오일러의 초기하 미분 방정식의 해법이다.
z ( 1 − z ) d 2 w d z 2 + [ c − ( a + b + 1 ) z ] d w d z − a b w = 0. {\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}+\왼쪽[c-(b+1)z\오른쪽]{\frac {dz}-ab\,w=0. } 0,1과 ∞의 세 개의 정규 단수점 을 가지고 있다. 이 방정식을 임의의 세 가지 정규 단수점에 일반화하는 것은 리만의 미분 방정식 에 의해 주어진다. 3개의 정규 단수점을 갖는 임의의 2차 차등방정식은 변수의 변화에 의해 초기하 미분방정식으로 변환될 수 있다.
단수 지점에서의 솔루션 초기하 미분 방정식에 대한 해법은 초기하계 시리즈 F 1 (a ,b ;c ;z )로 구축된다. 이 방정식은 두 개의 선형 독립 해법이 있다. 3개의 단수점 0, 1, ∞ 각각에는 보통 x 의s 여기 서 s는 지시 방정식의 2개의 뿌리 중 하나이고 x 는 정규 단수점에서 소멸하는 국소 변수다. 이것은 다음과 같이 3 × 2 = 6개의 특별한 해결책을 제공한다.
점 z = 0 주위에, 두 개의 독립적 해법은 c 가 비양수 정수가 아닌 경우,
2 F 1 ( a , b ; c ; z ) {\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)} 그리고 , c가 정수가 아닌 조건에서,
z 1 − c 2 F 1 ( 1 + a − c , 1 + b − c ; 2 − c ; z ) {\displaystyle z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)} c 가 양수가 아닌 정수 1-m인 경우, 이들 용액의 첫 번째 용액은 존재하지 않으며 z m (+ m , b ; 1 m ; z . {\displaysty ^{m(a+m,b+m;1+m;z) } c 가 1보다 큰 정수일 때는 두 번째c 가 다른 정수일 때는 첫 번째 솔루션 또는 그 대체 솔루션과 동일하다. 따라서 c 가 정수일 때, 첫 번째 용액에 ln(z )을 곱한 것과 같은 두 번째 용액에 더 복잡한 표현을 사용해야 하며, digamma 함수 를 포함 하는 z의 힘에서 다른 시리즈를 사용해야 한다. 자세한 내용은 Olde Daalhuis(2010) harvtxt 오류: 대상 없음: CATEREFOlde_Daalhuis2010(도움말 ) 을 참조하십시오.
약 z = 1, c - a - b 가 정수가 아닌 경우 1은 두 개의 독립 솔루션을 가지고 있다.
2 F 1 ( a , b ; 1 + a + b − c ; 1 − z ) {\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)} 그리고
( 1 − z ) c − a − b 2 F 1 ( c − a , c − b ; 1 + c − a − b ; 1 − z ) {\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\;_{2 }F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)} 약 z = ∞, a - b 가 정수가 아닌 경우, 1은 두 개의 독립 솔루션을 가지고 있다.
z − a 2 F 1 ( a , 1 + a − c ; 1 + a − b ; z − 1 ) {\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\왼쪽(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\오른쪽)} 그리고
z − b 2 F 1 ( b , 1 + b − c ; 1 + b − a ; z − 1 ) . {\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\좌측(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\우측) } 다시 말하지만, 비통합성의 조건이 충족되지 않을 때, 더 복잡한 다른 해결책이 존재한다.
위의 6개 솔루션 중 어떤 3개 솔루션이라도 솔루션 공간이 2차원적이어서 () 6 3 연결 공식 이라 불리는 이들 사이에 20개의 선형 관계가 있으므로 선형 관계를 만족한다.
쿠머의 24가지 솔루션 단수점이 n개인 두 번째 순서 푸치안 방정식 은 그 해법에 작용하는 대칭들의 그룹을 가지고 있으며, 순서가 n !2인n −1콕시터 그룹 D 에n 초기하 방정식 n =3의 경우, 그래서 그룹은 순서 24이고 4개의 점에서 대칭 그룹에 이형성이며, 쿠메르 에 의해 처음 기술되었다. 대칭군과의 이형성은 우발적이며 3개 이상의 단수점에 대해 아날로그가 없으며, 클라인 4그룹 에 의한 3개 지점(단수점 3개의 순열로 작용)에 대한 대칭군 확장으로서 그룹을 생각하는 것이 좋을 때도 있다(어떤 요소들은 지수차이의 징후를 변화시킨다). 짝수 단수점). 쿠머의 24개 변환 그룹은 세 변환에 의해 생성되며, 솔루션 F (a ,b ;c ;z )를 다음 중 하나로 가져간다.
