크라우트추크 행렬

수학에서 Krawtchouk 행렬은 음수가 아닌 정수 점에서 Krawtchouk 다항식의 값인 행렬이다.^[1][2]Krawtchouk 행렬 K는^(N) (N + 1) × (N + 1) 행렬이다.처음 몇 가지 Krawtchouk 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle K^{(0)}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\qquad K^ᆱ=\left[{\begin{배열}{rr}1&, 1\\1&,-1\end{배열}}\right],\qquad K^ᆲ=\left[{\begin{배열}{}rrr 1&, 1&, 1\\2&, 0&, -2\\1&, -1&, 1\end{배열}}\right],\qquad K^{(3)}=\left는 경우에는{\begin{배열}{rrrr}1&, 1&, 1&, 1\\3&, 1&, -1&, -3\\3&, -1&, -1&, 3\\1&amp을 말한다.-1&, 1&, -1\end{배열}}\right 뻗는다,}$

${\displaystyle K^{(4)}[{\begin{배열}{}rrrrr 1&, 1&, 1&, 1&, 1\\4&, 2&, 0&, -2&, -4\\6&, 0&, -2&, 0&, 6\\4&, -2&, 0&, 2&, -4\\1&, -1&, 1&, -1&, 1\end{배열}}\right],\qquad K^{(5)}=\left는 경우에는{\begin{배열}{rrrrrr}1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1\\5&, 3&, 1&, -1&, -3&, -5\\10&, 2&, -2&, -2&2&10\\10&, -2&, -2&, 2&, 2&, -10\\5&, -3&, 1&, 1&, -3&, 5\\1&, -1&, 1&, -1&, 1&, -1\end{배열}}\right 뻗는다.}$

정의

일반적으로 양의 정수 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N$의 경우 ${\displaystyle {Ki}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$( N${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\$ 항목이 생성 함수에 의해 주어진다$$.

${\displaystyle (1+v)^{N-j}\,(1-v)^{j}=\sum_{i}v^{i_{ij}^{{ij}^{(N)}}}}$

여기서 행 및 열 색인 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ 및$$ $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$이(가) $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$에서 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}($으)로$$ 실행된다$.$ 명시적으로:

${\displaystyle K_{ij}^{{i-k}^{k}{\binom {j}{{n-j}},}=\sum _{k}-1}^{\binom {n-j}{i-k},}$

또는 Krawtchouk 다항식:

${\displaystyle K_{ij}^{(N)}=\kappa _{i}(j,N).}$

Krawchouk 행렬의 값도 반복 관계를 사용하여 계산할 수 있다.맨 위 행을 이항계수로 채우고 가장 오른쪽 열을 교차 이항계수로 채우면 다른 항목은 맨 위, 오른쪽의 인접 항목 합계에 의해 각각 주어진다.^[3]

특성.

Krawtchouk 다항식은 대칭 이항 $분포$와 관련하여 직교한다. p${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ 2 ${\displaystyle p=1/2$^[4]

변환의 경우 Krawtchouk 매트릭스는 최대 스케일링까지 비자발적이다.

${\displaystyle (K_{ij}^{(N)}^{2}=2^{N}I.}$

Krawchouk 행렬은 삼각 파스칼 행렬과 2의 힘의 대각 행렬을 포함하는 LDU 분해법을 가지고 있다.^[5]

고유값은${\displaystyle }$± ${\displaystyle \sqrt{{2n}^{}}}$ ${\$이고, 결정요인은${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- 2${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {(n}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$(-$2)^{n(n+1)/2}}$이다$.$^[5]

참고 항목

• 크라우트추크 다항식
• 파스칼 행렬

참조

외부 링크

• 크라우트추크 백과사전