( 1 − z ) − a F ( a , c − b ; c ; z z − 1 ) {\displaystyle (1-z)^{-a}F\왼쪽(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}\오른쪽)} F ( a , b ; 1 + a + b − c ; 1 − z ) {\displaystyle F(a,b;1+a+b-c;1-z)} ( 1 − z ) − b F ( c − a , b ; c ; z z − 1 ) {\displaystyle (1-z)^{-b}F\왼쪽(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}\오른쪽)} 4점 1, 2, 3, 4점 대칭군과의 이형성(異形性)에 따른 전이(12), (23), (34)에 해당한다. (이 중 첫째와 셋째는 실제로 F (a ,b ;c ;z )와 같고, 둘째는 미분방정식에 대한 독립적 해결책이다.)
초지하 함수에 쿠머의 24=6×4 변환을 적용하면 위의 6 = 2×3 용액이 3개의 단수점 각각에서 각각 가능한 지수 2개에 해당하며, 각각은 정체성 때문에 4회 나타난다.
2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) c − a − b 2 F 1 ( c − a , c − b ; c ; z ) 오일러 변환 {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}\,{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)\\\{\text{Euler transform}}}}} 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) − a 2 F 1 ( a , c − b ; c ; z z − 1 ) 파프 변환 {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}\,{}{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}-1})\\\\{\text{Paff 변환}}}}}}}}}}} 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) − b 2 F 1 ( c − a , b ; c ; z z − 1 ) 파프 변환 {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,{}{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1})\\\{\text{Paff 변환}}}}}}}}}}}}} Q형식 초기하 미분 방정식을 Q-폼으로 가져올 수 있다.
d 2 u d z 2 + Q ( z ) u ( z ) = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}+Q(z)u=0} w = uv 를 대체하고 첫 번째 항을 제거함으로써. 라는 것을 알게 되다
Q = z 2 [ 1 − ( a − b ) 2 ] + z [ 2 c ( a + b − 1 ) − 4 a b ] + c ( 2 − c ) 4 z 2 ( 1 − z ) 2 {\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}: 그리고 v 는 다음 솔루션에 의해 주어진다.
d d z 통나무를 하다 v ( z ) = − c − z ( a + b + 1 ) 2 z ( 1 − z ) = − c 2 z − 1 + a + b − c 2 ( z − 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{dz}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {2z}-{1+b-c}{2(z-1)}} 어느 것이
v ( z ) = z − c / 2 ( 1 − z ) ( c − a − b − 1 ) / 2 . {\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{{(c-a-b-1)/2}. } Q형식은 슈바르츠 파생상품 (Hille 1976 , 페이지 307–401)과의 관계에 있어 중요하다.
슈바르츠 삼각지도 슈바르츠 삼각형 지도 또는 슈바르츠 s-기능 은 해법 쌍의 비율이다.
s k ( z ) = ϕ k ( 1 ) ( z ) ϕ k ( 0 ) ( z ) {\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\pi _{k}^{{k}^{(1)}(z)}{\pi _{k}^{0)(z)}}}}}}}}}} 여기서 k 는 점 0, 1, ∞ 중 하나이다. 표기법
D k ( λ , μ , ν ; z ) = s k ( z ) {\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)} 또한 때때로 사용된다. 삼각형 지도에서 연결 계수는 뫼비우스 변환 이 된다는 점에 유의하십시오.
각 삼각형 맵은 각각 z ∈ {0, 1, ∞}에서 정규적이며
s 0 ( z ) = z λ ( 1 + O ( z ) ) {\displaystyle s_{0}(z)=z^{\lambda }(1+{\mathcal{O}}(z) } s 1 ( z ) = ( 1 − z ) μ ( 1 + O ( 1 − z ) ) {\displaystyle s_{1}(z)=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal{O}(1-z))} 그리고
s ∞ ( z ) = z ν ( 1 + O ( 1 z ) ) . {\displaystyle s_{\infit }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal{O}}{\tfrac{1}{z})). } λ, μ, μ, ν real의 특수한 경우, 0 ≤, μ, μ, ν < 1을 갖는 s맵은 리만 구 에 있는 상부 반평면 H 에서 삼각형까지의 정합 지도 로서 원형 호로 경계를 이룬다. 이 지도는 슈바르츠-크리스토펠 매핑 을 원형 호가 있는 삼각형으로 일반화 한 것이다. 단수점 0,1과 ∞은 삼각 정점으로 보내진다. 삼각형의 각도는 각각 πλ, μμ, πν이다.
Furthermore, in the case of λ=1/p , μ=1/q and ν=1/r for integers p , q , r , then the triangle tiles the sphere, the complex plane or the upper half plane according to whether λ + μ + ν – 1 is positive, zero or negative; and the s-maps are inverse functions of automorphic functions for the triangle group 〈p , q , r 〉 = Δ(p , q , r ).
모노드로미군 초기하 방정식의 단조법은 동일한 지점으로 돌아오는 z 평면의 경로 주변에서 분석적으로 지속되었을 때 근본적인 해결책이 어떻게 변화하는지 설명한다. 즉, 경로가 F의2 1 특이점 주위를 돌 때 엔드포인트의 솔루션 값은 시작점과 다를 것이다.
초기하 방정식의 두 가지 기본적인 해법은 선형 변환에 의해 서로 연관된다. 따라서 단조화는 지도화(집단 동형성):
π 1 ( C ∖ { 0 , 1 } , z 0 ) → GL ( 2 , C ) {\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C}) \setminus \{0,1\}z_{0}\text{GL}(2,\mathbf {C} )} 여기서 π은1 근본적인 집단 이다. 즉, 모노드로미는 기본 집단의 2차원 선형 표현이다. 방정식의 모노드로미 그룹 은 이 지도 이미지, 즉 모노드로미 행렬에 의해 생성된 그룹이다. 기본 집단의 단수적 표현은 단수점에서의 지수의 관점에서 명시적으로 계산할 수 있다.[1] (α, α', (β, β') 및 ( (, γ')가 0, 1의 지수인 경우, z 를0 0에 가깝게 취하면 0과 1 주위의 루프는 단조 행렬을 가진다.
G 0(e2π 나는 나는 ′ α 00e2π α){\displaystyle g_{0}={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha}&, 0\\0&, e^{2\pii\alpha ^{\prime}}\end{pmatrix}}\,\,\,}과 g1컵(μ − 1)2e2(e2π μ 나는 나는 −′ μ β− e2π β 1μ(e2π 나는 β− e2π 나는 β ′).π 나는′e2π − 나는 나는 βμ e2π β′− ei)μ − 1β 2π β,{\displaystyle \,\,\,g_{1}={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta}-e^{2\pii\beta ^{\prime}}\over\mu-1}&{\mu(e^{2\pi i\beta}-e^{2\pii\beta ^{\prime}})\over{2(\mu))^}}\\e^{2\pii\beta ^{\prime}}-e^{2\pi i\beta}&,{\mu e^{2\pii\beta ^{\prim.e}}-e^{ 2\pi i\pi \matrix \over \mu -1}\end{pmatrix},} 어디에
μ = 죄를 짓다 π ( α + β ′ + γ ′ ) 죄를 짓다 π ( α ′ + β + γ ′ ) 죄를 짓다 π ( α ′ + β ′ + γ ′ ) 죄를 짓다 π ( α + β + γ ′ ) . {\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}. } 1-a, c-a-ba-b 가 분모 가 k ,l ,m인 비정수 이성적 인 숫자인 경우, 1 k 1 l 1 {\displaystyle 1 +1/l+1/m>1} 경우 에만 모노드로미 그룹은 유한하다. 슈바르츠의 목록 또는 코바시스트의 알고리즘 을 참조한다.
적분 공식 오일러형 만약 B가 베타 함수라면
B ( b , c − b ) 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ∫ 0 1 x b − 1 ( 1 − x ) c − b − 1 ( 1 − z x ) − a d x ℜ ( c ) > ℜ ( b ) > 0 , {\displaystyle \mathrm {B}(b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z) =\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \re(c)\re(b)0,} z 가 1보다 크거나 같은 실제 숫자가 아니며, 이항 정리를 사용하여 (1 - zx )−a 확장한 다음, 절대값이 1보다 작은 z에 대해 기간별로 통합하고 다른 곳에 분석적 연속성을 통해 증명할 수 있다. z 가 1보다 크거나 같은 실제 수인 경우, (1 - zx )는 적분 지지의 어느 시점에서 0이므로 적분 값이 잘못 정의될 수 있으므로 분석적 연속성을 사용해야 한다. 이는 1748년 오일러가 제공한 것으로 오일러와 파프의 초기 기압 변환을 암시한다.
다른 가지 에 해당하는 다른 표현은 동일한 통합과 통합의 경로를 취함으로써 주어지지만, 다양한 순서로 특이점을 둘러싸는 폐쇄적인 Pochhammer 사이클 이 된다. 그러한 경로는 모노드로미 작용에 해당한다.
반스 적분 반스는 반스 적분 을 평가하기 위해 잔류 이론 을 사용했다.
1 2 π i ∫ − i ∞ i ∞ Γ ( a + s ) Γ ( b + s ) Γ ( − s ) Γ ( c + s ) ( − z ) s d s {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}\int _{-i\inflt }^{i\inflt }{\frac {\gamma (a+s)\gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}}}}{-z^{s},ds},ds} 로서
Γ ( a ) Γ ( b ) Γ ( c ) 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) , {\displaystyle {\frac {\gamma (a)\gamma (b)}{\Gamma (c)}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),} 여기서 등고선은 극 -a, -a - 1, ..., -b, -b, -b - 1, 2 ...에서 분리한다. z가 음이 아닌 실수가 아닌 한 유효하다.
존 변형 Gauss 초지하학 함수는 John 변환 으로 쓸 수 있다(Gelfand, Gindikin & Graev 2003, 2.1.2).
가우스의 지속적인 관계 여섯 가지 기능
2 F 1 ( a ± 1 , b ; c ; z ) , 2 F 1 ( a , b ± 1 ; c ; z ) , 2 F 1 ( a , b ; c ± 1 ; z ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}{{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)} F 1 (a ,b ;c ;z . 가우스는 F1 (a , b ;c ;z )b ,c z 의 관점에서 합리적인 계수를 갖는 연속함수 중 어떤 두 개의 선형 결합으로 쓰여질 수 있다는 것을 보여주었다. 이것으로 알 수 있다.
( 6 2 ) = 15 {\displaystyle {\pmatrix}6\\2\end{pmatrix}=15} 의 오른쪽에 있는 두 줄을 확인함으로써 주어지는 관계
z d F d z = z a b c F ( a + , b + , c + ) = a ( F ( a + ) − F ) = b ( F ( b + ) − F ) = ( c − 1 ) ( F ( c − ) − F ) = ( c − a ) F ( a − ) + ( a − c + b z ) F 1 − z = ( c − b ) F ( b − ) + ( b − c + a z ) F 1 − z = z ( c − a ) ( c − b ) F ( c + ) + c ( a + b − c ) F c ( 1 − z ) {\displaystyle {\begin}z{\frac {dF}{dz}&=z{\frac {ab}{c}}F(a+,b+,c+) \&=a(A+-F) \\&=b(b+-F)\&=(c-1)\&(c-1)\&={\frac {(c-a)F(a-)+(a-c+bz) F}{1-z}\\&={\frac {(c-b)F(b-)+(b-c+az) F}{1-z}\\&=z{\frac {(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c) F}{c(1-z)}}\end{aigned}} 여기서 F F 1 (a ,b ;c ;z ),F (a +) F 1 (a , b ; c ;z ) 이러한 관계를 반복적으로 적용하면 폼의 세 가지 기능 사이에 C (z)
2 F 1 ( a + m , b + n ; c + l ; z ) , {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a+m,b+n;c+l;z), } 여기 서 m, n , l 은 정수다.
가우스의 연속분수 Gauss는 연속적인 부분으로서 두 개의 초기하 함수의 인수를 작성하는 여러 가지 방법을 제공하기 위해 연속적인 관계를 사용했다. 예를 들면 다음과 같다.
2 F 1 ( a + 1 , b ; c + 1 ; z ) 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = 1 1 + ( a − c ) b c ( c + 1 ) z 1 + ( b − c − 1 ) ( a + 1 ) ( c + 1 ) ( c + 2 ) z 1 + ( a − c − 1 ) ( b + 1 ) ( c + 2 ) ( c + 3 ) z 1 + ( b − c − 2 ) ( a + 2 ) ( c + 3 ) ( c + 4 ) z 1 + ⋱ {\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z) }{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z) }}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}} 변환 수식 변환 공식은 인수 z 의 서로 다른 값에 있는 두 개의 초기하 함수와 관련된다.
분수 선형 변환 오일러의 변신은
2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) c − a − b 2 F 1 ( c − a , c − b ; c ; z ) . {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z) } 두 개의 Paff 변환을 결합하여 그 뒤를 잇는다.
2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) − b 2 F 1 ( b , c − a ; c ; z z − 1 ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}{}{-b}{2}F_{1}\좌측(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}\오른쪽)}} 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) − a 2 F 1 ( a , c − b ; c ; z z − 1 ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}{-a}{}_{2}F_{1}\왼쪽(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}\오른쪽)}} 오일러의 본질적인 표현에서 따온 것이다. 오일러의 첫 번째와 두 번째 변형의 연장은 라티 & 파리(2007) 와 라카 & 라티(2011) 를 참조한다. 선형 결합으로도 쓸 수 있다.
2 F 1 ( a , b ; c , z ) = Γ ( c ) Γ ( c − a − b ) Γ ( c − a ) Γ ( c − b ) 2 F 1 ( a , b ; a + b + 1 − c ; 1 − z ) + Γ ( c ) Γ ( a + b − c ) Γ ( a ) Γ ( b ) ( 1 − z ) c − a − b 2 F 1 ( c − a , c − b ; 1 + c − a − b ; 1 − z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c,z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c) }{{\감마 (a)\감마 (b)}}^{c-a-b}{}{{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-b;1-z) \end{정렬}}} 2차 변환 1 c, c - 1, a - b , b - a, b - a , b - a , + b - c, a - b 중 하나가 같거나 그 중 하나가 1/2일 경우 초계함수의 2차 변환 이 있어 2차 방정식에 의해 연관된 다른 z 값에 연결된다. 첫 번째 예는 쿠메르(1836), 전체 목록은 구르사트(1881 )가 주었다. 대표적인 예는 다음과 같다.
2 F 1 ( a , b ; 2 b ; z ) = ( 1 − z ) − a 2 2 F 1 ( 1 2 a , b − 1 2 a ; b + 1 2 ; z 2 4 z − 4 ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)} 고차 변환 1-c, a-b b-c 가 기호에 따라 다르거나 그 중 2가 1/3 또는 -1/3인 경우 초기하함수의 입방 변환 이 있어 입방정식에 의해 연관된 다른 z 값에 연결된다. 첫 번째 예는 구르사트(1881년) 에 의해 제시되었다. 대표적인 예는 다음과 같다.
2 F 1 ( 3 2 a , 1 2 ( 3 a − 1 ) ; a + 1 2 ; − z 2 3 ) = ( 1 + z ) 1 − 3 a 2 F 1 ( a − 1 3 , a ; 2 a ; 2 z ( 3 + z 2 ) ( 1 + z ) − 3 ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)} 또한 4급과 6급 변형이 있다. 다른 학도의 변환은 a , b , c 가 특정한 합리적인 숫자일 경우에만 존재한다(Vidunas 2005 ). 예를 들어,
2 F 1 ( 1 4 , 3 8 ; 7 8 ; z ) ( z 4 − 60 z 3 + 134 z 2 − 60 z + 1 ) 1 / 16 = 2 F 1 ( 1 48 , 17 48 ; 7 8 ; − 432 z ( z − 1 ) 2 ( z + 1 ) 8 ( z 4 − 60 z 3 + 134 z 2 − 60 z + 1 ) 3 ) . {\displaystyle {}_{2}F_{1}{1}\좌측({\tfrac {1}{1}{4},{\tfrac {3}{8};z\오른쪽)^{4}-60z^{3}-134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}{}{}{}_{}{}{}{}{}{}}{}}{}}{}}{}{}}}}}{}{}}}{}{}{}{}}{}{}{}}}}{} }F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3 }}}\오른쪽). } 특수 지점의 값 z특수 지점의 합계 공식 목록은 슬레이터(1966 , 부록 III)를 참조하며, 대부분은 베일리(1935) 에도 나타난다. 제셀 앤 스탠튼(1982 )은 더 많은 점에서 더 많은 평가를 내린다. 코엡프(1995 )는 이러한 정체성의 대부분을 컴퓨터 알고리즘으로 검증할 수 있는 방법을 보여준다.
z = 1의 특수 값칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss )의 이름을 딴 가우스의 합계 정리는 정체성이다.
2 F 1 ( a , b ; c ; 1 ) = Γ ( c ) Γ ( c − a − b ) Γ ( c − a ) Γ ( c − b ) , ℜ ( c ) > ℜ ( a + b ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\감마(c)\감마(c-a-b)}{\감마(c-b)}{\qquad \Re(a+b)} 오일러 의 적분 공식에서 z = 1을 넣는다. 반데르몽드 (Vandermonde) 정체성 을 특수한 사례로 포함하고 있다.
a m {\displaystyle a=-m} ,
2 F 1 ( − m , b ; c ; 1 ) = ( c − b ) m ( c ) m {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}{{m}}}}}}}} Dougall 의 공식은 이 를 z = 1의 양자 초기하학 시리즈 로 일반화한다.
쿠메르의 정리(z = -1) 2차 변환을 사용하여 z = -1에서 z = -1 로 변경한 다음 가우스의 정리를 사용하여 결과를 평가함으로써 z = -1에서 초기하 함수를 평가할 수 있는 경우가 많다. 대표적인 예가 에른스트 쿠메르 의 이름을 딴 쿠메르의 정리다.
2 F 1 ( a , b ; 1 + a − b ; − 1 ) = Γ ( 1 + a − b ) Γ ( 1 + 1 2 a ) Γ ( 1 + a ) Γ ( 1 + 1 2 a − b ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\감마(1+a-b) \감마(1+{\tfrac {1}{1}{2}}a)}{\감마(1+a)\감마(1+{\tfrac{1}{2}}a-b)}}}}} 금머의 이차적 변형이 그 뒤를 잇는다.
2 F 1 ( a , b ; 1 + a − b ; z ) = ( 1 − z ) − a 2 F 1 ( a 2 , 1 + a 2 − b ; 1 + a − b ; − 4 z ( 1 − z ) 2 ) = ( 1 + z ) − a 2 F 1 ( a 2 , a + 1 2 ; 1 + a − b ; 4 z ( 1 + z ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aigned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2 }F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}} 그리고 첫 번째 정체성에 z = -1을 넣어 가우스의 정리. 쿠메르의 합산을 일반화하려면 라부이, 그론딘 & 라티(1996 )를 참조한다.
z = 1/2의 값가우스의 두 번째 합계 정리는
2 F 1 ( a , b ; 1 2 ( 1 + a + b ) ; 1 2 ) = Γ ( 1 2 ) Γ ( 1 2 ( 1 + a + b ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + a ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + b ) ) . {\displaystyle _{2}F_{1}\왼쪽(a,b;{\tfrac {1}{1}:{2}}\왼쪽(1+a+b\오른쪽); {\tfrac {1}{1}:{2}}\\오른쪽)={\frac {\Gamma({\tfrac {1}{2}}) \Gamma({\tfrac {1}{1}:{2}}\왼쪽(1+a+b\오른쪽) }}{\Gamma({\tfrac {1}{1}:{2}}\왼쪽(1+a)\오른쪽) \Gamma({\tfrac {1}{1}:{2}}\왼쪽(1+b\오른쪽) }}.} 베일리의 정리는
2 F 1 ( a , 1 − a ; c ; 1 2 ) = Γ ( 1 2 c ) Γ ( 1 2 ( 1 + c ) ) Γ ( 1 2 ( c + a ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + c − a ) ) . {\displaystyle _{2}F_{1}}\왼쪽(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\오른쪽)={\prac {1}\Gamma({\tfrac {1}{1}{2}}c)\{\tfrac{1}{1}{1+c\오른쪽) }}{\Gamma({\tfrac {1}{1}:{2}}\왼쪽(c+a\오른쪽) \Gamma({\tfrac {1}{1}:{2}}\왼쪽(1+c-a\오른쪽) }}.} 가우스의 두 번째 합계 정리 및 베일리의 합계 정리에 대한 일반화는 라부이, 그론딘 & 라티(1996 )를 참조한다.
기타 포인트 매개변수의 특별한 이성적 값에서 대수적 숫자로 초지하학적 함수를 부여하는 다른 공식들이 많이 있으며, 그 중 일부는 게셀&스턴(1982) 과 콥프(1995 )에 열거되어 있다. 대표적인 예는 다음과 같다.
2 F 1 ( a , − a ; 1 2 ; x 2 4 ( x − 1 ) ) = ( 1 − x ) a + ( 1 − x ) − a 2 , {\displaystyle {}_{2}F_{1}\좌측(a,-a;{\tfrac {1}{1}2}}:{\tfrac {x^{2}}:{4(x-1)}\우측)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a},2}},},},},},} 라고 다시 말할 수 있는.
T a ( cas x ) = 2 F 1 ( a , − a ; 1 2 ; 1 2 ( 1 − cas x ) ) = cas ( a x ) {\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2 }F_{1}\왼쪽(a,-a;{\tfrac {1}{1}:{2}}: {\tfrac {1}{1}{1}:{1}(1-\cos x)\오른쪽)=\cos(ax)} 언제나 -1987 < x < π과 T 는 (일반화된) 체비셰프 다항식 이다.
참고 항목 호칭 시리즈 , 초기하계 시리즈의 2변수 일반화 일반화항 비율이 지수의 주기적 함수인 기본 초기하 직렬 쌍방향 초기하계 영상 시리즈p 이항계수 0 F결합초기하계 시리즈 F1 (a ;c ;z )항 비율이 지수의 타원 함수인 타원 초기하 직렬 오일러 초기하 적분 , F 의1 적분 표현Fox H-function, Meijer G-function의 연장선상에 있는 Fox H-function Fox-Right 함수, 일반화된 초기하 함수 의 일반화초기하 방정식에 대한 프로베니우스 용액 I. M. Gelfand 에 의해 도입 된 일반 초지압 함수 .항 비율이 지수의 합리적인 함수인 일반화된 초기하계 영상 시리즈q 항 비율이 상수인 기하 급수 Houn 함수 , 규칙적인 단수점 4개를 갖는 2차 OSDE경음기 함수 , 두 변수에서 34개의 고유 수렴 초기하계 시리즈Humbert 시리즈 2개 변수의 7 초기하 함수초기하 분포 , 이산 확률 분포행렬 인수의 초계함수 , 초계열의 다변량 일반화Campé de Fériet 함수 , 두 변수의 초기하계 시리즈로리첼라 초기하계 시리즈 , 세 변수의 초기하계 시리즈맥로버트 E-기능 , 케이스 p>q+1 까지 일반화된 초기하학 시리즈 F의q Meijer G-기능 , 일반화된 초기하계 시리즈 F를q p >q +1로 확장.타원형 초기하계 시리즈의 종단 형태인 모듈형 초기하계 시리즈 타원형 초기하계 시리즈 , 특별한 종류의 타원형 초기하계 시리즈.Virasoro 정합성 블록 , 경우에 따라 초기하 함수로 감소하는 2차원 정합성 장 이론 의 특수 함수.참조 Andrews, George E. ; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999). Special functions . Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 71. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62321-6 MR 1688958 .Bailey, W.N. 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![{\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a},\quad (\forall b)\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/215b41a9584519b81a21ae3c863285d6827fc264)
![z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e8e3756bb7c64f4d8d5bd0b3aea7b3890ec783)
![Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e778623e3a601cf8b1f06a87cd38adb1cd1225bd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c,z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e2fdfa7d09b6338d51226d1485cfc1c9e8555d)
